1. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO TEMA 7. DIÉDRICO DIRECTO Fundamentos Recta y plano Intersecciones Paralelismo Perpendicularidad

2. A 2 Z =COTA B 2 B 1 Y= ALEJAMIENTO A 1 X=DISTANCIA 1. La representación del punto por coordenadas La representación de un punto A se materializa en su proyección horizontal A1 y su proyección vertical A2. No se dibuja línea de tierra. Su situación queda determinada en base a las proyecciones de otros puntos (sistema de coordenadas relativas) X Separación entre líneas de referencia Y Diferencia de alejamientos Z Diferencia de cotas

3. B 2 r 2 z A 2 A 1 y r 1 B 1 x 2. La representación de la recta Una recta queda definida por dos puntos. Un punto pertenece a una recta si sus proyecciones pertenecen a las de esa recta (A y B pertenecen a la recta r) Las proyecciones de los puntos determinan las proyecciones de la recta Recta oblicua: Las dos proyecciones de la recta son oblicuas a las líneas de referencia de sus puntos.

4. A 2 B B B 2 2 2 f r 2 2 h 2 A A 2 2 A 1 B 1 B B 1 1 A A f r 1 1 1 1 h 1 3. Posiciones favorables de la recta Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en alguna de sus proyecciones. También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros elementos, como los ángulos respecto de los planos de proyección. Recta de perfil: Paralela al PP. En el perfil se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH y el ánguloβ que forma con el PV. Recta horizontal: Paralela al PH. Su proyección vertical h2 es perpendicular a las líneas de referencia . En la planta se proyecta la VM y se mide el ángulo β que forma la recta con el PV. Recta frontal: Paralela al PV. Su proyeccion horizontal f1 es perpendicular a las líneas de referencia. En el alzado se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH. A 3 α α β r3=V.M. β =V.M. B 3 =V.M.

5. ≡B 2 ≡ r 2 r r 3 2 A 2 B B 2 2 A 1 B 1 r 2 A A 2 2 B 1 r 1 A r A 1 ≡r 1 1 1 ≡B 1 Recta vertical: Perpendicular al PH y paralela a los otros dos planos de proyección. La dirección de la proyección vertical es la misma que la de las líneas de referencia. En el alzado y perfil se proyecta en VM. En la planta su proyección es un punto. Recta de punta: Perpendicular al PV y paralela a los otros dos planos de proyección. La dirección de la proyección horizontal es la misma que la de las líneas de referencia. En la planta y perfil se proyecta en VM. En el alzado su proyección es un punto. Recta perpendicular al PP: En la planta y el alzado se proyecta la VM. Las dos proyecciones principales son paralelas entre sí y perpendiculares a las líneas de referencia. En el perfil la proyección es un punto. B r3=V.M. A 3 3 =V.M. =V.M. B 3 ≡ r3 =V.M. =V.M.

6. A 2 B 2 r 2 r 2 N 2 M A 2 1 B 1 r 1 M 1 r 1 N 1 4. Pertenencia de punto a recta Dada una recta r y el punto M, para que el punto pertenezca a la recta es necesario que las proyecciones del punto se encuentren sobre las proyecciones del mismo nombre en la recta C C C 2 1 3 A 3 α En el caso de la recta de perfil no es suficiente con comprobar las proyecciones horizontal y vertical y en el caso del punto C nos hemos de auxiliar de la proyección de perfil para comprobar que no pertenece a la recta. r3=V.M. β B 3

7. r r 2 2 s s 2 2 P P 2 2 P P 1 1 r r 1 1 s 1 s 1 5. Condición de corte de dos rectas La condición para que dos rectas se corten es que tengan un punto en común. Cuando no se da esta circunstancia las dos rectas se cruzan en el espacio.

