Matemática III - Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad Nacional de Ingeniería

MATEMÁTICA III
Ing. Arévalo Villanueva, Manuel
LIMA-PERÚ
2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA PERÚ
Índice general
1. Funciones vectoriales de variable real 3
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. L´ımite de la función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Derivada de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6. Vector tangente unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7. Fórmulas para la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8. Vector normal principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9. Vector binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10. Longitud de una curva regular o suave ζ . . . . . . . . . . . . 10
2. Funciones reales de variable vectorial 12
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Superficie de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Gráficas de superficies de R2
→ R . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. Operaciones con funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6. L´ımite-Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8.1. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8.2. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8.3. Geométricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.3. Teorma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10.1. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.11. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
LIMA 2015 1 Ing. Arévalo Villanueva, Manuel

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL
2.12. Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.13. Ecuación del plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.13.1. Recta ortogonal a una superficie de nivel . . . . . . . . 26
2.13.2. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.13.3. Ecuación del plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.14. Máximos y m´ınimos (Criterio de las derivadas parciales) . . . 27
2.15. Matriz hessiana (Otto hess) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.16. Punto de silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.16.1. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.17. Determinación de la naturaleza de un punto cr´ıtico o estacionario 30
2.18. Máximos y m´ınimos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.19. Multiplicador de lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.20. Máximos y m´ınimos sobre regiones acotadas por curvas o su-
perficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.21. Serie de taylor para funciones de varias variables . . . . . . . . 35
2.22. Introducción al cáculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Integrales Multiples 38
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Calculo de Integrales Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Sección plana paralela al plano YZ . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Sección paralela al plano XZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5. Integrales sobre una región acotada por curvas . . . . . . . . . 42
3.5.1. Region de tipo 1 o tipo Rx
. . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.2. Region de tipo 2 o tipo Ry . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6. Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7. Método de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8. Transformaciones de RL
a Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8.1. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9. Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10. Coordenadas Cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.11. Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Funciones vectoriales de un vector 52
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2. Aplicaciones a la f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL
5. Teoremas-Sist.Cord. Curv.-A.Tensores 59
5.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2. Aplicación del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3. Interpretacio fisica del teorema de Green . . . . . . . . . . . . 62
5.4. Integral de superficie regular orientada . . . . . . . . . . . . . 65
5.5. Significado f´ısico de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6. Teorema de la divergencia o teorema de gauss . . . . . . . . . 68
5.7. Primera identidad de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.8. Segunda identidad de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.9. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.10. Notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3

Índice de figuras
1.1. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Hélice circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Derivada de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Plano osculador y recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Región admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Superficies esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. Circuferencias con un mismo centro . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6. z vs y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7. z vs x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8. Cono generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.12. Geométricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.13. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.14. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.15. Recta ortogonal a una superficie de nivel . . . . . . . . . . . . 26
2.16. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.17. Punto de silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.18. Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.19. Región . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.20. Silla de montar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.21. Máximos y m´ınimos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.22. Paralelep´ıpedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE FIGURAS
2.23. Paralelep´ıpedo en elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.24. Región admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.25. Cálculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.26. Ejemplo de cálculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Partición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Elemento de partición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. En R2
aR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4. Plano YZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5. Proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6. Plano XZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7. Proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8. Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9. Región . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10. Plano YX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11. Región . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.12. Región acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.13. Volúmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.14. Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.15. Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.16. Método de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.17. Geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.18. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.19. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.20. Sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.21. Sólido acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.22. Coordenadas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.23. Coordenadas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.24. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.25. Coordenadas esféricas-Definición . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2. Tabulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3. Región . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4. Región . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5. Interválo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6. Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.7. Integral de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.8. Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.9. Huecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.10. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5

ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE FIGURAS
5.1. Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2. Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3. F´ısica-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4. F´ısica-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5. Conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6. Multiplemente convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7. Integral de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.8. F´ısico-Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.9. Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.10. Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.11. Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6

Cap´ıtulo 1
Funciones vectoriales de
variable real
Las funciones vectoriales son funciones cuyo dominio es un conjunto de
números reales (R) y cuyo rango un conjunto de vectores (R2
, R3
, ..., Rn
).
1.1. Introducción
−→
Escalares
r −→
V ectores
x
Aplicaciones de escalares a vectores:
Ejemplo Notación
Sea r la función vectorial I ⊂ R −→ R2
/x = r(t) = (a cos(t)
x
; b sin(t)
y
) t
∈ [0; 2π]
Figura 1.1: Elipse

1.2.Funciones vectoriales de variable real Ing. Arévalo V. Manuel
t x y
0 a b
π
2
0 b
π -a 0
3π
2
0 -b
2π a 0
Ejemplo clásico
Sea r la función vectorial I ⊂ R −→ R3
/x = r(t) = (a cos(t)
x
; b sin(t)
y
; t
z
)
t ∈ [0; 2π]
Hélice circular
x2
+ y2
= a2
=
x= a cos(t)
y= a sin(t)
Cilindro circular
t x y z
0 a 0 0
π
2
0 a π
2
π -a 0 π
3π
2
0 -a 3π
2
2π a 0 0
Figura 1.2: Hélice circular
8

1.2. Operaciones
Sea r : I ⊂ R −→ Rn
/x = r(t) = (r1(t), r2(t)..., rn(t)). Sea r1 y r2 dos
funciones vectoriales de variable real.
I) (r1 ± r2)(t)=r1(t) ± r2(t) ∀ t ∈ (Dr1 ∩ Dr2 )
II) (r1 · r2)(t)=r1(t) · r2(t)
Fn.Escalar
∀ t ∈ (Dr1 ∩ Dr2 )
III) (r1 × r2)(t)=
î ˆj ˆk
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∀ t ∈ (Dr1 ∩ Dr2 )
IV) ( ϕ
Fn.Escalar
r)
(t)
=ϕ(t)r(t) ∀ t ∈ (Dϕ ∩ Dr)
1.3. L´ımite de la función vectorial
Sea f : I ⊂ R −→ Rn
/x = f(t) = (f1(t); f2(t); ...; fn(t)). El l´ımite de f
cuando t −→ t0, se denota por:
I) l´ımt→t0 f(t) = l´ımt0 f = b. Donde t0 se llama punto de acumulación del
dominio de f.
II) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0/|f(t) − b| < ε. Siempre que 0 < |t − t0| < δ.
1.4. Continuidad
/x = r(t) entonces r es continua en t0 ∈ Dr, si:
I) r(t0) existe o está definida.
II) l´ımt→t0 r(t) existe.
III) l´ımt→t0 r(t) = r(t0)
1.5. Derivada de una función vectorial
/x = r(t).
Sabemos
Si h > 0 y h −→ 0.
9

1
h
(r(t + h) − r(t))//(r(t + h) − r(t))
d r(t)
d t
= r (t) = l´ımh→0
r(t+h)−r(t)
h
Si el l´ımite existe.
Sabemos
a = ||a||i
Figura 1.3: Derivada de una función vectorial
1.6. Vector tangente unitaria
Se denota por T(t) y se define como:
T(t) = r (t)
||r (t)||
Si r (t) = 0
r (t) = ||r (t)|| T(t)
1.7. Fórmulas para la derivada
Sean f y g dos funciones vectoriales con Df y Dg derivadas en un punto
t ∈ Df ∩ Dg.
1) D (f ± g)(t) = Df(t) ± Dg(t) = ˙f(t) ± ˙g(t)
10

2) D (f · g)(t) = Df(t) · g(t) + f(t) · Dg(t) = ˙f(t) · g(t) + f(t) · ˙g(t)
3) D (f × g)(t) = Df(t) × g(t) + f(t) × Dg(t) = ˙f(t) × g(t) + f(t) × ˙g(t)
4) D(ϕ r)(t) = ˙ϕ(t)r(t) + ϕ(t)˙r(t)
Entonces
T(t) · T(t) = ||T(t)||2
= 12
= 1
Derivando respecto a la variable t.
˙T(t) · T(t) + T(t) · ˙T(t) = 0
2 T(t) · ˙T(t) = 0
T(t) · ˙T(t) = 0
T(t) ⊥ ˙T(t)
1.8. Vector normal principal
Se denota por N(t) y se define como:
N(t) =
T (t)
||T (t)||
En la figura (1.4) se deduce la siguiente expresión:
¯x = ¯r(t) + λ¯r (t)
λ ∈ R
La ecuación vectorial de la recta tangente.
11

1.9. Vector binormal
Se denota por B(t) y se deﬁne como:
B(t) = T(t) × N(t)
||B(t)|| = ||T(t) × N(t)||
||B(t)|| = ||T(t)||||N(t)|| sin(π
2
)
||B(t)|| = 1
Figura 1.4: Plano osculador y recta tangente
Figura 1.5: Planos
12

