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![Solución: Habiendo conectado la fuente de voltaje E, la impedancia entre las
terminales a y b (Z ) se calcula como en los problemas anteriores.T
Elvio Candelaria Cruz 19
De acuerdo con las marcas de polaridad en las bobinas:
L12 = -4x10-3
Hy
L13 = 3x10-3
Hy
[ ]
i
i
i
ii
i
cof
det
ixiixxi
i
xixi
i
xi
xxi
xixi
m,r
TZ 97.488.9
68
338672
28
2854
5410
5-4)103(10)-4x10(10-10210--4
2-8
25010
10
20010
10
10)52(1044
10)104-(102
1050010
1
)102(10)108(1046
3-33-33-3
3
6
3
6
3-3
3-3
6-3
3-33-3
+=
+
=
−
−+−
+−
==
+=+=
=+++++=
=+++++=
z
z
z
z
z
11
12
22
11
El valor de la bobina puede calcularse a partir de su impedancia:
ZL = iωL = i(103
)L =4.97i ∴ L = 4.97/103
= 4.97 mHy](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-16-320.jpg)
![De la ecuación (2) tenemos:
5400J2 = -20 + D ⇒ D = 5400 J2 + 20 ......................... (A)
De la ecuación (3) tenemos:
5600[100x10-3
- J2] = D
560 - 5600 J2 = D...................................(B)
Igualando las ecuaciones (A) y (B) tenemos:
5400 J2 + 20 = 560 - 5600 J2
∴
11000 J2 = 560 – 20
amp0.049
00
0
.J 110
54
2
==
VTh = J2(2700) = (0.049)(2700) = 132.3 volts
Pacificamos la red, a fin de calcular RTh.
Ω=
+
= 2037
27008300
27008300x
RTh
Thévenin se le conecta el resistor de 5kAl circuito equivalente de Ω:
mAIx
8.18
7037
3.132
==
Elvio Candelaria Cruz 67](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-70-320.jpg)
![PROBLEMA 1
Dada la función i(t) = I0sen(ωt) representada en la gráfica, encontrar:
a) El valor medio Im.
b) El valor eficaz Ief.
Solución:
a) El valor medio de la función i(t) = I0sen(ωt) con ωt como variable independiente y
periodo T=2π es:
[ ] [ ]
01]1[
2
cos(0))cos(2
2
)cos(
2
)()sen(
2
1)(1
0
2
0
0
2
0
0
00
=+−=
+−=−=== ∫∫
π
π
π
ωt
π
ωtdωt
π
dtti
T
II
IIII
m
π
π
T
m
b) El valor eficaz o r.m.s. de la función dada es:
[ ]
2
0
2
2
2
)sen(2
4
1
22
)()(sen
2
)()sen(
2
11
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
00
2
IIII
III
π
π
ωtωt
π
ωtdωt
π
ωtdωt
π
dti
T
π
ef
ππT
ef
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−=−=
== ∫∫∫
Elvio Candelaria Cruz 105](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-109-320.jpg)
![En nuestro caso elegiremos
2
T
−= .0t
∫−
2
T
Pudimos tomar 0=0, pero esto implicaría integrar dos intervalos de la función (de
<t<T/2 y de T/2<t<T). Así que tomando t0=–T/2 el único intervalo a integrar es
= 20
)(
1
2 T
dttf
T
a
t
0
T/2<t<T/2.
0
222
2121 2
2222
0
= ∫
T
T
a
2 2
2
2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
T
T
TT
T
Vt
T
V
T
tdt
T
V
T
Cálculo de an.
∫ ∫∫−
= 22 T
Tn
f
Ta − −
== 2
2
2
2
2
2
.cos
4
cos
22
cos)(
T
T
T
T
tdtnt
T
V
tdtnt
T
V
T
tdtnt ωωω
Integrando por partes:
u
∫ ∫−=
=∴=
=∴= dtdut
1
vduuvudv
tn
n
vtdtnv ω
ω
ω sencos
sustituyendo expresiones:
d
[ ] 0)(coscos
14
2
2
cos
1
2
2
cos
14
cos
1
0
2
2
sen
22
2
sen
2
4
sen
1
sen
4 2
⎢
⎡
−= ωtn
tV
T
222
22222
2
2
222
2
2
2
2
=−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎣
−
−
−
∫
ππ
ω
π
ω
π
ω
ω
ω
π
ω
π
ω
ω
ωω
nn
nT
V
T
T
n
n
T
T
n
nT
V
tn
n
T
T
n
n
TT
T
n
n
T
T
V
tdtn
nnT
T
T
T
T
T
n
44444444 344444444 21
lvio Candelaria Cruz 189
a
E](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-150-320.jpg)
![Cálculo de bn.
∫−
= 2
(Tn
tf
Tb ∫∫ −−
==
2 2
2
2
sensensen) TT
tdtnt
T
tdtnt
TT
tdtn ωωω 22 4222 T TT VV
Integrando por partes:
vduuvudv −=∫ ∫
tn
n
vtdtndv
dtdutu
ω
ω
ω cos
1
sen −=∴=
=∴=
( )[ ]
( )[ ]
...3,2,1cos
2
0sensen
1
2
2
sen
2
2
sen
1
sen
1
cos2
coscos
2
2
cos
2
2
cos
4
4
2
cos
42
cos
4
4
cos
1
cos
4
22
22
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
=−=+=
=−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
−=
−−−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
−
−−
∫
nn
n
V
nn
n
T
T
n
T
T
n
n
tn
n
n
n
V
nn
n
VT
T
n
T
T
n
n
T
T
V
T
n
n
TT
n
n
T
T
V
ttdn
n
tn
n
t
T
V
b
b
n
T
T
T
T
T
T
n
π
π
ππ
ω
ππ
ω
ω
ω
π
π
ππ
π
ππ
π
ω
π
ω
π
ω
ω
ω
ω
BA
B
B
A
A
A
BA
44 344 2144 344 21
La función cos nπ es positiva para n par y negativa para n impar, con lo que el signo
la serie trigonométrica de Fourier es:de los coeficientes se alterna. Así,
( )( )
∑
∑
∞
=
+
∞
=
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−+−= ...4sen
4
1
3sen
3
1
2sen
2
1
sen
2
)( tttt
V
tf ωωωω
π
1
1
1
sen
2
)1()(
sencos
2
)(
:compactaformaEn
n
n
n
tn
n
V
tf
tnn
n
V
tf
ω
π
ωπ
π
190 Problemario de Circuitos Eléctricos II](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-151-320.jpg)
![Elvio Candelaria Cruz 191
⎧
<<
<<
436
106
t
t
Si t0=-1, únicamente tenemos que realizar dos integrales:
⎧
<<− 116 t
En la figura se ve que T=4 seg. por lo que
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨ <<= 310)( ttf
⎪
⎪
⎨
<<
=
310
)(
t
tf
⎩
⎪
[ ]
( )
( ) ( )[ ]
0
2
cos
2
cos
6
2
;1cos1cos
3
cos
3
0sen
4
2
6sen
4
2
deCálculo
2
sen
12
2
sen
2
sen
6
2
sen
2
sen
6
2
sen
2
3
2
cos30cos
4
2
6cos
4
2
deCálculo
311
4
6
4
6
06
1
2
:1Eligiendo
.
24T
===
22
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
3
1
1
1
0
0
.
.
=−−−=
=−−−=
−=+=
=+=−−=
==+=
=+==+=
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
∫∫
∫∫∫
∫∫
π
n
π
n
nπ
π
ωnωnω
nω
nω
nω
nωnω
π
n
nπ
π
n
π
n
nπ
π
n
π
n
nπ
t
π
n
nπ
tdt
π
nnωnω
tdtdt
T
t
π
ω
π π
b
b
b
b
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
ttdttdt
tdttdt](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-153-320.jpg)
![Elvio Candelaria Cruz 193
PROBLEMA 5
Exprese mediante su serie tri la señal senoidal rectificada de
media onda que se muestra en la
Solución:
Se observa que la función no presenta ningún tipo de simetría, por lo que no es par ni
impar y la serie contendrá términos senos y cosenos.
La serie de Fouri
gonométrica de Fourier
figura.
er tiene la forma:
( )∑
∞
=
++= sencos)( nn
tntntv ba ωω
Cálculo de a0.
Nótese que en este problema la variable es ωt.
12 n
0a
[ ] [ ]
[ ]
ππ
π
π
ω
π
ωωω
π
ππ t
tv
⎪
⎨
<<
=
20
)(
πω
π
π π
π
VV
V
t
Vt
t
tdttdVdttf
T
ttV
a
a T
=−−−=
−−=−=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +==
⎩
⎪ <<
∫ ∫ ∫
+
11
22
0coscos
2
cos
2
)(0)(sen
2
1
)(
1
2
0sen
0
0
0
2
0 0
0
⎧](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-155-320.jpg)
![194 Problemario de Circuitos Eléctricos II
aCálculo de n
)(cossen)(0)(cossen
2
2
2queobservaSe
20
0sen ωV⎪
⎧
)(
0
2
0
0
ωtnωωt
π
VωtdωtnωωtV
π
πT
πtπ
πtttf
ππ
π
π
na tdtd ∫∫∫ =+=
=
<<
<<=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎨
Auxiliándonos en tablas de integrales la función a integrar tiene la forma:
)()cos(2 0t
t
ωtnωtf
T
T
na td∫=
+
c
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
)2(1
cos0
)2(1
cos0
)2(1
)cos(
)2(1
)cos(
)2(1
)0(1cos
)2(1
)0(1cos
)2(1
)(1cos
)2(1
)(1cos
)2(1
)(1cos
)2(1
)(1cos)(cossen
:essoluciónuya
,1,cossen
0
0
0
nnn
nππ
n
nππ
n
n
n
n
n
πn
n
πn
n
ωtn
n
ωtnωtnωωt
ωtxnnmdondenxdxmx
π
π
π
−
+
+
+
−
−
−
+
+
−=
−
−
+
+
+
+
−
−
−
+
+
−=
=
−
−−
+
+−=
===
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∫
∫
td
Haciendo uso de las identidades trigonométricas siguientes:
)(1
1
)2(1
)(1)(1
cos
)2(1
2
)2(1
cos
)2(1
cos
)2(1
cos0
)2(1
cos0
)2(1
sensencoscos
)2(1
sensencoscos
-
:obtenemos
sensencoscos)cos( bababa +=−
ysensencoscos)os(
222
nn
nn
nπ
nn
nπ
n
nπ
nnn
nππnππ
n
nππnππ
bababa
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
++−
=
−
+
−
+
+
=
−
+
+
+
−
+
−
+
−
=
−=+c](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-156-320.jpg)
![lvio Candelaria Cruz 195E
( )
3,5,7,...para0y
2,4,6,...para
)(1
2
1cos
)(11
1cos + ⎤⎡ V
)(cossen
1
1cos
1
1
1
cos
)(1
1
)2(1
2
cos
2
220
22222
=
=
−
+
−−
−
+
−−−−
=
=
=⎥
⎦
⎢
⎣
==
=+=+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
n
n
nπ
V
nπ
nπn
=
pero
n
π
ωtdnωωt
π
n
nπ
nn
nπ
nn
nπ
a
a
a
n
n
n
t
Cuando n=1 la expresión para
πVV π
( )1cos
)1( 2
+
−
= π
π
n
n
V
an
se indetermina, por lo que
habrá que evaluarla por separado para n=1.
∫= ωωω
π
π 01
)(cossen ttdtVa
Haciendo uso de la identidad trigonométrica
1
xxx 2sen
2
1
cossen = , obtenemos:
[ ]
0
0
=
⎦⎣
a
0cos2cos
4
2cos
4
1
)(2sen
2
1
1
01
−−=⎥
⎤
⎢−== ∫a
V
t
V
ttd
V
π
π
ω
π
ωω
π
π
π
por lo que, finalmente
Cálculo de bn.
⎡
.1,3,5,7,..para0 == nan
[ ] [ ]
ωtxnnm
c
nm
xnm
nm
xnm
nxdxmx
ωtdnωωt
π
V
ωtdωtdnωωtV
π
πT
πtπ
πtωtV
tv
ωtt dnωtf
ππ π
πn
T
b
===
+
−
−
+
+
+
=
=+=
=
<<
<<
=
=
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
∫
∫∫ ∫
∫
+
y1,donde
)2(
)(sen
)2(
)(sen
sensen
:integralesdePor tablas
)(sensen)(0)(sensen
2
2
2
20
0sen
)(
)()sen(
2
00
2
0
tt
tb tTn
⎧
0](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-157-320.jpg)
![196 Problemario de Circuitos Eléctricos II
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
)1(2
)sen(
)1(2
)sen(
)1(2
0)1(sen
)1(2
0)1(sen
)1(2
)1(sen
)1(2
)1(sen
)1(2
)1(sen
)1(2
)1(sen
)(sensen
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
tn
n
tn
ttdnt
−
−
+
+
+
−=
∗
−
−
−
+
+
+
−
−
+
+
+
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
+
+
+
−=∫
ππππ
ππ
ωω
ωωω
π
π
Haciendo uso de las identidades trigonométricas siguientes:
10
)2(1
0
)(sensenpero
10)(sensen
10
)2(1
0
)2(1
sencoscossen
.0
)2(1)2(1 −
+
+
=
nn
sencoscossensencoscossen
sencoscossen)en(
ysencoscossen)en(
0
y
≠∀=
−
=
≠∀=
≠∀=
−
=
−
−
=
∀=
−+
−=−
+=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= ∫
n
nπ
V
ωtdnωωt
π
V
nωtdnωωt
n
nn
nππnππ
n
nππnππnππnππ
bababa
bababa
b
b
n
π
n
π
t
t
B
A
BA
444444 3444444 21444444 3444444 21
con n=1 la expresión para bn se indetermina, por lo que b1 deberá evaluarse por
separado.
s
s
0∫
∫ ∫ ==−=== ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡π
π
π
Vπ
π
Vωtωt
π
Vωtωtd
π
VωtωtdωtV
πb 0
0
0
2
1 224
sen2
2
)(sen)(sensen1
Sustituyendo valores en la serie de Fourier dada por:
...2sensen...2coscos
2
)( 2121
0
++++++= tttttv bbaa
a ωωωω](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-158-320.jpg)
![PROBLEMA 9
Se aplica una tensión tv ωω sen10)753)( +°+=
las terminales de un circuito pasivo, siendo la intensidad que resulta
°
voltstttω sen(8)60cos(4025 −°−+
a
)105cos(5.03cos2)30sen(35)( ++°−+= tti ttωω ω − amp. Calcule la potencia media
nciones dadas en términos de s
amptttti °++°++°−+= ωωω
La fórmula para calcular la potencia media es:
del circuito.
Expresando las fu enos de amplitud positiva:
5sen10)1053sen(8)30sen(4025) voltstttvt +°−+°++= ωωω
.)805sen(5.0)903sen(2)30sen(35)(
∑ −+=
N
nnnnm IVIVP 00
)cos(
2
1
βα=n 1
Donde V0 e I0 son los términos de C.D. y Vn e In son las amplitudes de cada término
e C.A. Asíd
[ ]
( ) watts
xxx
P
P
IIII
VVVV 10840250
====
m
m
70.147868.045.1560
2
1
125
)80cos(5.010)195cos(2860cos340
2
1
)5)(25(
:valoresdoSustituyen
80800
19590105
60)30(30
5.0235
33
22
11
3210
321
=+−+=
=°−+°−+°+=
°−=°−°=−
°−=°−°−=−
°=°−−°=−
====
βα
βα
βα
lvio Candelaria Cruz 209E](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-171-320.jpg)
![( ) ( )
[ ]
watts
xxx
amp.
amp.ttt
amp.t
amp.
iii
seg
radω
voltst
P
P
P
βαIVIVP
I
II
ti
tititiIti
ti
Z
EI
Z
m
m
m
N
n
nnnnm
ef
N
n
nef
T
T
1374
298)2000(450
2
1
)597.71cos(075)20cos(0100)71.569.48cos(0150
2
1
cos
2
1
fórmulalamediantecalculaseactivaomediapotenciaLa
16.57
274.6559.4440089.87
2
1
7.71209.48
2
1
2
1
aplicamoseficazcorrientelacalcularPara
)59007.71sen(3020sen2000)71.56009.48sen(10
escircuitodelainstantánecorrientelaqueloPor
)59007.71sen(30
597.71
599.72
075
Ω599.728.3456.66155
3000ara
1
00
222
1
22
0
0
I
)(
)(''')('')(')(
)('''
''''''
=
++=
°+°+°+°−°=
+=
=
=++=+++=+=
°−++°+=
+++=
°−=
°−=
°
°
==
°=+=−+=
=
∑
∑
=
=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
lvio Candelaria Cruz 211
EtE 07575sen3000 ''')(''' °=↔=
p
E](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-173-320.jpg)
![.10
3
2
10
3
10
22
.10
3
10)105(4 3
3
x −
−
6
230
2
voltsxx
ampx
IV
I
L
L
−−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
==
Para calcular los parámetros Z lk,
debemos pacificar el cuadripolo (anular fuentes
rrespreales) y excitar las terminales co ondientes según las condiciones requeridas.
ZZ 2111
ydeCálculo
→=
=01
1
11
2II
V
Z Impedancia de entrada [Ω].
→=
=01
2
21
2II
V
Z Impedancia de transferencia directa [Ω].
En ambos parámetros se tiene la condición de que I = 0, por lo que la configuración2
correspondiente es:
( )
01
2
21
01
1
11
2
2
5.1
6
9
33
)3(3
=
=
=
Ω==
+
==
I
I
I
V
Z
I
ZI
Z
eq](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-183-320.jpg)
![222 Problemario de Circuitos Eléctricos II
La corriente que pasa por el resistor de 2Ω es:
y(1)
2
1
2Por tanto
233
3
112
11
2Ω
voltIV
amp.
I
III
==
=
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Cálculo de
Ω==
=
1
)1(
01
1
21
2II
IZ
ZZ 2212
y
→=
=02
1
12
1II
V
Z Impedancia de transferencia inversa [Ω].
→=
=02
2
22
1II
V
Z Impedancia de salida [Ω].
En ambos parámetros se tiene la condición de que I1 = 0, por lo que la configuración
correspondiente es:
Ω=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
==
=
1
24
2
3
2
2
02
1
12
1
I
I
I
V
Z
I](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-184-320.jpg)
![232 Problemario de Circuitos Eléctricos II
VIVII
VII
k
k
1111
1
5
1
10)100(10
0)100(10−
−=−= 35 −−
∴
=−−+
or ley de ohm se tiene que:
−
P
( )
Ω==
=
−=−=
−
==
−=−== −
101010 3
1
33
1 VIIV k
=
500
2
10
102
1010
10
10
3
11
3
11
11
3
1
13
1
11
3
01
1
11
11
3
1
2
Z
Z
Z
I
V
I
VI
I
V
Z
VI
I
Cálculo de Z21
[ ]
Ω−=+−=+−=
+−=
+−=
+−
=
−−
=
−
==
=
5000010510)500(10010
10010
10010
100101010012
00
455
21
11
5
21
1
15
1
11
5
1
11
3
1
1
01
21
2
x
I
Z
ZZ
I
V
I
VI
I
VI
I
V
I
Cálculo de
V
Z
Z12
. En la red que estamos analizando existen fuentes aparentes por lo
ue la red no es recíproca, es decir Z12 es diferente de Z21 y habrá que calcular Z12
ien
q
mediante el sigu te circuito.](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-194-320.jpg)
![lvio Candelaria Cruz 235
30
2
ampx
E
.0
0
1
amp
.105I
I =
−
−=
Para calcular los parámetros Yk,l debemos pacificar la red (anular fuentes reales), a la
Cálculo de
vez que cortocircuitar las terminales del puerto correspondiente y excitar con una fuente
real el otro puerto, según las condiciones requeridas.
YY 2111
y
→=
=01
1
11
2VV
I
Y Admitancia de entrada [mhos].
→=
=01
2
21
2VV
I
Y Admitancia de transferencia directa [mhos].
En ambos parám 2 el circuitoetros se tiene la condición de que V = 0, por lo que
resultante es:
( )
mhos
V
mhos
V
V
V
V
I
Y
V
VY
V
I
Y
eq
1
)1(
3
4
3
1
1
1
1
01
2
21
1
1
01
1
11
2
2
−=
−
==
=+===
=
=
Cálculo de YY y 2212](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-197-320.jpg)
![→=
=02
1
12
1VV
I
Y Admitancia de transferencia inversa [mhos].
236 Problemario de Circuitos Eléctricos II
→=
=02
2
22
1VV
I
Y Admitancia de salida [mhos].
Con la condición de V1 = 0, obtenemos:
( ) mhos
V V
V
V
IY 1
1)(
2
2
0
1
2
1
12
−=
−
==
=
Cumpliéndose que en una red puramente pasiva (no contiene en su interior fuentes
de ningún tipo) Y12 = Y21.
mhos
V V
VY
V
IY
eq
2
3
2
1
1
2
2
0
1
2
2
22
' =+===
=
Con lo resultados obtenidos, las ecuaciones que caracterizan a la red son:
3
212
211
1055.1)1(
)1(
3
4
−
−+−=
−+=
xVVI
VVI](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-198-320.jpg)
![Solución:
Las ecuaciones que caracterizan a la red dada, con parámetros de transmisión
directos A, B, C y D son:
( )
( )IVI
IVV
DC
BA
−+=
−+=
221
221
→
−
=
=02
1
2I
A
V
V Relación de voltaje de entrada a voltaje de salida, con salida abierta
[sin unidades]
→=
=− 02
1
2I
C
V
I Admitancia de transferencia inversa, con salida abierta [mhos]
Cálculo de A y C. La siguiente configuración permite calcular A y C.
