2. SISTEMA COORDENADO CARTESIANO 1.- El sistema coordenado Unidimensional: Representado por la recta numérica, que se determina por P 1 (x 1 ) y P 2 (x 2 ) se tiene : La distancia dirigida de P 1 a P 2 es : P 2 - P 1 = x 2 - x 1 La distancia no dirigida es : P 1 P 2 ( x 1 ) ( x 2 ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 P 1 Q 1 R 1 S 1 O Q R P 2 Distancia dirigida Distancia no dirigida Ejemplo: x x 

3. SISTEMA COORDENADO CARTESIANO 2.- El sistema coordenado Bidimensional: Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y) Y X P (x,y) 0 I (+ , +) II (- , +) III (- -) IV (+ , -) El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas. Recta horizontal : eje x (abscisa) Recta vertical: eje y (ordenada) La intersección de ambas rectas es el origen. Las cuatro partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman cuadrantes. Las coordenadas del punto P se representan por el par ordenado (x,y)

4. DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANO Sean los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) La distancia entre P 1 y P 2 Se determina por: Esta expresión se obtiene observando la figura en cuyo triángulo rectángulo P 1 QP 2 , se tiene: donde: sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente. Y X (O , y 2 ) T S (O,y 1 ) M (x 1 , 0) N (X 2 , 0) Q (x 2 ,y 1 ) P 2 (X 2 ,Y 2 ) P 1 (x 1 , y 1 )

5. DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANO Ejemplo 1: Si P 1 = (8 , 6) y P 2 = ( 5 , 2) Hallar d(P 1 , P 2 ) = Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los vértices de un triángulo isósceles. A (-2 ,-1) B (2, 2 ) C (5 , -2) y x Como el triángulo ABC es isósceles.

6. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA P 2 (x 2 , y 2 ) P(x,y) P 1 (x 1 , y 1 ) Sea el segmento y el punto que divide a en la razón entonces, las coordenadas de P Serán: Si P es la punto medio entonces : ;

7. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA en la figura  P 1 QP  PRP 2 entonces : Para hallar la Ordenada y del punto P P 2 (x 2 , y 2 ) P P 1 (x 1 ,y 1 ) (x,y) Q R x y

8. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA en la figura  P 1 QP  PRP 2 entonces : Para hallar la abscisa x del punto P P 2 (x 2 , y 2 ) P P 1 (x 1 ,y 1 ) (x,y) Q R x y

10. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solución:

11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solución:

12. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2,3) y B(6 ,-3) Solución: A(-2,3) B(6,-3) P(x,y) Q 1 1 1 Punto medio M(x,y) : M P(10/3 , -1) Q(2/3 ,1)

13. PENDIENTE DE UNA RECTA   P 1 (x 1 ,y 1 ) L x y ANGULO DE INCLINACIÓN Se llama ángulo de inclinación al ángulo formado por la recta L y el eje x positivo, en sentido antihorario. La variación de  es : 0°    180°

14. PENDIENTE DE UNA RECTA Sea  el ángulo formado por la recta L y el eje X La pendiente m de la recta L es: Si la recta L pasa por los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) ; P 2 (x 2 , y 2 ); la pendiente es: ( Ver Figura ) m = Tg    Q P 1 (x 1 ,y 1 ) L P 2 (x 2 ,y 2 ) X Y y 2 - y 1 x 2 - x 1

15. PENDIENTE DE UNA RECTA m = Tg    Q P 1 (x 1 ,y 1 ) L P 2 (x 2 ,y 2 ) X Y y 2 - y 1 x 2 - x 1 OBSERVACIONES 1. Si m > 0 entonces el ángulo de inclinación es agudo (  < 90° ) 2. Si m < 0 entonces el ángulo de inclinación es obtuso (  > 90° ) 3. Si m = 0 entonces el ángulo de inclinación es 0° ó 180°. 4. Si m =  entonces el ángulo  = 90° .

