1. INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL.
CÁLCULO INTEGRAL.
HOJA 10/11: INTEGRAL DOBLE. EJERCICIOS.
1. Calcular I = ∫∫ x 3 cos(xy )dxdy siendo Q la región del plano limitada por y = x2, y = 0, x = 2.
Q
[Sol. (1 – cos 8) / 3]
2. Calcular I = ∫∫ xy 2 dxdy siendo Q el triángulo de vértices (0,0), (3,1), (-2,1).
Q
[Sol. 1/2]
x2
3. Calcular I = ∫∫ 22
dxdy siendo Q la región limitada por x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.
Q x +y
[Sol. 3π/2]
3 9− x2
4. Calcular I = ∫ ∫ 4 x dxdy
0 0
[Sol. 36]
2
4 16 − y
5. Calcular I = ∫ ∫ (x )
2
+ y 2 dxdy
0 0
[Sol. 32π]
6. Calcular I = ∫∫10 dS en Q = { (x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + (y - 2)2 ≤ 4 }.
Q
[Sol. 20π]
7. Definir los límites de integración en I = ∫∫ f (x, y )dxdy siendo Q la región del plano:
Q
7.1. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.
7.2. x2 + y2 ≤ x.
7.3. y ≥ -1, y ≤ 1, y ≥ x.
2
8. Calcular I = ∫∫ xe y dxdy en Q = { (x, y) ∈ R2; x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4, x2 ≤ y }.
Q
[Sol. (e16 – 1) / 4]
9. Calcular I = ∫∫ xy − y 2 dxdy siendo Q el triángulo de vértices (0,0), (10,1), (1,1).
Q
[Sol. 6]
x
10. Calcular I = ∫∫ e dxdy donde Q es la región limitada por y2 = x, x = 0, y = 1.
y
Q
[Sol. 1/2]
1/3

2. 11. Calcular I = ∫∫ e − (x )dxdy
2
+ y2
en la corona circular Q: a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2.
Q
[Sol. π (exp(–a ) – exp(–b2))]
2
( )
12. Calcular I = ∫∫ ( x − 2 )2 + y 2 dxdy donde Q es el círculo x2 + y2 – 4x = 0.
Q
[Sol. 8π]
13. Calcular I = ∫∫ (3x + 2 y )dxdy donde Q es la región [0,1] x [0, 1 + x].
Q
[Sol. 29/6]
( )
14. Calcular I = ∫∫ x 2 + 2 y dxdy donde Q es la región [0,2] x [x2, 2x].
Q
[Sol. 88/15]
15. Calcular I = ∫∫ 4(x + y ) e x − y dxdy siendo Q el triángulo de vértices (-1,1), (1,1), (0,0).
Q
[Sol. 6.323]
16. Calcular I = ∫∫ x 2 + y 2 dxdy siendo Q el triángulo de vértices (0,0), (4,0), (4,4).
Q
[Sol. 24.486]
Aplicaciones
17. Calcular el volumen del sólido limitado por z = 4 – x2 – y2, z = 0.
[Sol. 8π]
18. Área encerrada por las gráficas x = y2 + 1, x = 0, y = 0, y = 2.
[Sol. 14/3]
19. Área encerrada por las gráficas x = y + 3, x = y2 + 1.
[Sol. 9/2]
20. Área encerrada por las gráficas y = 6x – x2 , y = x2 – 2x.
[Sol. 64/3]
21. Área encerrada por las gráficas x = – y, x = 2y – y2 .
[Sol. 9/2]
22. Volumen del sólido limitado por las superficies z = 2x2 + y2, z = 4 – y2.
[Sol. 4π]
23. Superficie de la porción de plano 2x + 3y + 4z = 12 que se encuentra en el primer octante.
[Sol. 3√29]
24. Superficie de la porción de cilindro x2 + z2 = 16 situada sobre el plano z = 0 y limitada por
los planos: x = 0, x = 2, y = 0, y = 5.
[Sol. 10π/3]
2/3

3. 25. Superficie del paraboloide z = x2 + y2 tal que z ≤ 2.
[Sol. 13π/3]
26. Superficie del paraboloide z = 2 – x2 – y2 situada sobre el plano z = 0.
[Sol. 13π/3]
27. Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 interior al cono z2 = x2 + y2.
[Sol. 4π (2 – √2)]
28. Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 interior al cilindro x2 + y2 = ay.
[Sol. 2a2 (π – 2)]
29. Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 25 limitada por los cilindros x2 + y2 = 9 y x2 + y2 = 16.
[Sol. 20π]
30. Calcular el volumen limitado por el plano 2x + 2y – z + 2 = 0 y el paraboloide x2 + y2 = z.
[Sol. 8π]
31. Sea un paralelogramo de área S situado sobre el plano ax + by + cz + d = 0, y sean Sxy, Syz,
Szx respectivamente las áreas de las proyecciones del paralelogramo sobre cada uno de los
planos coordenados. Demostrar que S es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de
las tres áreas proyectadas.
32. Calcular el área de la superficie intersección de los cilindros x2 + y2 = a2 , y2 + z2 = a2.
[Sol. 16a2]
33. Calcular el área de la porción de cono x2 + y2 = z2 interior al cilindro x2 + y2 = 2ax.
[Sol. 2√2 πa2]
34. Calcular el área de la parte de superficie helicoidal z = Arctg (y/x) que está situada en el
primer octante y está comprendida entre los cilindros x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4.
[Sol. 2.843]
35. Demostrar el teorema de Guldin que dice:
El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana alrededor de un
eje, situado en el mismo plano de la figura pero que no se corta con ella, es igual al producto
del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad
de la misma.
36. Una lámina tiene forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b < a. Su densidad
superficial en cada punto es igual a la distancia al cateto menor. Hallar las coordenadas de su
centro de gravedad.
[Sol. (b/4, a/2]
_________________________________________
3/3