Elvio Candelaria Cruz 245
Con –I2 = 0 no circula corriente por la terminal 2, por lo que V1 = V2.](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-207-320.jpg)
![mhos
i
ii
I
C
I
A
i
I
I
V
I
V
V
VIV
34
53
53
1
)53(
1
)53(
1
1
02
1
02
1
211
2
2
−
=
+
=
+
==
==
=+=
=−
=−
Cálculo de B y D. La siguiente configuración permite calcular B y D.
→
−
=
=02
1
2V
B
I
V Impedancia de transferencia inversa, con salida en corto circuito [Ω].
→=
=− 02
1
2V
D
I
I Relación de corriente de entrada a corriente de salida, con salida
en corto circuito [sin unidades].
Por divisor de corriente:
34
7424
53
313
313
53
810
313
53
313
)53)(810(
313
)53)(810(
313
53
1
1
02
1
1
1
02
1
11
12
2
2
i
i
i
i
i
V
D
i
i
i
i
ii
V
B
i
ii
i
i
I
I
I
I
I
I
I
V
IV
II
−
=
+
−
=
−
+
=
−
=
Ω−=
−
+
−
+−
=
−
=
−
+−
=
−
+
=−
=
=
246 Problemario de Circuitos Eléctricos II](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-208-320.jpg)
![PROBLEMA 10
En la red dada calcule los parámetros de transmisión inversos.
Solución:
Las ecuaciones que caracterizan a la red dada, con parámetros de transmisión
inversos A’, B’, C’ y D’ son:
( )
( )IVI
IVV
DC
BA
112
112
''
''
−+=
−+=
donde
→=
=− 01
2
1
'
I
A
V
V Ganancia en voltaje, con entrada abierta [sin unidades].
→=
=− 01
2
1
'
I
C
V
I Admitancia de transferencia directa, con entrada abierta [mhos].
Elvio Candelaria Cruz 251](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-213-320.jpg)
![Cálculo de B’ y D’.-
→
−
=
=01
2
1
'
V
B
I
V Impedancia de transferencia directa, con entrada en corto circuito [Ω].
→
−
=
=01
2
1
'
V
D
I
I Ganancia en corriente, con entrada en corto circuito [sin unidades].
La red correspondiente es:
JI 11
=− .
Calculando J1 por el método de mallas:
10
5
16
25
26
21
23
13
12
33
22
11
=
=
−=
=
=
=
z
z
z
z
z
z
Elvio Candelaria Cruz 253](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-215-320.jpg)
![PROBLEMA 11
Calcule los parámetros híbridos directos de la red mostrada y obtenga su circuito
equivalente.
Solución:
Los parámetros híbridos directos son los parámetros h. Las ecuaciones con estos
parámetros para la red dada son:
VhIhI
VhIhV
2221212
2121111
+=
+=
Cálculo de hh y 2111
→=
=01
1
11
2VI
V
h Impedancia de entrada, con salida en corto circuito [Ω].
→=
=01
2
21
2VI
Ih
Elvio Candelaria Cruz
Ganancia en corriente o factor de amplificación (α21),
con salida en corto circuito [sin unidades].
255](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-217-320.jpg)
![Con la condición V2 = 0 la red correspondiente es:
01
2
21
1
1
11
1
1
01
1
11
2
2
3
4
3
4
4
3
4
3
4
11
=
=
=
Ω=−=
−
=
−=−=
==
V
i
ii
i
ii
V
I
Ih
V
V
h
Y
VY
V
I
V
h
Por divisor de corriente calculamos I2:
3
13
1
3
1
4
1
1
01
2
21
1
1
2
2
===
=
+−
−=
= I
I
I
Ih
I
I
I
V
ii
i
Cálculo de hh y 2212
→=
=02
1
12
1IV
V
h
256
Relación inversa de la ganancia en voltaje, con entrada abierta [sin
unidades].
Problemario de Circuitos Eléctricos II](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-218-320.jpg)
![→=
=02
2
22
1IV
Ih Admitancia de salida, con entrada abierta [mhos].
Con la condición I1 = 0 se tiene el siguiente circuito:
.
3
1
10
1
900
30090
30
103
103
30
3
1
30
10
103
30
103
10
103
30
104
3
1010
103
10
104
10
22
2
2
02
2
22
2
2
2
2
02
1
12
22
2
22
1
1
1
mhosì
i
i
i
i
i
I
i
i
i
i
i
i
I
i
i
ii
i
i
i
ii
ii
h
I
I
V
Ih
I
I
I
I
V
Vh
IIIV
IIIV
l
k
+=
+
=
−
+−
=
+−
−
==
−=
−
=
+−
−
+−==
+−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
−
==
+−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
==
=
=
Se observa que por tener una red puramente pasiva (recíproca) h12 = - h21. El circuito
equivalente viene a ser:
Elvio Candelaria Cruz 257](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-219-320.jpg)
![Elvio Candelaria Cruz 261
PROBLEMA 13
Calcule los parámetros híbridos inversos de la red dada y obtenga su circuito
equivalente.
Solución:
Las ecuaciones que caracterizan a una red puramente pasiva con parámetros híbridos
inversos o parámetros “g” son:
IgVgV
IgVgI
2221212
2121111
+=
+=
Cálculo de g11 y g21
→=
=01
1
11
2IV
Ig Admitancia de entrada, con salida abierta [mhos].
→=
=01
2
21
2IV
Vg Ganancia en voltaje, con salida abierta [sin unidades].
La siguiente configuración corresponde a la condición I2 = 0.](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-224-320.jpg)
![262 Problemario de Circuitos Eléctricos II
10
9
20
18
1816
25
5
10
25
5
205
5
:corrientededivisorPor
1610
20
1
20
2016
25
520
16520
1
1
01
2
21
1112
1
1
12
1
1
01
1
11
2
2
===
=+=
=
+
=
+=
===
=+=+=
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
I
I
V
Vg
IIIV
III
IIV
I
I
V
Ig
Z
I
mhos
I
x
k
k
eq
Cálculo de g12 y g22
→=
=02
1
12
1VI
Ig Ganancia en corriente, con entrada en corto [sin unidades].
→=
=02
2
22
1VI
Vg Impedancia de salida, con entrada en corto [Ω].](https://image.slidesharecdn.com/problemariocircuitoselectricos-140724141514-phpapp02/85/Problemario-circuitos-electricos-225-320.jpg)
Subido porClai Roman
Problemario circuitos electricos
Este documento presenta el directorio de autoridades de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional. Se enumeran los nombres y cargos del Director General, Secretario General, Secretaria Académica y otros secretarios y directores. Además, contiene el índice del "Problemario de Circuitos Eléctricos II" escrito por Elvio Candelaria Cruz.
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Problemario circuitos electricos
- 1.
- 2. Directorio DR. JOSÉ ENRIQUEVILLA RIVERA Director General DR. EFRÉN PARADA ARIAS Secretario General DRA. YOLOXÓCHITL BUSTAMANTE DÍEZ Secretaria Académica ING. MANUEL QUINTERO QUINTERO Secretario de Apoyo Académico DR. ÓSCAR ESCÁRCEGA NAVARRETE Secretario de Extensión y Difusión CP. RAÚL SÁNCHEZ ÁNGELES Secretario de Administración DR. JORGE VERDEJA LÓPEZ Secretario Técnico DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LEÓN Secretario Ejecutivo de la Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas ING. JESÚS ORTIZ GUTIÉRREZ Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones LIC. ARTURO SALCIDO BELTRÁN Director de Publicaciones
- 3. ESCUELA SUPERIOR DEINGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO PROBLEMARIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II Elvio Candelaria Cruz INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL —México—
- 4. Problemario de circuitoseléctricos II Primera edición: 2004 D.R. © 2004 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Dirección de Publicaciones Tresguerras 27, 06040, México, DF ISBN 970-36-0205-3 Impreso en México / Printed in Mexico
- 5. Al M. en C.Arturo Cepeda Salinas
- 6. CONTENIDO PRÓLOGO ------------------------------------------------------------------------------------ 11 CAPÍTULOI. ESTRUCTURAS PASIVAS DE DOS TERMINALES ------------ 13 - Cálculo de impedancias - Cálculo de admitancias - Reducciones serie-paralelo - Problemas complementarios CAPÍTULO II. TEOREMAS DE REDES --------------------------------------------- 53 - Divisor de voltaje - Divisor de corriente - Teorema de Thévenin - Teorema de Norton - Teorema del intercambio de fuentes - Teorema de superposición - Dualidad - Problemas complementarios CAPÍTULO III. VALORES MEDIOS Y POTENCIA ------------------------------ 103 - Valores medios de 1° y 2° orden - Potencia compleja, aparente, activa y reactiva - Factor de potencia - Teorema de la máxima transferencia de potencia media - Problemas complementarios CAPÍTULO IV. RESONANCIA -------------------------------------------------------- 131 - Dependencia de la frecuencia - Resonancia y antirresonancia - Resonancia de un circuito RLC - Factor de calidad, ancho de banda y selectividad de un circuito resonante - Resonancia de circuitos de dos ramas - Problemas complementarios 9
- 7. CAPÍTULO V. REDESCON MULTIFRECUENCIAS --------------------------- 181 - Redes con fuentes senoidales de distintas frecuencias - Redes con fuentes periódicas no senoidales. Series de Fourier - Red auxiliar de C.D. - Red auxiliar de C.A. - Valores efectivos de corriente, voltaje y potencia media - Problemas complementarios CAPÍTULO VI. REDES DE DOS PUERTOS --------------------------------------- 219 - Ecuaciones y representaciones con parámetros Z - Ecuaciones y representaciones con parámetros Y - Ecuaciones con parámetros de transmisión directos e inversos - El transformador ideal - Ecuaciones y representaciones con parámetros híbridos directos e inversos - Equivalencias entre parámetros - Conexiones fundamentales entre redes de dos puertos - Problemas complementarios BIBLIOGRAFÍA --------------------------------------------------------------------------- 299 10 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 8. PRÓLOGO Este trabajo esproducto del Programa Académico de Año Sabático otorgado al autor durante el periodo 2001-2002. Externo mi agradecimiento al licenciado Francisco Ramírez Rodríguez, Coordinador General de Programas Académicos Especiales de la Secretaría Académica del Instituto Politécnico Nacional y al licenciado Alfredo Villafuerte Iturbide, responsable del Programa Año Sabático, por las atenciones que se sirvieron brindar al suscrito para hacer posible la realización de este trabajo. El presente Problemario de circuitos eléctricos II está destinado a estudiantes de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica y carreras afines; tiene como finalidad servir de apoyo en su preparación profesional para el estudio de la Teoría de los Circuitos Eléctricos en los tópicos que se tratan. Se ha pretendido facilitar la comprensión de los temas mediante el planteamiento, desarrollo y solución metódicos de problemas ilustrativos que permitan al estudiante ejercitar sus conocimientos teóricos y prácticos. Para la resolución paso a paso de problemas de este trabajo se utilizaron, en gran parte, las técnicas de análisis de los métodos de mallas y nodos desarrollados por el doctor Enrique Bustamante Llaca en su importante obra Modern Analysis of Alternating Current Networks, por lo que se recomienda al estudiante conocer previamente estos métodos. Cabe mencionar que en dichos análisis se emplean letras minúsculas para denotar impedancias de mallas o admitancias de nodos y con letras mayúsculas las impedancias o admitancias de elementos. Asimismo gran parte de la simbología usada en este problemario es la misma de la obra citada. Es mi convencimiento de que solamente el esfuerzo propio del estudiante hará de este trabajo un recurso didáctico provechoso. Finalmente deseo expresar mi agradecimiento a José Juan Carbajal Hernández, pasante de la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica por su apoyo e iniciativa en la captura del material de esta obra. Elvio Candelaria Cruz. 11
- 9. CAPÍTULO I ESTRUCTURAS PASIVAS DEDOS TERMINALES
- 10. PROBLEMA 1 Calcule laimpedancia equivalente entre las terminales a y b de la red mostrada: Solución: 1. Se hace una simplificación del circuito: Se conecta una fuente de voltaje E y se asignan sentidos arbitrarios a elementos y a las corrientes de mallas; la fuente se conecta a las terminales de interés. La malla formada con la fuente de voltaje debe ser la malla 1: Elvio Candelaria Cruz 15
- 11. 2. Se calculanlas impedancias propias y mutuas de mallas (aplicar las reglas del método de mallas): i i i i i 2--2 0 34 37 26 = = += += += += z z z z z z 23 13 12 33 22 11 36 3. Aplicando la fórmula general: Ω0.93i-- 43.224i36 -- -- -- -- 024113134 733243 6205178 733 620517863167 3722 2226 37220 222634 03436 11 3332 2322 333231 232221 131211 11 .º.. º.. º.. º.cof º..i ii ii ii iii ii cof Z Z ab r,m r,m ab === =+= =+= + + + ++ ++ === z z zz zz zzz zzz zzz z z det det Este resultado significa que la red origin equivalente a: Se sugiere al estudiante resolver este problema usando el método de reducción serie- 16 Problemario de Circuitos Eléctricos II al es paralelo.
- 12. PROBLEMA 2 Encuentre laimpedancia equ ales a y b en la red dada, a la frecuencia angular ω=1rad/seg. ta una fuente E entre las terminales a y b, con la cual se forma la malla 1. Se l signo de la inductancia mutua entre las bobinas k y l. Se asignan sentidos a 2. Se obtienen las im ivalente entre las termin Solución: 1. Se conec determina e elementos y a corrientes de malla. Lk,l < 0 L = -0.5Hyk,l pedancias propias y mutuas de mallas. i).)((i))((i i).)((i )(i ))((i i).)((i )(i ))((i 85012 1 2318 - +=++++=z11 45012231 665012 1 10 2316 3 ---- -- =+= =+++= z z 12 22 +
- 14. 3. Se aplicala fórmula general: Elvio Candelaria Cruz 17 i i- i- idet i ii ii cof det Z ZZ eq m,r abeq 33.233.9 66 4270 42-70 6-6 6-64- 4-8 +== = + === z z z rm, 11 Esta impedancia se puede representar con elementos de circuito como se muestra: Es posible resolver este problema pasando del circuito original al circuito transformado, donde se indican las impedancias de elementos y aplicar así el método de mallas. El circuito transformado sería el que se muestra a continuación:
- 15. 18 Problemario deCircuitos Eléctricos II P 3ROBLEMA En la red mostrada calcule: a la frecuencia angular ω=103 rad/seg. bservación: Una configuración con bobinas acopladas como se muestra en este O también ver Bustam vol. I, ed. Limusa- a) La impedancia total Z ,T b) El valor del inductor equivalente. O circuito, no necesariamente debe tener acoplamiento entre todas ellas. Ver, por ej. Hayt William H.- Kemmerly Jack E. Análisis de Circuitos en Ingeniería problema 9, página 472, cuarta ed. – McGRAW HILL “Es posible disponer físicamente tres bobinas de tal manera que haya un acoplamiento mutuo entre las bobinas A y B y entre B y C, pero no entre A y C. Un arreglo así se muestra en la figura dada. Obténgase v(t)”. ante Llaca E. Alternating Current Networks, Wiley, ej. 2, página 233 o Jiménez Garza Ramos Fernando Problemas de Teoría de los Circuitos, vol. 1, ed. Limusa, problema 1, página 72, entre otros ejemplos.
- 16. Solución: Habiendo conectadola fuente de voltaje E, la impedancia entre las terminales a y b (Z ) se calcula como en los problemas anteriores.T Elvio Candelaria Cruz 19 De acuerdo con las marcas de polaridad en las bobinas: L12 = -4x10-3 Hy L13 = 3x10-3 Hy [ ] i i i ii i cof det ixiixxi i xixi i xi xxi xixi m,r TZ 97.488.9 68 338672 28 2854 5410 5-4)103(10)-4x10(10-10210--4 2-8 25010 10 20010 10 10)52(1044 10)104-(102 1050010 1 )102(10)108(1046 3-33-33-3 3 6 3 6 3-3 3-3 6-3 3-33-3 += + = − −+− +− == +=+= =+++++= =+++++= z z z z z 11 12 22 11 El valor de la bobina puede calcularse a partir de su impedancia: ZL = iωL = i(103 )L =4.97i ∴ L = 4.97/103 = 4.97 mHy
- 17. 20 Problemario deCircuitos Eléctricos II PROBLEMA 4 Encuentre la resistencia total RT indicada que presenta el circuito mostrado cuando: a) a y b están en circuito abierto; use reducción serie-paralelo. b) a y b están en corto circuito; use reducción serie-paralelo. Solución:
- 18.
- 19. 22 Problemario deCircuitos Eléctricos II PROBLEMA 5 En el siguiente circuito calcule Rab .
- 20. Solución: En esteproblema es fácil ver que un extremo del resistor de 5Ω es el punto b, por lo que el circuito puede dibujarse como: este circuito se puede reducir a:
- 21. donde 10/7 esel paralelo de los resistores de 5Ω y 2Ω: 5||2=10/7
- 22. quedando 8Ω enserie con (10/7)Ω: 8+(10/7) = 56/7 + 10/7 = 66/7 el resistor equivalente es: Rab = 66/7 || 10 = 4.85 Ω Elvio Candelaria Cruz 23
- 23. PROBLEMA 6 Calcule Raben el siguiente circuito. olución: Para resolver este tipo de problemas podemos auxiliarnos de un punto oS puntos exteriores y rehacer el circuito observando qué elementos se encuentran conectados entre los puntos de referencia: Ω= + + + = 75.15 155 )15)(5( 3020 )30)(20( Rab 24 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 24. PROBLEMA 7 Calcule Reqentre las terminal Solución: es a y b. = 28 11 z Ω= − − == = = −= = = 50.15 5012 1237 501218 123710 181028 12 18 10 50 37 11 23 13 12 33 22 z z z z z z cof det m,r eqR lvio Candelaria Cruz 25 z E
- 25. PROBLEMA 8 En elsiguiente circuito calcul : Solución: ir de 4 mallas, sin embargo las dos resistencias de la periferia están en o si se desea darle la form e Zab Este problema puede resolverse a part paralelo y pueden reducirse a una sola: a siguiente: 21 JJ E Z =ab + Aplicando el método de mallas para encontrar J1 y J2: 05 2333 1322 1211 == == zz zz 26 Problemario de Circuitos Eléctricos II 29 −== zz 47
- 26.
