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- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL ¨FRANCISCO DE MIRANDA¨ ÁREA: TECNOLOGÍA PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL Realizado por: Licdo. Flores, Jesús Licda. Pérez, María Puerto Cumarebo; mayo de 2016,
- 2. Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto que contiene los puntos x, se dice que f es derivable o diferenciable en x, si: F(x)= f(x) - y existe. La derivada de una función y=f(x) es el limite de la razón del incremento de la variable cuando este tiende a cero. Se denota por: 𝐥𝐢𝐦 𝐡→0 𝐟 𝐱 + 𝐡 − 𝐟(𝐱 𝐡 𝐬𝐢 𝐞𝐥 𝐥í𝐦𝐢𝐭𝐞 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞.
- 3. Ejemplo Calcular la derivada de la siguiente función por definición. 𝐟 𝐱 = 𝟒𝐱 + 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝐡→𝟎 𝐟 𝐱 + 𝐡 − 𝐟 𝐱 𝐡 =? 𝐟 𝐱 + 𝐡 = 𝟒 𝐱 + 𝐡 + 𝟏 = 𝟒𝐱 + 𝟒𝐡 + 𝟏 sustituyendo 𝐥𝐢𝐦 𝐡→𝟎 𝟒𝐱 + 𝟒𝐡 + 𝟏 − 𝟒𝐱 + 𝟏 𝐡 = 𝐥𝐢𝐦 𝐡→𝟎 𝟒𝐱 + 𝟒𝐡 + 𝟏 − 𝟒𝐱 − 𝟏 𝐡 𝐥𝐢𝐦 𝐡→𝟎 𝟒𝐡 𝐡 = 𝟒
- 4. Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos. 𝒅 𝒇(𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒅 𝒅𝒙 f(x) 𝑫𝒙𝒇(𝒙 𝑭′(𝒙 𝒚′
- 5. Son los métodos mas directos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro. Definición: Sea k una constante (número real) y consideremos a: f, U y V como funciones de x. Se cumplen las siguientes reglas: 𝐟 𝐱 = 𝐤 𝐟′ 𝐱 = 0 𝐟 𝐱 = 𝟏𝟎 𝐟′ 𝐱 = 𝟎 1. DERIVADA DE UNA CONSTANTE Ejemplo
- 6. 2. DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐊. 𝐔 𝐟′(𝐱 = 𝐤. 𝐔′ 𝐟 𝐱 = 𝟐𝐱 𝐟′ 𝐱 = 2(1) = 2
- 7. 3. DERIVADA DE UNA SUMA O RESTA Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐔 ± 𝐕 𝐟′ 𝐱 = 𝐔′ ± 𝐕′ 𝐟 𝐱 = 𝟓𝐱 + 𝟏 𝐟′ 𝐱 = 𝟓(𝐱 ′ + 𝟏 ′ = 𝟓 𝟏 + 𝟎 = 𝟓