Tenemos la siguiente relaci´on:
y = y · T T + y · N N + y · B B
Para hallar el plano osculador, de la ﬁgura (1.4):
P = (x ; y ; z)
(P − r(t)) · B(t) = 0
Resumen
x = r(t) ∀ t ∈ [a; b]
r (t) = ||r (t)||
Escalar
T(t) (1.1)
r (t) = Dt||r (t)|| T(t) + ||r (t)|| T (t)
r (t) = Dt||r (t)|| T(t) + ||r (t)||||r (t)|| N(t) (1.2)
r (t) = r (t) · T(t) T(t) + r (t) · N(t) N(t)
Calculemos el producto vectorial (×) de 1.1 y 1.2.
r (t) × r (t) = ||r (t)||2
||T (t)|| T(t) × N(t)
B(t)
B(t) // r (t) × r (t)
B(t) =
r (t) × r (t)
||r (t) × r (t)||
N(t) = B(t) × T(t)
N(t) =
r (t) × r (t)
||r (t) × r (t)||
×
r (t)
||r (t)||
13

Figura 1.6: Producto vectorial
N(t) = (r (t)×r (t))×r (t)
||(r (t)×r (t))×r (t)||
||(r (t) × r (t)) × r (t)|| = ||r (t) × r (t)||||r (t)|| sin(
π
2
)
Ejemplo
r(t) = (a cos(t); a cos(t)) t ∈ [0; 2π]
r (t) = (−a sin(t); a cos(t))
||r (t)|| = a
T(t) = (−a sin(t); cos(t))
T (t) = (− cos(t); − sin(t))
||T (t)|| = 1
N(t) = (− cos(t); − sin(t))
1.10. Longitud de una curva regular o suave
ζ
Figura 1.7: Intervalo
14

∆ti = ti − ti−1
Sea P = {t0 < t1 < t2 < . . . < ti−1 < ti < . . . < tn = b}
Función longitud de arco S
Figura 1.8: Definición
L = l´ımn→∞
∞
i=1 ||r (αi)|| ∆ti =
b
a
||r (λ)|| dλ
15

Cap´ıtulo 2
Funciones reales de variable
vectorial
2.1. Introducci´on
x = (x; y) → z = ϕ(x) = ϕ(x;y)
x = (x; y; z) → w = ϕ(x) = ϕ(x;y;z)
.
.
.
x = (x1; x2; ...; xn) → w = ϕ(x) = ϕ(x1;x2;...;xn)
Son funciones cuyo dominio es un conjunto de vectores y cuyo rango es
un conjunto de n´umeros reales.
Ejemplo
Sea: ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = x2
+ y2
.
Dϕ = R2
Rϕ = [0; ∞ >

2.3.Funciones reales de variable vectorial Ing. Arévalo V. Manuel
Figura 2.2: Región admisible
2.2. Curvas de nivel
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x), entonces el conjunto de puntos: (x; y)/z = ϕ(x) = k
se denomina “curva de nivel”.
Ejemplo
Sea: ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = xy.
xy = k → y = k/x
Si:
k = 0; k > 0; k < 0
Figura 2.3: Curvas de nivel
2.3. Superficie de nivel
ϕ : A ⊂ R3
→ R/w = ϕ(x) es el conjunto de puntos: (x; y; k) R3
/ϕ(x) = k .
17

Ejemplo
Sea: ϕ : A ⊂ R3
→ R/w = ϕ(x) = x2
+ y2
+ z2
.
Las superficies de nivel ser´ıan:
x2
+ y2
+ z2
= k; k > 0
Son superficies esféricas.
Figura 2.4: Superficies esféricas
2.4. Gráficas de superficies de R2
→ R
ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x).
1) Hallar las curvas de nivel.
2) 2) Las trazas con los planos coordenados.
x = 0 →= ϕ(0,y)
y = 0 →= ϕ(x;0)
3) Dibujo.
Ejemplo
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = x2 + y2.
Dϕ = R2
Rϕ = [0; ∞ >
1)Las curvas de nivel son:
18

x2 + y2 = c
x2
+ y2
= c2
x2
+ y2
= k
k > 0
Son circunferencias conc´entricas.
Figura 2.5: Circuferencias con un mismo centro
2) Las trazas con los planos coordenados.
* x = 0 → z = |y|
Figura 2.6: z vs y
** y = 0 → z = |x|
Figura 2.7: z vs x
19

Figura 2.8: Cono generado
2.5. Operaciones con funciones escalares
Sea ϕ1yϕ2 dos funciones escalares con dominios Dϕ1 y Dϕ2 ,entonces se
deﬁnen las siguientes expresiones:
1) (ϕ1±ϕ2)(x) = ϕ1(x) ± ϕ2(x) ∀x Dϕ1 ∩ Dϕ2 .
2) (ϕ1ϕ2)(x) = ϕ1(x)ϕ2(x)∀x Dϕ1 ∩ Dϕ2 .
3) (ϕ1
ϕ2
)
(x)
=
ϕ1(x)
ϕ2(x)
∀x Dϕ1 ∩ Dϕ2 ; Dϕ2 = 0.
2.6. L´ımite-Continuidad
Ejemplo Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = x2−y2
x2+y2 .
Dϕ = R2
− {0}
Figura 2.9: L´ımite-Continuidad
¿ Existe l´ımx→0 ϕ(x)?
20

Figura 2.10: L´ımite-Continuidad
ν(x0; δ)
Vecindad en R2
.
Entonces el limite de ϕ cuando x se aproxima a x0 se denota por:
l´ım
x→x0x S
ϕ(x) = L
∀E > 0; ∃δ > 0/|ϕ(x) − L| < E siempre que 0 ≤ |x − x0| ≤ δ.
δ = f(ε)
Ejemplo
l´ımx→0
x2−y2
x2+y2 = l´ımx→0
S x2−y2
x2+y2 .
S = {(x; y)/y = mx}
l´ımx→0
x2−(mx)2
x2+(mx)2 = l´ımx→0
1−(m)2
1+(m)2 = 1−(m)2
1+(m)2
Depende de “m”
l´ımx→0 ϕ(x).
No existe.
Ejemplo
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = 3x2y
x2+y2 .
l´ımx→0
3x2y
x2+y2 = l´ımx→0
S 3x2y
x2+y2
S = {(x; y)/y = mx}
Reemplazamos:
21

l´ımx→0
3x2(mx)
x2+(mx)2
= l´ımx→0
3mx
1+m2
= 3m
1+m2 l´ımx→0 x = 0
Probablemente el limite sea cero (L = 0).
∀E > 0; ∃δ > 0/ ϕ(x) − L < E siempre que 0 ≤ |x − x0| ≤ δ
Entonces resolvemos:
∀E > 0; ∃δ > 0/ 3x2y
x2+y2 − 0 < E siempre que 0 ≤ (x; y) − (0; 0) ≤ δ
|3x2y|
x2+y2 < E → 3x2|y|
x2+y2 < E
0 ≤ x2 + y2 ≤ δ
|x| ≤ x2 + y2 ≤ δ
|y| ≤ x2 + y2 ≤ δ
x2
≤ x2
+ y2
3x2
≤ 3(x2
+ y2
)
3x2|y|
x2+y2 ≤ 3(x2+y2)|y|
x2+y2 ≤ 3 |y| ≤ ε
⇒ δ = ε/3
2.7. Continuidad
Sea ϕ : A ⊂ Rn
→ R/w = ϕ(x); ϕ es continua en x0 Dϕ.
Si:
1) ϕ(x0) existe.
2) l´ımx→x0 ϕ(x) existe.
3) )l´ımx→x0 ϕ(x) = ϕ(x0).
22

2.8. Derivadas parciales
Sea ϕ : A ⊂ Rn
→ R/W = ϕ(x) = ϕ(x1;x2;...;xn).
Sea êk un vector unitario que tiene por componente k − esima 1 y las
demás ceros
êk = (0; 0; 0; ...; 1; 0; 0; ...; 0; 0)
Entonces la derivada parcial en un punto x Dϕ respecto a la k − esima
coordenada se define:
∂ϕ(x)
∂xk
= l´ım
x→0
ϕ(x+hêk) − ϕ(x)
h
Si existe el limite.
2.8.1. Casos particulares
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = ϕ(x;y) existen 2 derivadas parciales de
primer orden.
∂ϕ(x)
∂x
= l´ımh→0
ϕ(x+hê1)−ϕ(x)
h
= l´ımh→0
ϕ(x+h;y)−ϕ(x;y)
h
∂ϕ(x)
∂y
= l´ımh→0
ϕ(x+hê2)−ϕ(x)
h
= l´ımh→0
ϕ(x;h+y)−ϕ(x;y)
h
2.8.2. Interpretación geométrica
Figura 2.11: Interpretación geométrica
23