- 27. PROBLEMA 9 Calcule laimpedancia total entre las terminales a y b del siguiente circuito: Solución: Este circuito puede configurarse de la forma que se muestra tomando los puntos a, b, c y d como referencia: d = 9 22 11 z Ω== − − −− −− −− == −= −= −= = = 2.3 62 199 71 19 712 193 235 1 2 3 7 5 11 , 23 13 12 33 z z z z z z cof det rm abZ 28 Problemario de Circuitos Eléctricos II z
- 28. PROBLEMA 10 Encuentre laimpedancia equivalente entre las terminales a y b de la red dada, a la frecuencia ω=103 rad/seg. Solución: Obtendremos L12 y L13 de la ecuación para el coeficiente de acoplamiento entre dos bobinas: LLL LL L lkkl lk kl kk =∴= De acuerdo con las marcas de polaridad: L12>0 L13<0 Hyx1013.1 10 3− ixixi ix x xi i i x i x xi ixi i x xi 3( )109)(10(9 3 33 ++= − z xxx Hyxxx L L 54.04)1013.1(10)1041.1(10 10 103 )1010(4 14 10 109 10 103 )1013)(10(14 82.89)1041.1)(10(2 10 )10 1041082.0 41.1101085.0 3333 3 3 33 12 3 3 3 3 33 22 33 311 33 13 333 12 −−=−+−−−−= +=+++= +=+ −=−= == −−− − − −− −−− z z Elvio Candelaria Cruz 29
- 29. Ω+= + + = + +−− −−+ == i i i i ii ii cof det m,r eqZ 92.744.8 14 34.11929.110 14 1454.04 54.0482.89 11 z z Elcircuito original queda reducido a la siguiente forma: 30 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 30. PROBLEMA 11 Calcule laimpedancia equivalente entre las terminales a y b: olución: Los sentidos de las bobinas fueron asignados de forma tal que fueran ongruentes con el signo positivo de cada una de las impedancias mutuas. Una pedancia mutua positiva conlleva una inductancia mutua positiva. S c im Ω−= + + = + +− −− == −=+−+−= +=++−= −=−+−= i i i i ii ii cof det iiiii iiii iiii m,r eqZ 02.107.8 512 28102 512 512 8 23 51227412 82658 11 12 22 11 z z a impedancia equivalente es: Elvio Candelaria Cruz 31 z z z L
- 31. PROBLEMA 12 pias ymutuas de mallas, quCalcule las impedancias pro e permitan encontrar la Zeq de 6 13 < 0 = -3x10 Hy L23 > 0 = 2x10-4 Hy la red mostrada, a una frecuencia angular de 10 rad/seg. Solución: L12 < 0 = -10-4 Hy -4 L ixixiixi ix x ixxixxi ix xx ixixxi ix xx 100)103)(10()102)(10()10)(10()102)(10( 10 103 104900)102)(10)((2)108102)(10( 10 107103 900 103900)10)(10)((2)102106)(10( 10 103106 900 46464646 6 8 12 246446 6 88 22 246446 6 88 11 =−++−−−−= −=−++ + += −=−+++ + += −−−− −−− −−− z z z uito transformado, de acuerdo con los sentidos asignados arbitrariamente a los elementos, las impedancias mutuas entre elementos son: Z12 = i106 (-10-4 ) = -100i Z13 = i106 (-3x10-4 ) = -300i Z23 = i106 (2x10-4 ) = 200i y las impedancias de mallas se obtienen com es de arriba lo indican. 2 Problemario de Circuitos Eléctricos II Si se prefiere obtener el circ o las ecuacion 3
- 32. PROBLEMA 13 permitan calcularla admitancia minales a y b, a la frecuencia ω=103 rad/seg. Solución: Se . Se tendrá la terminal “a ponente. Se positiva, por lo que el sentido de los elementos es el que se muestra. aplica es: Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que equivalente entre las ter conecta una fuente de corriente Ifc entre las terminales a y b ” conectada al nodo 1 y la terminal “b” a la base de la com observa que por tener una invertancia mutua negativa la inductancia mutua ha de ser La fórmula que se y yy yy y y 22 2221 1211 11 == cof det n,p abY Cálculo de las admitancias de nodos: ixx i x 312 103102 10 102 −−=⎟ ⎠ ⎜ ⎝ −−=y ixxi i xx ixxx i 333 3363 3 33 22 333 3 3 11 3 10106)102)(10( 10 1 102104 102103102 10 2 10 −−− −−−−− −−−− ⎞⎛ − +=+++= −=++= y y n Yab. Elvio Candelaria Cruz 33 Se sustituyen valores e
- 33. PROBLEMA 14 Calcule laadmitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado, a la frecuencia ω=103 rad/seg. Solución: La terminal “a” deberá ser el nodo 1, donde se conecte la fuente de corriente. yy y yy y y 1211 22 2221 11 == cof det n,p abY i i i i i i xi xi i xixi xixi i xi xixi Yab 04.443.8 5.07 5.3257 5.07 5.072 249 2 )102.0)(10( 1 )105000)(10(2 5.07 )104.0)(10( 1 )102.0)(10( 1 )103000)(10()105000)(10(25 49 )102.0)(10( 1 )105000)(10()104000)(10(27 33 63 12 3333 6363 22 33 6363 += + + = + +− −+ = −=−−−= +=+++++= +=++++= − − −− −− − −− y y y Problemario de Circuitos Eléctricos II 11 34
- 34. Este resultado significaque la red original es equivalente a: Elvio Candelaria Cruz 35
- 35. PROBLEMA 15 Calcule laadmitancia equivalente entre las terminales a y b, a la frecuencia ω=2 rad/seg. Solución: HyL 6 1 12 −= yy yy yyy yyy 232221 yyy y y 3332 2322 333231 131211 11 == cof n,p abY Calcularemos las admitancias propias y mutuas de nodos: det ( ) C CC CG i i i i i i i 323 13 12 12 4 4333 2 3222 1 11 0 ω ω ω ω ω ω ω −= = = ++= ++= = Γ Γ Γ Γ y y y y y y 36 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 36. Se requiere conocerel valor de Γ1, Γ2, Γ4 y Γ12. Procederemos a calcular el valor de stas invertancias mediante la siguiente fórmula:e Yrnehs Yrnehs Yrnehs cof det cof LL LL L L L L kl kl kl kl 48 1152 4 6 1 72 1152 4 4 1 36 36 1 32 1 8 1 8 1 6 1 6 1 4 1 8 1 12 22 2221 1211 22 11 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− = == = − = − − == Δ ==Γ Γ Γ Γ Al sustituir valores: i i i ii ii ii iii ii ii i i i i i i i i Yab 073.1.0 34 3618 351 0 351 02418 2 1 )2( 0 24 2 48 222 ) 351 2 72 2 1 )2(1 18 2 3,2 13 12 22 11 −= −− +− = −− −− −− −− −− = −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= = −== −=+⎟ ⎠ ⎜ ⎝ + −=+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += −== y y y y y Elvio Candelaria Cruz 37 36 i i 1031 2( 33 ⎞⎛ =y 24− 497
- 37. PROBLEMA 16 Encuentre laadmitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado, a la frecuencia ω=10 rad/seg. Solución: Se asignan sentidos arbitrarios a las dos bobinas acopladas para determinar L12 = + 0.2Hy. Calcularemos primeramente las invertancias propias y mutua de las dos bobinas acopladas 1 y 2 ya que dichas invertancias se necesitarán para poder calcular las admitancias. cof Yrneh cof Yrnehs cof Yrnehs cof L 2 4.04.011 11 ====Γ L L L 1 2.0 2.0 3 2.0 6.0 2.0 4.02.0 2.06.0 12 12 22 22 −= − = Δ = == Δ = Δ Γ Γ Las admitancias propias de los elementos son: 38 Problemario de Circuitos Eléctricos II kl kl Δ =Γ
- 38. i i x i i xi i i xi i ii i ii Y Y Y Y Y 26 10 1050 1 6 1010 10 105.12 1 )8.1)(10(10 810 10 1025 1 )2.1)(10(28 3.0 )10( 3 2.0 )10( 2 3 5 3 4 3 3 22 2 11 1 −=+= +=++= +=+++= −=== −=== − − − Γ Γ ω ω La admitancia mutuaentre el elemento 1 y el elemento 2 se calcula mediante i ii i Y Y kl kl = Γ 1.0 10 112 12 = − == Γ ω ω Obsérvese que la invertancia Γ12 es de signo contrario a la inductancia L12. Podemos representar el circuito original mediante admitancias, obteniendo: Las admitancias de nodos son: iiii iiii iiiiii YYY YYY YYYYY 4.261.026)3.0( 7.7162610103.0 3.516)1.0(2268103.02.0 125212 54222 12532111 2 +−=++−−−=+−−= +=−+++−=++= +=−−+++−−=−+++= y y y Elvio Candelaria Cruz 39
- 39. Aplicando la fórmulageneral: y y ab det Y pn, = 11 cof i i i i ii ii Yab 5.716.15º31.2692.16 69.2575.17 5246.300 7.716 8.23695.184 7.716 7.7164.26 4.263.516 +== ° ° = + + = + ++− +−+ = Lo que significa que la admitancia total equivale al siguiente elemento paralelo: 40 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 40. PROBLEMA 17 Calcule Yaben el circuito mostrado. olución: De acuerdo con las marcas de polaridad, los sentidos de los elementos mutua ositiva y, consecuentemente, una admitancia mutua negativa: recordar que S acoplados que se muestran cumplen con L < 0, lo que origina una invertanciakl p ( ) i i klkl klY ωω ΓΓ −== . iiiiii 188)3(2102012308 22 +=−−−++=y i i i i ii ii cof det iiii iiii n,p abY 84.1551.2 188 172265 188 188138 1382510 138)3(20308 251020301582 11 11 += + +− = + +−− −−+ == −−=−++−−= − +=−+++= y y y y El circuito original queda reducido a la siguiente forma: Elvio Candelaria Cruz 41 12
- 41. PROBLEMA 18 Encuentre lasadmitancias de nodos de la red mostrada que permitan calcular la admitancia equivalente entre las terminales a y b. Solución: Podemo zando reducción serie-paralelo entre conductancias y capacitores. En este circuito no es posible aplicar reducción serie-paralelo, por lo que aplicaríamos la fórmula general ya conocida s reducir el circuito utili :
- 42.
- 43. PROBLEMA 19 a) Porreducción serie-paralelo ) Aplicando la fórmula gener Solución: a) Puede observarse que la admitancia de 3-2i está en serie con la de 4-3i. Encuentre la admitancia Yab del circuito mostrado: . al.b iii i i iii ii YY YY YY YY Y YY Y ab 2.371.32.171.122 2.171.1 573423 32 32 1 32 32 32 −=−+−= + += −= − = −+− = + += Elvio Candelaria Cruz 43 YY Y Yab 176)34)(23( 32 1 −−− +
- 44. b) i i i i ii ii cof det i i i n,p abY 20.371.3 57 4110 57 5723 2345 23 57 45 11 12 22 11 −= − − = − −+− +−− == +−= −= −= y y y y y El circuitooriginal queda reducido a la siguiente forma: 44 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 45. PROBLEMA 20 Calcule lasadmitancias propias y mutuas de nodos, que permitan encontrar la Yab en Solución: Las adm arcas de polaridad entidos que se asignan a las bobinas acopladas cumplen con lo siguiente: si > 0 se tendrá una Lkl < 0 y viceversa. el circuito dado. itancias propias y mutuas son datos. Según las m dadas, los s Γkl ωω i i klkl klY )(ΓΓ −==Recordar que: Se puede observar que las dos conductancias laterales pueden +−=−+−+−−−−= −=−−−−++= −=+−−+= y y La Yab se obtendría aplicando la fórmula general: ser reducidas a una: iiiii iiiii iiiii 195)()3()2()25(5 3947)3(2253010425 265)2(22520155 12 22 11 y y y 11 , det cof pn abY = Elvio Candelaria Cruz 45
- 48.
- 50. PROBLEMA 1 Calcule laimpedancia equivalente entre las terminales a y b de la red mostrada: PROBLEMA 2 En la red mostrada calcule: a) La impedancia total ZT a la frecuencia angular ω=103 rad/seg. b) El valor del inductor o capacitor equivalente.
- 51. PROBLEMA 3 En elsiguiente circuito calcule Rab. Elvio Candelaria Cruz 49 PROBLEMA 4 En el siguiente circuito calcule Rab. PROBLEMA 5 Calcule la impedancia equivalente entre las terminales a y b.
- 52. PROBLEMA 6 Encuentre laimpedancia equivalente entre las terminales a y b en la red mostrada a la frecuencia ω=103 rad/seg. 50 Problemario de Circuitos Eléctricos II PROBLEMA 7 Encuentre las admitancias propias y mutuas de nodos de la red mostrada que permitan calcular la admitancia equivalente entre las terminales a y b a la frecuencia ω=103 rad/seg.
- 53. PROBLEMA 8 Calcule laadmitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito mostrado a la frecuencia ω=103 rad/seg. PROBLEMA 9 Calcule la admitancia equivalente entre las terminales a y b a la frecuencia ω=2 rad/seg. Elvio Candelaria Cruz 51
- 54. PROBLEMA 10 Calcule lasadmitancias propias y mutuas de nodos que permitan encontrar la Yeq en el circuito mostrado.
- 55. 52 Problemario deCircuitos Eléctricos II
- 56.
- 58. PROBLEMA 1 Usando dosveces divisor de voltaje calcule V. Solución: Para calcular el voltaje en la resistencia de 7.5Ω aplicaremos la siguiente fórmula: ( )( ) Volts R V R V V ab T fv R 45 10 )5.7)(60( == = La siguiente figura muestra el circuito original con la resistencia de 20Ω a la izquierda de a y b, teniendo entre estos puntos la tensión de 45V (fuente aparente). Elvio Candelaria Cruz 55
- 59. Al aplicar divisorde voltaje en la sección de la derecha se tendrá: voltsV 30 48 )45(8 = + = 56 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 60. PROBLEMA 2 En elsiguiente circuito calcu de voltaje. olución: Podemos establecer por L. K. V. (ley de Kirchhoff para voltajes): o bien usando el siguiente diagrama: le Vab empleando divisor S )1(.....................0 −=∴=−+ 1331 VVVVVV abab VVV VVV ab ab 13 31 −=∴ =+ Para calcular V3 pasemos primeramente la rama que contiene a las resistencias de 3Ω 5Ω a la izquierda de la fuente de alimentación, lo anterior con objeto de facilitar la Elvio Candelaria Cruz 57 y visualización del divisor de voltaje.
- 61. 11.11 )20(10 183 ==V Para calcular V1pasemos ahora la rama que contiene a las resistencias de 10Ω y de Ω a la izquierda de la fuente:8 voltsV 5.7 8 )20(3 1 == Sustituyendo en (1): voltsV ab 61.35.711.11 =−= Se sugiere al estudiante comprobar este resultado empleando la trayectoria que V2 y V4. Problemario de Circuitos Eléctricos II involucre a 58
- 62. P 3 olución: 13 ab mediante el siguiente iagrama, se tendrá: ROBLEMA En el siguiente circuito encuentre Vab empleando divisor de voltaje. S Representando las caídas de voltaje V , V y V d VVab 13 −= voltsiii voltsi i i ii i voltsi i i ii i V V V V VVVV ab ab ab º2.8577.177.1147.0101.1561.0669.0708.0 :endoSustituyen 669.0708.0 16 1012 61056 2)56( 101.1561.0 58 610 8335 2)35( 3 1 31 −=−=−−−= −= + − = ++− − = += − + = −++ + = ∴=+ Elvio Candelaria Cruz 59
- 63. PROBLEMA 4 Empleando divisorde corriente calcule las corrientes en las ramas 2 y 3. Verifique la ley de Kirchhoff para corrientes en el nodo A. Solución: La corriente de 5|0º Amp. proveniente de la fuente, se bifurca por las ramas 2 y 3. Así: .929.013.2 10602540 5)2540( .929.086.2 15100 503005)1060(3 i 10602540 32 2 3 32 2 ampi ii i ampi i i ii ZZ IZ I ZZ IZ I fc −= ++− − == += − = ++− == + + Aplicando la ley de Kirchhoff al nodo A: 321 321 fc ++ 0 .5929.013.2929.086.21 ampii III III += =−++= ∴ I =++− Problemario de Circuitos Eléctricos II60
- 64. PROBLEMA 5 Usando reducciónserie-paralelo y divisor de corriente encuentre IX. Solución: Reduciendo resistencias en paralelo entre los puntos A, B y C, D: En el circuito de la figura 3 podemos calcular la corriente total IT. mA kIT 5.22 15 5.337 == Regresando al circuito de la figura 2, tenemos que la corriente IT se distribuye por la resistencia de 20kΩ y por la rama que nos interesa (10kΩ en serie con 20kΩ). Elvio Candelaria Cruz 61
- 65. En la mismafigura 2, aplicando divisor de corriente para calcular I1: mA kkk xk I 9 202010 )105.22)(20( 3 1 = ++ = − En la figura 4 observamos que la I1 se distribuye como se muestra: Aplicando nuevamente divisor de corriente se obtiene Ix. mA k xk 6 )109)(60( 3 == − Ix 90 62 ario de Circuitos Eléctricos IIProblem
- 66. PROBLEMA 6 Dadas lasadmitancias de los elementos del circuito mostrado calcule I2. olución:S Por divisor de corriente para impedancias sabemos que: I Z ZI fc k T k = Como nos dan admitancias, podemos sustituir en la fórmula anterior a Z por Y 1 con s respectivos índices: ustituyendo su Y Z 1 =S donde Yk = 3i y YT = 3+3 = 9-9 i-2i+6+8i (por estar en paralelo) i Elvio Candelaria Cruz 63 I Y I Y Y .135º0.94 9012 0º4 3 amp i = ° =⎟ ⎞ ⎜ ⎛=I 4512.72992 i °−⎠⎝ − Y I k k T == 1 fc T fck 1
- 67. PROBLEMA 7 Aplicando elteorema h n n co ede T éveni encue tre la rrient Ix. . Se separa la parte pasiva (resistor de 6Ω) y se calcula Vab. Solución: 1 Recordar que por ley de ohm (V=ZI) el voltaje en la resistencia de 2Ω y en la bobina de 5i es cero debido a que por ell no circula corrienas te. ( ) Thévenin.6556.23 º1520 voltsi V devoltajeelesqueº19.15568.7º19. .º19.6556.2 º19.5081.7651 amp i º1520 Z J = − = − == Vab T == 2. Para calcular la impedancia de Thévenin se pacifica la red. Pacificar una red significa anular sus fuentes de alimentación. Si es una fuente de voltaje se sustituye por un corto circuito y si es una fuente de corriente por un circuito bierto. Así, el circuito pacificado es: 64 Problemario de Circuitos Eléctricos II a
- 68. Ω+=++ − − == ii iZZ Theq 88.873.252 65 ii)3)(95( 3. Se dibuja el circuito equivalente de Th Ω.évenin y se conecta el resistor de 6 .109.7º0.61 8.888.73 155.19º7.68 xI + = amp i = Elvio Candelaria Cruz 65
- 69. PROBLEMA 8 Aplicando elteorema de Thévenin, calcule la corriente en el resistor de 5kΩ. olución: Separando el resistor de 5kΩ y aplicando el método de mallas para calcular el oltaje de Thévenin entre las terminales a y b, tendremos que: 54000 3 32 321 321 321 Ampx D JJ JJJ − =+ +−=++ De la ecuación (4) tenemos: J3 = 100x10-3 - J2 66 Problemario de Circuitos Eléctricos II S v VTH = (2.7K)(J2) )4(...............................10100 )3(..................................560000 DJJJ =++ )2( )1( .......................200 .................................20004700 JJJ =++
- 70. De la ecuación(2) tenemos: 5400J2 = -20 + D ⇒ D = 5400 J2 + 20 ......................... (A) De la ecuación (3) tenemos: 5600[100x10-3 - J2] = D 560 - 5600 J2 = D...................................(B) Igualando las ecuaciones (A) y (B) tenemos: 5400 J2 + 20 = 560 - 5600 J2 ∴ 11000 J2 = 560 – 20 amp0.049 00 0 .J 110 54 2 == VTh = J2(2700) = (0.049)(2700) = 132.3 volts Pacificamos la red, a fin de calcular RTh. Ω= + = 2037 27008300 27008300x RTh Thévenin se le conecta el resistor de 5kAl circuito equivalente de Ω: mAIx 8.18 7037 3.132 == Elvio Candelaria Cruz 67
- 71. PROBLEMA 9 Encuentre elcircuito equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. Solución: i i i i J )º86.365()3 1 =+JVV abTh 22 37 26 4( 12 22 11 1 −−= += += == z z Estableciendo las ecuaciones de mallas: z ii JJ 0)3(7)22( 21 21 =++−− volts amp. i i ii ii i i ii J JJ Th 26.35º1.76)36.86º)(510.51º(0.352 10.51º0.352 2436 614 3722 2226 370 222 2)22()2(6 1 =−= −= + + = +−− −−+ + −− = =−−++ 68 Problemario de Circuitos Eléctricos II V
- 72. La impedancia deThévenin se calcula del circuito siguiente: += i37 33 z Ω−= °−= ° ° = + + = +−− −−+ +−− −−++ ++ == −−= = += += += i i ii ii ii cof det i i i i Z eq rm eq 93.002.4 1.1313.4 7.332.43 6.205.178 2436 63167 3722 2226 37220 03436 22 0 34 26 36 11 , 23 13 12 22 11 z z z z z z z El circuito equivalente de Thévenin es: iii 222634 i ii Z Elvio Candelaria Cruz 69
- 73. PROBLEMA 10 Utilizando elteorema de Thévenin encuentre la corriente que circula por el resistor de 8Ω. olución: Habiendo separado el resistor de 8Ω, se tendrá la malla 2. Habremos de calcular Vab = VTh. Aplicando el método de ma S llas para encontrar J1 y J2: .491.5 amp= 173 950 1913 1318 190 1350 01913 501318 13 19 18 1 21 21 12 22 J JJ JJ = − − − = =+− =− −= = = z z z11 70 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 74. amp. amp. amp. JI JJI B A 3.757 1.7343.7575.491 5018 2 21 == =−=−= Representando las caídasde voltaje mediante el siguiente diagrama: J 3.757 173 650 173 013 2 == − = volts volts V V VVV VVV B A ABab BabA 514.7)2)(757.3( 202.5)3)(734.1( == == −=∴ =+ Se sugiere al estudiante calcular este voltaje empleando dos veces el divisor de voltaje. Para calcular la resistencia de Thévenin pueden verse los problemas 6, 8 o 9 del Capítulo I (Estructuras pasivas de dos terminales). Al pacificar la red: lvio Candelaria Cruz 71 Por lo que el voltaje de Thévenin resulta: voltsVV Thab 31.2202.5514.7 =−== E
- 75. E = RI∴ R = E/I JJI 21 += (corrientes diferentes de las anteriores) Empleando el método de mallas: Ω== + == = = − 18103 − − = =+− =−+ =++ −= = = = = 66.3 173 634 634 51 634 122 634 634 122 1014 18100 30 018103 10140 305 10 3 0 18 5 2 1 321 321 321 23 13 12 33 22 EE E I E R E E E E J JJJ JJJ JJJ z z z z 72 Problemario de Circuitos Eléctricos II = 14 11 z −1014E J 0 305 51E z
- 76. Al conectar alcircuito equivalente de Thévenin el resistor de 8Ω: Ix = 2.31 = 198 mA 11.66 lvio Candelaria Cruz 73E
- 77. PROBLEMA 11 En lared mostrada en to equivalente de Norton entre las terminales a y b. Solución: Se cortocircuitan las term b y se orientan elementos y mallas: Z12 -4i Aplicando el método de mallas: Sustituyendo impedancias de mallas: cuentre el circui inales a y = i i i JJ JJ 4 104 22 0 10 12 22 11 222121 212111 −= += += =+ =+ z z z zz zz 0)104()4( 10)4()22( 21 21 =++− =−++ JJ JJ ii ii La corriente que circula por las terminal rtocircuitadas es la corriente de Norton, en este caso J2. 74 Problemario de Circuitos Eléctricos II es co
- 78. i 1022 + amp i i 8.14º1.4144 28 0 = amp. . ii i I J N 8.14º1.4144 4 4 422 04 2 = + = −+ − = Calculemosahora la impedancia vista entre las terminales a y b, para esto necesitamos pacificar la estructura activa original y conectar la fuente E: ii 1044 +− Ω+= + + = + + + == = += += i i i i ii ii cof det i i i rm abZ 68 22 284 22 224 4104 4 22 104 11 , 12 22 11 z z z z Representando esta impedancia con elementos de circuito tendremos el circuito equivalente de Norton como sigue: lvio Candelaria Cruz 75 z E
- 79. O bien, enfunción de la admitancia: i iZ Y 06.008.0 11 −=== ab ab 68 + Obteniéndose: 76 oblemario de Circuitos Eléctricos IIPr
