Derivadas parte i

44 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
44
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
6
Acciones
Compartido
0
Descargas
0
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Derivadas parte i

  1. 1. DERIVADAS DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION La derivada de una función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ respecto de (x) es la función ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ (se lee “f prima de (x) y está dad por: ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ lim ௛՜଴ ݂ሺ‫ݔ‬ ൅ ݄ሻ െ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݄ El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que ݂ሺ‫ݔ‬ሻ es derivable en c si existe ݂´ሺܿሻ , es decir, lim௛՜଴ ௙ሺ௖ା௛ሻି௙ሺ௖ሻ ௛ existe La derivada se puede interpretar como la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto determinado o como una razón de cambio instantánea.
  2. 2. Al calcular el límite lim௛՜଴ ௙ሺ௖ା௛ሻି௙ሺ௖ሻ ௛ lo que sucede es que el punto Q empieza a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)). REGLAS DE DERIVACIÓN 1. Derivada de una constante Sea la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ, donde c es una constante o número real. La derivada será ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0. Ejemplo 1: ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 9 ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 Ejemplo 2: ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 9 ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 Ejemplo 3: ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 9 ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 2. Derivada de una potencia de x Sea la Función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬௡ , la derivada será ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊‫ݔ‬௡ିଵ , donde n es cualquier número real. Ejemplo 1: ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଷ ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 3‫ݔ‬ଷିଵ ൌ 3‫ݔ‬ଶ Ejemplo 2: ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ହ ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 5‫ݔ‬ହିଵ ൌ 5‫ݔ‬ସ Ejemplo 3: ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ିଶ ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ‫´ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺെ2ሻ‫ݔ‬ିଶିଵ ൌ െ2‫ݔ‬ିଷ 3. Derivada de una constante por una función Sea la Función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ‫ݔ‬௡ , la derivada será ݂`ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ݊‫ݔ‬௡ିଵ Ejemplo 1:
  3. 3. ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 6‫ݔ‬ସ ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 6ሺ4ሻ‫ݔ‬ସିଵ ൌ 24‫ݔ‬ଷ Ejemplo 2: ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ2‫ݔ‬ଷ ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ2ሺ3ሻ‫ݔ‬ଷିଵ ൌ െ6‫ݔ‬ଶ Ejemplo 3: ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 5‫ݔ‬ି଺ ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 5ሺെ6ሻ‫ݔ‬ି଺ିଵ ൌ െ30‫ݔ‬ି଻ Ejemplo 4: ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 6‫ݔ‬ ݁݊‫ݏ݁ܿ݊݋ݐ‬ ‫´݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 6ሺ1ሻ‫ݔ‬ଵିଵ ൌ 6‫ݔ‬଴ ൌ 6 4. Derivada de una suma o resta de funciones La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: Sea ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሾ݂ሺ‫ݔ‬ሻ േ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ േ ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻሿ La derivada será ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሾ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ േ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ േ ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻሿ Ejemplo 1: ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݔ‬ସ ൅ 8‫ݔ‬ଶ ൅ 9‫ݔ‬ െ 3 ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 8‫ݔ‬ଷ ൅ 16‫ݔ‬ ൅ 9 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. Ejemplo 2: ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ5‫ݔ‬ିଶ െ 3‫ݔ‬ଷ െ 12‫ݔ‬ െ 20 ‫´݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 10‫ݔ‬ିଷ െ 9‫ݔ‬ െ 12 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. Ejemplo 3: ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3‫ݔ‬ସ െ 8‫ݔ‬ିଶ െ 2‫ݔ‬ ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ12‫ݔ‬ଷ ൅ 16‫ݔ‬ିଷ െ 2
  4. 4. Exponentes fraccionarios ‫ݔ‬ ೌ ್ y términos de la forma √‫ݔ‬௔್ . Los términos de la forma √‫ݔ‬௔್ para expresarlos como exponente se aplica la propiedad de radicación √‫ݔ‬௔್ ൌ ‫ݔ‬ ೌ ್. Ejemplo 1: derivar la función ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4‫ݔ‬ భ మ െ 2‫ݔ‬ ఱ య ൅ √‫ݔ‬ య El primer paso es convertir los radicales en exponentes ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4‫ݔ‬ భ మ െ 2‫ݔ‬ ఱ య ൅ √‫ݔ‬ య función inicial Convertir el término √‫ݔ‬ య en exponente aplicando √‫ݔ‬௔್ ൌ ‫ݔ‬ ೌ ್ ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4‫ݔ‬ భ మ െ 2‫ݔ‬ ఱ య ൅ ‫ݔ‬ భ య ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4 ቀ ଵ ଶ ቁ ‫ݔ‬ భ మ ିଵ െ 2 ቀ ହ ଷ ቁ ‫ݔ‬ ఱ య ିଵ ൅ ቀ ଵ ଷ ቁ ‫ݔ‬ భ య ିଵ Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݔ‬ି భ మ െ ଵ଴ ଷ ‫ݔ‬ మ య ൅ ଵ ଷ ‫ݔ‬ି మ య Simplificando, resultado final. Ejemplo 2: derivar la función ݈ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଷ ‫ݔ‬ భ ఱ െ 5√‫ݔ‬ଷర െ 2‫ݔ‬ଷ ൅ 4 El primer paso es convertir los radicales en exponentes ݈ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଷ ‫ݔ‬ భ ఱ െ 5√‫ݔ‬ଷర െ 2‫ݔ‬ଷ ൅ 4 función inicial Convertir los términos con radical en exponente aplicando √‫ݔ‬௔್ ൌ ‫ݔ‬ ೌ ್ ݈ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଷ ‫ݔ‬ భ ఱ െ 5‫ݔ‬ య ర െ 2‫ݔ‬ଷ ൅ 4 ݈´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଷ ቀ ଵ ହ ቁ ‫ݔ‬ భ ఱ ିଵ െ 5 ቀ ଷ ସ ቁ ‫ݔ‬ య ర ିଵ െ 2ሺ3ሻ‫ݔ‬ଷିଵ Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas. ݈´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଵହ ‫ݔ‬ି ర ఱ െ ଵହ ସ ‫ݔ‬ି భ ర െ 6‫ݔ‬ଶ Simplificando, resultado final.
  5. 5. 5. Derivada de un producto de funciones Sea ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ, la derivada será ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ. Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: “la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera". 6. Derivada de un cociente de funciones Sea ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௙ሺ௫ሻ ௚ሺ௫ሻ ,la derivada será ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௚ሺ௫ሻ‫כ‬௙´ሺ௫ሻି௙ሺ௫ሻ‫כ‬௚´ሺ௫ሻ ሾ௚ሺ௫ሻሿమ Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: “la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda; dividida entre la segunda al cuadrado”. El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante. 7. Regla de la cadena Si ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሾ݂ሺ‫ݔ‬ሻሿ௡ , entonces la derivada es ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݊ሾ݂ሺ‫ݔ‬ሻሿ௡ିଵ ‫כ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los siguientes tipos: ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √‫ݔ‬ ൅ 1 య Funciones Raíz ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ2‫ݔ‬ െ 1ሻହ Función con paréntesis elevado a una potencia Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Ejemplo 1: derivar ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ2‫ݔ‬ଶ ൅ 3ሻ଺ ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ2‫ݔ‬ଶ ൅ 3ሻ଺ ሾ݂ሺ‫ݔ‬ሻሿ௡ , en este caso la función 2‫ݔ‬ଶ ൅ 3 es la función interna y se encuentra elevada a la 6.