1) Π es un plano perpendicular al plano xy.
2) El plano Π que contiene a la recta x = x0, es perpendicular al plano xy.
3) ς es la curva de intersección entre el plano Π y la superficie z = ϕ(x).
4) La ecuación de la recta tangente es:
x = P0 + λa/λ R
a = î + mˆk
a = (1; 0; 0) + m(0; 0; 1)
a = (1; 0; m)
Donde:
m =
∂ϕ(x0)
∂x
2.8.3. Geométricamente
La derivada parcial de ϕ respecto a x
∂ϕ(x0)
∂x
es la pendiente de la recta
tangente a la curva ς (en el punto P0).
Figura 2.12: Geométricamente
Por analog´ıa
1) Plano Π ⊥ al plano xy y contiene a la recta x = x0.
2) ς es la curva de intersección entre la superficie z = ϕ(x) y el plano Π.
3) Ecuación de la recta tangente:
24

x = P0 + λa/λ R
a = ˆj + mˆk
a = (0; 1; 0) + m(0; 0; 1)
a = (0; 1; m)
Donde:
m =
∂ϕ(x0)
∂y
2.9. Derivada direccional
2.9.1. Interpretación geométrica
u: vector unitario.
|u| = 1, u1
2
+ u2
2
= 1
Plano Π contiene a la recta L y es ⊥ al plano xy.
Figura 2.13: Derivada direccional
La ecuación de la recta tangente a la curva ⊥ en P0(x0; y0; z0) es:
x = (x0; y0; z0) + λa/λ R
a = û + mˆk
a = (u1; u2; 0) + m(0; 0; 1)
a = (u1; u2; m)
Donde:
m =
∂ϕ(x0;y0)
∂u
25

2.9.2. Definición
Si ϕ : A ⊂ Rn
→ R/W = ϕ(x) es una función escalar y u es un vector
unitario (u Rn
); entonces la derivada direccional de la función ϕ en el punto
x0 y en la dirección del vector unitario u se define como:
Duϕ(x0) = l´ım
h→0
ϕ(x0+hû) − ϕ(x0)
h
Si el limite existe.
2.9.3. Teorma
Si ϕ : A ⊂ Rn
→ R/W = ϕ(x) es una función diferenciable en el punto
x0 Dϕ
⇒ Duϕ(x0) = ϕ(x0)u
Ejemplo
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R definido por:
ϕ(x) =
x2y
y2+x4 ; x = 0
0; x = 0
Ejemplo Demuestre que en el origen existe Duϕ(0) en cualquier dirección.
Sea u el vector unitario cualquiera; u = (u1; u2).
Duϕ(0;0) = l´ımh→0
ϕ(0+hû)−ϕ(0)
h
Duϕ(0;0) = l´ımh→0
ϕ(hû)−ϕ(0)
h
Duϕ(0;0) = l´ımh→0
ϕ(hu1;hu2)−ϕ(0;0)
h
Duϕ(0;0) = l´ımh→0
(hu1)2hu2
(hu2)2+(hu1)4 −0
h
Duϕ(0;0) = l´ımh→0
h3u1
2u2
h3u2
2+h5u1
4 = l´ımh→0
u1
2u2
u2
2+h2u1
4
Duϕ(0;0) = u1
2u2
u2
2 = u1
2
u2
; u2 = 0
Falta analizar u2 = 0.
u = (1; 0)
Diϕ(0;0) = l´ımh→0
ϕ(h;0)−ϕ(0;0)
h
= l´ımh→0
h2(0)
0+h4 −0
h
Diϕ(0;0) = l´ımh→0
0
h5 = 0
26

Duϕ(0)
Existe en todas las direcciones.
2.10. Vector gradiente
Sea ϕ : A ⊂ R2
/ tal que existen todas las derivadas parciales de ϕ en un
punto x0 Dϕ.
Entonces el vector gradiente es el vector que tiene por componentes las
derivadas parciales de ϕ en x0 y se denota por:
gradϕ(x0)
ϕ(x0) = (
∂ϕ(x0)
∂x1
;
∂ϕ(x0)
∂x2
; ...;
∂ϕ(x0)
∂xn
)
= ( ∂
∂x1
; ∂
∂x2
; ...; ∂
∂xn
)
ϕ(x0)
Campo escalar.
ϕ(x)
Campo vectorial.
2.10.1. Teorema
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x).
Entonces el gradiente de ϕ es un vector perpendicular a una superficie de
nivel que pasa por x0 = P0.
Sea ς2 una curva regular contenida en la superficie S definido por:
x = x(t)∀t [a; b]
Existe:
t = t0/x0 = x(t0) = P0
27

Figura 2.14: Gradiente
x = P0 + λ F(x0)/λ R
F(x) = k
F(x(t)) = k
Hallando las derivadas parciales.
F(x)r (t) = 0
F(x0)r (t0) = 0
n =
F(x0)
|| F(x0)||
2.11. Diferenciabilidad
Sea ϕ : A ⊂ Rn
→ R/w = ϕ(x).
Entonces ϕ es diferenciable en un punto x0 Dϕ.
Si:
ϕ(x0+h) = ϕ(x0) + ah + Ψ(x0;h)h
l´ım
h→0
Ψ(x0;h) = 0
a = ϕ(x0) existen las derivadas parciales.
ϕ(x0+h) − ϕ(x0) ≈ ah = ϕ(x0)h
ϕ(x0;h) ≈ ϕ(x0)h
28

→ R/w = ϕ(x) = x2 + y2 + z2.
¿ϕ es diferenciable en 0?
Dϕ = R3
∂ϕ(0)
∂x
= l´ımh→0
ϕ(0+h ˆe1)−ϕ(0)
h
= l´ımh→0
ϕ(h;0;0)−ϕ(0;0;0)
h
∂ϕ(0)
∂x
= l´ımh→0
√
h2−0
h
= l´ımh→0
|h|
h
¡No existe!
→ R/w = ϕ(x) = x2
+ xy + z2
.
Dϕ = R3
Demuestre que ϕ es diferenciable en cualquier punto de su domino.
ϕ(x+h) = ϕ((x;y;z)+(h1;h2;h3)) = ϕ(x+h1;y+h2;z+h3)
= (x + h1)2
+ (x + h1)(y + h2) + (z + h3)2
= x2
+ h1
2
+ 2xh1 + xy + xh2 + h1y + h1h2 + z2
+ h3
2
+ 2zh3
= x2
+ xy + z2
+ (2x + y; x; 2z)(h1; h2; h3) + (h1 + h2; 0; h3)(h1; h2; h3)
ϕ(x0+h) = ϕ(x0) + ϕ(x0)h + Ψ(x0;h)h
→ Ψ
(x0;h)
= (h1 + h2; 0; h3)
l´ımh→0 Ψ
(x0;h)
= l´ımh→0 (h1 + h2; 0; h3) =
(l´ımh→0 h1 + h2; l´ımh→0 0; l´ımh→0 h3)
l´ımh→0 Ψ
(x0;h)
= (0; 0; 0) = 0
ϕ es diferenciable en cualquier dominio de su dominio.
2.12. Diferencial total
Si ϕ es diferenciable en el punto x0 Dϕ entonces se cumple:
ϕ(x0+h) = ϕ(x0) + ϕ(x0)h + Ψ(x0;h)h
Donde:
l´ım
h→0
Ψ(x0;h) = 0
29

h = (dx1; dx2; ......; dxn)
ϕ(x0+h) − ϕ(x0) = ϕ(x0;h)
ϕ(x0;h) ≈ ϕ(x0)h
∂ϕ =
∂ϕ(x0)
∂x1
∂x1 +
∂ϕ(x0)
∂x2
∂x2 + ... +
∂ϕ(x0)
∂xn
∂xn
Ejemplo
Calcule (3,01)(4,02)
.
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/ϕ(x;y) = xy
.
x0 = (3; 4)
h = (0,01; 0,02) = (dx; dy)
ϕ(x0+h) = ϕ(x0) + ϕ(x0)h + Ψ(x0;h)h
ϕ(x0+h) − ϕ(x0) = ϕ(x0;h)
ϕ(x0;h) ≈ ϕ(x0)h
= ϕ(3;4) + (108; 81 ln 3)(0,01; 0,02)
∂ϕ(x)
∂x
= yxy−1
→
∂ϕ(3;4)
∂x
= 4,33
= 108
∂ϕ(x)
∂y
= xy
ln x →
∂ϕ(3;4)
∂y
= 34
ln 3
2.13. Ecuación del plano tangente
2.13.1. Recta ortogonal a una superficie de nivel
Figura 2.15: Recta ortogonal a una superficie de nivel
z = ϕ(x) : Definida expl´ıcitamente.
F(x;y;z) = 0: Definida impl´ıcitamente .
30