- 80. PROBLEMA 12 Solución: 1. Separamosla adm b, y cortocircuitamos estas terminales. . Aplicamos divisor de corriente con admitancias para calcular la IN: orton entre las terminales a y b.Encuentre el circuito equivalente de N itancia entre las terminales a y 2 amp. ii i I I Y Y N fc T k k 10.62º0.030(0.05) 3362 )6(2 −= −+− − = = . Calculamos la admitancia de Norton. Pacificamos el circuito abriendo la fuente de orriente: lvio Candelaria Cruz 77 I 3 c E
- 81. i ii ii YN 15.247.1 3362 )33)(62( −= −+− −− = El circuito equivalentede No 78 Problemario de Circuitos Eléctricos II rton entre a y b es:
- 82. PROBLEMA 13 a deNorton calcule la corrientAplicando el teorem e en la carga de 3+4i. . Separamos la carga y cortocircuitamos las terminales a y b: . Aplicamos divisor de corriente: Solución: 1 2 amp. i IN 90º4(10) 5 )2( −= − = 3. La admitancia de Norton se calcula de: Puede observarse que por efecto del circuito abierto la impedancia de 5+3i queda nulada. ndelaria Cruz 79 a Elvio Ca
- 83. Ω== 5 5 1 ZY NN ó .Conectamos la carga al circuito equivalente de Norton y aplicamos divisor de orriente con impedancias. 4 c º56.11623.2 56.2694.8 9020 435 )º904(5 −= ° °− = ++ − = iI LZ amp. 80 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 84. PROBLEMA 14 Obtenga elcircuito equivalente de Norton entre los puntos a y b de la siguiente red. olución: Separamos la carga de 3+4i y cortocircuitamos las terminales a y b. étodo de mallas para encontrar IN: −+ = = +−= −= += += JJ JJJ JJJ J Di Dii i i i i i z z z z lvio Candelaria Cruz 81 S Aplicando el m )4(.......................3 )3(.....................)45(00 )2(......................0)1020()1020( )1(.......................20)1020()1030( 0 0 )1020( 45 1020 1030 23 321 321 321 23 13 12 33 22 11 =− =−++ −=++++ z z =++ JJi − E
- 85. Sumando las ecuaciones(2) y (3): :)1(e )...(............................................................3)1()1( :)4(e ).......(....................0)45()1020()1020( 321 321 321 Cii B Aiii J J J )(........................................20)1020()1030( D 0 D JJJ JJJ =++−+ =+− =−++++ Observamos en nuestro circuito que J3 es la corriente de Norton. Así: − amp.i i ii iii i ii IJ N 22.16º1.820.69011.6941 30390 2)10(201030 110 451020)10(20 0 01020)10(20 =+= + = +−+ − −++− ++− == 31− ii 320640 2)10(201030 + +−+ 3 Calculando la impedancia de Norton: Ω+= + + = ++ + = i i i i i ZA 7 1030 100200 102010 )1020(10
- 86. 82 Problemario deCircuitos Eléctricos II El circuito equivalente de Norton queda:
- 87. Elvio Candelaria Cruz83 PROBLEMA 15 Empleando reducción serie-paralelo e intercambio de fuentes calcule Vab en el circuito mostrado. olución: Del lado izquierdo:S IRV V 12)2)(6( == = volts Del lado derecho en el circuito original, tendremos: V 12)6)(2( == volts
- 88. 84 Problemario deCircuitos Eléctricos II Haciendo las sustituciones correspondientes: voltsRI amp.I I III V VVVVVV ab RRR 202)(10)( 2 03618 01261036212 03610221 −=−== −=∴ =+ =+++++− =+++++−
- 89. Elvio Candelar 85 EmpleandoIL que se indica en el circu olución: ia Cruz PROBLEMA 16 el teorema del intercambio de fuentes encuentre la corriente ito mostrado. S amp. iIL 2.58º1.75 69.4417.08 66.863066.86º30 ° 166 −= ° = + =
- 90. 86 itos EléctricosII Por intercambio sucesi le la corriente que ircula por la resistencia de 8.5Ω. olución: En las figuras siguientes se ilustra el intercambio de fuentes y resistencias ntre a y b: Problemario de Circu PROBLEMA 17 vo de fuentes entre los puntos a y b, calcu c S e
- 91. Elvio Candelaria Cruz87 amp.Iab 1 56 56 8.5 6 5 6 56 == + =
- 92. 88 Problemario deCircuitos Eléctricos II En el siguien empleando el teorema de superposición. Solución: PROBLEMA 18 te circuito encuentre la corriente Ix 1. Hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltaje cortocircuitándola. Ω+= ++ + = i i i ZA 7 102010 )1020(10 Por divisor de corriente: i i i i I 312 321 312 )º03)(7( 1 − + = − + =
- 93. 2. Hacemos actuarahora la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente abriéndola. 89 Aplicando el método de mallas: Elvio Candelaria Cruz 0)625()1020( 2)1020()1030( )1020( 625 1030 21 21 12 22 11 =+++− =+−+ +−= += += JJ JJ ii ii i i i z z Se observa que la J2 = I2. Así: z i i ii ii i i I 339 24 625)1020( )1020(1030 0)1020( 21030 2 + + = ++− +−+ +− + = La corriente total I será la suma de las respuestas parciales I1 e I2:x i i i i I III x x 339 24 312 321 21 + + + − + = += Haciendo operaciones algebraicas podem I1 e I2 a sus formas cartesianas sumarlas, obteniendo un resultado aceptable; sin embargo, a fin de llegar a un sultado más exacto multiplicaremos el numerador y denominador de I por el factor (3+i inador que I2: os convertir y re 1 ) y así obtener el mismo denom amp.i i i i i i i i i ii ii I I x °=+= + + = + + + + + = + + = +− ++ = 22.161.820.69011.6941 339 3264 339 24 339 3060 339 3060 ))(33(12 ))(33(21 1
- 94. Puede verificarse esteresultado con el del problema No. 14 de este mismo capítulo. 90 oblemario de Circuitos Eléctricos II Em Solución: 1. Hacemo la. El circuito queda: Pr PROBLEMA 19 pleando el teorema de superposición encuentre Ix. s actuar la fuente de voltaje y anulamos la fuente de corriente abriéndo amp.I 6 3 3 3 4 14 1 = + = 2. Ahora hacemos actuar la fuente de corriente y anulamos la fuente de voltaje cortocircuitándola. El circuito queda:
- 95. Elvio Candelaria Cruz91 Resolviendo por el m )2...(..............................036 )1......(..............................23 321 321 321 D D étodo de mallas: J )3...(..............................63J J2 JJJ JJJ =++ =++− =+− Restando la ecuación (3) de (1): 36 ).(..............................7 :Además ).......(..........044 321 31 321 C B A ).....(..........0 :(2)dey JJJ JJ JJ =++ =+ =−− − 321 321 =++− =++ J Ordenando coeficientes de estas tres ecuaciones: 044 321 =−− JJJ 036 70 JJJ J J J
- 96. 92 Problemario deCircuitos Eléctricos II amp. 041 − J 1 14 14 361 101 441 701 3 = − − = − −− = Se observa en el circuito que a total es Ix = I1+I2. 061− I2 = -J3. Así, la respuest Ix = 6 + (-J3) = 6+(-1) =5 amp.
- 97. lvio Candelaria Cruz93 PROBLEMA 20 Obtenga la red dual de la red dada empleando dualidad especial y verifique la correspondencia entr Solución: rocedimiento a (líneas gruesas), orientando las mallas en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 2. Se asigna a cada malla (ventana) un punto que será un nodo de la red dual y cuyo número será el de la malla de la red dada que lo encierre. 3. Se trazan líneas de un nodo a otro que pasen por un solo elemento (líneas delgadas), con lo cual se formarán mallas de la red dual. Estas mallas se designarán con el número del nodo de la red dada que quede encerrado por la malla formada. 4. Se orientan las mallas de la red dual en el sentido de las manecillas del reloj. modo que coincida el número de isma red dada y el número de incidencia del elemento dual con respecto a malla de la red dual. E e sus ecuaciones. P . Se dibuja la gráfica de la red dad1 5. Los elementos de la red dual se orientan de incidencia del elemento de la red dada con respecto a nodo de la m
- 98. 6. Se extraela gráfica dual y se sustituyen los elementos básicos correspondientes en cada elemento general de dicha gráfica. 4 Problemario de Circuitos Eléctricos II En la red original se tiene: λ = número total de elementos de la red dada = 5. 9 υ -c = número de nodos independientes de la red dada = 2. μ = número de mallas independientes de la red dada = 3. Gráfica de la red dual. En la red dual se tiene que: λ = 5 elementos. υ -c = 3 nodos independientes. μ = 2 mallas independientes.
- 99. Al aplicar lacorrespondencia entre elementos dada por el principio de dualidad especial se obtiene la red dual siguiente: Elvio Candelaria Cruz 95 Correspondencia entre ecuaciones: Red dada Red dual ILiV IRV I i S V I i S RV EIRV 555 444 3 3 3 2 2 22 1111 ω ω ω = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += −= ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ VCiI VGI V i I V i GI IVGI fc 555 444 3 3 3 2 2 22 1111 ω ω ω = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += += Γ Γ odo I) malla 1)↔ 0431 =−− VVV0431 =−− IIIn Inodo II) − 05432 =−++ I I I ↔ malla 2) l 05432 =−++− VVVV ma la 1) 0321 =−−− VVV ↔ nodo 1) 0321 =−−− III la 2) 043 =−VVmal ↔ nodo 2) 043 =− II malla 3) 052 =−VV ↔ nodo 3) 052 =− II
- 100. 96 itos EléctricosIIProblemario de Circu
- 101.
- 102. PROBLEMA 1 Usando dosveces el divisor de voltaje encuentre Vab.
- 103. PROBLEMA 2 En lasiguiente red calcule Vab empleando divisor de voltaje. PROBLEMA 3 Usando reducción serie-paralelo y divisor de corriente encuentre la corriente Ix. Elvio Candelaria Cruz 99
- 104. PROBLEMA 4 Aplicando intercambiode fuentes y el teorema de Thévenin encuentre la corriente en la carga de 50+20i. PROBLEMA 5 Empleando el teorema de Thévenin encuentre la corriente en la carga de 3Ω. PROBLEMA 6 Encuentre el circuito equivalente de Norton entre las terminales a y b. 100 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 105. PROBLEMA 7 Encuentre elcircuito equivalente de Norton entre las terminales a y b. PROBLEMA 8 Empleando intercambio de fuentes encuentre la tensión entre los puntos a y b del circuito mostrado. PROBLEMA 9 En el siguiente circuito encuentre Ix empleando el teorema de superposición. Elvio Candelaria Cruz 101
- 106. PROBLEMA 10 uito mostradoy verifiqueObtenga la red dual del circ la correspondencia entre sus Problemario de Circuitos Eléctricos II ecuaciones (emplee dualidad especial). 102
- 107.
- 109. PROBLEMA 1 Dada lafunción i(t) = I0sen(ωt) representada en la gráfica, encontrar: a) El valor medio Im. b) El valor eficaz Ief. Solución: a) El valor medio de la función i(t) = I0sen(ωt) con ωt como variable independiente y periodo T=2π es: [ ] [ ] 01]1[ 2 cos(0))cos(2 2 )cos( 2 )()sen( 2 1)(1 0 2 0 0 2 0 0 00 =+−= +−=−=== ∫∫ π π π ωt π ωtdωt π dtti T II IIII m π π T m b) El valor eficaz o r.m.s. de la función dada es: [ ] 2 0 2 2 2 )sen(2 4 1 22 )()(sen 2 )()sen( 2 11 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 00 2 IIII III π π ωtωt π ωtdωt π ωtdωt π dti T π ef ππT ef =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = −=−= == ∫∫∫ Elvio Candelaria Cruz 105
- 110. PROBLEMA 2 Calcule lapotencia activa, reactiva, aparente y el factor de potencia en la rama 2 del circuito dado. Dibuje el triángulo de potencias de esta rama. Solución: IZP 2 = La corriente en la rama 2 es J2 , luego: JZP 2 2 = Aplicando el método de mallas: 0)1555()5030( 12)5030()4045( 5030 1555 4045 21 21 12 22 11 =++−− =−−++ −−= += += JJ JJ ii ii i i i z z z 106 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 111. resolviendo para J2: amp. i i ii ii i i J°= °− ° = − + = ++− +−+ +− + = 61.10.201 2.063447.24 59699.71 1253475 )512(30 1555)50(30 )50(304045 0)50(30 124045 2 l sustituir valores en:a VAiiZP I °=+=+== 19.5472.14.101.1)201.0)(3525( 2 2 e la expresión: = P + iP obtenemos: activa= 1.01 Watts = 1.4 VAR´S aparente= 1.72 VA p.= cos(54.19°) = 0.58+ (adelantado) riángulo de potencias en la rama 2: D P a r P Preactiva P f. T lvio Candelaria Cruz 107E
- 112. PROBLEMA 3 otencia activa,reactiva, aEn la red dada encuentre la p parente y el factor de potencia Solución: de la carga total. Posteriormente calcule las mismas potencias P1 y P2 empleando divisor de corriente y compruebe que PT = P1 + P2 e igual a la potencia de la fuente de alimentación. i amp. i i i ii IZP Z V I Z Z T T T T 27.9690.4617.18º94.69(1.90)17.18º26.23 1.90 26.23 50 Ω17.18º26.23 Ω17.18º26.23 12.52º46.09 29.7º1209.3 1045 6001050 1045 )30)(1520 2 2 +==== === = −= − − = − − = − − = De donde podemos ver que: ’S (30 + Pactiva= 90.46 watts Preactiva= 27.96 VAR Paparente= |P| = 94.69 VA El ángulo de la potencia es el mismo que el de la impedancia conjugada ZT delantado). 08 Problemario de Circuitos Eléctricos II . El factor de potencia vale: f.p. = cos(17.18º) = 0.95+ (a 1
- 113. Cálculo de lapotencia en la rama 1: )(0.8)33.7ºcos( 68.6 '38 57.3 33.7º68.63857.3)(1.38)20(301 30.32º1.3830.32º 46.09 63.72 1045 )17.18º)(1.9030(15 :corrientededivisorPor 17.18º1.90 V I === 17.18º26.23 2 2 1 1 atrasadof.p. VA SVAR watts ii amp. i i amp. Z P P P IZP I ap r a −=−= = = = −=−=−== == − − = − Cálculo de la potencia en la rama 2: 0º50 I = 1.90|17.18º amp. Por divisor de corriente: ( ) )(0.44 73.4 '66 33 º63.4373.466633)(1.48)30(15 2 63.39º1.48 12.52º46.09 50.87º68.49 1045 17.18º1.90)20(30 2 i I + = 2 2 22 adelantadof.p. VA SVAR watts ii amp. i P P P IZP ap r a += = = = =+=+== = − = − Comprobación de la conservación de la potencia. La potencia total debe ser la suma e las potencias de cada rama. esultado coincidente con el obtenido al calcular PT inicialmente). d PT = P1 + P2 P1 P = 57.3 – 38i 2 = 33 + 66i PT = 90.3+28i (r Cálculo de la potencia en la fuente de alimentación: °=°== 18.1795)8.1790.1)(50(IVPf lvio Candelaria Cruz 109E
- 114. PROBLEMA 4 a, reactivay el factorEncuentre la potencia activ de potencia total del circuito mostrado cuando la potencia reactiva en rama 2 es de 2000 VAR’S. Dibuje el Solución: en la rama 2 es: la triángulo de potencias. La potencia iii IIP 2502)2050(2 =+= II 2000250220 2222 +=+ Igualando partes imaginarias: Este resultado se pudo obtener también sabiendo que la potencia reactiva en la rama amp.I 102 100 20 0 22 = =ii II 200 200020 22 =∴= 2 es debida al capacitor, así: ( )( ) ( ) ( ) i i i i i i ii ii amp.ii II 20 22 === Z V Z V PPP IZV VV IZ T cc 383.511355.4538.5 10460 18 (538.5) 502300 590 502300 )154020(50 538.5 2050 (538.5) 1540 (538.5) 538.5102050 102200022 22 2 22 2 2 2 1 2 1 21 22 222 21 −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − − = = − ++− = − + + =+=+= =+== = =∴P
- 115. 110 Problemario deCircuitos Eléctricos II r a −=−= = riángulo de potencias: Obteniéndose: )(0.99)1.93ºcos( '383.5 11355.4 atrasadof.p. SVAR watts P P = T
- 116. Elvio Candelaria Cruz111 Obtenga el triángulo de poten otencia del circuito dado, si la otencia reactiva consumida es de 1000 VAR’S (capacitivos o adelantados) olución: PROBLEMA 5 cias total y el factor de p p S Ω= Ω−= − − = − − = − −− = 5( º7.2779.3 º7.2779.3 º2555.16 º7.5280.62 715 5038 715 )410)(3 Z ZT T i i i ii Como el ángulo de la impedancia conjugada es el mismo que el de la potencia ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = IZP , podemos calcular por funciones trigonométricas la potencia activa y la ente. ⎞2 potencia apar ⎛ wattsP P a a 1901 0.5259 1000 1000 )(27.7 == tg ∴ =° Potencia aparente = |P|:
- 117. 112 Problemario deCircuitos Eléctricos II )(88.0)º74.27cos(.. 2148 465460.0 )74.27sen( VAP P ==∴=° 10001000 adelantadopf +== con lo cual, el triángulo de potencias queda: Otro método: Conocida la Ω+== iZT 7664.13576.3º74.27793.3 odemos aplicarp : 2 IZP = iP II 2 7664.13576.3 += Sabemos que Pr = +1000 VAR’S (capacitivos o adelantados) por lo que: 2 VAP iiP II 1231.566 1000 10007664. 22 ==∴= 214810001901 10001901)1231.566(76.1)1231.566(35.3 7664.1 22 =+= +=+= ue son los mismos resultados obtenidos anteriormente. 1 q
- 118. Elvio Candelaria Cruz113 La potencia reactiva consumi 1 = 5|45º PROBLEMA 6 da por dos impedancias Z Ω y Z2 = 10|30º Ω en serie es 1920 VAR’S en retraso otencia activa Pa y la potencia aparente |P|, así como el factor de potencia. Obtenga el triángulo de potencias. olución: (inductivos). Hallar la p Potencia reactiva = 1920 VAR’S (inductivos) S IIIZIZP PPP z z1 66.8 += iii i i T 222 2 2 1T 21 2 )53.819.12()566.853.353.3( 5 53.353.3 −=−+−=+= += += igualando partes imaginarias: Triángulo de potencias: )(0.81)35ºcos( 3350 '1920 2744 :queAsí 35º335019202744 225.08 8.53 1920 atrasadof.p V.A. SVAR watts i P P P P I T r a T −=−= = = = −=−= == 19208.53 2 2 ii I ∴ −=−
- 119. 114 ario deCircuitos Eléctricos II Encuentre la potencia compleja del circuito mostrado, así como el factor de potencia Solución: Problem PROBLEMA 7 sabiendo que la potencia activa total consumida es de 1500 watts. )1(.............................. 45 )63() 2 i 13 32( 6332 222 2 2 1 2 21 i ii PPP VVV Z V Z V − + − = + + + +=+= la parte real de la suma de los dos últimos términos de la ecuación (1) es la potencia real o activa total, entonces: V =P 6802 129 )585)(1500( 1500 585 129 1500 45 32 1500 4513 2 13 3 2 2 22 == 2 ∴ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ V V VV = ⎞⎛ + =+ V
- 120. Elvio Candelaria Cruz115 )(518.0)º8.58cos(.. atrasadop 2895 '2477 1500 º8.5828952477150090746.4537.156946.1046 90746.453 45 )63)(6802( 7.156946.1046 13 )32)(6802( :(1)detérminocadaen6802dosustituyen 21 2 1 2 VA SVAR Watts iii i i i i PPP P P V r a −=−= = = = −=−=−+−=+= −= − = −= − = = P P P f
- 121. 116 Problemario deCircuitos Eléctricos II PROBLEMA 8 En el circuito mostrado la potencia en el resistor de 10Ω es de 1000 watts y en el ircuito total es de 5000 VA con un factor de potencia de 0.90 adelantado. Hallar Z. olución: Método 1 c S Ω1.572.1436.392.66 58.1940.35 21.8107.70 58.1940.3534.3021.271034.3031.271047.6446.42 1047.6446.42 47.6446.42 21.8107.70 25.845000 I = ° =∴ 25.845000 21.8107.70 )104(10 10 101000 25.84cos(0.90) 11 1 1 1 1 21 2 2 21 2 2 i ii IV i amp. Z ZI V I V Z I I III V VV I I IVIVI amp. amp. volts −=°−= = ° ° === °=+=−+=−°=∴ +=° += ° °− °= °= +== = = °= += V ang 2ramalaenactivapotencia 22 2IRP a == 2 100 2 2I =∴
- 122. Elvio Candelaria Cruz117 Método 2. iZ iZ iZ iZ voltsi amp. ang Z Z Z Z V P V V IZVV II I IR T T T T T watts 410 )4(10 25.84 410 )4(10 Ω25.842.32 25.845000 11600 11600 25.845000 11600 21.8107.70)104(10 10 100 10 1000 1000 10002ramalaenactivaPot. 25.84cos(0.90) Asimismo 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 ++ + =°− ++ + = °−= ° =∴ =° = = °=+= == == ==∴ = = °= = 2.14 - 1.57i Ω 2.32 haciendo operaciones algebraicas para despejar a Z, obtenemos: Z
- 123. 118 Problemario deCircuitos Eléctricos II Método 3. )1.........(.............................. 410 84.25)90.0cos( 222 i ang V Z V Z V P T T + +== °= La parte real o potencia activa en la rama 2 vale 1000 watts Ω−= °−=°−= += i Z 25793500 1600 + =∴ −+=+ °−+=+ + +=° =∴= = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + i i Z i Z i iZ i V V V Re 57.114.2 38.36668.238.36 5.4347 11600 4001000 11600 21794500 8.211077 11600 21794500 410 1160011600 84.255000 :(1)ecuaciónlaenvaloresdoSustituyen 116001000 116 10 1000 410 2 2 2 1 i Z 25793500 11600 Z
- 124. Elvio Candelaria Cruz119 PROBLEMA 9 En la red de C.D. dada halle el valor de RL para el cual se tendrá una máxima transferencia de potencia. Calcule la potencia máxima. Solución: 1. Por intercambio de fuentes simplificamos la red. 2. Se deberá hallar el circuito equivalente de hévenin.T
- 125. JJ JJ 10204 8410 21 21 =+− =− amp.J JVTh 0.7173 184 132 204 410 104 810 11 2 2 == − − − = = 20 Problemario deCircuitos Eléctricos II1 V voltsTh 7.89.7173) = La resistencia de Thévenin se calcula de: RTh = 4.42 Ω 3. Se calcula la potencia máxima en RL. 11(0=
- 126. El valor deRL debe ser igual al de RTh para que se transfiera la máxima potencia. watts amp.I IRLmax )4.42(0.892 2 2 == PROBLEMA 10 Pot 3.51 0.892 8.84 7.89 = == Elvio Candelaria Cruz 121 En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de carga ZL que dé lugar a la transferencia de potencia máxima y calcule dicha potencia. V Solución: 1. Hallemos el circuito equivalente de Thévenin, obteniendo Th de:
- 127. voltsiiiiIiI amp.iI i iii VTh °=+=−=+= −= − +=+++= 10.952.759.98451.8)3.70(0.713214410 3.700.7132 2600500100 25)2(41085 11 z Cálculo de laimpedancia de Thévenin: 122 Circuitos Eléctricos II I = 100 11 z i6 i IIi = + =∴=+ 701265 100)26(5 Problemario de i i i i i ii ii iii iiii i ZTh 73.24.1 701 1914980 265 5064 265 26514 1410 14410 265)4(21085 10 12 22 11 += + = + +− = + + = =+= +=+++= = z z z El circuito equivalente de Thévenin es:
- 128. 2. La máximatransferencia de ZZ ThL =potencia tiene lugar cuando La impedancia total del circuito es: ZT = 1.4 + 2.73i + 1.4 - 2.73i = 2.8Ω Elvio Candelaria Cruz 123 3. Calculemos I1 Ω, porque la bobina y el condensador se anulan). (nótese que la carga se reduce a 1.4 watts amp. V Pot IRPot max Lmax T 496 1.4(18.83)1 :esdatransferimáximapotencialay 10.952.75 2 2 = == ° Z I 10.918.83 2.81 °===
- 129. 24 Problemario deCircuitos Eléctricos II1
- 130.
