Este documento presenta varios problemas de cálculo de volúmenes de sólidos de revolución generados al girar regiones delimitadas por curvas alrededor de ejes y rectas. Se proporcionan 18 ejemplos de regiones delimitadas y se piden 7 problemas que involucran calcular el volumen usando métodos como discos, cilindros o conos.

1. ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
SEMANA Nº 6 MATEMÁTICA II
CALCULO DE VOLUMENES
SESIÓN Nº 06
I. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región acotada por las gráficas de las
ecuaciones al girar alrededor del eje 𝑥.
1. 0,2,0,12  yxxxy
2. 3,1,0,
1
 xxy
x
y
3. 0,4 2
 yxy
4. 6,0,0,
1
2


 xxy
x
y
5. 3,0,52,1 22
 xxxxyxy
6. 1,0,0,  
xxyey x
7. 4,0,0,
1
1


 xxy
x
y
8. 0,9 2
 yxxy
9. 2
, xyxy 
10. 0,,0,  yxxsenxy 
11. 0,,0,  yxxsenxy 
12.
4
4,2
2
x
yy 
13. 6,26 2
 xyxxy
14. 22
4, xxyxy 
15. 3,1,0,ln  xxyxy
16. 02,02 2
 xyyx
17. 3,12
 xyxy
18. xyxy  ,42
19. 1,0,0,  xxyarctgxy

2. II. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región acotada por las gráficas de las
ecuaciones al girar alrededor del eje 𝑦.
1. 2,2,0,2
 yyxyx
2. 0,4,  xyyx
3. 3,1,0,
1
 yyx
x
y
4. 0,0),2(3  xyxy
5. 3,2,0,9 2
 xxyxy
6. 1,0,0,12
 xxyxy
7. 5,4,0,  xyyxy
8. 0,4,0,5  xyyxy
9. 0,4,0,16 2
 xyyxy
10. 2,1,0,3
 xxyxy
III. Resolver los siguientes problemas dados a continuación.
1. Si la porción de la recta 𝑦 =
1
2
𝑥 que queda en el primer cuadrante se gira alrededor del eje 𝑥,
se genera un cono. Determine el volumen del cono que se extiende de 𝑥 = 0a 𝑥 = 6.
2. Usar el método de los discos para verificar que el volumen de un cono circular recto es
1
3
𝜋𝑟2ℎ,
donde 𝑟 es el radio de la base y ℎ es la altura.
3. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región acotada por las gráficas
de las curvas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = √ 𝑥 alrededor del eje 𝑦 = −1.
4. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región acotada por las gráficas
de las curvas 𝑦 = 2 − 𝑥2, 𝑦 = 1 alrededor de la recta 𝑦 = 1.
5. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta 𝑥 = 1 la
región limitada por las curva (𝑥 − 1)2 = 20 − 4𝑦 y las rectas 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑦 = 3.
6. Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta 𝑦 = −3 la región limitada
por las dos parábolas 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 1 + 𝑥 − 𝑥2.
7. Determine el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta 𝑥 = −4 la región
limitada por esa misma recta y la parábola 𝑥 = 4 + 6𝑦 − 2𝑦2.
8. Determine el volumen del sólido generado si la mitad superior de la elipse 9𝑥2 + 25𝑦2 = 225
Se gira alrededor del eje 𝑥 comose muestra en el gráfico.