2.13.2. Vector gradiente
z − ϕ(x) = 0 = F(x;y;z)
F(x) = (
∂F(x)
∂x
;
∂F(x)
∂y
;
∂F(x)
∂z
)
F(x) = (−
∂F(x)
∂x
; −
∂F(x)
∂y
; 1)
P = (x; y; z)
P0 = (x0; y0; z0)
2.13.3. Ecuaci´on del plano tangente
(P − P0) F(P0) = 0
(x − x0; y − y0; z − z0)(−
∂F(x)
∂x
; −
∂F(x)
∂y
; 1) = 0
2.14. M´aximos y m´ınimos (Criterio de las de-
rivadas parciales)
ϕ(x)
∂ϕ(x)
∂x
∂ϕ(x)
∂y
Las derivadas parciales de primer orden.
∂ϕ(x)
∂x
∂
∂x
(
∂ϕ(x)
∂x
) =
∂2ϕ(x)
∂x2
∂
∂y
(
∂ϕ(x)
∂x
) =
∂2ϕ(x)
∂y∂x
∂ϕ(x)
∂y
∂
∂x
(
∂ϕ(x)
∂y
) =
∂2ϕ(x)
∂x∂y
∂
∂y
(
∂ϕ(x)
∂y
) =
∂2ϕ(x)
∂y2
2.15. Matriz hessiana (Otto hess)
H(x0) =
∂2ϕ(x)
∂x2
∂2ϕ(x)
∂y∂x
∂2ϕ(x)
∂x∂y
∂2ϕ(x)
∂y2
2x2
H(x0) =




∂2ϕ(x)
∂x2
∂2ϕ(x)
∂y∂x
∂2ϕ(x)
∂z∂x
∂2ϕ(x)
∂x∂y
∂2ϕ(x)
∂y2
∂2ϕ(x)
∂z∂y
∂2ϕ(x)
∂x∂z
∂2ϕ(x)
∂y∂z
∂2ϕ(x)
∂z2




3x3
31

Sea ϕ : A ⊂ Rn
→ R/w = ϕ(x); ϕ tiene un máximo relativo en x0 ν(x0;δ)∩
Dϕ.
Si ∀x ν(x0;δ) ∩ Dϕ se verifica que:
ϕ(x) ≤ ϕ(x0)
Análogamente ϕ tiene un m´ınimo relativo en x0 ν(x0;δ) ∩ Dϕ se cumple:
ϕ(x) ≥ ϕ(x0)
2.16. Punto de silla
x0 es un punto cr´ıtico o punto estacionario de función ϕ, A ∪ B = ν(x0;δ).
Figura 2.17: Punto de silla
Si x A se cumple:
ϕ(x) ≥ ϕ(x0)
Si x B se cumple:
ϕ(x) ≤ ϕ(x0)
32

2.16.1. Teorema
Sea ϕ : A ⊂ Rn
→ R/w = ϕ(x).
Si ϕ tiene un valor extremo (máximo o m´ınimo) en un punto x0 Dϕ
entonces Diϕ(x) existen y :
Diϕ(x) = 0∀i = 1; 2; 3; ...; n
Demostración
ϕ tiene un máximo relativo en un punto x0.
Figura 2.18: Demostración
x0 ν(x0;δ) ∩ Dϕ
Se debe cumplir:
ϕ(x) ≤ ϕ(x0)
−δ ≤ h ≤ δ
ϕ(x0+hêi) ≤ ϕ(x0)
ϕ(x0+hêi) − ϕ(x0) ≤ 0
Si h > 0
ϕ(x0+hêi)−ϕ(x0)
h
≤ 0
l´ımh→0
h
≤ 0
Diϕ(x0) ≤ 0 ∀i = 1; 2; 3; ...; n (2.1)
Si h < 0
h
≥ 0
l´ımh→0
h
≥ 0
33

Diϕ(x0) ≥ 0 ∀i = 1; 2; 3; ...; n (2.2)
Diϕ(x0) = 0 ∀i = 1; 2; 3; ...; n
Ejemplo
Sea ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = x2
− y2
.
(
∂ϕ(x;y)
∂x
;
∂ϕ(x;y)
∂y
) = (2x; 2y) = (0; 0)
2x = 0 → x = 0
−2y = 0 → y = 0
x2
− y2
= 0 → (x + y)(x − y) = 0 → x = −y; x = y
Figura 2.19: Regi´on
Figura 2.20: Silla de montar
2.17. Determinaci´on de la naturaleza de un
punto cr´ıtico o estacionario
ϕ : A ⊂ Rn
→ R/w = ϕ(x)
1) ϕ(x) = 0 (salen los puntos cr´ıticos).
34

2) Sea la matriz hessiana:
H(x0) =






∂2ϕ(x0)
∂x1
2
∂2ϕ(x0)
∂x2∂x1
∂2ϕ(x0)
∂x1∂x2
∂2ϕ(x0)
∂x2
2
......
∂2ϕ(x0)
∂xn∂x1
......
∂2ϕ(x0)
∂xn∂x2
... ...
∂2ϕ(x0)
∂x1∂xn
∂2ϕ(x0)
∂x2∂xn
... ...
......
∂2ϕ(x0)
∂xn
2






nxn
3) Sea el polinomio de Caley-Hamiltom.
P(λ) = det(H(x0) − λI) = 0
4) a) Si las raices del polinomio son todas positivas, entonces ϕ tiene un
m´ınimo relativo en x0.
b) Si las raices del polinomio son todas negativas, entonces ϕ tiene un
máximo relativo.
c) Si las raices del polinomio son positivas o negativas.
⇒ ϕ
tiene un punto de silla de x = x0Encualquierotrocasoelcriteriofalla.
Ejemplo ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = x2
− y2
.
ϕ(x) = (2x; 2y) = (0; 0)
H(x0) =
2 0
0 −2
P(λ) = det(
2 0
0 −2
−
λ 0
0 λ
) = 0
P(λ) =
2 − λ 0
0 −2 − λ
= 0
(2 − λ)(−2 − λ) = 0
λ = 2; λ = −2
(0; 0) es un punto de silla.
2.18. Máximos y m´ınimos condicionados
1) Función objetivo (maximizar o minimizar)
g(x) = 0
35

2) Ecuaciones de enlace o restricciones.
g1(x) = 0
g2(x) = 0
3) g1(x) = 0; g2(x) = 0; ...; gn(x) = 0.
Figura 2.21: Máximos y m´ınimos condicionados
a = g1(x0)x g2(x0)
2.19. Multiplicador de lagrange
1) Función objetivo (maximizar o minimizar).
2) Ecuación de enlace (una, dos o más de dos).
Maximizar volumen.
Figura 2.22: Paralelep´ıpedo
V(x) = xyz (2.3)
Ecuación de enlace:
AT = 24u2
= 2xy + 2xz + 2zy (2.4)
36

2xy + 2xz + 2zy − 24 = 0
g(x) = 2xy + 2xz + 2zy − 24
V(x)// g(x)
V(x) = λ g(x)
V(x) = λ1 g1(x) + λ2 g2(x) + ... + λn gn(x)
4 gi(x)
Vectores linealmente independientes.
Ejemplo
Inscribir en un elipsoide un paralelep´ıpedo rectangular que tenga el mayor
volumen posible.
Figura 2.23: Paralelep´ıpedo en elipsoide
Función objetivo:
V(x) = (2x)(2y)(2z) = 8xyz (2.5)
Ecuación de enlace:
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 − 1 = 0 = g(x)
V(x) = λ g(x)
(8yz; 8xz; 8xy) = λ(2x
a2 ; 2y
b2 ; 2z
c2 )
4yz = xλ
a2
4xz = yλ
b2
4yx = zλ
c2
y
x
= b2x
a2y
⇒ y2
x2 = b2
a2 ; z2
x2 = c2
a2
⇒ x2
a2 + x2
a2 + x2
a2 = 1
3x2
= a2
x = a
√
3
3
y = b
√
3
3
z = c
√
3
3
Vmáximo = 8(a
√
3
3
)(b
√
3
3
)(c
√
3
3
) = 8abc
3
√
3
37

2.20. Máximos y m´ınimos sobre regiones aco-
tadas por curvas o superficies
Se presentan 3 casos:
1) Máximos y M´ınimos interiores.
ϕ(x0) = 0
2) Máximos y M´ınimos condicionados en la frontera.
3) Puntos angulosos o vértices.
Ejemplo
ϕ(x0) = xy(1 − x2
− y2
).
Figura 2.24: Región admisible
a) Puntos interiores.
ϕ(x0) = (y − 3x2
y − y3
; x − x3
− 3xy2
) = (0; 0)
y − 3x2
y − y3
= 0
−x3
− 3xy2
= 0
(0; 0), (0; 1), (1/2; 1/2)
b) En la frontera.
y = 0 → ϕ(x;0) = 0
x = 0 → ϕ(0;y) = 0
x = 1 → f(y) = ϕ(0;y) = −y3
; f (y) = −3y2
= 0
y = 0; x = 1
(0; 0), (0; 1), (1/2; 1/2), (1; 0), (1; 1)
ϕ(0;0) = 0
ϕ(0;1) = 0
ϕ(1;0) = 0
ϕ(1;1) = −1
ϕ(1/2;1/2) = 1/8
38