- 132. PROBLEMA 1 El circuitoserie mostrado consume 64 watts con un factor de potencia de 0.8 en retraso. Hallar la impedancia Z y el triángulo de potencias. PROBLEMA 2 Encuentre la potencia compleja y el factor de potencia en cada rama de la red dada. Compruebe la conservación de la potencia compleja. PROBLEMA 3 Empleando divisor de corriente encuentre la potencia en cada rama del circuito dado y compruebe que Pfc = P1 + P2. Elvio Candelaria Cruz 127
- 133. PROBLEMA 4 étricas obtengala potencMediante funciones trigonom ia reactiva, aparente y el factor PROBLEMA 5 En la siguiente configuración nte, activa, reactiva y el factor de potencia en Z . Obtenga el triángulo de potencias en dicha impedancia. =20|0° de potencia del circuito dado, sabiendo que la potencia activa consumida es de 2000 watts. Dibuje el triángulo de potencias. calcule la potencia apare 5 E volts 2 = 2+2i i 28 Problemario de Circuitos Eléctricos II Z1 = 3 Z Z3 = 2i Z4 = 1 + i Z5 = 4 + Z6 = 1 + 2i 1
- 134. PROBLEMA 6 1La potenciareactiva consumida por dos impedancias Z = 8|-15° Ω y Z = 20|-45°2 Ω en serie es de 800 VAR’S adela activa, aparente y el factor de potencia. Calcule la potencia compleja en cada rama del circuito dado, cuando la potencia reactiva en la rama 3 es de 500 V En el circuito mostrado determine el valor de RL al cual se le transfiera la máxima potencia y calcule dicha potencia Elvio Candelaria Cruz 129 ntados. Hallar la potencia PROBLEMA 7 AR’S. PROBLEMA 8 .
- 135. PROBLEMA 9 En elcircuito dado determine el valor de RL que dé lugar a la máxima transferencia de potencia. Calcule la potencia máxima suministrada a la carga. P 10 ZL que dé lugar tencia máxima y calcule dicha potencia. 130 Problemario de Circuitos Eléctricos II ROBLEMA En el circuito mostrado encuentre el valor de la impedancia de carga a la transferencia de po
- 136.
- 138. PROBLEMA 1 Diseñe uncircuito RLC serie resonante para la corriente con una tensión de entrada de 5|0° volts que tenga las siguientes especificaciones: a) Una corriente pico de 10 mA. b) Un ancho de banda de 120 Hz. c) Una frecuencia de resonancia de 3x103 Hz. Encuentre R, L y C y las frecuencias de corte. PROBLEMA 2 Un circuito RLC serie con R=20 Ω y L=2 mHy operando a una frecuencia de 500 Hz tiene un ángulo de fase de 45° en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para la corriente del circuito. PROBLEMA 3 La tensión aplicada a un circuito serie RLC con C=16 μF es de )301000cos(2120)( °−= ttv volts y la corriente que circula es tti 1000sen23)( = amp. Encuentre los valores de R y de L ¿cuál será la frecuencia de resonancia ω0 para la corriente? Elvio Candelaria Cruz 177
- 139. PROBLEMA 4 Se tieneun circuito RLC serie con una frecuencia de resonancia para la corriente PROBLEMA 5 En la red dada: a) Calcule la Q0 de la red. para la resonancia en V. banda es de 5000 Hz. PROBLEMA 6 Calcule el valor de C para que el circuito mostrado entre en resonancia para V a una 78 Problemario de Circuitos Eléctricos II de f0 = 300 Hz y un ancho de banda AB = 100 Hz. Encuentre la Q0 del circuito y las frecuencias de corte f1 y f2. b) Encuentre el valor de XC c) Determine la frecuencia de resonancia f0 si el ancho de d) Calcule el máximo valor de la tensión VC. e) Calcule las frecuencias de corte f y f .1 2 frecuencia angular ω0 = 25000 rad/seg. 1
- 140. PROBLEMA 7 a) Encuentrela frecuencia b) Calcule las reactan c) Encuentre ZT d) Si E=200|0° En el circuito dado: ω0 que haga mínima la corriente I. cias XL y XC a esta frecuencia. a la frecuencia ω0. volts encuentre I, I e I . LEMA 8 En el circuito RLC paralelo que se muestra: a) Encuentre po para la corriente en el er problema núm. 7 resuelto). ) Verifique los resultados anteriores haciendo el desarrollo completo del método. P 9 Deduzca la expresión para calcular la frecuencia de resonancia para V en el circuito paralelo de dos ramas mostrado. Elvio Candelaria Cruz 179 L C PROB r dualidad la frecuencia de resonancia ω0 capacitor y la expresión para el módulo máximo de dicha corriente (v b ROBLEMA
- 141. PROBLEMA 10 En elcircuito paralelo de do ncuentre el valor de L y de C para que la red entre en resonancia para V a cualquier frecuencia. Exprese la condición que relacione a R , R , L y C. 80 Problemario de Circuitos Eléctricos II s ramas que se muestra, e L C 1
- 142.
- 144. PROBLEMA 1 En elcircuito dado ifc(t) = 5 + 10sen1000t + 15sen(2000t + 30°) amp. Calcule el voltaje instantáneo en la bobina y en el resistor en serie con la fuente. Solución: Se observa que la fuente posee término constante y términos senoidales, por lo que habrá que resolver la red auxiliar de C.D. y la red auxiliar de C.A. Calcularemos primeramente el voltaje en la bobina en cada red auxiliar. Red auxiliar de C.D. En corriente directa la bobina se comporta como corto circuito. Ω=== 0)0( LiLiZL ω Por tanto v0 = 0 volts Red auxiliar de C.A. La red auxiliar de C.A. es el circuito original con corrientes y voltajes complejos. Elvio Candelaria Cruz 183
- 145. En el análisisde problemas con fuentes senoidales de diferentes frecuencias se aplica el teorema de superposición, es decir, haremos actuar por separado cada término de la fuente para obtener una respuesta parcial y la suma de estas respuestas parciales será la respuesta total. El voltaje en la bobina está dado por: = Consideremos primeramente el término VL ZeqI volts xix xix amp. seg radω tt V IZV Z I i eq eq fc °= °°== °= ° ° =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = °== °↔= − − 88.4879.9 )0)(1088.48(7.99 Ω88.487.99 1.52300.1 902400 )10)(810(300 )10)(810(300)( 010,1000para 01010sen1000)( ' ''' ' ' ' 33 33 Este complejo corresponde a la senoide Ahora consideremos el segundo término senoidal de la fuente. voltsttv )48.881000sen(9.79)(' °+= volts i ix xxi xxi amp. seg radω t IZV Z I ti eq eq °=°°== °= ° ° = + = + = °== °↔°+= − − 116.95239.55)30)(1586.95(15.97 Ω86.9515.97 3.05300.42 904800 16300 16300 )10)(810(2300 )10)(810)(2(300)( 3015,2000para 3015)3015sen(2000 '''''' '' '' )('' 33 33 uya senoide correspondiente es: Problemario de Circuitos Eléctricos II C voltsttv )95.1162000sen(55.239)('' °+= 184
- 146. Por lo queel voltaje instantáneo en la bobina es: voltstttv tvtvvtv L L )95.1162000sen(55.239)48.881000sen(9.79)( )('')(')( 0 °++°+= ++= El voltaje instantáneo en el resistor de 500 Ω es: ( ) voltstt voltsfc tv titv R R °+++= = 302000sen75001000sen50002500 500 )( )()( Elvio Candelaria Cruz 185
- 147. PROBLEMA 2 Calcule elvoltaje instantáneo en el capacitor del circuito mostrado, cuando la fuente 6 r de C.D. es E(t) = 10 + 5sen(10 t +60°) volts. Solución: Red auxilia ino constante de E(t). En corriente directa el capacitor seConsideremos el térm comporta como circuito abierto. Ω∞=== CiCiZc )0( 11 ω Por divisor de voltaje: )(66.6 66.6 150 10 10050 )10(100 100v == + = 3 00 vvv c volts volts == Red auxiliar de C.A. 186 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 148. Consideremos ahora eltérmino senoidal de E(t). Ω50.254.980.24987.144.994 2.86100.125 90500 5100 )5100( C.A.)deauxiliarredlaen(indicada comodesignamoslacapacitorely100ΩderesistordelparaleloenimpedancialaA Ω5 10 1051051 605',10para 605)605sen(10)(' 6 tt °°+= . 6 66 6 ii i i i ix ω ix iω Eseg radω Z Z Z Z Z eq eq eq C C −≅−=°−= °− °− = − − = −= −=−== °== ↔ C Aplicando divisor de voltaje para hallar el voltaje en el capacitor, tendremos: E ( ) ( )( ) volts iiZ V C eq C °−= °− = − = −+ = + = 46.21495.0 68.55.50525.50525.05050 ' ' El voltaje instantáneo en el capacitor es la suma de las respuestas parciales de los rminos de la fuente E(t). C CC °−+= += 46.2110sen495.066.6 6 0 )( )(')( Elvio Candelaria Cruz 187 EZeq °−°−°°− 14.272514.272560514.87994.4' V té ( ) voltsttv tvvtv
- 149. P 3 Obtenga laserie trigonométri “diente de sierra” dada. Solución: En la figura drá términos senos (todas las constantes ROBLEMA ca de Fourier de la onda se puede observar lo siguiente: 1. El valor medio de la función es cero. . La función es impar, por lo tanto sólo conten2 an serán cero). La serie trigonométrica de Fourier de f(t) está dada por: ( )∑ ∞ = ++= ++++++= 2121 2sensen...2coscos 2 )( tttt bbaa ωωω 1 0 0 sencos 2 )( :compactaformaEn ... n nn tntntf t ba a ωω ω Los coeficientes de Fourier se calculan de: af ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ == n + + + + = = = == Tt t dttf T Tt t dtttf T n Tt t tdtntf T Tt t a a a a bn 0 0 0 0 0 0 0 )( 1 2 0cos)( 2 :en0nsustituirAl . 2 deCálculo ,...3,2,1sen)( 2 ,...2, 2 0 0 n 0 ω ω 188 Problemario de Circuitos Eléctricos II tdtntf Tan 0 1,0cos)( ω
- 150. En nuestro casoelegiremos 2 T −= .0t ∫− 2 T Pudimos tomar 0=0, pero esto implicaría integrar dos intervalos de la función (de <t<T/2 y de T/2<t<T). Así que tomando t0=–T/2 el único intervalo a integrar es = 20 )( 1 2 T dttf T a t 0 T/2<t<T/2. 0 222 2121 2 2222 0 = ∫ T T a 2 2 2 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − T T TT T Vt T V T tdt T V T Cálculo de an. ∫ ∫∫− = 22 T Tn f Ta − − == 2 2 2 2 2 2 .cos 4 cos 22 cos)( T T T T tdtnt T V tdtnt T V T tdtnt ωωω Integrando por partes: u ∫ ∫−= =∴= =∴= dtdut 1 vduuvudv tn n vtdtnv ω ω ω sencos sustituyendo expresiones: d [ ] 0)(coscos 14 2 2 cos 1 2 2 cos 14 cos 1 0 2 2 sen 22 2 sen 2 4 sen 1 sen 4 2 ⎢ ⎡ −= ωtn tV T 222 22222 2 2 222 2 2 2 2 =−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣ − − − ∫ ππ ω π ω π ω ω ω π ω π ω ω ωω nn nT V T T n n T T n nT V tn n T T n n TT T n n T T V tdtn nnT T T T T T n 44444444 344444444 21 lvio Candelaria Cruz 189 a E
- 151. Cálculo de bn. ∫− =2 (Tn tf Tb ∫∫ −− == 2 2 2 2 sensensen) TT tdtnt T tdtnt TT tdtn ωωω 22 4222 T TT VV Integrando por partes: vduuvudv −=∫ ∫ tn n vtdtndv dtdutu ω ω ω cos 1 sen −=∴= =∴= ( )[ ] ( )[ ] ...3,2,1cos 2 0sensen 1 2 2 sen 2 2 sen 1 sen 1 cos2 coscos 2 2 cos 2 2 cos 4 4 2 cos 42 cos 4 4 cos 1 cos 4 22 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 =−=+= =−−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == −= −−−= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−= − −− ∫ nn n V nn n T T n T T n n tn n n n V nn n VT T n T T n n T T V T n n TT n n T T V ttdn n tn n t T V b b n T T T T T T n π π ππ ω ππ ω ω ω π π ππ π ππ π ω π ω π ω ω ω ω BA B B A A A BA 44 344 2144 344 21 La función cos nπ es positiva para n par y negativa para n impar, con lo que el signo la serie trigonométrica de Fourier es:de los coeficientes se alterna. Así, ( )( ) ∑ ∑ ∞ = + ∞ = −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +−+−= ...4sen 4 1 3sen 3 1 2sen 2 1 sen 2 )( tttt V tf ωωωω π 1 1 1 sen 2 )1()( sencos 2 )( :compactaformaEn n n n tn n V tf tnn n V tf ω π ωπ π 190 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 152. PROBLEMA 4 rectangular quese muestra. Solución: De la form ón es par, por lo tanto la serie sólo contendrá términos cosenos (todas las Obtenga la serie trigonométrica de Fourier para la corriente i(t) dada por el pulso a de onda dada se puede observar lo siguiente: 1. La funci constantes bn serán cero) más una constante 2 0a . 2. La función es susceptible de tener simetría de media onda, por lo que la serie contendrá solamente términos impares cosenos má 2 0as la constante . L 3. El valor medio de i(t) es 3: a serie trigonométrica de Fourier de f(t) está dada por: ( )∑ ∞ = ++= ++++++= 0 coscos)( ttf aa a ω 1 0 2121 sencos 2 )( ...2sensen...2 2 n nn tntntf ttt ba a bb ωω ωωω Cálculo de :compactaformaEn 2 0a . tes integración de la función f(t) en un ciclo pueden tomarse en diversos ejemplo si tomamos t0=0 debemos realizar tres integrales, en los guientes intervalos: Los lími de intervalos, por si
- 153. Elvio Candelaria Cruz191 ⎧ << << 436 106 t t Si t0=-1, únicamente tenemos que realizar dos integrales: ⎧ <<− 116 t En la figura se ve que T=4 seg. por lo que ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ <<= 310)( ttf ⎪ ⎪ ⎨ << = 310 )( t tf ⎩ ⎪ [ ] ( ) ( ) ( )[ ] 0 2 cos 2 cos 6 2 ;1cos1cos 3 cos 3 0sen 4 2 6sen 4 2 deCálculo 2 sen 12 2 sen 2 sen 6 2 sen 2 sen 6 2 sen 2 3 2 cos30cos 4 2 6cos 4 2 deCálculo 311 4 6 4 6 06 1 2 :1Eligiendo . 24T === 22 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 0 0 . . =−−−= =−−−= −=+= =+=−−= ==+= =+==+= −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ π n π n nπ π ωnωnω nω nω nω nωnω π n nπ π n π n nπ π n π n nπ t π n nπ tdt π nnωnω tdtdt T t π ω π π b b b b a a a a n n n n n n n ttdttdt tdttdt
- 154. 192 Problemario deCircuitos Eléctricos II De la expresión calculada para 2 sen 12 π π n nan = se ve que para n=2,4,6,… y0=an para n impar los signos se alternan, por lo que la serie sólo contiene cosenos impares más una constante 2 0 . Así, la serie trigo de Fourier ea nométrica s: ∑ ∞ = += ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ +−++= ... 2 cos 72 cos 52 cos 32 cos3)(ti π ⎞⎛ − 1n 2 cos 2 sen 12 3 :compactaforman 71513112 tnn n i(t) tttt ππ π ππππ E
- 155. Elvio Candelaria Cruz193 PROBLEMA 5 Exprese mediante su serie tri la señal senoidal rectificada de media onda que se muestra en la Solución: Se observa que la función no presenta ningún tipo de simetría, por lo que no es par ni impar y la serie contendrá términos senos y cosenos. La serie de Fouri gonométrica de Fourier figura. er tiene la forma: ( )∑ ∞ = ++= sencos)( nn tntntv ba ωω Cálculo de a0. Nótese que en este problema la variable es ωt. 12 n 0a [ ] [ ] [ ] ππ π π ω π ωωω π ππ t tv ⎪ ⎨ << = 20 )( πω π π π π VV V t Vt t tdttdVdttf T ttV a a T =−−−= −−=−= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +== ⎩ ⎪ << ∫ ∫ ∫ + 11 22 0coscos 2 cos 2 )(0)(sen 2 1 )( 1 2 0sen 0 0 0 2 0 0 0 ⎧
- 156. 194 Problemario deCircuitos Eléctricos II aCálculo de n )(cossen)(0)(cossen 2 2 2queobservaSe 20 0sen ωV⎪ ⎧ )( 0 2 0 0 ωtnωωt π VωtdωtnωωtV π πT πtπ πtttf ππ π π na tdtd ∫∫∫ =+= = << <<= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎨ Auxiliándonos en tablas de integrales la función a integrar tiene la forma: )()cos(2 0t t ωtnωtf T T na td∫= + c [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )2(1 cos0 )2(1 cos0 )2(1 )cos( )2(1 )cos( )2(1 )0(1cos )2(1 )0(1cos )2(1 )(1cos )2(1 )(1cos )2(1 )(1cos )2(1 )(1cos)(cossen :essoluciónuya ,1,cossen 0 0 0 nnn nππ n nππ n n n n n πn n πn n ωtn n ωtnωtnωωt ωtxnnmdondenxdxmx π π π − + + + − − − + + −= − − + + + + − − − + + −= = − −− + +−= === ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∫ ∫ td Haciendo uso de las identidades trigonométricas siguientes: )(1 1 )2(1 )(1)(1 cos )2(1 2 )2(1 cos )2(1 cos )2(1 cos0 )2(1 cos0 )2(1 sensencoscos )2(1 sensencoscos - :obtenemos sensencoscos)cos( bababa +=− ysensencoscos)os( 222 nn nn nπ nn nπ n nπ nnn nππnππ n nππnππ bababa − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ++− = − + − + + = − + + + − + − + − = −=+c
- 157. lvio Candelaria Cruz195E ( ) 3,5,7,...para0y 2,4,6,...para )(1 2 1cos )(11 1cos + ⎤⎡ V )(cossen 1 1cos 1 1 1 cos )(1 1 )2(1 2 cos 2 220 22222 = = − + −− − + −−−− = = =⎥ ⎦ ⎢ ⎣ == =+=+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ n n nπ V nπ nπn = pero n π ωtdnωωt π n nπ nn nπ nn nπ a a a n n n t Cuando n=1 la expresión para πVV π ( )1cos )1( 2 + − = π π n n V an se indetermina, por lo que habrá que evaluarla por separado para n=1. ∫= ωωω π π 01 )(cossen ttdtVa Haciendo uso de la identidad trigonométrica 1 xxx 2sen 2 1 cossen = , obtenemos: [ ] 0 0 = ⎦⎣ a 0cos2cos 4 2cos 4 1 )(2sen 2 1 1 01 −−=⎥ ⎤ ⎢−== ∫a V t V ttd V π π ω π ωω π π π por lo que, finalmente Cálculo de bn. ⎡ .1,3,5,7,..para0 == nan [ ] [ ] ωtxnnm c nm xnm nm xnm nxdxmx ωtdnωωt π V ωtdωtdnωωtV π πT πtπ πtωtV tv ωtt dnωtf ππ π πn T b === + − − + + + = =+= = << << = = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ∫ ∫∫ ∫ ∫ + y1,donde )2( )(sen )2( )(sen sensen :integralesdePor tablas )(sensen)(0)(sensen 2 2 2 20 0sen )( )()sen( 2 00 2 0 tt tb tTn ⎧ 0
- 158. 196 Problemario deCircuitos Eléctricos II [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )1(2 )sen( )1(2 )sen( )1(2 0)1(sen )1(2 0)1(sen )1(2 )1(sen )1(2 )1(sen )1(2 )1(sen )1(2 )1(sen )(sensen 0 0 n n n n n n n n n n n n n tn n tn ttdnt − − + + + −= ∗ − − − + + + − − + + + −= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + + + −=∫ ππππ ππ ωω ωωω π π Haciendo uso de las identidades trigonométricas siguientes: 10 )2(1 0 )(sensenpero 10)(sensen 10 )2(1 0 )2(1 sencoscossen .0 )2(1)2(1 − + + = nn sencoscossensencoscossen sencoscossen)en( ysencoscossen)en( 0 y ≠∀= − = ≠∀= ≠∀= − = − − = ∀= −+ −=− +=+ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫ n nπ V ωtdnωωt π V nωtdnωωt n nn nππnππ n nππnππnππnππ bababa bababa b b n π n π t t B A BA 444444 3444444 21444444 3444444 21 con n=1 la expresión para bn se indetermina, por lo que b1 deberá evaluarse por separado. s s 0∫ ∫ ∫ ==−=== ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡π π π Vπ π Vωtωt π Vωtωtd π VωtωtdωtV πb 0 0 0 2 1 224 sen2 2 )(sen)(sensen1 Sustituyendo valores en la serie de Fourier dada por: ...2sensen...2coscos 2 )( 2121 0 ++++++= tttttv bbaa a ωωωω
- 159. * Puede verseque la integral buscada vale cero para toda n≠1, sin embargo se hace un desarrollo similar al que se usó para el cálculo de an con el fin de clarificar el resultado. Elvio Candelaria Cruz 197 obtenemos ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−+= +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++−= ++ − + − + − += ...6cos 35 2 4cos 15 2 2cos 3 2 sen 2 1)( sen 2 ... 35 6cos 15 4cos 3 2cos2 )( sen 2 ...6cos )361( 2 4cos )161( 2 2cos )41( 2 )( tttt V tv t VtttVV tv t V t V t V t VV tv ωωωω π π ω ωωω ππ ωω π ω π ω ππ
- 160. 198 Problemario deCircuitos Eléctricos II PROBLEMA 6 Se aplica la señal de la gráfica al circuito mostrado. Encuentre la corriente stantánea i(t). Considere ω=103 rad/seg. olución: La señal en diente de sierra de la figura ha sido analizada en el problema núm. 3, abiéndose obtenido la serie de Fourier siguiente: in S h ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−+−= ...4sen 4 1 3sen 3 1 2sen 2 1 sen 2 )( tttt V tv ωωωω π ustituyendo valores y con una aproximación de los tres primeros armónicos de la serie, ndremos S te E …−+−= t.t.t.t 3000sen4882000sen73121000sen4625)( Analizaremos ahora la red dada como una red con multifrecuencias. Red auxiliar de C.A.