  6. 6. ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 6ሺ2‫ݔ‬ଶ ൅ 3ሻହ ‫כ‬ ሺ4‫ݔ‬ሻ Organizar términos el 4x pasa a la izquierda ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 24‫ݔ‬ሺ2‫ݔ‬ଶ ൅ 3ሻହ Resultado final Ejemplo 2: derivar ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √‫ݔ‬ଶ ൅ 12 య . Aplicando la propiedad de radicación se transforma el radical en exponente.ඥሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻ௔್ ൌ ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻሻ ೌ ್ ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ య ൌ ሺ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ሻ భ య Aplicar propiedad de radicación ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ሻ భ య ሾ݂ሺ‫ݔ‬ሻሿ௡ , en este caso la función ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ es la función interna y se encuentra elevada a la ଵ ଷ . ‫´ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଷ ሺ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ሻି మ య ‫כ‬ ሺ2‫ݔ‬ െ 12ሻ ‫´ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଷ ሺ2‫ݔ‬ െ 12ሻሺ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ሻି మ య Pasar (2x-12) a la izquierda ‫´ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ ଶ ଷ ‫ݔ‬ െ 4ሻ ሺ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ሻି మ య Simplificar ‫´ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቀ మ య ௫ିସቁ ሺ௫మିଵଶ௫ሻ మ య Bajar el término ሺ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ሻି మ య con potencia positiva ‫´ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቀ మ య ௫ିସቁ ඥሺ௫మିଵଶ௫ሻమయ Convertir en radical el término ሺ‫ݔ‬ଶ െ 12‫ݔ‬ሻ మ య ´
  7. 7. 8. Función exponencial e , aplicación de la regla de la cadena Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ݁௨ su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ݁௨ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable ‫ݑ‬ es el exponente de (e) y ሺ‫´ݑ‬ሻ significa derivada de (u). Ejemplo 1: derivar ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ Función inicial ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଶ௫ାଵ ‫כ‬ ሺ2ሻ Pasar el número 2 a la izquierda ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2݁ଶ௫ାଵ Respuesta Ejemplo 2: derivar ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁௫ భ మା௫ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁௫ భ మା௫ Función inicial ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ ଵ ଶ ‫ݔ‬ି భ మ ൅ 1ሻ݁௫ భ మା௫ El término ሺ ଵ ଶ ‫ݔ‬ି భ మ ൅ 1ሻ pasa a la izquierda Ejemplo 3: derivar ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫ Función inicial ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ିସ௫యାହ௫ ‫כ‬ ሺെ12‫ݔ‬ଶ ൅ 5ሻ Aplicar fórmula ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ݁௨ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺെ12‫ݔ‬ଶ ൅ 5ሻ݁ିସ௫యାହ௫ El término ሺെ12‫ݔ‬ଶ ൅ 5ሻ pasa a la izquierda
  8. 8. 9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ‫ݑ‬ሻ su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ଵ ௨ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable (u) es la que acompaña al logaritmo natural y (u´) es la derivada de (u). Ejemplo 1: derivar ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ‫ݔ‬ଷ ሻ ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ‫ݔ‬ଷ ሻ Función inicial ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଷ௫మ ௫య Organizar la expresión como fracción para simplificar ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଷ ௫ Respuesta Ejemplo 2: derivar ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ5‫ݔ‬ସ െ 4‫ݔ‬ଶ ሻ ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ5‫ݔ‬ସ െ 4‫ݔ‬ሻ Función inicial ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ሺହ௫రିସ௫ሻ ‫כ‬ ሺ20‫ݔ‬ଷ െ 8‫ݔ‬ሻ Aplicar la fórmula ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ଵ ௨ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺଶ଴௫యି଼௫ሻ ሺହ௫రିସ௫ሻ Organizar los términos como fracción para simplificar ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ସ௫൫ହ௫మିଶ൯ ௫ሺହ௫యିସሻ Factorizar por factor común y simplificar ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ସ൫ହ௫మିଶ൯ ሺହ௫యିସሻ Respuesta Ejemplo 3: derivar ݊ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ√‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ ݊ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ√‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ Función inicial ݊ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ భ మ Convertir el radical √‫ݔ‬ଶ ൅ 1 en exponente