2.21. Serie de taylor para funciones de varias
variables
Matemática I
f(x) = P(x) + E(x)
f(x+h) = f(x) +
f (x)h
1!
+
f (x)h2
2!
+ ... +
fn
(x)
hn
n!
+ ...
ex
= 1 + x + x2
2!
+ ... + xn
n!
+ ...
ehDx
= 1 + hDx + (hDx)2
2!
+ ... + (hDx)n
n!
+ ...
ehDx
f(x) = f(x) +
f (x)h
1!
+
f (x)h2
2!
+ ... +
fn
(x)
hn
n!
+ ...
f(x+h) = ehDx
f(x)
2.22. Introducción al cáculo variacional
I =
x2
x1
F(x; y; y ) dx
F(x; y; y )
Funcional.
Sea:
y(x) = ˜y(x) + εn(x)
ε :Error.
n(x): Función de prueba.
Condiciones iniciales
y(x1) = ˜y(x1) + εn(x1)
y (x1) = ˜y (x1) + εn (x1)
n(x1) = 0
y(x2) = ˜y(x2) + εn(x2)
y (x2) = ˜y (x2) + εn (x2)
n (x2) = 0
I =
x2
x1
F(x; ˜y + εn; ˜y + εn )dx
∂I
∂ε
= 0
∂I
∂ε
= ∂
∂ε
x2
x1
x2
x1
∂
∂ε
39

∂
∂ε
F(x; ˜y + εn; ˜y + εn ) = ∂F
∂x
∂x
∂ε
+ ∂F
∂˜y
∂˜y
∂ε
+ ∂F
∂ ˜y
∂ ˜y
∂ε
= 0 + ∂F
∂˜y
n + ∂F
∂ ˜y
n
∂I
∂ε
=
x2
x1
(∂F
∂˜y
n + ∂F
∂ ˜y
n )dx
∂I
∂ε
=
x2
x1
(∂F
∂˜y
n)dx +
x2
x1
(∂F
∂ ˜y
n )dx
Figura 2.25: Cálculo variacional
Integración por partes
x2
x1
∂F
∂ ˜y
n (x)dx = ∂F
∂ ˜y
n(x)
x2
|
x1
−
x2
x1
n(x)
∂
∂x
(∂F
∂ ˜y
)dx
dv = n (x)dx → v = n(x)
u = ∂F
∂ ˜y
→ du = ∂
∂x
(∂F
∂ ˜y
)
∂I
∂ε
=
x2
x1
∂F
∂˜y
n(x)dx −
x2
x1
n(x)
∂
∂x
(∂F
∂ ˜y
)dx = 0
∂I
∂ε
=
x2
x1
n(x)
∂F
∂˜y
− ∂
∂x
(∂F
∂ ˜y
) dx = 0
∂F
∂˜y
− ∂
∂x
(∂F
∂ ˜y
) = 0
Ecuación de euler u langrange
∂F
∂y
−
∂
∂x
(
∂F
∂y
) = 0
Ejemplo
Datos:
P(x1; y1)
P(x2; y2)
En el plano calcule la ecuación de la curva que une los puntos P1 y P2.
I =
x2
x1
1 + (y )2
dx
F(x; y; y ) = 1 + (y )2
40

Figura 2.26: Ejemplo de c´alculo variacional
∂F
∂y
− ∂
∂x
(∂F
∂y
) = 0
0 − ∂
∂x
( y√
1+(y )2
) = 0
⇒ y√
1+(y )2
= c
y = c 1 + (y )2
(y )2
= c2
(1 + (y )2
)
(y )2
(1 − c2
) = c2
⇒ y = ±c√
1−c2
∂y
∂x
= y = c√
1−c2
⇒ y = mx + k
41

Cap´ıtulo 3
Integrales Multiples
3.1. Introducción
Intervalo en R2
I= (X, Y ) ⊂ R2
/a1 ≤ x ≤ a2; b1 ≤ y ≤ b2
Figura 3.1: Partición
Partición
Sea p1 la particion del intervalo [ a1, a2]
P1 = {x0; . . . ; xn}
Sea p2 la particion del intervalo [ b1, b2]
P2 = {y0; . . . ; yn}
Este producto cartesiano P = P1XP2 divide la region cartesiana en (n(p1)−
1)(n(p2) − 1) regiones rectangulares pequeñas sin trasladarse.
P1 = {a1; t1; a2}
P2 = {b1; y0; b2}

3.1.Integrales Multiples Ing. Arévalo V. Manuel
Figura 3.2: Elemento de partición
Sea f : A ⊂ R2
−→ R acotado si existen dos numeros M Y m tales que:
Figura 3.3: En R2
aR
Se definen las sumas inferior- superior.
I(f, p) = n
i=1
m
j=1(Anrn
cos(nθ) + Bnrn
sin(nθ)
S(f, p) = n
i=1
m
j=1 AREA(Rij)Mij
m ≤ mij ≤ Mij ≤ M
mAREA(Rij) ≤ mijAREA(Rij) ≤ MijAREA(Rij) ≤ MAREA(Rij)
n
i=1
m
j=1 Area(Rij)m ≤ n
i=1
m
j=1 Area(Rij)mij ≤
n
i=1
m
j=1 Area(Rij)Mij ≤ n
i=1
m
j=1 Area(Rij)M
mAREA(Rij) ≤ I(f, p) ≤ S(f, p) ≤ MAREA(Rij)
En el l´ımite las sumas inferior y superior son iguales.
mAREA(Rij) ≤ I ≤ MAREA(Rij)
43

I = f(x, y) dA
3.2. Calculo de Integrales Iteradas
Figura 3.4: Plano YZ
Proyecci´on al plano YZ
Figura 3.5: Proyecci´on
A(x) =
b2
b1
f(x, y)dy
V (s) =
a2
a1
b2
b1
f(x, y)dydx
44

Calculo del volumen de solido acotado superiormente por z=f(x,y) y late-
ralmente por los planos x=a1,x=a2,y=b1,x=b2 e inferiormente por la región
rectangular R2
.
3.3. Sección plana paralela al plano YZ
V (s) =
a2
a1
A1dA
3.4. Sección paralela al plano XZ
Figura 3.6: Plano XZ
Proyección al plano XZ
Figura 3.7: Proyección
A(y) =
a2
a1
f(x, y)dy
45

V (s) =
b2
b1
a2
a1
f(x, y)dydx
V (s) =
b2
b1
A1dA
3.5. Integrales sobre una regi´on acotada por
curvas
Se presentan dos tipos de regiones:
3.5.1. Region de tipo 1 o tipo Rx
Rx
= {(x, y) ⊂ R2
/ a1 ≤ x ≤ a2, ϕ1(y) ≤ y ≤ ϕ2(y), ϕ1y ϕ2 son continuas
en [a1, a2].
Figura 3.8: Tipo I
Ejemplo
f(x, y)dA =
a2
a1
ϕ2
ϕ1
f(x, y)dydx
46

f(x, y)dA =
a
0
b2−x2
√
a2−x2
f(x, y)dydx +
b
a
b2−x2
0
f(x, y)dydx
f(x, y)dA = R1(x) + R2(x)
3.5.2. Region de tipo 2 o tipo Ry
Ry = {(x, y) ⊂ R2
/b1 ≤ y ≤ b2, ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y), ϕ1yϕ2 son continuas
en [b1, b2].
Figura 3.10: Plano YX
Ejemplo
f(x, y)dA =
b2
b1
ϕ2
ϕ1
f(x, y)dydx
f(x, y)dA =
a
0
√
b2−x2
√
a2−x2
f(x, y)dydx +
b
a
√
b2−x2
0
f(x, y)dydx
47

f(x, y)dA = R1(y) + R2(y)
Ejemplo
Calcule el volumen del solido acotado superiormente por el paraboloide
Z = x2
+ y2
, lateralmente por el cilindro x2
+ y2
= 9 e inferiormente por el
plano Z = 0.
V (s) = f(x, y)dA =
3
−3
√
9−x2
−
√
9−x2
f(x, y)dydx
Figura 3.12: Regi´on acotada
Figura 3.13: Vol´umen
3.6. Coordenadas Polares
dA = (rdθ)dr
dA = rdθdr
48

Figura 3.14: Polares
Ejemplo-Polares Calcule el volumen del solido acotado por los cilindros.
x2
+ z2
= R2
y2
+ z2
= R2
Figura 3.15: Cilindros
Las ecuaciones de transformacion son:
x2
+ y2
= r2
−→
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
Para que sea uno a uno r ≥ 0 0 ≤ θ ≤ 2π.
D
f(x, y)dA =
r(D)
f(r cos(θ), r sin(θ))(rdrdθ)
V (s) =
2π
0
3
0
(r2
)(rdrdθ)
V (s) =
2π(3)4
4
=
81π
2
49