- 161. Empleando superposición tendremos: Primerarmónico de la serie o término fundamental =↔= 1000sen46.25 ')(' E 046.25tE t Elvio Candelaria Cruz ° 199
- 162.
- 163. La suma delas corrientes parciales halladas es la corriente instantánea del circuito. amp.tx txtxti titititi )85.23sen(30001014.08 )97.13sen(20001031.57)75.96sen(100010123.5 3 33 )( )(''')('')(')( °−+ °++°−= ++= − −− Elvio Candelaria Cruz 201
- 164. PROBLEMA 7 Encuentre lacorriente instantánea que circula por la bobina de la red mostrada cuando E(t) está dado por la señal rectificada de media onda mostrada en la gráfica. Considere ω=377 rad/seg. Solución: La señal rectificada de media onda ha sido analizada en el problema número 5, habiéndose obtenido la serie de Fourier siguiente: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−+= ...6cos 35 2 4cos 15 2 2cos 3 2 sen 2 1)( tttt V tv ωωωω π π Sustituyendo valores y con una aproximación de los tres primeros términos de la serie, tendremos: ...)90754sen(44.42377sen10066.63 ...754cos 3 2 377sen 2 1 200 )( )( −°+−+= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−+= tt tt tE tE π π Analizaremos ahora la red dada como una red con multifrecuencias. Red auxiliar de C.D. En corriente directa la bobina se comporta como corto circuito y el capacitor como circuito abierto, por lo que el circuito resultante es: amp.x xi 3 30 1042.44 101.5 63.66 − == 202 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 165. Red auxiliar deC.A. Consideremos el primer término senoidal o primer armónico. ( ) 0).765(5)(2.65 1)(2.65)2.65-(10 areducenseéstas 0).765(510)(2.6510 100)(2.6510)2.65(1010 métododelecuacioneslasenmallasdesimpedancialasdoSustituyen 265)265( 76.5500188.5265500 2651000 0 0100 :mallasdemétodoelAplicando 188.5 2 1 377 265 377 10 :valenreactivoselementoslosdesimpedancialas377Para 0100E'100sen377 21 21 2 2 1 2 2 2 1 2 12 22 11 222121 212111 L 5 C Z Z )(' =−+ =+ =−+ =+− =−−= −=+−= −= =+ °=+ == −=−= = °=↔= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ JJ JJ JJ JJ JJ JJ tE ii ii ii ii ii iii i ii i i seg radω t z z z zz zz Elvio Candelaria Cruz 203
- 166.
- 167. amp.txtx amp.x i ii ii i ii ti JI )197.94sen(754109.6)17.94sen(754109.6 17.94109.6 17.9457.77 0.554 17.854.96 0.554 2.4451.32 1.321.3210 01.32 0.421.3210 33 3 2 )('' '' °−=°−−= °−−= ° − = + − = + − −− == −− − Finalmente, la corrienteinstantánea que circula por la bobina es la suma de las corrientes parciales halladas, esto es: amp.txtxti titiiti L L )197.94sen(754109.6)69.2770.045sen(31042.44 33 0 )( )('')(')( °−+°−+= ++= −− Elvio Candelaria Cruz 205
- 168. P 8ROBLEMA En elcircuito mostrado calcule la tensión y la intensidad de corriente eficaces en el ωt + 2sen(3ωt + 90°) amp. Solución: Las expresiones para calcular la tensión y la intensidad de corriente eficaces son: capacitor cuando la fuente proporciona una señal de la forma i(t) = 15 + 5cos ∑ ∑ = = += += N n nef N 22 1 n nef III VVV 1 22 0 1 0 2 1 2 álculo de la corriente eficaz en el capacitorC ed auxiliar de C.D.R En C.D. no circula corriente por el capacitor, por comportarse como circuito abierto. = 0 206 Problemario de Circuitos Eléctricos II I0
- 169. Red auxiliar deC.A. ( ) amp. amp.t amp. i i iiω t seg radω amp.t amp. i i iiω tt seg rad I 905)905sen(1000) ' °=↔°+= ω N n nef ef C C C C C C III I ti I Z Iti ti I Z ti 2.561.843.125 2 1 2 1 encontrarparafórmulalaAplicando )112.6001.84sen(30 112.61.84 22.68.66 9016 3.338 )(8)90(2 3.33 ))(10)(10(3)(10 11 902)902sen(3000 3000Para )141.340003.125sen(1 141.343.125 51.3412.80 9040 108 )(8)90(5 10 ))(10)(10(10 11 5cos(1000 1000Para 22 1 22 0 623 623 )('' '' '')('' )(' ' )(' =+=+= °+= °= °− ° = − ° = −== °=↔°+= = °+= °= °− ° = − ° = −=== = = ∑= − − = C C lvio Candelaria Cruz 207E
- 170. Cálculo de latensión eficaz en el capacitor Red auxiliar de C.D. voltsV 120)8)(15(0 == Red auxiliar de C.A. ( ) volts voltst volts seg radω voltst volts seg radω 1000ara =P N n nef ef C CCC C CCC VVV V tv IZV tv IZV 1226.1231.25 2 1 120 2 1 encontrarparafórmulalaAplicando )22.6006.12sen(30 22.66.12)112.6)(1.8490(3.33 3000Para )51.3400031.25sen(1 51.3431.25)141.34)(3.12590(10 222 1 22 0 )('' '''''' )(' ''' =++=+= °+= °=°°−== = °+= °=°°−== ∑= 208 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 171. PROBLEMA 9 Se aplicauna tensión tv ωω sen10)753)( +°+= las terminales de un circuito pasivo, siendo la intensidad que resulta ° voltstttω sen(8)60cos(4025 −°−+ a )105cos(5.03cos2)30sen(35)( ++°−+= tti ttωω ω − amp. Calcule la potencia media nciones dadas en términos de s amptttti °++°++°−+= ωωω La fórmula para calcular la potencia media es: del circuito. Expresando las fu enos de amplitud positiva: 5sen10)1053sen(8)30sen(4025) voltstttvt +°−+°++= ωωω .)805sen(5.0)903sen(2)30sen(35)( ∑ −+= N nnnnm IVIVP 00 )cos( 2 1 βα=n 1 Donde V0 e I0 son los términos de C.D. y Vn e In son las amplitudes de cada término e C.A. Asíd [ ] ( ) watts xxx P P IIII VVVV 10840250 ==== m m 70.147868.045.1560 2 1 125 )80cos(5.010)195cos(2860cos340 2 1 )5)(25( :valoresdoSustituyen 80800 19590105 60)30(30 5.0235 33 22 11 3210 321 =+−+= =°−+°−+°+= °−=°−°=− °−=°−°−=− °=°−−°=− ==== βα βα βα lvio Candelaria Cruz 209E
- 172. PROBLEMA 10 En elcircuito mostrado cal potencia media (activa) si se aplica una tensión Solución: cule la corriente eficaz y la .3000sen752000sen1001000sen15015)( voltsttttE +++= amp. amp.t amp. ii voltst seg radω amp.t amp. i i i voltst seg radω ti Z EI Z EtE ti Z EI Z EtE IV T T T T 20sen2000 020 5 0100 Ω510105 0100100sen2000 2000Para )71.56009.48sen(10 71.569.48 71.5615.81 0150 Ω71.5615.81155 ))(50)(10(10 1 55 0150150sen1000 1000Para 0volts;15 )('' '''' '')('' )(' '' ')(' 63 00 = °= ° == =−+= °=↔= = °+= °= °− ° == °−=−=++= °=↔= = == − 10 Problemario de Circuitos Eléctricos II2
- 173. ( ) () [ ] watts xxx amp. amp.ttt amp.t amp. iii seg radω voltst P P P βαIVIVP I II ti tititiIti ti Z EI Z m m m N n nnnnm ef N n nef T T 1374 298)2000(450 2 1 )597.71cos(075)20cos(0100)71.569.48cos(0150 2 1 cos 2 1 fórmulalamediantecalculaseactivaomediapotenciaLa 16.57 274.6559.4440089.87 2 1 7.71209.48 2 1 2 1 aplicamoseficazcorrientelacalcularPara )59007.71sen(3020sen2000)71.56009.48sen(10 escircuitodelainstantánecorrientelaqueloPor )59007.71sen(30 597.71 599.72 075 Ω599.728.3456.66155 3000ara 1 00 222 1 22 0 0 I )( )(''')('')(')( )(''' '''''' = ++= °+°+°+°−°= += = =++=+++=+= °−++°+= +++= °−= °−= ° ° == °=+=−+= = ∑ ∑ = = ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − lvio Candelaria Cruz 211 EtE 07575sen3000 ''')(''' °=↔= p E
- 174.
- 175.
- 176. Calcule el voltajeinstantáneo en el capacitor cuando la fuente de corriente es .)30500sen(3020)( ampttifc °++= PROBLEMA 2 Obtenga la serie trigonométrica de Fourier de la señal “diente de sierra” dada. PROBLEMA 3 Determine la serie trigonométrica de Fourier para la onda cuadrada de la figura. Elvio Candelaria Cruz 215
- 177. PROBLEMA 4 Obtenga laserie trigonométrica de Fourier de la onda mostrada en la figura. PROBLEMA 5 Se aplica la señal de la gráfica al circuito mostrado. Encuentre el voltaje instantáneo en el capacitor. Considere ω=10 rad/seg. PROBLEMA 6 Dado E(t) = 20sen500t + 50sen(100t + 30°) volts, calcule la corriente instantánea que se indica en el circuito mostrado. 216 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 178. PROBLEMA 7 la corrienteinstan R Ω de la red Calcule el voltaje y la corrien otencia media en el resistor de tánea i (t) que circula por el resistor de 10Encuentre mostrada cuando i(t) está dada por la señal de la gráfica. Considere ω = 200 rad/seg. PROBLEMA 8 te eficaces, así como la p 15Ω cuando la fuente es .)303sen(5)602sen(3sen25)( amptttti °−+°+++= ωωω Considere .1000 seg rad=ω PROBLEMA 9 Si E(t) está dado por la s dia onda de la gráfica comoeñal rectificada de me E ...4cos0424.02cos212.0sen5.0318.0)( −−−+= tVtVtVVt ω ω ω (utilice solamente que circula por el circuito mostrado, así como la corriente eficaz 217 los tres primeros términos para representar E(t)), encuentre la corriente instantánea i(t) y la potencia activa total consumida por el circuito. Considere ω = 377 rad/seg. Elvio Candelaria Cruz
- 179. PROBLEMA 10 Se aplicauna tensión tv )50)( °+= a las terminales e un circuito pasivo, siendo la potencia media consumida por el circuito. 218 Problemario de Circuitos Eléctricos II voltstt 2sen(80sen2060 ++ ωω intensidad que resultad .)202sen(3)60sen(52)( ampttti °−+°++= ωω Calcule la tensión y corriente eficaces, así como la
- 180. CAPÍTULO VI REDES DE DOSPUERTOS
- 182. PROBLEMA 1 Caracterice lasiguiente red por sus ecuaciones con parámetros de circuito abierto. Solución: Los parámetros de circuito abierto son los parámetros Z. Las ecuaciones con estos parámetros para una red activa son: VIZIZV VIZIZV 0 22221212 0 12121111 ++= ++= Calculemos primeramente V y V que son los voltajes debidos a la fuente interna con las terminales del cuadripolo abiertas, como se muestra: 0 1 0 2 Por divisor de corriente: .105 6 10 33 . 6 10 6 1010 24 )105(2 3 2 0 1 233 voltsx amp xx IV I k k − − −−− =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ == == + = Elvio Candelaria Cruz 221
- 183. .10 3 2 10 3 10 22 .10 3 10)105(4 3 3 x − − 6 230 2 voltsxx ampx IV I L L −− =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == == Paracalcular los parámetros Z lk, debemos pacificar el cuadripolo (anular fuentes rrespreales) y excitar las terminales co ondientes según las condiciones requeridas. ZZ 2111 ydeCálculo →= =01 1 11 2II V Z Impedancia de entrada [Ω]. →= =01 2 21 2II V Z Impedancia de transferencia directa [Ω]. En ambos parámetros se tiene la condición de que I = 0, por lo que la configuración2 correspondiente es: ( ) 01 2 21 01 1 11 2 2 5.1 6 9 33 )3(3 = = = Ω== + == I I I V Z I ZI Z eq
- 184. 222 Problemario deCircuitos Eléctricos II La corriente que pasa por el resistor de 2Ω es: y(1) 2 1 2Por tanto 233 3 112 11 2Ω voltIV amp. I III == = + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Cálculo de Ω== = 1 )1( 01 1 21 2II IZ ZZ 2212 y →= =02 1 12 1II V Z Impedancia de transferencia inversa [Ω]. →= =02 2 22 1II V Z Impedancia de salida [Ω]. En ambos parámetros se tiene la condición de que I1 = 0, por lo que la configuración correspondiente es: Ω= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + == = 1 24 2 3 2 2 02 1 12 1 I I I V Z I
- 185. lvio Candelaria Cruz223E Se comprueba que en una red puramente pasiva (no contiene en su interior fuentes de ningún tipo) .1221 ZZ = Ω= + === = 3 4 24 )2)(4( 2 2 02 2 22 ' 1 I IZ I V Z eq I Con los resultados obtenidos podemos establecer las ecuaciones que caracterizan a la d.re voltsx voltsx IIV IIV 2 212 3 211 10 3 2 3 4 )1( 105)1(5.1 − − ++= ++=
- 186. 224 Problemario deCircuitos Eléctricos II Caracterice el siguiente cir metros de circuito abierto y obtenga sus circuitos equivalentes en V y en . PROBLEMA 2 cuito mediante sus pará T olución: Las ecuaciones que caracterizan a una red activa con parámetros de circuito abierto o parámetros Z son: S VIZIZV VIZIZV 0 22221212 0 12121111 ++= ++= Cálculo de .- es la caída de voltaje que se tiene de la terminal 1 a su terminalV 0 1 V 0 1 de referencia, debida a la fuente interna, con las terminales del cuadripolo abiertas. .º13506.175.075.0 4 3 )1( 143 6 )1()1( 0 1 voltsii ii iIiV −=−−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++− +−=+−=
- 187. lvio Candelaria Cruz225 . Esta caída es la que se tiene de la terminal 2 a su terminal de E V 0 Cálculo de 2 referencia, con las terminales del cuadripolo abiertas. .3 4 30 = ⎞⎛ == 442 voltsI ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ Para el cálculo de los parámetros Zk,l deberá pacificarse la red y excitar las rminales correspondientes de acuerdo con las condiciones impuestas. V te Cálculo de Z11 y Z21. El circuito correspondiente es: ( ) 01 2 21 1 1 01 1 11 2 2 75.01 17 )1)(7( = = = += ++− +− === I i ii ii I I V Z I IZ I V Z eq La corriente que circula por el resistor de 4Ω, por divisor de corriente es: i i i I i i I I I V Z I V I I 5.05.0 2 18 )1( 4 8 )1( 4 tantolopor, 8 )1( 1 1 01 2 21 1 2 1 4 2 += + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + == ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + = = Ω
- 188. 226 Problemario deCircuitos Eléctricos II Cálculo de Z12 y Z22. El circuito correspondiente es: Puesto que se tiene un cuadripolo puramente pasivo (en su interior no existen fuentes ingún tipo) se debe cumplir que Z = Z (red recíproca). Comprobación de n 21 12 ( ) Ω= + === Ω+= + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + == = = 2 8 )13(4 5.05.0 8 448 4 )1( 2 2 02 2 22 2 2 02 1 12 ' 1 1 I IZ I V Z I I I V Z eq I i i i I La representación de la red mediante su circuito equivalente en V es:
- 189. lvio Candelaria Cruz227E Cuadripolo activo La representación de la red m quivalente en T es:ediante su circuito e En donde: ii iii Ω−=−−=− Ω+=−−+=− ZZ Z1211Z 5.05.15.05.02 25.05.05.05.075.01 1222 Cuadripolo activo.
- 190. 228 Problemario deCircuitos Eléctricos II Calcule los parámetros Z de la siguiente red y obtenga la representación de su PROBLEMA 3 circuito equivalente en V, a la frecuencia ω=2 rad/seg. olución:S Ω=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == Ω−=== iiLi i ii s ZL C 2 1 )2( 2 2 4 ω ω ado es: Z El circuito transform
- 191. lvio Candelaria Cruz229E Cálculo de Z y Z21 . La red correspondiente es:11 Ω−=−= +− = − − === = ii ii i i I I ZI I V Z eq 8.04.0 5 4 5 2 5 )2(2 2 )(2 1 1 01 1 11 2 Con el mismo circuito calculamos Z21 , aplicando divisor de corriente para obtener V2. Ω=+−=+−= − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − == = º5.116894.08.04.0 5 4 5 2 2 22 2 1 1 01 2 21 2 ii i ii i I I I I V Z Cálculo de Z12 y Z22 . El circuito correspondiente es: Al tener una red puramente pasiva ZZ 2112 = .
