El placer de Aprehender

1. ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

2.  El conjunto de proposiciones con los
conectivos lógicos Л, v, ~ constituye
un sistema algebraico llamado
Álgebra Proposicional

3. Leyes del Álgebra Proposicional
1. Leyes Idempotentes
a) p Л p = p
b) p v p = p
2. Leyes Asociativas
a) p Л (q Л r) = (p Л q) Л r
b) p v (q v r) = (p v q) v r

4. Leyes del Álgebra Proposicional
3. Leyes Conmutativas
a) p Л q = q Л p
b) p v q = q v p
4. Leyes Distributivas
a) p Л (q v r) = (p Л q) v (p Л r)
b) p v (q Л r) = (p v q) Л (p v r)

5. Leyes del Álgebra Proposicional
5. Leyes de Absorción
a) p Л (p v q) = p
b) p v (p Л q) = p
6. Leyes de existencia de elementos
neutros
a) U Л p = p Л U = p (U =
tautología)
b) N v p = p v N = p (N =
Contradicción)

6. Leyes del Álgebra Proposicional
7. Leyes de Complementación
a) p Л ~p = F
b) p v ~p = V
c) ~ ~p = p
d) ~V = F
e) ~F = V
8. Leyes de De Morgan
a) ~(p Л q) = ~p v ~q
b) ~(p v q) = ~p Л ~q

7. Álgebra Proposicional y Álgebra de
Boole
Sea Ρ el conjunto de proposiciones
tales como p, q, r … etc.
Sean Л, v, ~ la conjunción,
disyunción y negación
respectivamente (operaciones
lógicas)
Sean los siguientes axiomas:

8. );()(,,
,,,
2
1
rqprqpPrqpA
PpqpqpPqpA
∧∧≡∧∧⇒∈∀
∈¬∨∧⇒∈∀
)()( rqprqp ∨∨≡∨∨

9. pNppNtqPNPp
pUppUtqPUPpA
rpqprqp
rpqprqpPrqpA
pqqppqqpPqpA
≡∨≡∨∈∃∈∀
≡∧≡∧∈∃∈∀
∨∧∨≡∧∨
∧∨∧≡∨∧⇒∈∀
∨≡∨∧≡∧⇒∈∀
,,,
;,,,
)()()(
);()()(,,
;,
5
4
3

10. Upp
NpptqPpPpA
≡¬∨
≡¬∧∈∃¬∈∀ ;,,,6

11. De lo expuesto se infiere que el
conjunto de proposiciones con los
conectivos lógicos Л, v, ~ satisfacen
las condiciones de un álgebra de
Boole
Por consiguiente el álgebra de
proposiciones es un álgebra de Boole

12. Formas normales de una función
veritacional
La equivalencia entre proposiciones
permite expresar a una función
veritacional de distintas formas. Entre
estas tenemos las formas normales
conjuntiva y disyuntiva.

13. Forma Normal Conjuntiva (FNC)
Se dice que una función veritacional f está
expresada en su forma normal conjuntiva
cuando:
1. En la función f aparecen unicamente los
conectivos lógicos Л, v, ~
2. La negación (~) no afecta a los
conectivos Л y v
3. El conectivo v no afecta al conectivo Л

14. Ejemplos:
 f(p,q,r) = (p v q) Л(p v ~q v r)Л(~p v
~q v r)
 f(p,q,r) = (p v q) Л(p v ~q)Лq
 f(p,q,r) = (p v q v r) Л(p v ~q v
r)Л(~p v ~q v r) Л(~p v ~q v ~ r)

15. Forma Normal Conjuntiva Completa
(FNCC)
Se dice que una función veritacional f
está expresada en su FNCC cuando
en cada factor aparecen todos los
argumentos ya sea con negación o
sin ella y ninguno se repite.
Ejemplo:
f(p,q,r) =(p v ~q v r)Л(~p v ~q v
r) Л(~p v ~q v ~ r)

16. Forma Normal Disyuntiva (FND)
Se dice que una función veritacional f está
expresada en su forma normal disyuntiva
cuando:
1. En la función f aparecen unicamente los
conectivos lógicos Л, v, ~
2. La negación (~) no afecta a los
conectivos Л y v
3. El conectivo Л no afecta al conectivo v

17. Ejemplos:

18. Forma Normal Disyuntiva Completa
(FNDC)
Se dice que una función veritacional f
está expresada en su FNDC cuando
en cada término aparecen todos los
argumentos ya sea con negación o
sin ella y ninguno se repite.
Ejemplo:

19. NORMALIZACIÓN DE FUNCIONES
VERITACIONALES
Normalización de una función veritacional
es el proceso mediante el cual una función f
se transforma en su FNCC o FNDC.
Métodos de Normalización:
I) Por sustitución
II) Por aplicación del teorema fundamental
de Álgebra de Boole.
III) Por aplicación del teorema de Post.