MATEMATICA II

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENCION BARQUISIMETO
LONGITUD DE UNA CURVA.
ROJAS. ANALITH. CI. 17627292
PROF: Domingo Méndez.
MATERIA: Matemática 2

2. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una
curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva
o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en
segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para
obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Cálculo mediante integrales
Al considerar una curva definida por una función y su respectiva
derivada que son continúas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco
delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida para métricamente mediante dos funciones
dependientes de t como e , la longitud del arco desde el
punto hasta el punto se calcula mediante:
(2)
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas
radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud
del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será
necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta
fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de
segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la
catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la
parábola semicúbica y la línea recta.

3. Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas
curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas
por un tensor métrico donde la longitud de una curva
viene dada por:
(4)
Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo
.
Deducción de la fórmula para funciones de una
variable
Aproximación por múltiples segmentos lineales.
Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema
de Pitágoras.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por
una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco
de curva que va desde un punto a uno . Con este propósito es posible
diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas
"cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a
este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos
aquellos triángulos sean iguales a , de manera que para cada uno existirá
un cateto asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,

4. siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el
teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de estaría dada por la
sumatoria de todas aquellas hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene
que:
Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada
hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos, mejor será la
aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que
tienda a cero. Así, se convierte en , y cada cociente incremental
se transforma en un general, que es por definición .
Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una
sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos
infinitesimales;
Métodos anteriores al cálculo
Antigüedad
A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores
consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque
Arquímedes había descubierto una aproximación rectangular para calcular el
área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que
fuera posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas

5. rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en
el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban
un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste
para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se
usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una
aproximación cada vez mejor.
Siglo XVII
En esta época, el método de agotamiento llevó a la rectificación por
métodos geométricos de muchas curvas trascendentales: la Espiral
logarítmica de Torricelli en 1645 (algunos piensan que fue John Wallis en
1650), el Cicloide de Christopher Wren en 1658, y la Catenaria de Gottfried
Leibniz en 1691.
La curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente
sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el
polígono. (Para la distancia entre los extremos de cada segmento podemos
usar la fórmula conocida de distancia.) Vamos a definir la longitud de una
curva general aproximándola con un polígono y entonces tomando un límite
cuando el número de segmentos del polígono aumenta, Este proceso es bien
conocido para el caso de la circunferencia, en el que la circunferencia es el
límite de las longitudes de los polígonos inscritos.
Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la ecuación
, donde f es continua en . Obtenemos una aproximación
poligonal a C dividiendo el intervalo en su intervalo con los extremos
y todos de la misma longitud . Si , entonces, el
punto está en la curva C y el polígono con vértices
. La longitud de L de C es aproximadamente igual a la longitud
de este polígono y la aproximación es mejor cuando crece . Por lo anterior,
definimos la longitud, L, de la curva C, cuya ecuación es , ,
como igual al límite de la suma de las longitudes de esos polígonos inscritos
(si existe el límite):