  9. 9. Para derivar la función ሺ‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ భ మ mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. ݊´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺଶ௫ሻሺ௫మାଵሻ ష భ మ ଶሺ௫మାଵሻ భ మ Organizar los términos como fracción para simplificar ݊´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ௫ሻሺ௫మାଵሻ ష భ మ ሺ௫మାଵሻ భ మ Simplificar los términos de bases iguales ‫ݔ‬ଶ ൅ 1 ݊´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫ ሺ௫మାଵሻ భ మሺ௫మାଵሻ భ మ Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales ݊´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫ ௫మାଵ Respuesta DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 10. Función Seno Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ܵ݁݊ሺ‫ݑ‬ሻ, su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable (u) es la que acompaña al Seno y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 1: derivar ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܵ݁݊ሺ‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܵ݁݊ሺ‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ ‫כ‬ ሺ2‫ݔ‬ሻ Pasar el término 2x a la izquierda ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݏ݋ܥݔ‬ሺ‫ݔ‬ଶ ൅ 1ሻ Respuesta
  10. 10. 11. Función Coseno Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ‫ݑ‬ሻ, su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ െܵ݁݊ሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable (u) es la que acompaña al Coseno y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 2: derivar ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ√2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ√2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݏ݋ܥ‬ሺሺ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻ భ మሻ Convertir el radical √2‫ݔ‬ଷ ൅ 4 a exponente Para derivar la función ሺ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻ భ మ mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente. ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െܵ݁݊ሺቀ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻ భ మቁ ‫כ‬ ሾ3‫ݔ‬ଶሺ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻି భ మሿ Simplificar y organizar (u´) ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3‫ݔ‬ଶሺ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻି భ మܵ݁݊ሺቀ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻ భ మቁ Pasar a la izquierda 3‫ݔ‬ଶሺ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻି భ మ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3‫ݔ‬ଶሺ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻି భ మ ܵ݁݊ሺቀ2‫ݔ‬ଷ ൅ 4ሻ భ మቁ Respuesta 12. Función Tangente Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ‫݊ܽݐ‬ሺ‫ݑ‬ሻ, su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ܵ݁ܿଶ ሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable (u) es la que acompaña a la tangente y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 3: derivar ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ tan ሺ2‫ݔ‬ସ െ ‫ݔ‬ଶ ሻ ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ tan ሺ2‫ݔ‬ସ െ ‫ݔ‬ଶ ሻ
  11. 11. ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Secଶሺ2‫ݔ‬ସ െ ‫ݔ‬ଶሻ ‫כ‬ ሺ8‫ݔ‬ଷ െ 2‫ݔ‬ሻ Pasar el término 8‫ݔ‬ଷ െ 2‫ݔ‬ a la izquierda ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ8‫ݔ‬ଷ െ 2‫ݔ‬ሻ Secଶሺ2‫ݔ‬ସ െ ‫ݔ‬ଶሻ Respuesta 13. Función Secante Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ‫ܿ݁ݏ‬ሺ‫ݑ‬ሻ, su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ܵ݁ܿሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ tanሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable (u) es la que acompaña a secante y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 4: derivar ݈ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Sec ሺ√‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ݈ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Sec ሺ√‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ݈ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Sec ሺ‫ݔ‬ భ మ ൅ 2ሻ Convertir el término √‫ݔ‬ a exponente ݈´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Sec ቀ‫ݔ‬ భ మ ൅ 2ቁ ‫כ‬ ‫݊ܽݐ‬ ቀ‫ݔ‬ భ మ ൅ 2ቁ ‫כ‬ ሺ ଵ ଶ ‫ݔ‬ି భ మሻ Aplicar ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ܵ݁ܿሺ‫ݑ‬ሻ tanሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ ݈´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ ଵ ଶ ‫ݔ‬ି భ మሻSecቀ‫ݔ‬ భ మ ൅ 2ቁ ‫݊ܽݐ‬ ቀ‫ݔ‬ భ మ ൅ 2ቁ 14. Función Cotangente Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ܿ‫ݐ݋‬ሺ‫ݑ‬ሻ, su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ െܿ‫ܿݏ‬ଶ ሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable (u) es la que acompaña a cotangente y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 5: derivar ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ cot ሺ5‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ሻ ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ cot ሺ5‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ሻ ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ cscଶሺ5‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ሺ10‫ݔ‬ െ 1ሻ Aplicar ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ െܿ‫ܿݏ‬ଶ ሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െሺ10‫ݔ‬ െ 1ሻ cscଶሺ5‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ሻ ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ1 െ 10‫ݔ‬ሻ cscଶሺ5‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ሻ
  12. 12. 15. Función Cosecante Si ݂ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ܿ‫ܿݏ‬ሺ‫ݑ‬ሻ, su derivada es ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ െ cscሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ cot ሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ, la variable (u) es la que acompaña a cosecante y (u´) es la derivada de u. Ejemplo 6: derivar ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ csc ሺ5√‫ݔ‬ହయ െ 2ሻ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ csc ሺ5√‫ݔ‬ହయ െ 2ሻ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ csc ሺ5‫ݔ‬ ఱ య െ 2ሻ Convertir el término 5√‫ݔ‬ହయ en exponente ‫´݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ csc ቀ5‫ݔ‬ ఱ య െ 2ቁ ܿ‫݋‬ ‫ݐ‬ ቀ5‫ݔ‬ ఱ య െ 2ቁ ‫כ‬ ሺ ଶହ ଷ ‫ݔ‬ మ యሻ ‫´݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ ଶହ ଷ ‫ݔ‬ మ య csc ቀ5‫ݔ‬ ఱ య െ 2ቁ ܿ‫݋‬ ‫ݐ‬ ቀ5‫ݔ‬ ఱ య െ 2ቁ Aplicar ݂´ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ െ cscሺ‫ݑ‬ሻ cot ሺ‫ݑ‬ሻ ‫כ‬ ሺ‫´ݑ‬ሻ DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES Regla del producto. Multiplicación de funciones Sea ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ, la derivada será ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ. Regla del cociente. División de funciones Sea ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௙ሺ௫ሻ ௚ሺ௫ሻ ,la derivada será ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௚ሺ௫ሻ‫כ‬௙´ሺ௫ሻି௙ሺ௫ሻ‫כ‬௚´ሺ௫ሻ ሾ௚ሺ௫ሻሿమ Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ Identificación de los términos en la función ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ√ݔ‬ െ 3 ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬
  13. 13. ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √‫ݔ‬ െ 3 ൌ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻ ଵ ଶ Calculamos las derivadas ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1 ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1 2 ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି ଵ ଶ ‫כ‬ ሺ1ሻ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଵ ଶ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି భ మ Simplificando Aplicando la regla del producto para ݉ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ√ݔ‬ െ 3 ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ቀ ଵ ଶ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି భ మቁ ൅ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻ భ మ ‫כ‬ ሺ1ሻ Remplazando en la fórmula ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫ ଶ ‫כ‬ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି భ మ ൅ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻ భ మ Simplificar la expresión ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି భ మ ሺ ௫ ଶ ൅ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻሻ Factorizar ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻ por facto común ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି భ మ ሺ ௫ ଶ ൅ ‫ݔ‬ െ 3ሻ Simplificar, romper paréntesis ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି భ మ ሺ ଷ ଶ ‫ݔ‬ െ 3ሻ Operar términos semejantes ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ య మ ௫ିଷሻ ሺ௫ିଷሻ భ మ Pasar el término ሺ‫ݔ‬ െ 3ሻି భ మ al denominador cambia de signo el exponente por propiedad de potenciación ݉´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ య మ ௫ିଷሻ √௫ିଷ Convertir el término del denominador en radical. Respuesta Ejemplo 2: derivar ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫య ଶ௫ିଵ ௙ሺ௫ሻ ௚ሺ௫ሻ Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௚ሺ௫ሻ‫כ‬௙´ሺ௫ሻି௙ሺ௫ሻ‫כ‬௚´ሺ௫ሻ ሾ௚ሺ௫ሻሿమ Identificación de los términos en la función ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫య ଶ௫ିଵ ௙ሺ௫ሻ ௚ሺ௫ሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଷ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݔ‬ െ 1
  14. 14. Calculamos las derivadas ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 3‫ݔ‬ଶ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2 Aplicando la regla de cociente para ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫య ଶ௫ିଵ ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௚ሺ௫ሻ‫כ‬௙´ሺ௫ሻି௙ሺ௫ሻ‫כ‬௚´ሺ௫ሻ ሾ௚ሺ௫ሻሿమ ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺଶ௫ିଵሻ‫כ‬൫ଷ௫మ൯ି൫௫య൯‫כ‬ሺଶሻ ሺଶ௫ିଵሻమ Remplazar en la fórmula ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ଺௫యିଷ௫మିଶ௫య ሺଶ௫ିଵሻమ Realizar operaciones ‫´ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ସ௫యିଷ௫మ ሺଶ௫ିଵሻమ Reducción de términos semejantes, respuesta Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ Identificación de los términos en la función ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ7‫ݔ‬ଷ ሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ7‫ݔ‬ଷ ሻ Calculamos las derivadas ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ ‫כ‬ ሺ4‫ݔ‬ሻ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4‫݁ݔ‬ଶ௫మାସ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െܵ݁݊ሺ7‫ݔ‬ଷሻ ‫כ‬ 21‫ݔ‬ଶ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ21‫ݔ‬ଶ ܵ݁݊ሺ7‫ݔ‬ଷሻ Aplicando la regla del producto para ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଶ௫మାସ ‫ݏ݋ܥ‬ሺ7‫ݔ‬ଷ ሻ ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ‫כ‬ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ
  15. 15. Remplazando en la fórmula ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ݁ଶ௫మାସ ሻ ‫כ‬ ൫െ21‫ݔ‬ଶ ܵ݁݊ሺ7‫ݔ‬ଷሻ൯ ൅ ሺ‫ݏ݋ܥ‬ሺ7‫ݔ‬ଷሻሻ ‫כ‬ ሺ4‫݁ݔ‬ଶ௫మାସ ሻ ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ21‫ݔ‬ଶ ܵ݁݊ሺ7‫ݔ‬ଷሻ݁ଶ௫మାସ ൅ 4‫ݏ݋ܥݔ‬ሺ7‫ݔ‬ଷሻ݁ଶ௫మାସ Organizar y simplificar ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݁ݔ‬ଶ௫మାସ ሺെ21‫݊݁ܵݔ‬ሺ7‫ݔ‬ଷሻ ൅ 4‫ݏ݋ܥ‬ሺ7‫ݔ‬ଷሻሻ Factorizar por factor común ‫´ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݁ݔ‬ଶ௫మାସ ሺെ21‫݊݁ܵݔ‬ሺ7‫ݔ‬ଷሻ ൅ 4‫ݏ݋ܥ‬ሺ7‫ݔ‬ଷሻሻ Respuesta. Ejemplo 4: derivar ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௅௡ሺଷ௫రିଷ௫ሻ ௫యାଶ ௙ሺ௫ሻ ௚ሺ௫ሻ Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza: ݄´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௚ሺ௫ሻ‫כ‬௙´ሺ௫ሻି௙ሺ௫ሻ‫כ‬௚´ሺ௫ሻ ሾ௚ሺ௫ሻሿమ Identificación de los términos en la función ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௅௡ሺଷ௫రሻ ௫యାଶ ௙ሺ௫ሻ ௚ሺ௫ሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫݊ܮ‬ሺ3‫ݔ‬ସ ሻ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൅ 2 Calculamos las derivadas ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1 ሺ3‫ݔ‬ସሻ ‫כ‬ ሺ12‫ݔ‬ଷ ሻ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 12‫ݔ‬ଷ 3‫ݔ‬ସ ൌ 4 ‫ݔ‬ ݃´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 3‫ݔ‬ଶ Aplicando la regla de cociente para ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௅௡ሺଷ௫రሻ ௫యାଶ ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௚ሺ௫ሻ‫כ‬௙´ሺ௫ሻି௙ሺ௫ሻ‫כ‬௚´ሺ௫ሻ ሾ௚ሺ௫ሻሿమ ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ௫యାଶሻ‫כ‬ቀ ర ೣ ቁି௅௡൫ଷ௫ర൯‫כ‬ሺଷ௫మሻ ሺ௫యାଶሻమ Remplazando en la fórmula ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺସ௫మା ఴ ೣ ሻିଷ௫మ௅௡൫ଷ௫ర൯ ሺ௫యାଶሻమ Realizar operaciones y organizar ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺସ௫మା଼௫షభሻିଷ௫మ௅௡൫ଷ௫ర൯ ሺ௫యାଶሻమ ‫´ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ௫షభሺସ௫యା଼ିଷ௫య௅௡൫ଷ௫ర൯ሻ ሺ௫యାଶሻమ Factorizar por factor común, respuesta

×