3.7. M´etodo de Cavalieri
S = (πr2
) = (πR2
) − (πx2
)
V (s) = (πR2
)R −
π(R)2
∗ R
3
V (s) =
2π(R)3
∗
3
Figura 3.16: M´etodo de Cavalieri
Geometr´ıa
Calculo del area por integrales dobles.
Figura 3.17: Geometr´ıa
3.8. Transformaciones de RL
a Rn
Figura 3.18: Transformaciones
Las ecuaciones de transformacion :
50

T
x = x(u, v)
y = y(u, v)
T−1 u = u(x, y)
v = v(x, y)
Matriz Jacobiana
JT =
δx
δu
δx
δv
δy
δu
δy
δv
JT−1
=
δu
δx
δu
δy
δv
δx
δv
δy
EL DETERMINANTE JACOBIANO:
T
x = x(u, v)
y = y(u, v)
T−1 u = u(x, y)
v = v(x, y)
δx
δu
δx
δv
δy
δu
δy
δv
=
δ(x, y)
δ(u, v)
δu
δx
δu
δy
δv
δx
δv
δy
=
δ(u, v)
δ(x, y)
Ejemplo
Sea T la transformacion de R → R2
T
u = x2
− y2
u = x2
− y2
δ(u,v)
δ(x,y)
=
2x −2y
2y 2x
= 4x2
+ 4y2
3.8.1. Teorema
Sea T una transformacion que tiene inversa T−1
δ(x, y)
δ(u, v)
δ(u, v)
δ(x, y)
= 1
left|
δx
δu
δx
δv
δy
δu
δy
δv
∗
δu
δx
δu
δy
δv
δx
δv
δy
=
δ(u, v)
δ(x, y)
= 1 =
1 0
0 1
δx
δu
δx
δv
δy
δu
δy
δv
δu
δx
δu
δy
δv
δx
δv
δy
=
1 0
0 1
51

3.9. Integrales Triples
Intervalos
Una region limitada acotada por un paralelepipedo rectangular.
Figura 3.19: Integrales triples
Figura 3.20: S´olido
δ =
m
v
dm = δ(x, y, z)dv
m = δ(x, y, z)dv
Figura 3.21: S´olido acotado
52

Proyectar el solido al plano xy en solido R se representa asi:
R = {(x, y, z) ⊂ R3
/a1 ≤ x ≤ a2; φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), φ1yφ2. Son conti-
nuas en el intervalo [a1, a2], ϕ1(x, 0) ≤ Z ≤ ϕ2(x, 1), ϕ1yϕ2 son continuas en
un dominio D }.
s
f(x, y, z)dy =
a2
a1
φ2(x)
φ1(x)
ϕ2(x,y)
ϕ1(x,y)
f(x, y, z)dzdydx
3.10. Coordenadas Cilindricas
⊂ R2
(x, y, z) −→ R3
(r, θ, z)
x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z
Para que sea uno a uno:
r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π
Figura 3.22: Coordenadas cilindricas
53

Figura 3.23: Coordenadas cilindricas
3.11. Coordenadas Esfericas
Figura 3.24: Coordenadas esf´ericas
⊂ R2
(x, y, z) −→ R3
(r, θ, φ)
x = ρ cos(θ) sin(φ)
y = ρ sin(θ) sin(φ)
z = ρ cos(φ)
Para que sea uno a uno:
54

ρ ≥ 0
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ φ ≤ 2π
dA = (ρdφ)(ρ sin(φ)dθ)
dA = ρ2
sin(φ)dφdθ
A =
2π
0
π
0
ρ2
sin(φ)dφdθ
A = 2πρ2
(2)
dV = (dA)dρ
dV = ρ2
sin(φ)dφdθdρ
Figura 3.25: Coordenadas esféricas-Definición
55

Cap´ıtulo 4
Funciones vectoriales de un
vector
4.1. Introducción
Son funciones cuyo dominio es un conjunto de vectores y su rango también
es un conjunto de vectores.
Notación
A ⊂ Rn
→ B ⊂ Rm F : A ⊂ R2
→ B ⊂ R2
F : A ⊂ R3
→ B ⊂ R3
Ejemplo
1) Sea la función vectorial:
F : A ⊂ R2
→ B ⊂ R2
/F(x) = (x + y; xy) = (P(x;y); Q(x;y))
Df = R2

4.1.Funciones vectoriales de un vector Ing. Arévalo V. Manuel
Figura 4.2: Tabulación
Graficar
2) Sea la función escalar:
ϕ : A ⊂ R2
→ R/z = ϕ(x) = (x2
+ 3xy2
)
57

→ ϕ(x) = F(x) = (2x + 3y2
; 6xy)
Df = R2
4.2. Aplicaciones a la f´ısica
Cálculo del trabajo que realiza una fuerza para mover una part´ıcula de
un punto P1 hasta P2 siguiendo una curva regular:
ς : x = r(t)∀t [a; b]
Figura 4.5: Interválo
Figura 4.6: Relación
Condiciones iniciales
W(a) = 0
W(b) = WT
58

Para h → 0.
W(t+h)−W(t)
h
≈ F(r(t)).
r(t+h)−r(t)
h
l´ımh→0
W(t+h)−W(t)
h
= F(r(t)). l´ımh→0
r(t+h)−r(t)
h
W (t) = F(r(t))r (t)
b
a
dW(t) =
b
a
F(r(t))r (t)dt
W(t)
b
|
a
=
b
a
F(r(t))r (t)dt =
b
a
F(x)dx
W(b) − W(a) = WT − 0 = ς
F(x)dx
∴ WT =
ς
F(x)dx
Integral de linea o curvil´ınea
Si F(x) = (P(x); Q(x)).
→ WT = ς
(P(x); Q(x))(dx; dy)
→ WT = ς
P(x)dx + Q(x)dy
Si F(x) = (P(x); Q(x); R(x))
→ WT = ς
P(x)dx + Q(x)dy + R(x)dz
Figura 4.7: Integral de l´ınea
Fdx =
P2
P1
F(x)dx
4.2.1. Teorema
Si F = ϕ; entonces la integral de linea es independiente de la trayectoria
que une dos puntos P2 y P1.
Demostraci´on
59

Figura 4.8: Demostraci´on
P2
P1
F(x)dx =
P2
P1
ϕ(x)dx =
P2
P1
dϕ(x) = ϕ(x)
P2
|
P1
= ϕ(P2) − ϕ(P1).
Entonces si ς es una curva suave cerrada:
ς
F(x)dx =
ς
ϕ(x)dx = 0
(Cuando no tiene ”huecos”)
Si la zona que encierra ς tiene ”huecos”, entonces:
Figura 4.9: Huecos
F = ϕ
ς
F(x)dx = 0
Notas
Gradiente: ϕ
Divergencia: .F
Rotacional: xF
60

4.2.2. Teorema
El rotacional del gradiente de un campo escalar ϕ de clase C2
es 0.
F(x) = (P(x); Q(x); R(x)) = ϕ = (
∂ϕ(x)
∂x
;
∂ϕ(x)
∂y
;
∂ϕ(x)
∂z
)
P(x) =
∂ϕ(x)
∂x
; Q(x) =
∂ϕ(x)
∂y
; R(x) =
∂ϕ(x)
∂z
x ϕ = 0
entonces × F = 0
x ϕ =
î ˆj ˆk
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
= (0; 0; 0)
î ˆj ˆk
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
F1 F2 F3
= 0
(conservativo)
∂F3
∂y
=
∂F2
∂z
;
∂F3
∂x
=
∂F1
∂z
;
∂F2
∂x
=
∂F1
∂y
Ejemplo Calcule ς
F(x)dx al rededor de la trayectoria cerrada que limita
una circunferencia cuyo radio mide r, centrada en el origen en el plano xy
siendo:
F(x) = (
−y
x2 + y2
;
x
x2 + y2
)
Solución
Figura 4.10: Solución
61

xF = 0; F(x) = (
−y
x2 + y2
;
x
x2 + y2
)
∂F2
∂x
=
∂F1
∂y
∂F1
∂y
=
(x2
+ y2
)(−1) + y(2y)
(x2 + y2)2 =
y2
− x2
(x2 + y2)2
∂F2
∂x
=
(x2
+ y2
)(1) − x(2x)
(x2 + y2)2 =
y2
− x2
(x2 + y2)2
F = ϕ
Pasamos a coordenadas polares:
x = rcosθ; dx = −rsenθdθ
y = rsenθ; dy = rcosθdθ
2π
0
(−rsenθ;rsenθ)
r2 (−rsenθdθ; rcosθdθ)
2π
0
(r2(senθ)2+r2(cosθ)2)
r2 dθ =
2π
0
dθ = 2π
62

