1. ALGEBRA DE MATRICES
Explicaciones generales
matriz 3 x 4
fila columna
El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.
El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
Ejemplo:
1 2 3 4 
3 filas 5 6 7 8 
  La matriz es 3 x 4
9 10 11 12
 
 
4 columnas
Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz
A.
Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz
B.
Ejemplos:
 a11 a12 a13  b11 b12 b13 
A = a 21
 a 22 a23 
 B = b21 b22
 b23 

a31
 a32 a33 
 b31 b32
 b33 

En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.
1 2 3 4 2 __________
5 6 7 8 7 __________
A=  9 __________
 9 10 11 12
  14 __________
13 14 15 16
Suma de matrices
Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben
tener el mismo número de filas y columnas.
Definición de suma:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.

2. Ejemplo:
Suma las matrices A + B 1+5=6
1 3 5 7 1 3 5 7 6 Suma a1 1 b1 1
A= B= + = +
5 7 4 8 5 7 4 8
3 + 7 = 10
1 3 5 7 6 10 Suma a1 2 + b1 2
+ =
5 7 4 8
1 3 5 7 6 10
+ = Suma a2 1 + b2 1
5 7 4 8 9
5+4=9
1 3 5 7 6 10 Suma a2 2 b2 2
+ = +
5 7 4 8 9 15
7 + 8 = 15
Propiedades:
Ley asociativa A + ( B + C ) = ( A + B) + C
Ley conmutativa A+ B = B + A
Elemento neutro
0 0 1 2 1 2
+ =
0 0 3 4 3 4
Producto de un escalar
Definición:
Si kA = k(ai j) mxn
Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.
Ejemplo:
Opera 2A
1 5 1 5 2 10
A= 2A = 2 =
3 4 3 4 6 8

3. Inverso aditivo (resta)
2 −3 −4 5
A= B=
4 −1 −1 2
Opera A – B
2 −3 − 4 5 6 −8
A− B = − = El orden es igual que en la suma pero debes
4 −1 −1 2 5 − 3
fijarte muy bien en los signos.
HOJA DE TRABAJO
En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B
1 2 −1 3
1) A = 3 4 B= 2 6
−1 0 0 4
5 −2 6 −3
2) A= B=
3 8 4 9
−2 5 6 −5 −2 7
3) A = − 4 7 −1 B = −3 4 −8
3 −4 2 −2 −9 −7
3 0 1 0 2 1
4) A= B=
−2 −1 2 −1 − 2 3
5) A = 1 0 B = 0 −1
1 2 3 4 5 7 −9 4
−2 −3 −4 −5 0 3 1 −1
6) A = B=
0 3 2 1 4 6 −8 7
−1 2 − 2 0 5 0 3 4
7) A = 0 B = −1
8) A = 2 −5 B= 5 7 9

4. −5 −3 2 −1
9) A= B=
− 2 −8 −7 3
Multiplicación de matrices:
Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas
Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si
Matriz A Matriz B
El tamaño de la
respuesta es 3 x 2 Si los números centrales son
3 x 5 5 x 2
iguales entonces se puede
multiplicar y el tamaño de la
respuesta son los números de los
Debe ser igual entonces
si se puede multiplicar
extremos 3 x 2
Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño
de la matriz de la respuesta.
Matriz A Matriz B ¿se puede multiplicar? Tamaño de respuesta
3x4 4x5
5x6 6x2
5x3 4x6
7x8 8x2
4x2 3x4
5x7 7x2
3x1 1x4
4x3 4x3
2x5 5x4
Ejemplo:
1) Reviso el tamaño de la matriz
6 7 8 A= 2x3 B=3x3
0 1 2 33 
× 9 10 11 =  
Como son iguales se puede
3 4 5
12 13 14   multiplicar.
El tamaño de la matriz de la respuesta
es 2 x 3
Se opera asi:
2) Siempre se toma la primera matriz
( 0 × 6) + (1× 9) + ( 2 ×12) = con la fila 1 (horizontal) con la 1
0 + 9 + 24 = 33 columna (vertical) marcada en la
matriz.

5. 6 7 8
0 1 2 33 36 
× 9 10 11 =  
3 4 5
12 13 14  
( 0 × 7 ) + (1×10) + ( 2 ×13) =
0 + 10 + 26 = 36
6 7 8
0 1 2 33 36 39
× 9 10 11 =  
3 4 5
12 13 14  
( 0 × 8) + (1×11) + ( 2 ×14) =
0 + 11 + 28 = 39
6 7 8
0 1 2  33 36 39
× 9 10 11 =  
3 4 5 114 
12 13 14
( 3 × 6) + ( 4 × 9) + ( 5 × 12) =
18 + 36 + 60 = 114
6 7 8
0 1 2  33 36 39
× 9 10 11 =  
3 4 5 114 126 
12 13 14
( 3 × 7 ) + ( 4 × 10) + ( 5 × 13) =
21 + 40 + 65 = 126
6 7 8
0 1 2  33 36 39 
× 9 10 11 = 
3 4 5 114 126 138
12 13 14  
( 3 × 8) + ( 4 × 11) + ( 5 × 14) =
24 + 44 + 70 = 138
Respuesta:
6 7 8
0 1 2 33 36 39
× 9 10 11 =
3 4 5 114 126 138
12 13 14

6. EJERCICIOS
Encuentra AB y BA, si es posible.
3 5  5 − 2
1) A=  B= 
 2 − 6 1 7 
 4 − 3 2 1 
2) A=  B= 
− 2 1  4 2
3 0 − 1 1 − 5 0 
 2 B = 4 1 − 2
3) A = 0 4
   
5 − 3 1 
  0 − 1 3 
 
5 0 0  3 0 0 
  B = 0 4 0 
4) A = 0 − 3 0
   
0 0 2 
  0 0 − 2 
 
 2 1
 4 − 3 1
5) A =   B =  0 1
 
 − 5 2 2 − 4 7 
 
1 2 0 2
  − 1 − 2
6) A = 3 4 B=
  
5 6
  3
 4
1 
7) A = [ − 1 1] B =  2
 
 3
 
1 2 3 1 5 7 
8) A=  B= 
 4 5 0 2 3 0 

7. Resuelve el siguientes problema:
1) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañota de muebles .Por
cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado
les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero
y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.
Producción Producción Salario/
enero febrero Unidad
A B
Caoba Cedro Pino Caoba Cedro Pino X
José  Caoba 500
 2 0 3  1
 2 3 
 Cedro 400
Pedro
 1 1 4  2 0 3 
Arturo    Pino 100
 1 2 3  2 1 4 
Calcule las siguientes matrices y decida que representan.
a) AX b) BX c) A + B D) ( A + B) X
Evalúa la expresión matricial
3 − 3 7  - 9 5 - 8
2 6 − 2 y B =  3 - 7 1 
A=   
4 2
 5  -1 2 6 
 
Evalúa:
a) A2 + B 2 b) 3 A − BA c) A2 − 5B d) A + A2 + B + B 2