- 192. 230 Problemario deCircuitos Eléctricos II Ω+= + += +− − +=== Ω+−= i = i i ii ii I Z I IZ I V Z eq 2.13 5 62 6.2 22 )22( 6.2 8.04.0 22 2 2 02 2 22 )'( 1 La representación de la red por su circuito equivalente en V es: Z12 Cuadripolo pasivo (contiene fuentes aparentes).
- 193. Elvio Candelaria Cruz231 PROBLEMA 4 Calcule los parámetros Z de la red mostrada. Solución: Z11 Cálculo de . El circuito correspondiente es: Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes (L. K. I.) al nodo A se cumple que: )1..(..............................01 =−+− III fck Además se observa que V2 = -100V1 ya que I2 =0. 2fc Ifc en (1). Por lo tanto ).100(1010 55 VVI −== −− 1 Sustituyendo
- 194. 232 Problemario deCircuitos Eléctricos II VIVII VII k k 1111 1 5 1 10)100(10 0)100(10− −=−= 35 −− ∴ =−−+ or ley de ohm se tiene que: − P ( ) Ω== = −=−= − == −=−== − 101010 3 1 33 1 VIIV k = 500 2 10 102 1010 10 10 3 11 3 11 11 3 1 13 1 11 3 01 1 11 11 3 1 2 Z Z Z I V I VI I V Z VI I Cálculo de Z21 [ ] Ω−=+−=+−= +−= +−= +− = −− = − == = 5000010510)500(10010 10010 10010 100101010012 00 455 21 11 5 21 1 15 1 11 5 1 11 3 1 1 01 21 2 x I Z ZZ I V I VI I VI I V I Cálculo de V Z Z12 . En la red que estamos analizando existen fuentes aparentes por lo ue la red no es recíproca, es decir Z12 es diferente de Z21 y habrá que calcular Z12 ien q mediante el sigu te circuito.
- 195. lvio Candelaria Cruz233E Ω=∴ = −= −= − = −= === − 10 2221 12 − − = 50 102 10 10 )10010(10 10010 12 2 12 12 2 12 2 12 2 12 42 12 12 4 2 22 35 02 1 )10)(10( Z Z ZZ I V I VI Z VIV I V I V I V pero I Cálculo de Z Z22 Ω= = −=−= − = − == − = 5000 102 1010 )10(10010100104 22 4 22 22 4 2 24 2 2 2 2 4 2 12 02 2 22 1 Z Z Z I V I VI I VI I I V Z
- 196. 34 Problemario deCircuitos Eléctricos II 5 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito. 2 PROBLEMA Solución: Los parámetros de corto circuito son los parámetros Y. Las ecuaciones con estos arámetros para una red activa son:p IVYVYI IVYVYI1 = 0 22221212 0 1212111 ++= ++ Calculemos primeramente II 0 2 0 1 e que son las corrientes debidas a la fuente interna lo en corto circucon las terminales del cuadripo ito, como se muestra: Obteniéndose:
- 197. lvio Candelaria Cruz235 30 2 ampx E .0 0 1 amp .105I I = − −= Para calcular los parámetros Yk,l debemos pacificar la red (anular fuentes reales), a la Cálculo de vez que cortocircuitar las terminales del puerto correspondiente y excitar con una fuente real el otro puerto, según las condiciones requeridas. YY 2111 y →= =01 1 11 2VV I Y Admitancia de entrada [mhos]. →= =01 2 21 2VV I Y Admitancia de transferencia directa [mhos]. En ambos parám 2 el circuitoetros se tiene la condición de que V = 0, por lo que resultante es: ( ) mhos V mhos V V V V I Y V VY V I Y eq 1 )1( 3 4 3 1 1 1 1 01 2 21 1 1 01 1 11 2 2 −= − == =+=== = = Cálculo de YY y 2212
- 198. →= =02 1 12 1VV I Y Admitancia detransferencia inversa [mhos]. 236 Problemario de Circuitos Eléctricos II →= =02 2 22 1VV I Y Admitancia de salida [mhos]. Con la condición de V1 = 0, obtenemos: ( ) mhos V V V V IY 1 1)( 2 2 0 1 2 1 12 −= − == = Cumpliéndose que en una red puramente pasiva (no contiene en su interior fuentes de ningún tipo) Y12 = Y21. mhos V V VY V IY eq 2 3 2 1 1 2 2 0 1 2 2 22 ' =+=== = Con lo resultados obtenidos, las ecuaciones que caracterizan a la red son: 3 212 211 1055.1)1( )1( 3 4 − −+−= −+= xVVI VVI
- 199. Elvio Candelaria Cruz237 PROBLEMA 6 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito y obtenga sus circuitos equivalentes en V y en π. Solución: Al cortocircuitar las terminales de los dos puertos de la red dada obtenemos: .0 .º03 0 2 0 1 amp amp I I = −= Cálculo de . Al pacificar la red dada, cortocircuitar el puerto de salida y excitar el puerto de entrada obtenemos: YY y 2111
- 200. 238 Problemario deCircuitos Eléctricos II mhosi ii V mhosi i iii V V V V IY Y V V V IY −= +−− == += += −++ == = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 01 2 21 11 1 1 01 1 11 )2( 20.5 2 2 1 2 2 1 2 2 Cálculo de . Para el cálculo de estos parámetros cortocircuitamos el puerto de entrada y excitamos con una fuente de voltaje el puerto de salida. La red resultante es: YY y 2212
- 201. i ii V V V V I Y −= +−− == =2 2 02 1 12 )2( 1 En una red recíproca este parámetro no es necesario calcularlo, ya que es igual a Y21. mhosiiii VV IY 2 2 1 2 2 1 3 0 1 2 2 22 −=−++−== = Elvio Candelaria Cruz 239 Representación de la red en V Representación en π
- 202. iii iii YY YY 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1222 1211 −=−−=+ +=−+=+ 240 Problemario deCircuitos Eléctricos II
- 203. Elvio Candelaria Cruz241 PROBLEMA 7 En la red mostrada, que contiene una fuente de corriente controlada por corriente, calcule los parámetros de corto circuito. Solución: Cálculo de YY y 2111 . Con la condición V2 = 0 el circuito resultante es:
- 204. 01 2 21 1 1 01 1 11 2 2 2 32 1 1 = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + == V mhos V V I Y V V V I Y Las siguientes consideracionespermitirán calcular I2. Al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes (L. K. I.) al nodo A: 242 Problemario de Circuitos Eléctricos II )1(..............................03 12 =−+− III k Para calcular Ik aplicamos la ley de Kirchhoff para voltajes (L. K. V.) a la malla M: ( ) 2 1 32 3 2 3 0 2 3 :(1)endoSustituyen 2 002 1 1 1 1 1 0 2 1 2 21 1 12 1 12 1 221 −= − == −= =−+− = ==++− = ∴ V I V V I V IY V II V II I V I VVIV V k k k Con la misma condición (V2 = 0) sabemos que:
- 205. mhos mhos Y Y YV I 4 2 1 2 9 2 1 2 3 3 :queasí, 2 3 21 21 11 1 1 = −=−= == ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ También se pudohaber obtenido Ik por divisor de corriente: 321 )1( 11 II Ik = + = Sustituyendo en (1): mhos V V I V IY IIII III 4 2 3 3 83 8 3 8 3 3 0 3 3 1 1 0 2 1 2 21 1 1 12 1 12 ==== =−= =−+− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Elvio Candelaria Cruz 243 Cálculo de YY y 2212 . En la red dada se tiene una fuente aparente, por lo que la red no es recíproca y habrá que calcular Y12. Al aplicar la condición V1=0 el circuito resultante es:
- 206. 02 2 22 2 2 02 1 12 1 1 2 12 1 = = = −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − == V mhos V V I Y V V V I Y Las siguientes consideracionespermitirán calcular I2. VI 21 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= Aplicando la ley de Kirchhoff para corrientes (L. K. I.) al nodo A de la figura, resulta: )1.....(....................03 2 21 2 1 =−++− II V I Sustituyendo I1 en (1): mhos V V V V IY VI VVI IV V V 2 12 1 2 1 2 3 0 2 1 3 22 1 2 2 0 1 2 2 22 22 222 22 2 2 −= − == −= −= =−−++ = ∴ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 244 Problemario de Circuitos Eléctricos II PROBLEMA 8 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de transmisión directos:
- 207. Solución: Las ecuaciones quecaracterizan a la red dada, con parámetros de transmisión directos A, B, C y D son: ( ) ( )IVI IVV DC BA −+= −+= 221 221 → − = =02 1 2I A V V Relación de voltaje de entrada a voltaje de salida, con salida abierta [sin unidades] →= =− 02 1 2I C V I Admitancia de transferencia inversa, con salida abierta [mhos] Cálculo de A y C. La siguiente configuración permite calcular A y C. Elvio Candelaria Cruz 245 Con –I2 = 0 no circula corriente por la terminal 2, por lo que V1 = V2.
- 208. mhos i ii I C I A i I I V I V V VIV 34 53 53 1 )53( 1 )53( 1 1 02 1 02 1 211 2 2 − = + = + == == =+= =− =− Cálculo de By D. La siguiente configuración permite calcular B y D. → − = =02 1 2V B I V Impedancia de transferencia inversa, con salida en corto circuito [Ω]. →= =− 02 1 2V D I I Relación de corriente de entrada a corriente de salida, con salida en corto circuito [sin unidades]. Por divisor de corriente: 34 7424 53 313 313 53 810 313 53 313 )53)(810( 313 )53)(810( 313 53 1 1 02 1 1 1 02 1 11 12 2 2 i i i i i V D i i i i ii V B i ii i i I I I I I I I V IV II − = + − = − + = − = Ω−= − + − +− = − = − +− = − + =− = = 246 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 209. Como la redes puramente pasiva (en su interior no contiene fuentes de ningún tipo) se debe cumplir que AD – BC = 1, pudiéndose obtener también el parámetro D de la ecuación anterior. i i i iD BC A BC D 53 313 53 1 )810(1 1 1 + − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −+= += + = Finalmente, en forma matricial: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − I V I V I V I V ii i DC BA 2 2 1 1 2 2 1 1 34 7424 34 53 8101 Elvio Candelaria Cruz 247
- 210. PROBLEMA 9 En lared de celosía simétrica dada, calcule los parámetros de transmisión directos. Solución: Para una más clara visualización de esta red, ubiquemos sus nodos nuevamente, conectando los elementos que existen entre dichos nodos y obtener la siguiente configuración: Se observa que las ramas tienen impedancias iguales. IIIV V V i ii iiii I A 1111 02 1 4 4 4 )3)(3( 2 =−= −− = = =− La corriente que circula por cada rama es I1 2 1 por ser impedancias iguales, pudiéndose aplicar la ley de Kirchhoff para voltajes en el triángulo superior de la figura: 248 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 211. . 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 0 2 1 )( 2 1 3 1 1 02 1 1 1 02 1 1112 121 2 2 mhosi ii I C i i I A ii i ii I I V I I I V V IIIV IVI =−= − == −= − == −=−−=∴ =−−+ =− =− Cálculo de By D. La siguiente configuración permite calcular B y D (se cortocircuitan las terminales 2 y O’). Al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes al nodo 2: )1.(.............................. 0 2 2 III III lk lk −=− =−+− En la figura se observa que las impedancias del triángulo superior están en paralelo y son del mismo valor que las del triángulo inferior, por lo que: i i V I V I l k − = = 2 e 3 2 1 1 Elvio Candelaria Cruz 249
- 212. Sustituyendo Ik eIl en (1): 2 1 6 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 1 6 1 26 1 1 1 1 2 1 02 1 1 1 02 1 111 11 2 2 2 −= − = − −= − = − = = − = − = −=−−= − −=− = = V V V V I Z V I I V V I V VVV VV I i i V D i iV B iii ii T Se cumple que AD – BC = 1 por ser la red recíproca y también que A = D por ser simétrica. 250 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 213. PROBLEMA 10 En lared dada calcule los parámetros de transmisión inversos. Solución: Las ecuaciones que caracterizan a la red dada, con parámetros de transmisión inversos A’, B’, C’ y D’ son: ( ) ( )IVI IVV DC BA 112 112 '' '' −+= −+= donde →= =− 01 2 1 ' I A V V Ganancia en voltaje, con entrada abierta [sin unidades]. →= =− 01 2 1 ' I C V I Admitancia de transferencia directa, con entrada abierta [mhos]. Elvio Candelaria Cruz 251
- 214. Cálculo de A’y C’. Con la condición –I1=0 se obtiene el siguiente circuito: Se observa que el resistor de 5Ω está en serie con el de 10Ω de la rama superior, quedando en paralelo un resistor de 15Ω con otro de 10Ω. IIV IV IZV k eq x 21 22 22 165 16 1015 1015 += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = = Para calcular Ik observamos que el resistor de 15Ω (resultante de la suma en serie de 5Ω y de 10Ω) está en paralelo con el otro resistor de 10Ω y la corriente de entrada es I2. Por divisor de corriente: mhos I C I A I I II I V I II I II I V V II k k 18 1 16)(2165 ' 18 22 162 22 16 25 10 5 16)(6 ' 25 10 2 2 2 2 0 1 1 2 22 2 22 2 0 1 1 2 2 = + = + = − = = + = + + = − = = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 252 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 215. Cálculo de B’y D’.- → − = =01 2 1 ' V B I V Impedancia de transferencia directa, con entrada en corto circuito [Ω]. → − = =01 2 1 ' V D I I Ganancia en corriente, con entrada en corto circuito [sin unidades]. La red correspondiente es: JI 11 =− . Calculando J1 por el método de mallas: 10 5 16 25 26 21 23 13 12 33 22 11 = = −= = = = z z z z z z Elvio Candelaria Cruz 253
- 216. 2900 450 25105 102616 51621 25100 1026 5160 2 2 1 V V J = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = IZV V I I I V V I V eq V D V B 22 2 2 01 2 2 2 01 2 ' 290 45 ' 45 290 290 45 ' 1 1 = = − = == − = = = En lafigura 2 se observa que el resistor de 16Ω está en paralelo con el de 5Ω, por lo que al reducir la red se obtiene una 5 29 ' =Z eq Así, IV 22 5 29 = 9 10 5 29 290 45 290 45 ' 2 2 2 2 01 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == − = = I I V I I I V D Se cumple que A’D’ – B’C’ = 1. 254 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 217. PROBLEMA 11 Calcule losparámetros híbridos directos de la red mostrada y obtenga su circuito equivalente. Solución: Los parámetros híbridos directos son los parámetros h. Las ecuaciones con estos parámetros para la red dada son: VhIhI VhIhV 2221212 2121111 += += Cálculo de hh y 2111 →= =01 1 11 2VI V h Impedancia de entrada, con salida en corto circuito [Ω]. →= =01 2 21 2VI Ih Elvio Candelaria Cruz Ganancia en corriente o factor de amplificación (α21), con salida en corto circuito [sin unidades]. 255
- 218. Con la condiciónV2 = 0 la red correspondiente es: 01 2 21 1 1 11 1 1 01 1 11 2 2 3 4 3 4 4 3 4 3 4 11 = = = Ω=−= − = −=−= == V i ii i ii V I Ih V V h Y VY V I V h Por divisor de corriente calculamos I2: 3 13 1 3 1 4 1 1 01 2 21 1 1 2 2 === = +− −= = I I I Ih I I I V ii i Cálculo de hh y 2212 →= =02 1 12 1IV V h 256 Relación inversa de la ganancia en voltaje, con entrada abierta [sin unidades]. Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 219. →= =02 2 22 1IV Ih Admitancia desalida, con entrada abierta [mhos]. Con la condición I1 = 0 se tiene el siguiente circuito: . 3 1 10 1 900 30090 30 103 103 30 3 1 30 10 103 30 103 10 103 30 104 3 1010 103 10 104 10 22 2 2 02 2 22 2 2 2 2 02 1 12 22 2 22 1 1 1 mhosì i i i i i I i i i i i i I i i ii i i i ii ii h I I V Ih I I I I V Vh IIIV IIIV l k += + = − +− = +− − == −= − = +− − +−== +− − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− − == +− =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− == = = Se observa que por tener una red puramente pasiva (recíproca) h12 = - h21. El circuito equivalente viene a ser: Elvio Candelaria Cruz 257
- 220. Al sustituir valoresde parámetros, obtenemos: 258 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 221. PROBLEMA 12 En elcircuito equivalente de un transistor con parámetros híbridos directos que se muestra, determine la ganancia en corriente ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 I I , la ganancia en voltaje ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 V V y la impedancia de entrada ( )entZ . Transistor. Valores típicos son: mhos x k h h h h μ25 50 103 1 22 21 4 12 11 = = = Ω= − Solución: Cálculo de la ganancia en corriente. Al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes al nodo A: IV VhIhI IVhIh xpero 2 3 2 2221212 2222121 1010 )1...(.................... 0 −= +=∴ =−+
- 222. Elvio Candelaria Cruz259 Sustituyendo valores en (1): ( ) 40 25.1 50 10251 50 50)10251( 1025501010102550 2 1 2 1 2 2 2 2 12 36 12 == + = =+ −=−+= − − −− x x xxx I I II IIIII Obsérvese que I2 pudo obtenerse también directamente del circuito de salida por divisor de corriente: Zh Ih Z h Ih h I L L 22 121 22 121 22 2 11 1 + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y la ganancia en corriente queda como: 40 1 22 21 1 2 = + = Zh h I I L Cálculo de la ganancia en voltaje. Al aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff a la malla de entrada: 3 2121 1 12121 3 10 010 VhV I VVhI − =∴ =−+ Sustituyendo I1 en (1): )2......(.......... 10 2223 2121 212 Vh VhV hI +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = pero ya hemos establecido que 4 2 2 2 3 2 10 1010 V I IV x −=∴ −=
- 223. 260 Problemario deCircuitos Eléctricos II Sustituyendo I2 en (2): Vh VhV h V 2223 2121 214 2 1010 +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =− Al sustituir los valores de los parámetros h: ( ) 54.454 1.1 105 105)1.1( 105101 10105 10251015105 1025 10 103 50 10 2 1 2 1 2 2 1 21 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 6 3 2 4 1 4 2 −= − =∴ =− =−− +=− +−=− + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =− − − −− − − x x x x xxx x x V V VV VV VVV VVVV V VVV Cálculo de la impedancia de entrada. Hemos obtenido al calcular la ganancia en voltaje que 3 2121 1 10 VhV I − = y también que 1.1 105 2 1 2 − = x V V , 1.1 105 1 2 2 − =∴ V V x así que sustituyendo este valor de V2 en I1: Ω= + == ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − 880 1.1 )105)(103( 1 10 10 1.1 105 1 10 1.1 105 24 3 1 1 3 2 121 3 1 2 121 1 xx xx I V Z hVVhV I ent
- 224. Elvio Candelaria Cruz261 PROBLEMA 13 Calcule los parámetros híbridos inversos de la red dada y obtenga su circuito equivalente. Solución: Las ecuaciones que caracterizan a una red puramente pasiva con parámetros híbridos inversos o parámetros “g” son: IgVgV IgVgI 2221212 2121111 += += Cálculo de g11 y g21 →= =01 1 11 2IV Ig Admitancia de entrada, con salida abierta [mhos]. →= =01 2 21 2IV Vg Ganancia en voltaje, con salida abierta [sin unidades]. La siguiente configuración corresponde a la condición I2 = 0.
- 225. 262 Problemario deCircuitos Eléctricos II 10 9 20 18 1816 25 5 10 25 5 205 5 :corrientededivisorPor 1610 20 1 20 2016 25 520 16520 1 1 01 2 21 1112 1 1 12 1 1 01 1 11 2 2 === =+= = + = += === =+=+= = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ I I V Vg IIIV III IIV I I V Ig Z I mhos I x k k eq Cálculo de g12 y g22 →= =02 1 12 1VI Ig Ganancia en corriente, con entrada en corto [sin unidades]. →= =02 2 22 1VI Vg Impedancia de salida, con entrada en corto [Ω].
- 226. Elvio Candelaria Cruz263 Con la condición V1 = 0 se tiene el circuito siguiente: JI 11 −= Calculando J1 por el método de mallas: 2900 450 25105 102616 51621 25100 1026 5160 10 5 16 25 26 21 2 2 1 23 13 12 33 22 11 V V J = − − − = = = −= = = = z z z z z z Por lo que VI 21 290 45− =
- 227. 264 Problemario deCircuitos Eléctricos II Para obtener I2 calculamos Z’eq: ( ) Ω 5 29 29 5 10 9 50 45 2905 2945 29 5 290 45 endoSustituyen 29 5 5 29 1010516 2 2 02 2 22 2 2 02 1 12 12 22 1 1 ' === −=−= − = − == = =+= = = V V I Vg V V I Ig g VI Z V x x V eq Se cumple que g21 = -g12 (red puramente pasiva). El circuito equivalente de la red dada es: Red pasiva (contiene fuentes aparentes). Las ecuaciones en su forma matricial son: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ I V V I 2 1 2 1 8.59.0 9.0 20 1
- 228. Elvio Candelaria Cruz265 PROBLEMA 14 En el circuito mostrado, que contiene un transformador ideal, encuentre: a) La relación de transformación N. b) La impedancia de entrada Ze. c) La corriente de salida I2. d) La corriente de entrada I1. e) La potencia de entrada P1 y la potencia de salida P2. Solución: a) vueltas.60 60 12 1206 1 2 12 1 1 2 1 2 = ==== ∴ n V Vn nn n V V x y la relación de transformación vale 10 6 60 2 1 N === n n La relación de transformación en un transformador se denota como se muestra:
- 229. 266 Problemario deCircuitos Eléctricos II Esto indica, en nuestro caso, que por cada 10 vueltas en el primario, en el secundario se tendrá una vuelta (transformador reductor o de bajada). b) La impedancia de entrada se calcula de Ω== = kx ZN s 200)102()10( 32 e 2 e Z Z c) La corriente de salida I2 es mAI 66x10 2000 12 3 2 === − d) La corriente de entrada es ( ) mA x I I n n I n n I I 6.0 106 60 6 1 3 2 1 2 1 2 1 1 2 = ==∴= − En este problema no hemos incluido el signo negativo en la ecuación de corrientes IN 21 1 I −= del transformador, ya que I2 aparece en sentido contrario al del símbolo convenido para el transformador. Nótese que la corriente de entrada I1 también pudo calcularse por la ley de Ohm en el circuito primario como mAx kZ V e 6.0106.0 200 120 31 1I == Ω == − por lo que I1 depende de la impedancia reflejada en el primario del transformador.
