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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPLAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSITARIA
TACHIRA –SAN CRISTOBAL
-AUTOR:
-ROMERO VELASCO
ANGELLY ANDREINA
-C.I. 19.878.757
-ESCUELA:
ING. INDUSTRIAL

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SAN CRISTOBAL-16-JUNIO DEL 2015
METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA
El método de la transformada (o transformación) inversa,
también conocido como método de la inversa de la
transformada, es un método para la generación de números
aleatorios de cualquier distribución de probabilidad
continua cuando se conoce la inversa de su función de
distribución (cdf). Este método es en general aplicable, pero
puede resultar muy complicado obtener una expresión
analítica de la inversa para algunas distribuciones de
probabilidad. El método de Box-Muller es un ejemplo de
algoritmo que aunque menos general, es más eficiente desde el
punto de vista computacional.

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Obtención del método
El método de la transformada inversa se basa en el siguiente
teorema:
Teorema de inversión. Sea X una variable
aleatoria con función de distribución de
probabilidad acumulada F, continua e
invertible, y sea su función inversa.
Entonces, la variable aleatoria U = F(X)
tiene distribución uniforme en .
Como consecuencia, si U es una variable
aleatoria uniforme en entonces la
variable aleatoria satisface la
distribución F.

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EL METODO
El problema que resuelve el método de la transformada inversa
es el siguiente:
 Sea X una variable aleatoria cuya distribución puede ser
descrita por la cdf F.
 Se desea generar valores de X que están distribuidos según
dicha distribución.
Numerosos lenguajes de programación poseen la capacidad de
generar números aleatorios que se encuentran distribuidos de
acuerdo con una distribución uniforme estándar d.
Si una variable aleatoria posee ese tipo de distribución,
entonces la probabilidad de que el número caiga dentro de
cualquier sub intervalo (a, b) del intervalo entre 0 a 1 es la
longitud del subintervalo, o sea b − a.
El método de la transformada inversa funciona de la siguiente
manera:
1. Se genera un número aleatorio a partir de la distribución
uniforme standard; se lo llama u.
2. Se calcula el valor x tal que ; y se lo
llama xelegido.

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3. Se toma xelegido como el número aleatorio extraído de la
distribución caracterizada por F.
Demostración del teorema
Sea
(por definición de )
(aplicando F, que es monótona, a ambos
lados)
(porque , dado que U es uniforme
en el intervalo unitario)

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La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación
diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual
podemos resolver para , es decir, . Ahora,
como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la
solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la
transformada inversa , para hallar la función
Entonces definamos la transformada inversa.
Definición [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una función
continua , es decir, , entonces la
transformada inversa de Laplace de ,
escrita es , es decir,

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Ejemplo
Calcule
Solución
Puesto que
tenemos que
Observación existe un problema potencial al trabajar con la
transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible
que , siendo . Para nuestro propósito esto
no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de
orden exponencial en y ,
entonces ; pero, si y son continuas y de orden

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exponencial en y , entonces se puede
demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere
decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.
Ejemplo
Calcule , donde esta dada por
¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada

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Pero, anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma
transformada, de este modo, la transformada inversa de
no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de en
infinito.
Teorema [Comportamiento de en infinito]
Sea una función continua a trozos y de
orden exponencial en , entonces

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Demostración
Puesto que es continua a trozos en necesariamente es
acotada en este intervalo; o sea, para todo . De
donde
y así cuando , de modo que
cuando .
Observación: el resultado anterior es válido independientemente
de que sea continua a trozos o de orden exponencial, basta
con que existe.
Ejemplo
¿ Porqué no existe una función tal que ?
Solución

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Suponga que existe, entonces por el teorema anterior
lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.
Observación: con un argumento similar podemos concluir que no
existen una función tal que , ,
, , es decir, estas funciones no tienen transformada
inversa. Por otro lado, una función racional es la
transformada de alguna función si el grado del
numerador es menor que la del denominador .
Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de
control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.
Teorema [Del valor inicial]
Si y existe y es igual a ,
entonces

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Demostración:
Como
y
siempre y cuando sea continua a trozos y de orden
exponencial. Tenemos que
siempre y cuando sea continua por la derecha en .

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Ejemplo
Si , calcule .
Solución
Usando el teorema del valor inicial
Note que no fue necesario calcular .
Teorema [Del valor final]
Si y el límite existe, entonces
Demostración:
Análoga a la anterior.

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El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada
inversa.
Teorema [Linealidad de la transformada inversa]
Sean y funciones continuas a trozos y de orden
exponencial en el intervalo tales
que y , entonces
Ejemplo
Calcule
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada
inversa de Laplace primero debemos expandir

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en fraciones parciales
ahora sí
El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la
solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un
ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las
técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las
propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de
solución de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de
valor inicial

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Solución
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la
ecuación diferencial
Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

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Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una
ecuación lineal con factor integrante .