Cap´ıtulo 5
Teoremas-Sist.Cord.
Curv.-A.Tensores
5.1. Teorema de Green
Figura 5.1: Green
Hipótesis:
Sea R una región acotada por una curva simple suave y cerrada conte-
nida en un dominio D, la región R es un dominio simplemente conexo
(sin hoyos).
Sea un campo vectorial Q (¯x) y P(¯x)con derivadas parciales definidas.
Tesis:
¯F(x).dx =
R
× ¯F .k dA
R
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)dA

5.1.Teoremas-Sist.Cord. Curv.-A.Tensores Ing. Arévalo V. Manuel
Condición
Toda recta paralela a los ejes cartesianos intersecta a la curva Ç solo en dos
puntos como máximos.
Teorema de Green
Figura 5.2: Green
Sea las ecuaciones y = ω1 (x) , y = ω2 (x)de las curvas ABC y CMA.
R
∂P
∂y
.∂y.∂x =
b
a
ω2(x)
ω1(x)
∂P
∂y
.∂y.∂x =
b
a
P(x, y)
ω2 (x)
ω1 (x)
∂x
−
b
a
P (x, ω1 (x)) ∂x −
a
b
P (y, ω2 (x)) ∂x = −
Ç
P (¯x) ∂x
Ç
P (x) ∂x = −
R
∂P
∂y
∂A. . . (1)
Sean las ecuaciones x = ϕ1 (y) , x = ϕ2 (y)de las curvas CEA y ABC.
R
∂Q
∂x
∂x∂y =
d
c
ϕ2(y)
ϕ1(y)
∂Q
∂x
∂x∂y =
d
c
Q (ϕ2 (y) , y) ∂y−
d
c
Q (ϕ1 (y) , y) ∂y
R
∂Q
∂x
∂x∂y =
d
c
Q (ϕ2 (y) , y) ∂y +
c
d
Q (ϕ1 (y) , y) ∂y = (x, y) ∂y
64

Ç
Q (¯x) ∂y =
R
∂Q
∂x
∂A. . . (2)
Sumando (1) y (2)
Ç
P (¯x) ∂x + Q (¯x) ∂y =
R
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
∂A
Ç
¯F (x) ∂¯x =
R
× ¯F .¯k ∂A
5.2. Aplicación del teorema de Green
1. Calculo del área de una región acotada por una curva suave simple y
cerrada.
A(R) = (1)∂A
Sean las fracciones
P(Y )=
−Y
2
P(X)=
−X
2
R
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
∂A
1
2
(x∂y − y∂x) = A(R)
Ejemplo
Area de una región el´ıptica acotada.
Ç : x = a˙cost , y = b˙sint
∂x = −a∂t , ∂ y = b∂t
A(R) =
1
2
2π
0
a˙cost (b∂t) − b˙sint (−a∂t)
A(R) =
1
2
2π
0
ab.∂t = πab
65

Figura 5.3: F´ısica-Green
5.3. Interpretacio ﬁsica del teorema de Green
Figura 5.4: F´ısica-Green
La cantidad de ﬂuido que sale por el elemento diferencial (∂S) es aproxima-
damente igual al area de la region paralelogramica de base ∂Sy cuya altura
es
Proy ¯N
¯F =
¯F. ¯N
¯N
2
¯N
66

Proy ¯N
¯F = ¯F. ¯N = h
La cantidad definia que atraviesa toda la curva regular.
=
Ç
¯F. ¯N∂S
F(x).
∂x
∂s
.∂s = F(x). ¯T∂s
Ejemplo
Calcule Ç 4y3
∂x − 2x2
∂y alrededor del cuadrado limitado por las lineas
x =
+
−
1, y =
+
−
1
1. Directamente usando la integral de linea
2. Usando el teorema de Green
F (x) = 4y3
, −2x2
= (P (x) , Q (x))
Figura 5.5: Conexo
1. Ç
¯F∂x = Ç1
F(x).∂¯x + Ç2
F(x).∂¯x + Ç3
F(x).∂¯x + Ç4
F(x).∂¯x
En Ç1 :
x = 1, −1 ≤ y ≤ 1
∂x = 0
Ç1
4y3
, −2 . (0, ∂y) =
1
−1
−2∂y = −2y
1
−1
= −4
67

Ç2 :
y = 1, −1 ≤ x ≤ 1
∂y = 0
Ç2
4, −2x2
. (∂x, 0) =
1
−1
4∂x = −2x
1
−1
= −8
Ç3 :
x = −1, −1 ≤ y ≤ 1
∂x = 0
Ç3
4y3
, 2 . (0, ∂y) =
1
−1
2∂y = 2y
1
−1
= 4
Ç4 :
y = −1, −1 ≤ x ≤ 1
∂y = 0
Ç4
−4, 2x2
. (∂x, 0) =
1
−1
−4∂x = −4x
1
−1
= −8
Ç
¯F∂x = −16
1.
Ç
¯F∂x =
R
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
∂A =
1
−1
1
−1
−4x − 12y2
∂x∂y = −16
Teorema de Green para dominios múltiplemente conexos
Figura 5.6: Multiplemente convexo
68

B
A
P (¯x) ∂x+Q (¯x) ∂y+
BMNB
P (¯x) ∂x+Q (¯x) ∂y+
A
B
P (¯x) ∂x+Q (¯x) ∂y
+
AEFA
P (¯x) ∂x + Q (¯x) ∂y =
R
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
∂A
5.4. Integral de superficie regular orientada
¯n =
ϕ
ϕ
Figura 5.7: Integral de superficies
∂A = ∂s ¯n.¯k
1. Una particion de la superficie {∆S1, ∆S2, ∆S3, . . . , ∆Sn}
En cada ∆Si se forma la operación ¯F (Pi) y luego la suma
l´ım
n → ∞
p → 0
∞
i=1
¯F (Pi).∆Si =
S
¯F.n ∂S
S
¯F.n ∂S =
S
¯F ∂S
69

Calculo de la integral de superficie
Area de una superficie regular S
Si superficie esta definida:
1. Explicitamente y = ϕ (¯x)
2. Implicitamente F (¯x) = 0
Area =
S
(1) ∂S =
S
∂A
¯n.¯k
F (¯x) = z − ϕ (¯x)
F (¯x) = −
∂ϕ (¯x)
∂x
, −
∂ϕ (¯x)
∂y
,
∂z
∂z
F (¯x) = −∂ϕ(¯x)
∂x
, −∂ϕ(¯x)
∂y
, 1
n =
ϕ
ϕ
=
−∂ϕ(¯x)
∂x
, −∂ϕ(¯x)
∂y
, 1
∂ϕ(¯x)
∂x
2
+ ∂ϕ(¯x)
∂y
2
+ 1
n.k =
1
∂ϕ(¯x)
∂x
2
+ ∂ϕ(¯x)
∂y
2
+ 1
Area =
S
∂S =
S
∂ϕ (¯x)
∂x
2
+
∂ϕ (¯x)
∂y
2
+ 1 ∂A
Ejemplo
Calcula el área de la parte de la superficie esférica x2
+ y2
+ z2
= 1 que esta
dentro del cono z = x2 + y2
ϕ (¯x) = z =
+
−
2 − x2 − y2
=
S
x2 + y2
1 − (x2 + y2)
2
∂A
Pasando a polares:
70

2π
0
1
0
r
√
2 − r2
∂r∂rθ = 2π
√
2(
√
2 − 1)
Significado f´ısico de la integral de superficie
Fisicamente la cantidad de fluido que sale de un diferencial de área ∂Ses
aproximadamente igual al de volumen de un cilindro de base ∂S y altura
¯F.¯n.
(∂S) ¯F.¯n = F.n ∂S
Entonces , la cantidad de fluido que sale de toda la superficie es igual a:
φ =
s
F.n ∂S
Divergencia de un campo vectorial F
.F (¯x) =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
. (FX, FY , FZ)
.F (¯x) =
∂FX
∂x
+
∂FY
∂y
+
∂FZ
∂z
5.5. Significado f´ısico de la divergencia
Sea F (¯x)la componente del campo en la dirección x en el punto P.
Figura 5.8: F´ısico-Divergencia
FX −
∂FX
∂x
∆y∆z
El flujo que sale por la cara lateral es en la dirección x por unidad de
tiempo.
FX −
∂FX
∂x
∆x
2
∆y∆z
El flujo neto en la dirección de x es por unidad de tiempo.
71

∂FX
∂x
∆x∆y∆z
Por analog´ıa:
∂Fy
∂y
∆y∆x∆z
∂Fz
∂z
∆z∆x∆y
El flujo neto que sale por unidad de tiempo
∂FX
∂x
+
∂FY
∂y
+
∂FZ
∂z
∆x∆y∆z
5.6. Teorema de la divergencia o teorema de
gauss
Hipotesis
Sea una región R de espacio acotado por una superficie regular cerrada
R es un dominio simplemente conexo
Sea E el campo vectorial con derivada parciales continuas
Tesis
La integral de superficie del campo vectorial F (¯x)es igual a la integral
del volumen que acota la superficie cerrada S.
S
F.n ∂s =
V
.F ∂V
La cantidad de fluido que sale del elemento ∂Saproximadamente F.n ∂s.
La cantidad que sale de toda la superficie es:
S
F.n ∂s
La cantidad que sale del elemento ∂V es:
.F ∂V
72