16. PENDIENTE DE UNA RECTA m = Tg    Q P 1 (x 1 ,y 1 ) L P 2 (x 2 ,y 2 ) X Y y 2 - y 1 x 2 - x 1 Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos : P 1 (2,1) y P 2 (5,6)

17. PENDIENTE DE UNA RECTA Ejemplo 2: Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , -2) , B(-1 , 4) y C(4 , 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. SOLUCION: B(-1,4) C(4,5) A(2,-2) x y o

18. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Sean las rectas L 1 y L 2 que forman un ángulo  . Entonces: Donde: m 1 = Pendiente recta inicial L 1 . m 2 = Pendiente recta final L 2 . Nota: 1) Si L 1 es paralela a L 2  m 1 = m 2 2) Si L 1 es Perpendicular a L 2  m 1 . m 2 = -1 ó m 1 = L 1 L 2 X Y 

19. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS DEMOSTRACIÓN Sean las rectas L 1 y L 2 que forman un ángulo  ,  1 ángulo de inclinación de la recta inicial L 1 y  2 ángulo de inclinación de la recta final L 2 . Donde: m 1 =tg  1 Pendiente recta inicial L 1 . m 2 = tg  2 Pendiente recta final L 2 . L 1 L 2 X   2  1 A B C Por geometría elemental sabemos que todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes . Entonces en el  ABC :  Luego:

20. LA RECTA DEFINICIÓN : La línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P 1 ( x 1 , y 1 ) y P 2 ( x 2 , y 2 ) del lugar la pendiente “m” resulta siempre una constante. ECUACIONES DE LA RECTA 1) Forma Punto Pendiente : Si la recta pasa por el punto P 1 ( x 1 , y 1 ) y cuya pendiente es “m” entonces la ecuación de la recta está dado por : y - y 1 = m ( x - x 1 ) P 1 (x 1 ,y 2 ) x P 2 (x 2 , y 2 ) y

21. LA RECTA P 1 (x 1 ,y 1 ) x P(x, , y) y DEMOSTRACIÓN La recta L pasa por el punto P(x 1 , y 1 ) y tiene pendiente conocida “m” y sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta L. L Por definición de pendiente de una recta se tiene:

22. LA RECTA P(2 , 5) x P(x, , y) y Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(2 ,5) y tiene pendiente 3. SOLUCION: L

23. LA RECTA La recta L pasa por los puntos : P 1 ( x 1 , y 1 ) y P 2 ( x 2 , y 2 ) entonces la pendiente ......(1) 2 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 puntos: Si la recta L pasa por lo puntos P 1 ( x 1 , y 1 ) y P 2 ( x 2 , y 2 ) su ecuación es: DEMOSRACION: y - y 1 = m ( x - x 1 ) P 1 (x 1 ,y 1 ) x P 2 (x 2 , y 2 ) y Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto pendiente y - y 1 = m( x - x 1 )......(2) Remplazando (1) en (2) se tiene:

24. LA RECTA Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos P 1 ( -2 , -3) y P 2 ( 4 , 6) SOLUCIÓN: y - y 1 = m ( x - x 1 )

25. LA RECTA 3) Pendiente y ordenada en el origen: Una Recta con Pendiente “ m “ y que corta al eje y ; en el punto ( 0,b ) ; su ecuación es : DEMOSTRACIÓN: y = mx + b L x y ( 0 , b)

26. LA RECTA 4 ) Ecuación Simétrica Si una Recta corta a los ejes Coordenados en ( a , 0 ) y ( 0 , b ); su Ecuación es : 5 ) Ecuación General La Ecuación General de una Recta esta representado por : Donde : En la Ecuación ( 1 ) ; si : A = 0  By + C = 0 ; es una recta Horizontal B = 0  Ax + C = 0 ; es una recta Vertical Ax + By + C = 0 . . . ( 1 ) ( 0,b ) ( a,0 ) x y

27. LA RECTA Distancia de un punto a una Recta Sea la Recta L: Ax + By + C = 0 y Sea el Punto P 1 ( x 1 , y 1 ) ; la distancia “ d” del punto P a la recta L esta dado por: L x y d P (x 1 , y 1 ) Distancia entre dos rectas paralelas Dadas las rectas paralelas : L 1 : Ax + By +C 1 = 0 y L 2 : Ax + By +C 2 = 0 la distancia de L 1 a L 2 está dado por:

28. LA RECTA L x y d P (5 ,4 ) Ejemplo1. Hallar la distancia del punto P(5 , 4) a la recta L : 3x + 4y - 6 = 0 L

29. LA RECTA L x y d Q (5 ,6 ) Ejemplo2. Hallar la distancia que existe entre el punto R(4 , -2) del plano y la recta que pasa por los puntos P(-3 , 2) y Q(5 , 6) SOLUCIÓN L P (-3 ,2 ) R (4 ,-2 ) Aplicamos la ecuación punto pendiente de la recta: y - y 1 =m(x - x 1 )