- 230. Elvio Candelaria Cruz267 Asimismo, se observa que si el voltaje se redujo 10 veces (N=10) en el secundario del transformador, la corriente de salida aumentó en la misma proporción y la potencia de entrada es igual a la potencia de salida. e) ( )( ) ( ) PP IVP IVP mWx mWx 21 3 222 3 111 y 72106(12) 72100.6120 = === === − −
- 231. 268 Problemario deCircuitos Eléctricos II PROBLEMA 15 En el circuito dado, encuentre la relación de transformación N que debe tener el transformador para suministrar la máxima potencia al altavoz y determine dicha potencia si su impedancia es de 8Ω. Solución: Por el teorema de la máxima transferencia de potencia, ésta se tendrá cuando la resistencia reflejada en el primario del transformador (carga) sea igual a la resistencia de Thévenin, en este caso de 72Ω. En el transformador ideal se tiene que 9 8 72 872Así siendo 2 2 2 12 eZ == = = ∴ = N n n NZN xN s y la relación de transformación es 3=N . La corriente I1 valdrá: amp.I 144 20 1 = El voltaje V1 (voltaje en el primario del transformador) es, por tanto:
- 232. voltsIV 10 144 20 7272 11=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == Elvio Candelaria Cruz 269 De la relación de voltajes del transformador ideal dada por Nn n V V 1 1 2 1 2 == obtenemos volts N V 3 101 2V == La corriente I2 valdrá: 144 25 12 5 8 3 10 8 2 22 2I = ==== I V Z V amp. s y la potencia máxima transferida al altavoz es wattsP IRP max max 1.38 144 200 144 25 8 2 = === ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Se observa que la fuente entrega una potencia wattsIVPf 77.2 144 20 201 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == de los cuales 1.38 watts se disipan en la resistencia interna de la fuente y 1.38 watts se entregan a la carga, que es la potencia que se transfiere a la bocina, como ya se había calculado.
- 233. 270 Problemario deCircuitos Eléctricos II PROBLEMA 16 En el circuito mostrado obtenga la expresión para calcular V2 en función de las impedancias Zg y ZL para una Vg dada. Solución: Método 1. Las ecuaciones del transformador son: )2...(.......... 1 )1(.................... 1221 1 221 INII N I N V VVNV −=∴−= =∴= De la malla I: )3..(.......... 0 11 11 VIZV VVIZ gg gg +=∴ =−+ De la malla II: )4........(.......... 0 22 22 ZIV ZIV L L −=∴ =+
- 234. Sustituyendo (1) y(2) en (4) obtenemos Elvio Candelaria Cruz 271 ( ) ZINV ZINZI N V L LL o 1 2 1 12 1 = −−=−= y sustituyendo esta expresión en (3): ( )IZNZZINIZV LgLgg 1 2 1 2 1 +=+= La impedancia vista desde la fuente Vg es: ZNZ I V Lg g 2 1 += El término NZL 2 es la “impedancia reflejada” en el primario del transformador (Ze). De la ecuación anterior, ( ) IZNV IZIZV ZNZ V I L LL Lg g N ydeAsí 12 122 21 :)2()4(, )5.(.............................. = −−=−= + = y sustituyendo (5) en esta última ecuación: V ZNZ ZN V g Lg L 22 + =
- 235. Método 2. Malla I:)1.........(..........11 VVIZ gg =+ Malla II: )2..(....................022 =+VIZL 272 Problemario de Circuitos Eléctricos II Ecuaciones del transformador: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= = )4.....(.................... 1 )3......(.................... 21 21 I N I VNV Sustituyendo (3) y (4) en (1): )........(........................................0 )....(.................... 1 22 22 B A VIZ VVNI N Z L gg =+ =+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − resolviendo (A) y (B) para V2 por determinantes: V ZNZ ZN V N ZNZ VZ ZN N Z VZ Z N N Z Z V N Z V g Lg L Lg gL L g gL L g L g g 22 22 1 0 + = −− − = −− −= − − =
- 236. Elvio Candelaria Cruz273 PROBLEMA 17 A partir de las ecuaciones de un cuadripolo con parámetros Z deduzca las expresiones que permitan calcular: a) Los parámetros Y en función de los parámetros Z. b) Los parámetros Z en función de los parámetros h. Solución: a) )2........(.......... )1.........(.......... 2221212 2121111 IZIZV IZIZV += += En las ecuaciones anteriores despejamos a I1 e I2: Δ − Δ == Δ − Δ == VZVZ ZZ ZZ VZ VZ I VZVZ ZZ ZZ ZV ZV I 121211 2221 1211 221 111 2 212122 2221 1211 222 121 1 Las ecuaciones para un cuadripolo con parámetros Y son:
- 237. )4.....(.......... )3......(.......... 2221212 2121111 VYVYI VYVYI += += Comparando la I1calculada, con la ecuación (3) se obtiene Δ = Z Y 22 11 274 Problemario de Circuitos Eléctricos II Δ −= Z Y 12 12 Comparando la I2 calculada, con la ecuación (4) se obtiene ( ) Δ = = Δ −= Z Y ZZ Z Y 11 22 1221 21 21 Con los resultados anteriores se da respuesta al inciso a); sin embargo, podemos obtener una expresión general para el propósito buscado haciendo las siguientes consideraciones. Del determinante general de Z vemos que yZZZZ cofcof 12121122 , =−= ZZ cof 2211 = . Sustituyendo estos parámetros en YYY y 221211 , se obtiene: Δ = Δ = Δ = Δ −= Δ = Δ = ZZ Y ZZ Y ZZ Y cof cof cof 2211 22 1212 12 1122 11 Las expresiones anteriores permiten establecer que
- 238. ( )Z cof Z Z np pn Z Y ===ΔΔ Δ , , b) Las ecuaciones para un cuadripolo con parámetros híbridos son: )6.......(.......... )5.......(.......... 2221212 2121111 VhIhI VhIhV += += De las ecuaciones anteriores despejamos a I1: Elvio Candelaria Cruz 275 I h h I h V Ih I Vh IhVh hh hh hI hV I i h hh hh o y 2 22 12 22 1 212 1 122 212122 2221 1211 222 121 1 += += −== Δ ΔΔ ΔΔ Comparando la V1 calculada, con la ecuación (1) dada por IZIZV 2121111 += se obtiene h h Z h Z h 22 12 12 22 11 = = Δ De las ecuaciones (5) y (6) despejamos a V2:
- 239. ΔΔ −== hh VhIh hh hh Ih Vh V 121211 2221 1211 221 111 2 Sustituyendo V1en la ecuación anterior: 276 Problemario de Circuitos Eléctricos II I h h I h hhhh V I h h I h hhh I h h I h hIh V h hh h hh 1 22 21 2 22 12212211 2 1 22 21 2 22 122111 2 22 12 1 22 21211 2 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−= Δ ΔΔ Δ ΔΔ pero , así queΔ=− hhhhh 12212211 I h h I h V I h h I h V h h 1 22 21 2 22 2 1 22 21 2 22 2 1 −= −= Δ Δ Comparando la V2 calculada, con la ecuación (2) dada por IZIZV 2221212 += se obtiene ( ) h Z hh h h Z 22 22 2112 22 21 21 1 = −=−= Hemos expresado los parámetros Y en términos de los parámetros Z y éstos, a su vez, en términos de los parámetros h; es posible la conversión de un tipo de parámetros en otro cualquiera, existiendo tablas elaboradas que facilitan dicha conversión.
- 240. Elvio Candelaria Cruz277 PROBLEMA 18 Caracterice cada una de las siguientes redes por sus ecuaciones con parámetros de circuito abierto, conéctelas en serie y escriba las ecuaciones del cuadripolo resultante. RED “A” RED “B” Solución: Las ecuaciones del cuadripolo resultante o equivalente pueden obtenerse al conocer los parámetros individuales de cada red, razón por la que caracterizaremos cada una de ellas. Las ecuaciones con parámetros de circuito abierto son: IZIZV IZIZV 2121111 += 2221212 +=
- 241. RED “A” Con I2=0: 278Problemario de Circuitos Eléctricos II Por reducción serie-paralelo: IV I I I V Z k x I 10 4 520 520 2 1 1 01 1 11 2 = Ω= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + == = Para calcular Ik emplearemos divisor de corriente. Ω= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ === = 2 25 5 10 10 1 1 101 2 21 2 I I I I I V Z k I Por ser red recíproca Z21 = Z12 = 2Ω. Para calcular Z22 nos apoyaremos en la red correspondiente:
- 242. Por reducción serie-paralelo: Ω=== = 625 1015 2 2 02 2 22 1 I I I V Z x I Así,para la RED “A” 212 211 62 24 IIV IIV += += Elvio Candelaria Cruz 279 RED “B” Con I2=0: Z I I I V Z I I I V Z I I 12 1 1 01 2 21 1 1 01 1 11 16 16 16 16 2 2 =Ω=== Ω=== = = Siendo la red simétrica se tiene que Z22 = Z11 = 16Ω. Así, para la RED “B” 212 211 1616 1616 IIV IIV += += La conexión de dos cuadripolos en SERIE se ilustra en la siguiente figura:
- 243. La prueba devalidez de Otto Brune debe satisfacerse para que ambas redes puedan conectarse directamente sin necesidad de un transformador de relación 1:1. En las siguientes figuras la terminal común se visualiza con línea gruesa, cumpliéndose en ambos casos la condición V = 0 que se requiere. 280 Problemario de Circuitos Eléctricos II Por lo que la conexión en SERIE de ambas redes es:
- 244. De los resultadosobtenidos anteriormente establecemos: Elvio Candelaria Cruz 281 RED “A”: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ I I V V 2 1 2 1 62 24 RED “B”: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ I I V V 2 1 2 1 1616 1616 La matriz general de impedancia para circuitos de dos puertos conectados en SERIE es la suma de sus matrices de impedancia individuales.
- 245. Por lo tanto ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ++ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ I I V V s e s e 166162 162164 ylas ecuaciones del cuadripolo resultante son: IIV IIV ses see 2218 1820 += += 282 Problemario de Circuitos Eléctricos II PROBLEMA 19 En cada una de las siguientes estructuras de dos puertos calcule los parámetros de corto circuito, conecte ambas estructuras en paralelo y escriba las ecuaciones del cuadripolo resultante.
- 246. RED “A” RED“B” Solución: Las ecuaciones con parámetros de corto circuito son: VYVYI VYVYI 2221212 2121111 += += RED “A”. El circuito correspondiente para V2 = 0 es: mhos V mhos V VV IY ZV V Z V IY 0 0 1 1 101 2 21 11 1 1 01 1 11 2 2 === === = = Elvio Candelaria Cruz 283 Para la condición V1 = 0 se tendrá el siguiente circuito:
- 247. mhos V VV I Y 0 0 202 1 12 1 === = Cumpliéndoseque Y21 = Y12 mhos V VV I Y 0 0 202 2 22 1 === = RED “B”. Con V2 = 0: ZV V Z V I Y ZV V Z V I Y V mhos V 21 1 2 01 2 21 21 1 2 01 1 11 1 1 1 1 2 2 −= − == === = = 284 Problemario de Circuitos Eléctricos II Con V1 = 0:
- 248. mhos V ZV V Z V I Y 22 2 2 02 1 12 1 1 1 −= − == = or serrecíproca la red se ve que Y21 = Y12.P ZZ ZZ V V ZZ ZZ V I Y V 32 32 2 2 32 32 02 2 22 1 + = + == = La conexión de dos cuadripolos en paralelo se ilustra en la siguiente figura: conectar en paralelo las dos redes dadas se satisface la prueba de validez de Brune,Al según se muestra: lvio Candelaria Cruz 285E
- 249. Lo anterior permiteconectar directamente las redes sin necesidad de un ansformador ideal, como sigue: Esta conexión es la misma que se muestra en la siguiente figura: Problemario de Circuitos Eléctricos II tr 286
- 250. De los resultadosobtenidos anteriormente establecemos: ED “A”: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ VI 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ V Z I 2 1 1 2 1 00 0 R ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ V V ZZ ZZ Z ZZ I I 2 1 32 32 2 22 2 1 1 11 RED “B”: La matriz general de admitancia para circuitos de dos puertos conectados en la sumaparalelo es de sus matrices de admitancia individuales. Por lo tanto ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ +⎥ ⎤ ⎢ ⎡ Ie 1 ⎣ + − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ V V ZZ ZZ Z ZZZ I s e s 32 32 2 221 1 11 Finalmente, las ecuaciones del cuadripolo resultante son: ⎢ V ZZ ZZ V Z I VVI see ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ += 111 ZZZ ses ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎠⎝⎠⎝ 32 32 2 221 1 lvio Candelaria Cruz 287E
- 251. PROBLEMA 20 Conecte encascada las do obtenga las ecuaciones con parámetros de transmisión directos del cuad olo resultante. Solución: Dos cuadripolos se conectan en cascada cuando el puerto de salida de uno se une te al puerto de entrada del otro. erse al conocer s parámetros individuales de cada red, razón por la que caracterizaremos cada una de llas. s redes que se muestran y rip RED “A” RED “B” directamen En nuestro caso, la red resultante es: Las ecuaciones del cuadripolo resultante o equivalente pueden obten lo e Las ecuaciones con parámetros de transmisión directos son: ( )IBVAV ( )IDVCI − −+= 221 += 221 288 Problemario de Circuitos Eléctricos II
- 252. RED “A” Con lacondición –I2 = 0 se tiene: ( ) mhos ii V i I I VV I VV V V A 34 53 53 153 1 1 2 2 02 1 21 02 1 2 2 − = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + == === =− =− Para la condición V2 = 0 el circuito es: Se observa que – C I2 = I1 = ∞ . 1 2 1 = − = I D 0 0 1 02 1 2 2 = ∞ = − = = = V V I V I V B Elvio Candelaria Cruz 289
- 253. RED “B” Con lacondición –I2 = 0: 02 1 02 1 2 2 = = =− =− V I C V V A 0 0 1 2 == = VI I Para la condición V2 = 0 el circuito es: Se observa que I1 = - I2 810 ))(810( 1 02 − =VI 1 2 2 02 1 2 2 == Ω−= − −− = − = = i I Ii V I I V B Las ecuaciones matriciales para cada red son: 290 Problemario de Circuitos Eléctricos II D
- 254. ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 01 RED“A” ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣−⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ I V I V A A A A i 2 2 1 1 1 34 53 RED “B” ⎨ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣−⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ II B B B B 2 2 1 1 10 La matriz de transmisión general para dos cuadripolos conectados en cascada es el ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎧ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −⎥ ⎤ ⎢ ⎡ VV i8101 producto matricial de sus matrices individuales de transmisión, multiplicadas en el orden natural, esto es, el primer factor es el cuadripolo de entrada. Por lo tanto ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎣ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣−⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ I V I V VV s s e e se ii i i 34 7424 34 53 8101 810101 Las ecuaciones del cuadripolo resultante son: II se i 101 34 53 ( ) ( )IVI IVV sse sse ii i −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = −−+= 34 7424 34 53 )810()1( Si se desea calcular los parámetros directamente de la red resultante, se obtendrán los ismos resultados (ver problema núm. 8 de este capítulo). Elvio Candelaria Cruz 291 m
- 255.
- 256.
- 257. PROBLEMA 1 Caracterice lasiguiente red por sus ecuaciones con parámetros de circuito abierto y obtenga sus circuitos equivalentes en V y en T. PROBLEMA 2 En la red mostrada, que contiene una fuente de corriente controlada por corriente, calcule los parámetros de circuito abierto. PROBLEMA 3 Caracterice la siguiente red por sus ecuaciones con parámetros de corto circuito. Elvio Candelaria Cruz 295 .
- 258. P 4ROBLEMA En elcircuito equivalente de un transistor con parámetros híbridos directos que se muestra, determine la ganancia en corriente ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ I ⎜ 1 2 I , la ganancia en voltaje ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛V ⎜ 1 2 V y la impedancia de entrada (Zent). Transistor Datos: Ω h12 = 2.5x10-4 h21 = 40 h22 = 50 μmhos Calcule los parámetros híbridos directos de la red mostrada y obtenga su circuito h11 = 1 k PROBLEMA 5 equivalente, a la frecuencia ω=10 rad/seg. .
- 259. 296 Problemario deCircuitos Eléctricos II A partir de las ecuaciones de un cuadripolo con parámetros de transmisión directos y PROBLEMA 7 En el circuito que se muestra, ZL = 100–50i. Calcule la potencia media o activa ) PROBLEMA 6 considerando las características físicas que definen al transformador ideal deduzca las ecuaciones de este dispositivo, cuyo símbolo se muestra en la figura. entregada a ZL si a .6032 ampI °= b) voltsV °= 30802 c) .2021 ampI °= d) voltsV f °= 01000 .
- 260. Elvio Candelaria Cruz297 PROBLEMA 8 A partir de las ecuaciones de un cuadripolo con parámetros Y deduzca las ) Los parámetros Z en función de los parámetros Y. En cada una de las siguientes estructuras de dos puertos calcule los parámetros de Conecte en cascada las redes dadas y escriba las ecuaciones con parámetros de expresiones que permitan calcular: a b) Los parámetros Y en función de los parámetros h. PROBLEMA 9 circuito abierto, conecte ambas estructuras en serie y obtenga las ecuaciones del cuadripolo resultante. RED “A” RED “B” PROBLEMA 10 transmisión directos del cuadripolo resultante. .
- 261. 298 Problemario deCircuitos Eléctricos II ustamante Llaca, Enrique, Modern Analysis of Alternating Current Networks, vol. I y II, iménez Garza Ramos, Fernando, Problemas de Teoría de los Circuitos, vol. I y II, Limusa- iménez Garza Ramos, Fernando, Análisis de Circuitos Eléctricos, Limusa-Noriega Editores, S.A. dminister, Joseph A., Circuitos Eléctricos, Serie Schaum McGraw-Hill. oylestad, Robert L, Análisis Introductorio de Circuitos, Pearson Educación. ayt, William H. y Kemmerly, Jack E., Análisis de Circuitos en Ingeniería, McGraw-Hill. enítez Serrano, Ismael, Circuitos Eléctricos, vol. I y II. ohnson, David E. y Hilburn, John L., Análisis Básico de Circuitos Eléctricos, Prentice Hall. erez Greiser, Víctor y Murray-Lasso, M. A., Teoría de Sistemas y Circuitos, Representaciones obrow, L. S., Análisis de Circuitos Eléctricos, Interamericana, S.A., de C.V. ilson, James W. y Riedel, Susan A., Circuitos Eléctricos, Pearson Educación. an Valkenburg, M. E., Análisis de Redes, Limusa, S.A. su, Hwei P, Análisis de Fourier, Pearson Educación. heng, David K., Analysis of Linear Systems, Addison-Wesley. arcía Talavera, Guillermo, Teoría de los circuitos, vol. I, II, III, IV, Instituto Politécnico arcía Talavera, Guillermo, Problemas y Soluciones de Técnicas de Telecomunicaciones, ogdanov, E. I., Problemas de Circuitos Eléctricos de Corriente Alterna, Limusa-Noriega orf, Richard C., Circuitos Eléctricos-Introducción al Análisis y Diseño, Alfaomega, S.A., de ubert, Charles I., Circuitos Eléctricos CA/CC Enfoque Integrado, McGraw-Hill. occi, R. J., Circuitos y Dispositivos Electrónicos, Interamericana S.A., de C.V. BIBLIOGRAFÍA B Limusa-Wiley, S.A. J Noriega Editores, S.A. J E B H B J G y Servicios de Ingeniería, S. A. B N V H C G Nacional. G Limusa-Noriega Editores, S.A. B Editores, S.A. D C.V. H T .
- 262. 2 Impreso en losTalleres Gráficos de la Tresgu co, DF F za 99 Dirección de Publicaciones del Instituto Politécnico Nacional erras 27, Centro Histórico, Méxi Noviembre de 2004. Edición: 1 000 ejemplares ORMACIÓN Armando Acosta Alavez: DISEÑO DE PORTADA: Gerardo López Padilla CORRECCIÓN Y SUPERVISIÓN: Manuel Toral Azuela pePROCESOS EDITORIALES: Manuel Gutiérrez Oro PRODUCCIÓN: Martha Varela Michel DIVISIÓN EDITORIAL: Jesús Espinosa Morales DIRECTOR: Arturo Salcido Beltrán .