Figura 5.9: Fluido
La cantidad de fluido que sale de todo el solido es:
V
.F ∂V
Aplicación en la f´ısica:
F =
¯r
r 3 , r = 0, r = (x, y, z)
Si carga esta fuera:
S
F.n ∂s =
V
.F ∂V
S
¯r
r 3 .n ∂s =
V
.
¯r
r 3 ∂V
. r−3
¯r = r−3
. ¯r + ¯r. r−3
= 0
S
F.n ∂s = 0
Si carga esta dentro y situado en el origen:
Si V ,
es un solido limitado por superficie externa S y una superficie interior
S,
(ejemplo la palta) es un dominio simplemente conexo.
S+S,
¯r
r 3 .n ∂s =
V
.
¯r
r 3 ∂V
S
¯r
r 3 .n ∂s +
S,
¯r
r 3 .n ∂s = 0
Pero en la superficie interior S,
:
n1 = −
¯r
73

Donde es el radio de la esfera situada en el origen con superficie S,
Sustituyendo:
S
¯r
r 3 .n ∂s =
S,
¯r
3 .
¯r
∂s
S
¯r
r 3 .n ∂s =
1
2
S,
∂S
S
¯r
r 3 .n ∂s = 4π
Las identidades de Green
Sea un campo vectorial
¯F = ϕ ∅
Aplicando el teorema de la divergencia:
Sϕ ∅.n ∂s =
V
. (ϕ ∅) ∂V
Sϕ ∅.n ∂s =
V
ϕ. ∅ + ϕ 2
∅ ∂V. . . (1)
5.7. Primera identidad de Green
S∅ ϕ.n ∂s =
V
. (∅ ϕ) ∂V
V
ϕ. ∅ + ∅ 2
ϕ ∂V . . . (2)
Restando (1) y (2)
S (ϕ ∅ − ∅ ϕ) .n ∂s =
V
ϕ 2
∅ − ∅ 2
ϕ ∂V
5.8. Segunda identidad de Green
Ejemplo
Hallar el fluido del campo vectorial a través de la superficie lateral del
cono cuyo radio de la base es R y altura H.
74

F = (x, y, z)
Figura 5.10: Cono
S
F.n ∂s =
V
.F ∂V
∅Φlateral = ∅Φtotal − ∅Φbase
∅Φtotal =
S
F.n ∂s =
V
.F ∂V
∅Φbase =
SB
F.n ∂SB
SB
F.¯k
∂A
¯n.¯k
SB
H∂A = HπR2
∅Φtotal = .F ∂V =
V
3 ∂V = HπR2
∅Φlateral = 0
Sin aplicar el teorema de la divergencia:
F (¯x) = 2 −
H
R
x2 + y2
F (¯x) =
∂FX
∂x
+
∂FY
∂y
+
∂FZ
∂z
75

F (¯x) =
H2 + R2
R2
n1 =
−XH
x2 + y2.
√
H2 + R2
,
−Y H
x2 + y2.
√
H2 + R2
,
R
√
H2 + R2
φlateral =
SL
F.n ∂SL
∅lateral =
SL
H. (x2
+ y2
)
x2 + y2.
√
H2 + R2
+
zR
√
H2 + R2
∂SL = 0
5.9. Teorema de Stokes
H



S es una superficie regular acotada
C es una curva regular cerrada que es el borde de la superficie S
F es un campo vectorial diferenciable
T
C
F (¯x) .∂x =
S
× ¯F ∂S
Figura 5.11: Stokes
S+S, F.n ∂s = V
.F ∂V
Pero F = × ¯F
S+S,
× ¯F .n ∂s =
V
. × ¯F ∂V = 0
76

S
× ¯F .n ∂s +
S,
× ¯F .n,
∂S,
= 0
Pero n,
= −k
S
× ¯F .n ∂s =
S,
× ¯F .k ∂S,
S
× ¯F .n ∂s =
C
F (¯x) .
∂x
∂s
∂s
S
× ¯F .n ∂s =
C
F (¯x) .T ∂s
5.10. Notación indicial
A = Aiêi
=
∂
∂x1
ê1 +
∂
∂x2
ê2 + . . . +
∂
∂xn
ên
¯A × ¯B = Aiêi × êJ BJ = AiBJ ijkêk
Permutador:
ijk



1, antihorario
−1, horario
0, si se repite los subindices
¯A × ¯B =
i j k
A1 A2 A3
B1 B2 B3
= (A2B3 − B2A3, A3B1 − B3A1, A1B2 − B1A2)
¯A × ¯B = ijkAiBJ êk = 123A1B2ê3 + 132A1B3ê2 + 213A2B1ê3 + 231A2B3ê1
+ 321A3B2ê1 + 312A3B1ê2
Agrupando
¯A × ¯B = (A2B3 − B2A3, A3B1 − B3A1, A1B2 − B1A2)
77

¿Qué es un tensor?
Entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalar (matem %C3 %A1tica)escalar, https://es.wikipedia.org/wi
una manera que sea independiente de cualquier https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema de coorden
de coordenadas elegido. Puede ser de orden 0,1,2. . . n.
Diada es un tensor de segundo grado.
A = ¯A ¯B = êIAiBJ êJ = êiaij êJ
Diada transpuesta Ã
Ã = êiajiêJ
Diada simétrica
Si A= Ã
Diada antisimetrica
Si A=- Ã
Diada unitaria se denota por:
I=êiêi
I=ê1ê1 + ê2ê2 + ê3ê3
Producto punto
¯b.A = biêi. êmamnên = bmêmamnên
Producto aspa
¯c × A = ciêi × êmamnên = impciêpamnên
Productos dobles
B
.
×
A = êibij êj
.
×
êmamnên = bijajn inpêp
Coordenadas curvil´ıneas ortogonales
DIBUJO
Las ecuaciones de transformación son:
T



x = x (u, v, w)
y = y (u, v, w)
z = z (u, v, w)
T,



u = u (x, y, z)
v = v (x, y, z)
w = w (x, y, z)
78

Sea ¯r = xî + yˆj + zˆk
Y ¯r = (x (u) , y (v) , z (w))
∂r
∂u1
vector tangente
Sea e1 el vector con la dirección de
∂r
∂u1
e1 =
∂r
∂u1
∂r
∂u1
Denominaremos factor escala a
∂r
∂u1
= h1
∂r
∂u1
= e1h1
De manera análoga
∂r
∂u2
= e2h2
∂r
∂u3
= e3h3
Ejemplo
En coordenadas cil´ındricas
T : R3
→ R3
(x, y, z) → (r, θ, z)
x = r cos θ , r ≥ 0
y = r sin θ, 0 θ 2π
z = z
¯r(r,θ,z) = r cos θî + r sin θ ˆj + z ˆk
79

∂¯r(r,θ,z)
∂r
= cos θî + sin θ ˆj
∂¯r(r,θ,z)
∂θ
= rsinθ î + rcosθˆj
∂¯r(r,θ,z)
∂z
= ˆk
hr =
∂¯r(r,θ,z)
∂r
= 1
hθ =
∂¯r(r,θ,z)
∂θ
= r
hz =
∂¯r(r,θ,z)
∂z
= 1
er = cos θî + sin θ ˆj
eθ = sinθ î + cos θˆj
ez = ˆk


er
eθ
ez

 =


cos θ sin θ 0
sinθ cos θ 0
0 0 1




î
ˆj
ˆk




î
ˆj
ˆk

 =


cos θ sin θ 0
sin θ cos θ 0
0 0 1




er
eθ
ez


Elemento l´ınea, superficie y volumen
Elemento linea ∂r = ∂r
∂u1
∂u1 + ∂r
∂u2
∂u2 + ∂r
∂u3
∂u3
∂r = e1h1∂u1 + e2h2∂u2 + e3h3∂u3
(∂s)2
= ∂r.∂r = (h1∂u1)2
+ (h2∂u2)2
+ (h3∂u3)2
Elemento volumen ∂V = h1h2h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3
80

Elemento ´area ∂A = h1h2 ∂u1 ∂u2
∂A = h1h3 ∂u1 ∂u3
∂A = h2h3 ∂u2 ∂u3
Ejemplo:
En coordenadas ciclindricas:
∂r = er∂ur + eθr∂uθ + ez∂uz
∂V = r∂ur ∂uθ ∂uz
∂A = ∂ur ∂uz
∂A = r ∂uθ ∂uz
∂A = r∂uθ ∂uz
81

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