30. LA RECTA Posición Relativa de 2 Rectas Sean las rectas : L 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 L 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 * Si L 1 // L 2  m 1 = m 2 ó * Si L 1  L 2  m 1 . m 2 = -1 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 * Si L 1 y L 2 son coincidentes :

31. LA CIRCUNFERENCIA DEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante. Centro (C) : Punto fijo radio r : distancia constante d(P , C) = r C(h,k) r P(x,y)

32. LA CIRCUNFERENCIA ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA C r E D F A B L T L N 1. Centro de la circunferencia. “ C “ 2. Radio de la circunferencia “ r “ 3. Diámetro de la circunferencia 4. Cuerda de la circunferencia 5. Recta tangente a la circunferencia. L T 6. Recta normal a la circunferencia. L N

33. LA CIRCUNFERENCIA Una Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio. Ecuaciones de la Circunferencia: 1) Forma Ordinaria: Sea el Centro de la Circunferencia C ( h,k ) y radio r . Si P (x,y) es un punto  Por distancia: 2) Forma canónica si el Centro es el origen su ecuación es : C(h,k) r P(x,y) 0 X Y (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 0 P(x,y) X Y

34. LA CIRCUNFERENCIA Ejemplo 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y radio 5. Solución. Ejemplo 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva. Solución. C Las coordenadas del centro : y x B A

35. LA CIRCUNFERENCIA Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y que pasa por los dos puntos A(1 , 3) y B(4 , 6) y x B A C(x,0) La ecuación de la circunferencia:

36. LA CIRCUNFERENCIA Observaciones: C(h,k) Si la circunferencia es tangente al eje x su ecuación es : x y k x y C(h,k) h Si la circunferencia es tangente al eje y su ecuación es :

37. LA CIRCUNFERENCIA 3) Ecuación General Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia tenemos: Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria Esta ecuación tiene la misma forma que: Se llama forma general de la circunferencia. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

38. LA CIRCUNFERENCIA Ejemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria , determinar si representa o no una circunferencia. a. 2x 2 + 2y 2 - 6x +10y + 7 = 0 b. 4x 2 + 4y 2 +28x - 8y + 53 = 0 c. 16x 2 + 16y 2 - 64x + 8y + 177 = 0 Solución. - Si D 2 + E 2 - 4F > 0 ; la Circunferencia es real - Si D 2 + E 2 - 4F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria - Si D 2 + E 2 - 4F = 0 ; la Circunferencia representa un punto

39. LA CIRCUNFERENCIA Luego la ecuación es una circunferencia de centro C (3/2 , -5/2) y radio

40. LA CIRCUNFERENCIA Luego la ecuación representa el punto C(-7/2 , 1) Luego la ecuación representa un conjunto vacío o una circunferencia imaginaria.

41. CURVAS CÓNICAS Una Cónica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto fijo ( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razón constante llamada excentricidad. Si: e = 1 ; la cónica se llama Parábola. e < 1 ; la cónica se llama Elipse. e > 1 ; la cónica se llama Hipérbola. F P M

42. LA PARÁBOLA Es el conjunto de puntos que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado Foco. Elementos: Foco : Punto fijo F Eje Focal : Recta  DD’ y pasa por el Foco Vértice : Punto V Cuerda : Cuerda Focal : Lado Recto : Radio Vector : Directriz : DD  F M P F M R D’ D V N Y H D L x

43. LA PARÁBOLA Ecuaciones de la Parábola : 1) Si el Vértice es el Origen y su eje Focal es el eje X F( p,0) ; P( x,y) d(P,F) = d( p,L)  Elevando al cuadrado y simplificando se tiene: - Si: p > 0 ; la Parábola se abre a la Derecha. - Si: p < 0 ; la Parábola se abre a la Izquierda. Y X L D’ Y X D D’ F F(p,0) o o V V y 2 = 4px P(x,y) D