- 8. 4. DERIVADA DE UNA POTENCIA Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐔𝐤 𝐟′ 𝐱 = 𝐤. 𝐔𝐤−1. 𝐔′ 𝐟 𝐱 = 4(𝐱 + 𝟓 3 𝐟′ 𝐱 = 4. (𝐱 + 𝟓 3−1 . 𝐱 + 𝟓 ′ = 4(𝐱 + 𝟓 2
- 9. 5. DERIVADA DE UN PRODUCTO Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐔 . 𝐕 𝐟′ 𝐱 = 𝐔′. 𝐕 + 𝐔. 𝐕′ 𝐟 𝐱 = 𝐋𝐧 𝟖𝐱. 𝐱 + 𝟓 𝐟′ 𝐱 = (𝐋𝐧 𝟖𝐱 ′. 𝐱 + 𝟓 + 𝐋𝐧 𝟖𝐱. 𝐱 + 𝟓 ′ 𝐟′ 𝐱 = 𝟖𝐱 ′ 𝟖𝐱 . 𝐱 + 𝟓 + 𝐋𝐧 𝟖𝐱. 𝟏 + 𝟎 𝐟′(𝐱 = 𝟏 𝐱 . 𝐱 + 𝟓 + 𝐋𝐧 𝟖𝐱
- 10. 6. DERIVADA DE UN COCIENTE Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐔 𝐕 𝐟′ 𝐱 = 𝐔′. 𝐕 − 𝐔. 𝐕′ 𝐕𝟐 𝐟 𝐱 = 𝟐𝐱 𝐞𝐱 𝐟′ 𝐱 = 𝟐 𝐱 ′. 𝐞𝐱 − 𝟐𝐱. 𝐞𝐱 ′ 𝐞𝐱 𝟐 𝐟′(𝐱 = 𝟐 . 𝐞𝐱 − 𝟐𝐱. 𝐞𝐱(𝐱 ′ 𝐞𝟐𝐱 = 𝟐 . 𝐞𝐱 − 𝟐𝐱. 𝐞𝐱 𝐞𝟐𝐱
- 11. 7. DERIVADA DE UNA CONSTANTE DIVIDIDA POR UNA FUNCIÓN Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐤 𝐔 𝐟′ 𝐱 = −𝐤. 𝐔′ 𝐔2 𝐟 𝐱 = 𝟔 𝟑𝒙𝟐 𝐟′ 𝐱 = −𝟔. 𝟑𝐱𝟐 ′ 𝟑𝐱𝟐 𝟐 𝐟′(𝐱 = −𝟔. ( 𝟔𝐱 𝟗𝐱𝟒 = −𝟑𝟔𝐱 𝟗𝐱𝟒 = − 𝟒 𝐱𝟑
- 12. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e 𝐟 𝐱 = 𝐞𝐔 𝐟′ 𝐱 = 𝐞𝐔. 𝐔′ Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐞𝟒𝐗 𝐟′ 𝐱 = 𝐞𝟒𝐗 . 𝟒𝐗 ′ = 𝟒. 𝐞𝟒𝐗
- 13. DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO 𝐟 𝐱 = 𝐋𝐧 𝐔 𝐟′ 𝐱 = 𝐔′ 𝐔 Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐋𝐧 𝟗𝐱 𝐟′ 𝐱 = 𝟗 𝐱 ′ 𝟗𝐱 𝐟′(𝐱 = 𝟗(𝟏 𝟗𝐱 = 𝟏 𝐱
- 14. DERIVADA DEL SENO 𝐟 𝐱 = 𝐒𝐞𝐧 𝐔 𝐟′ 𝐱 = 𝐂𝐨𝐬 𝐔. 𝐔′ Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐒𝐞𝐧 𝟐𝐱 𝐟′ 𝐱 = 𝐂𝐨𝐬 𝟐𝐱 . 𝟐𝐱 ′ 𝐟′(𝐱 = 𝐂𝐨𝐬 𝟐𝐱 . 𝟐 = 𝟐. 𝐂𝐨𝐬 (𝟐𝐱
- 15. DERIVADA DEL COSENO 𝐟 𝐱 = 𝐂𝐨𝐬 𝐔 𝐟′ 𝐱 = −𝐒𝐞𝐧 𝐔. 𝐔′ Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐂𝐨𝐬 𝐱 𝐟′ 𝐱 = −𝐒𝐞𝐧 𝐱 . 𝐱 ′ = −𝐒𝐞𝐧(𝐱
- 16. DERIVADA DE LA TANGENTE 𝐟 𝐱 = 𝐓𝐠 𝐔 𝐟′ 𝐱 = 𝐒𝐞𝐜2 𝐔. 𝐔′ Ejemplo 𝐟 𝐱 = 𝐓𝐠 𝐱 + 𝟏 𝐟′ 𝐱 = 𝐒𝐞𝐜𝟐 𝐱 + 𝟏 . 𝐱 + 𝟏 ′ 𝐟′(𝐱 = 𝐒𝐞𝐜𝟐 𝐱 + 𝟏 . 𝟏 = 𝐒𝐞𝐜𝟐 𝐱 + 𝟏
- 17. Existen muchas otras reglas o formulas de derivación que se pueden utilizar en diferentes funciones.