Reglas Básicas de las derivadas (Constante, función Lineal, Potencia, Suma) Reglas Complementarias (Producto, Cociente y Cadena) Cada regla tiene su demostración y algunos ejemplos

1. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
Docente: Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
Temas a trabajar:
• Derivada de una Constante
• Derivada de una Función Lineal
• Regla de la potencia
• Regla de una constante que multiplica a una función
• Regla de la Suma
• Regla del Producto
• Regla del Cociente
• Regla de la Cadena
Propiedades de los límites
• lim
→
=
• lim
→
=
Suponiendo que:
lim
→
= lim
→
=
Entonces:
1. lim
→
= lim
→
=
2. lim
→
∙ = ∙ lim
→
= ∙
3. lim
→
± ± = ± lim
→
± lim
→
= ± ±
4. lim
→
∙ = lim
→
∙ lim
→
= ∙
5. lim = →!
→!
=
"
#
Pasos para calcular la derivada utilizando límites:
1. Calcular + ℎ
2. Calcular la diferencia + ℎ − , simplificar y sacar factor común h
3. Calcular
'(
(
, simplificar las h
4. Calcular el límite lim
(→)
'(
(

2. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
Derivada de una constante
Si la función a derivar es una constante, ejemplo:
= 2
Su grafica es:
Recordemos que la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado o la
tasa de cambio instantánea, si analizamos la figura de la función = 2 es una recta que no tiene inclinación,
por lo tanto, no hay tasa de cambio y su pendiente es igual a cero, y cualquier función que sea una constante su
grafica va a ser parecida, lo único que cambia es el punto de corte en el eje y, llegando a la conclusión, que toda
función que es constante su derivada es cero.
De forma general podemos decir, dada la función
= , donde es una constante
Su derivada es:
´ = 0
Derivada de una función Lineal
Si la función a derivar es una función lineal, recordemos la ecuación de la recta (pendiente e intercepto):
= - + .
Donde - = /01230140 . = /5146 20 6740 01 08 090
La derivada halla la pendiente de una curva, si es una función lineal la pendiente siempre es la misma en cualquier
punto, por lo tanto, la derivada de una función lineal (Variable con exponente 1), es el coeficiente de la variable.
Ejemplo:
• = −4 ´ = −4
• =
;
<
− 12 ´ =
;
<
• ℎ = 5 − 1 ℎ´ = 5
Ejercicios: Calcular las derivadas de las siguientes funciones
• = −16
• = 35 − 2
• ℎ = −
A
;
+ 12
• 3 =
;
B

3. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
Regla de la potencia
Dada la función
=
Al calcular la derivada de la función utilizando
´ = lim
(→)
+ ℎ −
ℎ
Siguiendo los pasos para calcular la derivada, hallamos primero
+ ℎ = + ℎ
Utilizando el binomio de newton
+ ℎ = + ℎ = +
1 C
ℎ
1
+
1 1 − 1 D
ℎD
2
+
1 1 − 1 1 − 2 ;
ℎ;
3
+ ⋯ + ℎ
Al utilizar el segundo paso: + ℎ −
+ ℎ − = +
1 C
ℎ
1
+
1 1 − 1 D
ℎD
2
+ ⋯ + ℎ −
Se cancela
Luego calculamos lim
(→)
'(
(
lim
(→)
1 C
ℎ
1
+
1 1 − 1 D
ℎD
2
+ ⋯ + ℎ
ℎ
Para quitar la indeterminación del límite sacamos factor común ℎ en el numerador.
lim
(→)
ℎ 1 C
+
1 1 − 1 D
ℎ
2 + ⋯ + ℎ C
ℎ
Se simplifica ℎ del numerador con ℎ del denominador, dando como resultado:
´ = lim
(→)
F1 C
+
1 1 − 1 D
ℎ
2
+ ⋯ + ℎ C
G
Por último, al calcular el límite, del segundo término en adelante tienen ℎ, por lo tanto, el límite de esos
términos es igual a cero.
´ = 1 C
Llegando a la propiedad de la potencia, dada la función:
=
Para derivar dicha función el exponente pasa a multiplicar al coeficiente y luego al exponente se le resta uno.
´ = 1 C

4. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
Ejemplos:
• = H
´ = 4 H C
= 4 ;
• = I
´ = 6 I C
= 6 <
• ℎ = A
ℎ´ = −7 A C
= −7 B
=
−7
B
• 3 = √ =
L
M
3´ =
1
2
C
D
C
=
1
2
C
D =
1
2
C
D
=
1
2√
• 8 = √ DN
=
M
N
8´ =
2
5
D
<
<
< =
2
5
;
< =
2
5
;
<
=
2
5√ ;N
• O =
C
N
= <
O´ = −5 I
=
−5
I
Ejercicios:
• = B
• = √ AP
= A/H
• O =
C
R
= ;
Regla de la constante que multiplica a una función
Dada la siguiente función:
= ∙ 26120 = 61S4 140 = 51 3ó1
Utilizando las propiedades de los límites al hallar la derivada de la función , podremos derivar la función
y luego multiplicar por la constante .
´ = ∙ ´
Ejemplos:
• = 3 H
´ = 3 4 ;
= 12 ;
• = −8 D
´ = −8 2 = −16

5. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
• ℎ = 12 <
ℎ´ = 12 5 H
= 60 H
• 3 =
D
;
I
3´ =
2
3
6 <
= 4 <
Ejercicios:
• = −7 C)
• = 13 D
• ℎ =
H
<
C<
Regla de la suma
Dada la siguiente función:
= ± ± ℎ
Utilizando las propiedades de los limites podemos separar las funciones que se están sumando o restando y
hallar sus derivadas y luego sumar dichas derivadas.
´ = ± ´ ± ℎ´
Ejemplos:
• = 3 D
− 9 + 6 ´ = 6 − 9
• = 8 <
− 14 H
− 7 D
+ 5 − 17 ´ = 40 H
− 56 ;
− 14 + 5
• ℎ = −6 H
+ 12 ;
− 4 + 2 ℎ´ = −24 ;
+ 36 D
− 4
Ejercicios:
• = 15 ;
− 21 D
− 128
• = −6 B
− 17 I
+ 121 − 9
• ℎ = 5 W
− 8 H
− 72 +
;
M
Regla del producto
Dada la función que es igual al producto de dos funciones
= ∙ O
Suponiendo que las funciones y ℎ son derivables, la derivada de la función es igual a:
´ = ´ ∙ O + ∙ O´
Demostración, utilizando la fórmula de la derivada:
´ = lim
(→)
X
+ ℎ −
ℎ
Y
Entonces:

6. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
´ = lim
(→)
X
+ ℎ ∙ O + ℎ − ∙ O
ℎ
Y
Agregamos ∙ O + ℎ al numerador sumando y restando para que no nos cambie la expresión:
´ = lim
(→)
X
+ ℎ ∙ O + ℎ − ∙ O + ℎ + ∙ O + ℎ − ∙ O
ℎ
Y
De los dos primeros términos del numerador sacamos factor común O + ℎ y de los dos últimos sacamos
factor común
´ = lim
(→)
X
O + ℎ + ℎ − + O + ℎ − O
ℎ
Y
´ = lim
(→)
X
O + ℎ + ℎ −
ℎ
Y + lim
(→)
X
O + ℎ − O
ℎ
Y
´ = lim
(→)
X
+ ℎ −
ℎ
Y ∙ lim
(→)
O + ℎ + lim
(→)
∙ lim
(→)
X
O + ℎ − O
ℎ
Y
Reemplazamos los límites:
lim
(→)
'(
(
= ´ lim
(→)
O + ℎ = O lim
(→)
= lim
(→)
Z '( Z
(
= O´
´ = ´ ∙ O + ∙ O´
Ejemplos:
• = 5 ;
− 3 D
−4 D
+ 2
= 5 ;
− 3 D
´ = 15 D
− 6
O = −4 D
+ 2 O´ = −8
´ = 15 D
− 6 ∙ −4 D
+ 2 + 5 ;
− 3 D
∙ −8
´ = −60 H
+ 30 D
+ 24 ;
− 12 − 40 H
+ 24 ;
´ = −100 H
+ 48 ;
+ 30 D
− 12
• = −6 D
+ 2 5 ;
+ 4
= −6 D
+ 2 ´ = −12 + 2
O = 5 ;
+ 4 O´ = 15 D
+ 4
´ = −12 + 2 5 ;
+ 4 + −6 D
+ 2 15 D
+ 4
´ = −60 H
− 48 D
+ 10 ;
+ 8 − 90 H
− 24 D
+ 30 ;
+ 8
´ = −150 H
+ 40 ;
− 72 D
+ 16

7. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
Ejercicios:
• = −3 D
− 9 6 D
+ 1
• = −3 ;
+ 5 D
− 2 2 − 4
Regla del cociente
Dada la función que es igual al cociente de dos funciones
=
O
Suponiendo que las funciones y ℎ son derivables, con ℎ ≠ 0, la derivada de la función es igual
a:
´ =
´ ∙ O − ∙ O´
O D
Demostración: Utilizando la fórmula del límite
´ = lim
(→)
+ ℎ
O + ℎ
−
O
ℎ
]
Resolviendo la suma de fracciones del numerador:
´ = lim
(→)
O ∙ + ℎ − ∙ O + ℎ
O + ℎ ∙ O
ℎ
]
Resolviendo la división, ℎ queda multiplicando el denominador
´ = lim
(→)
X
O ∙ + ℎ − ∙ O + ℎ
ℎ ∙ O + ℎ ∙ O
Y
Agregamos ∙ O al numerador restando y sumando para que no nos cambie la expresión:
´ = lim
(→)
X
O ∙ + ℎ − ∙ O + ∙ O − ∙ O + ℎ
ℎ ∙ O + ℎ ∙ O
Y
Vamos a sacar factor común O , en los primeros dos términos y factor común − , en los dos últimos
términos
´ = lim
(→)
X
O + ℎ − − −O + O + ℎ
ℎ ∙ O + ℎ ∙ O
Y
Vamos a separar el denominador en los dos términos del numerador

8. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
´ = lim
(→)
X
O + ℎ −
ℎ ∙ O + ℎ ∙ O
Y − lim
(→)
X
−O + O + ℎ
ℎ ∙ O + ℎ ∙ O
Y
En cada límite vamos a separar en dos límites que se están multiplicando buscando que nos quede ´ en el
primer límite y O´ en el segundo límite
´ = lim
(→)
O
O + ℎ ∙ O
∙ lim
(→)
X
+ ℎ −
ℎ
Y − lim
(→) O + ℎ ∙ O
∙ lim
(→)
X
O + ℎ − O
ℎ
Y
Del primer límite podemos simplificar O
´ = lim
(→)
1
O + ℎ
∙ lim
(→)
X
+ ℎ −
ℎ
Y − lim
(→) O + ℎ ∙ O
∙ lim
(→)
X
O + ℎ − O
ℎ
Y
Evaluamos los límites o los reemplazamos:
lim
(→)
C
Z '(
=
C
Z
lim
(→)
'(
(
= ´ lim
(→) Z '( ∙Z
=
Z M
lim
(→)
Z '( Z
(
= O´
´ =
1
O
∙ ´ −
O D
∙ O´
Realizamos multiplicación de fracciones:
´ =
´
O
−
∙ O´
O D
Por últimos sumamos fracciones con m.c.m O D
´ =
´ ∙ O − ∙ O´
O D
Ejemplos:
• =
D M <
; C
= 2 D
− 5 ´ = 4 − 5
O = 3 − 1 O´ = 3
´ =
4 − 5 ∙ 3 − 1 − 2 D
− 5 ∙ 3
3 − 1 D
´ =
12 D
− 4 − 15 + 5 − 6 D
− 15
3 − 1 D
´ =
12 D
− 4 − 15 + 5 − 6 D
+ 15
3 − 1 D

9. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
´ =
6 D
− 4 + 5
3 − 1 D
• =
H M'A
< 'C
= −4 D
+ 7 ´ = −8
O = 5 + 1 O´ = 5
´ =
´ ∙ O − ∙ O´
O D
´ =
−8 ∙ 5 + 1 − −4 2
+ 7 ∙ 5
5 + 1 D
´ =
−40 D
− 8 − −20 2
+ 35
5 + 1 D
´ =
−40 D
− 8 + 20 2
− 35
5 + 1 D
´ =
−20 D
− 8 − 35
5 + 1 D
Regla de la Cadena
Dada una función , que es una función dentro de otra función:
= O
Su derivada es iguala a la derivada de afuera multiplicada la derivada interna de la siguiente forma:
´ = ´ O ∙ O´
Demostración: Utilizando la fórmula del límite
´ = lim
(→)
X
^O + ℎ _ − O
ℎ
Y
Vamos a multiplicar y dividir por O + ℎ − O para que no nos cambie el resultado
´ = lim
(→)
X
^O + ℎ _ − O
ℎ
∙
O + ℎ − O
O + ℎ − O
Y
Vamos a intercambiar los denominadores
´ = lim
(→)
X
^O + ℎ _ − O
O + ℎ − O
∙
O + ℎ − O
ℎ
Y
Separando los límites que se están multiplicando
´ = lim
(→)
X
^O + ℎ _ − O
O + ℎ − O
Y ∙ lim
(→)
X
O + ℎ − O
ℎ
Y

10. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
Podemos definir:
∆O = O + ℎ − O
O + ℎ = ∆O + O
Reescribimos el primer limite
´ = lim
(→)
X
∆O + O − O
∆O
Y ∙ lim
(→)
X
O + ℎ − O
ℎ
Y
Por ultimo
lim
(→)
X
∆O + O − O
∆O
Y = ´ O lim
(→)
X
O + ℎ − O
ℎ
Y = O´
´ = ´ O ∙ O´
Ejemplos:
• = 3 + 2 I
= O I
O = 3 + 2
´ = 6 O <
O´ = 3
´ = 6 3 + 2 <
3
´ = 18 3 + 2 <
• =
H
D '< R = 4 2 + 5 ;
= 4 O ;
O = 2 + 5
´ = −12 O H
O´ = 2
´ = −12 2 + 5 H
2
´ =
−24
2 + 5 H
• = √5 D −
M
= 5 D
−
L
M
= O
L
M O = 5 D
−
´ =
1
2
O
C
D O´ = 10 − 1

11. Brian Bastidas
Reglas de las Derivadas
´ =
1
2
5 D
−
C
D ∙ 10 − 1
´ =
10 − 1
2 5 D −
C
D
´ =
10 − 1
2√5 D −
• = 3 D
− 8 <
2 D
+ 1
= 3 D
− 8 <
´ = 5 3 D
− 8 H
6 − 8
O = 2 D
+ 1 O´ = 4
´ = 5 3 D
− 8 H
6 − 8 2 D
+ 1 + 3 D
− 8 <
4
´ = 5 3 D
− 8 H
12 ;
+ 6 − 16 D
− 8 + 3 D
− 8 <
4
´ = 3 D
− 8 H
60 ;
− 80 D
+ 30 − 40 + 3 D
− 8 <
4
Ejercicios:
• = 6 D
− 4 B
• = −
;
I M H P
• = √4 D + 5
R
• = −4 ;
+ I
7 D
− 2