44. LA PARÁBOLA Y X L D’ Y X D D’ F F(p,0) o o V V P(x,y) D ELEMENTOS 1. El vértice V(0,0) 2. El foco F(p,0) 3. Lado Recto LR = | 4 p | 4. Ecuación de la directriz: x = - p L R L y 2 = 4px R

45. LA PARÁBOLA Ecuaciones de la Parábola : 2) Si el Vértice es el Origen y su eje Focal es el eje Y, su ecuación es: - Si p > 0; la Parábola se abre hacia arriba. - Si p < 0; la Parábola se abre hacia abajo Y X D D’ Y X D D’ F F o o V V x 2 = 4py L R L R

46. LA PARÁBOLA ELEMENTOS 1. El vértice V(0,0) 2. El foco F(0 , p) 3. Lado Recto LR = | 4 p | 4. Ecuación de la directriz: y = - p Y X D D’ Y X D D’ F F o o V V x 2 = 4py L R L R

47. LA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x 2 - 12y = 0 b . y 2 + 8x = 0 Solución: Y X 3 D D’ F o V 1. Vértice V(0,0) 2. Foco F(0,p)  F(0,3) 3. Directriz y = - p  y = -3 4. Lado Recto LR=  4p   LR = 12 como p> 0 la parábola se abre hacia arriba. -3

48. LA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x 2 - 12y = 0 b . y 2 + 8x = 0 Solución: Y X -2 D D’ F o V 1. Vértice V(0,0) 2. Foco F( p , 0)  F( -2, 0) 3. Directriz x = - p  x = - ( -2) = 2 4. Lado Recto LR=  4p   LR = 8 como p< 0 la parábola se abre hacia la izquierda. 2

49. LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria de la Parábola : 3) Si el Vértice es V ( h, k ), el eje focal es Paralelo al eje x su ecuación es: Con Foco: F( h+p , k ) - Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha. - Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda. ( y - k ) 2 = 4p ( x - h ) D D’ D D’ F V V Y Y X X (h,k) (h,k) F

50. LA PARÁBOLA ( y - k ) 2 = 4p ( x - h ) D D’ D D’ F V V Y Y X X (h,k) (h,k) F ELEMENTOS 1. El vértice V( h , k) 2. El foco F(h + p , k) 3. Lado Recto LR=  4p  4. Ecuación de la directriz x = h - p

51. LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria de la Parábola : ii ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y, su ecuación es: Con Foco: F ( h , k+p ) - Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba. - Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo. ( x - h ) 2 = 4p ( y - k ) D D’ D D’ F V V Y Y X X (h,k) (h,k) F

52. LA PARÁBOLA ( x - h ) 2 = 4p ( y - k ) D D’ D D’ F V V Y Y X X (h,k) (h,k) F ELEMENTOS 1. El vértice V( h , k) 2. El foco F( h , k + p) 3. Lado Recto LR=  4p  4. Ecuación de la directriz y = k - p

53. LA PARÁBOLA 5. La Ecuación General de la Parábola esta dado por : x 2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y. y 2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X. Ejemplo1 . Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos (-4,3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solución: -4 3 V -1 F La parábola es de la forma: (y - k) 2 = 4p(x - h) Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7  x+7=0 Eje de la parábola y=k  y = 3 , LR = 12

54. LA PARÁBOLA Ejemplo2 . Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solución: V o F La parábola es de la forma: (x - h) 2 = 4p(y –k ) Directriz: y = k - p = 3 – (-2) = 5  y – 5 = 0 Eje de la parábola x = 3  x – 3 = 0 LR = 8 L R

55. LA PARÁBOLA Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4y 2 -48x -20y - 71 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable y, se tiene: De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k)  V( -2 , 5/2) Foco F( h+p , k )  F( -2 + 3 , 5/2)  F( 1 , 5/2) Ec. De la directriz: x = h - p  x = -2 - 3  x = -5 Ec del eje : Y = k  y = 5/2 ; LR = 12

56. LA PARÁBOLA Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4y 2 -48x -20y - 71 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable y, se tiene: De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k)  V( -2 , 5/2) Foco F( h+p , k )  F( -2 + 3 , 5/2)  F( 1 , 5/2) Ec. De la directriz: x = h - p  x = -2 - 3  x = -5 Ec del eje : Y = k  y = 5/2 ; LR = 12 

57. LA PARÁBOLA Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4x 2 + 48y + 12x – 159 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable x, se tiene: De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3 Vértice V( h , k)  V( - 3/2 , 7/2 ) Foco F( h , k + p )  F( -3/2 , 7/2 –3 )  F( -3/2 , 1/2 ) Ec. De la directriz: y = k - p  y = 7/2 + 3  y = 1 3 / 2  2y – 13 = 02 Ec del eje : x = h  x = -3/2  2x + 3 = 0 ; LR = 12

58. LA PARÁBOLA Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4x 2 + 48y + 12x – 159 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable x, se tiene: De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3 Vértice V( h , k)  V( - 3/2 , 7/2 ) Foco F( h , k + p )  F( -3/2 , 7/2 –3 )  F( -3/2 , 1/2 ) Ec. De la directriz: y = k - p  y = 7/2 + 3  y = 1 3 / 2  2y – 13 = 02 Ec del eje : x = h  x = -3/2  2x + 3 = 0 ; LR = 12 

59. LA ELIPSE Definición : Dado 2 puntos fijos F 1 y F 2 un numero 2a > 0 ; la elipse es el conjunto de puntos cuya suma de las distancias de un punto de la curva a sus puntos fijos es siempre igual a 2a. F 2 F 1 P C Focos: F 1 , F 2 C : centro

60. LA ELIPSE ELEMENTOS DE LA ELIPSE : Focos : F 1 y F 2 . Eje Focal : Es la recta que pasa por los Focos. Vértice : Puntos V 1 y V 2 . Centro : C Punto medio de V 1 y V 2. Eje Normal : Recta que pasa por el centro y es  al eje Focal. Eje Mayor : Segmento Eje Menor : Segmento Cuerda : Segmento Cuerda Focal : segmento Lado Recto : Segmento Directriz : Rectas D’D. D D D’ D’ Q V 1 V 2 C L L M B 1 B 21 N R R F 1 F 2

61. LA ELIPSE Ecuaciones de la Elipse : 1) Centro en el Origen y eje Focal el eje x ; su ecuación es: b 2 = a 2 - c 2 Elementos 1. Los vértices son: V 1 ( -a,0 ) ; V 2 ( a,0 ) : 2. Los focos: F 1 (- c,0 ) ; F 2 (c , 0 ) 3. Extremos del eje menor: B 1 (0 , -b) , B 2 (0 , b) 4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad : V 2 V 1 F 2 F 1 (-a,0) (a,0) D D D’ D’ X Y B 2 B 1

62. LA ELIPSE Ecuaciones de la Elipse : 2) Si el eje Focal es el eje Y su ecuación es: b 2 = a 2 - c 2 Elementos 1. Los vértices son: V 1 (0 , -a ) ; V 2 ( 0 , a ) 2. Los focos: F 1 ( 0 , - c) ; F 2 ( 0 , c ) 3. Extremos del eje menor: B 1 ( -b , 0) , B 2 ( b , 0) 4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad : V 1 V 2 F 1 F 2 (0,-c) (0,c) X Y B 1 B 2

63. LA ELIPSE V 1 V 2 F 1 F 2 (0,-c) (0,c) X Y B 1 B 2 Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la excentricidad y la longitud del lado recto. Graficar la curva. 9x 2 + 4y 2 = 36 Solución: Dividiendo cada término entre 36 a = 3 , b= 2 , c 2 = a 2 - b 2 = 9 - 4 = 1. Los vértices son: V 1 (0 , -3 ) ; V 2 ( 0 , 3 ) 2. Los focos: F 1 ( 0 , - ) ; F 2 ( 0 , ) 3. Extremos del eje menor: B 1 ( -2 , 0) , B 2 ( 2 , 0) 4. Lado recto : 5. Excentricidad : 6. Longitud del eje mayor =2a =6 7. Longitud del eje menor = 2b = 4

64. LA ELIPSE V 2 V 1 F 2 F 1 D D D’ D’ X Y B 2 B 1 Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la excentricidad y la longitud del lado recto. Graficar la curva. 16 x 2 + 25 y 2 = 400 Solución: Dividiendo cada término entre 400 a = 5 , b= 4 , c 2 = a 2 - b 2 = 25 –16 = 9  c = 3 1. Los vértices son: V 1 (-5 , 0 ) ; V 2 ( 5 , 0 ) 2. Los focos: F 1 ( -3 , 0) ; F 2 ( 3 , 0 ) 3. Extremos del eje menor: B 1 ( 0 , -4 ) , B 2 ( 0 , 4 ) 4. Lado recto : 5. Excentricidad : 6. Longitud del eje mayor =2a = 10 7. Longitud del eje menor = 2b = 8

65. LA ELIPSE ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE : 1 - Si el centro es el Punto C( h , k) y tiene eje Focal Paralelo al eje X, su ecuación es: LA ELIPSE V 2 V 1 F 2 F 1 D D D’ D’ X Y B 2 B 1 O C k h Elementos 1. Los vértices son: V 1 ( h -a,k ) ; V 2 (h + a ,k ) : 2. Los focos: F 1 ( h- c,k ) ; F 2 ( h + c ,k ) 3. Extremos del eje menor: B 1 ( h , k - b) , B 2 (h ,k+ b) 4. Lado recto : 5. Excentricidad 6. Ecuación de la directriz: b 2 =a 2 -c 2

66. LA ELIPSE ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE : 2- Si el centro es el punto C( h,k) el eje Focal es Paralelo al eje y su ecuación es: Elementos 1. Los vértices son: V 1 (h k -a ) ; V 2 ( h , k+a ) 2. Los focos: F 1 ( h , k- c) ; F 2 ( h , k +c ) 3. Extremos del eje menor: B 1 ( h- b , k) , B 2 ( h + b , k) 4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad : V 1 V 2 F 1 F 2 X Y B 1 B 2 C h k D D’

67. LA ELIPSE ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE La Ecuación General es: Donde A  B y son del mismo signo. Ax 2 + By 2 + Dx + Ey +F =0 Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x 2 + 25y 2 - 36x + 150y + 36 = 0 , reducir esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de centro, vértices, focos, longitudes del eje mayor y menor, lado recto y la excentricidad Solución: a 2 = 25 , b 2 =9  c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 9 =16 a = 5 , b = 3 , c = 4

68. LA ELIPSE V 2 V 1 F 2 F 1 X Y B 2 B 1 O C 1. Centro: C(2 , -3) , h = 2 , k= -3 2. Vértices:: V 1 ( h -a,k ) ; V 2 ( h + a ,k ) V 1 ( 2-5 , -3 ) ; V 2 ( 2+5 , -3 )  V 1 ( -3 , -3 ) ; V 2 ( 7 , -3 ) 2. Focos: F 1 ( h- c,k ) ; F 2 ( h + c ,k )  F 1 ( -2 , -3 ) ; F 2 ( 6 ,-3 ) 3. Extremos del eje menor: B 1 ( h , k - b) , B 2 (h ,k+ b)  B 1 ( 2 , -6) , B 2 ( 2 , 0) 4. Lado recto : 5. Excentricidad: a 2 = 25 , b 2 =9 c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 9 =16 a = 5 , b = 3 , c = 4

69. LA ELIPSE Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F 1 (-4 , -2) y F 2 ( -4 , -6), y la longitud de cada lado recto es 6 . Hallar la ecuación de la elipse y su excentricidad. Solución: V 1 V 2 F 1 F 2 X Y B 1 B 2 El eje focal de la elipse es paralelo a l eje y la ecuación es de la forma: C

70. LA ELIPSE Reemplazando (2) en (1)

71. Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F 1 (-2 , -2) y F 2 ( 4 , -2 ) . Hallar la ecuación de la elipse si uno de sus vértices está sobre la recta L : x – y – 8 = 0. Solución: LA ELIPSE V 2 V 1 F 2 F 1 Y O C Con los datos del problema , la ecuación de la elipse es: x

72. Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x 2 + 4y 2 – 8y –32 = 0 . Hallar la excentricidad y lado recto. Solución: LA ELIPSE

73. LA PARÁBOLA Ejemplo . Con los datos de la figura . Hallar el foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto. Solución: -4 (0,2) V La parábola es de la forma: P : y 2 + Dx + Ey + F = 0 (0,-2) y 2 - x – 4 = 0  y 2 = ( x + 4 )  h = -4 , k = 0 , 4p =1  p = 1  4 Foco: F( h + p ,k )  F(-4 + 1  4 , 0 )=F(- 15  4 , 0) Directriz: x = h - p =-4 – 1  4 = -17  4  4x+ 17=0 LR = 1