8. 6. Proyecciones auxiliares de una recta (por cambio de plano) Además de la proyección de perfil de una recta, a veces es conveniente disponer de otras proyecciones auxiliares para lo que necesitaremos cambiar la posición de uno de los dos planos de proyección principales. B2 B2 Conversión de una recta oblicua en frontal: Conversión de una recta oblicua en horizontal: A2 A2 A1 A1 B1’ A2’ B1 B1 A1’ y y z z VM VM B2’

9. B 2 r 2 N 2 C P 2 2 M 2 A 2 A 1 M 1 r 1 P C 1 N 1 1 B 1 7. Representación del plano La mejor manera de representar un plano es por medio del polígono más simple (triángulo) perteneciente a dicho plano 8. Pertenencia recta y punto a un plano Dado un polígono ABC que define un plano y el punto P Se traza una de las proyecciones de una recta auxiliar R que pase por P Se localizan las proyecciones de la intersección de R con dos rectas del plano para que R esté contenida en dicho plano (M y N) Trazar la otra proyección de R Se comprueba que el punto P esté contenido en R

10. 9. Rectas notables del plano Recta horizontal del plano: Paralela al PH de referencia. Recta frontal del plano: Paralela al PV de referencia h2 f2 h1 f1 Recta de máxima pendiente: Perpendicular a una horizontal del plano Recta de máxima inclinación: Perpendicular a una frontal del plano m2 n2 m1 n1

11. B 2 r 2 s 2 A 2 2 P 2 C 2 C 1 1 A 1 P 1 r 1 s B 1 1 r 2 P 2 r 1 P 1 10. Formas de determinar un plano La forma más habitual de representar un plano en diédrico directo es mediante una forma poligonal cerrada, pero desde el punto de vista conceptual el plano puede venir determinado por: Dos rectas que se cortan Dos rectas paralelas r2 s2 A2 C2 r1 s1 B2 D2 A1 C1 D1 B1 Tres puntos no alineados Una recta y un punto exterior

12. n 2 m f 2 2 P h P 2 2 2 n 1 f P 1 1 P 1 m 1 h 1 Los dos siguientes son casos particulares de dos rectas que se cortan: Con una recta de máxima pendiente Con una recta de máxima inclinación

13. 11. Posiciones del plano favorables Las posiciones que un plano puede ocupar en relación con los planos de proyección son: oblicuo, perpendicular y paralelo. Las posiciones favorables del plano son aquellas en las que el plano muestra su verdadera magnitud o aquellas que son útiles para resolver relaciones geométricas, como ángulos o intersecciones. Plano perpendicular a los de proyección o planos proyectantes f2 Proyectante horizontal: Perpendicular al PH. En la planta su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo β de este plano con el PV. En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación. Las frontales, cuya proyección horizontal es un punto (recta vertical) son también rectas de máxima pendiente. α2 h2 β f1 α1 ≡h1

14. Proyectante vertical: Perpendicular al PV. En el alzado su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo que forma con el PH. En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación y su proyección vertical es un punto (recta de punta). Las frontales, son también rectas de máxima pendiente. h2 ≡f2 h1 α2 f1 α3 Proyectante de perfil: Es perpendicular al PP. En el perfil su proyección queda contenida en una recta y se miden los ángulos que forma con el PH y con el PV. α2 β α1 α1

15. n2 m2 Plano paralelo a los de proyección o planos proyectantes Plano horizontal: Paralelo al PH y perpendicular a los otros dos de proyección. En planta los elementos contenidos se presentan en VM y en el alzado y perfil la proyección está contenida en una recta. Todas las rectas de este plano son horizontales, incluso las de máxima pendiente. La frontal f tendrá sus dos proyecciones paralelas a la LT. La recta de máxima inclinación es una recta de punta. α2 ≡h2 m1 n1 ≡f2 h1 Plano frontal: Paralelo al PV y perpendicular a los otros dos de proyección. En el alzado los elementos se ven en VM y en la planta y el perfil la proyección de los mismos queda contenida en la recta. Todas las rectas de este plano son frontales, incluso las de máxima pendiente. La horizontal h tendrá sus proyecciones paralelas a la LT. La recta de máxima pendiente es una recta de punta. f2 α1= VM f1 α2= VM h2 ≡h1 ≡f1 α1

16. Plano de perfil: Paralelo al PP y perpendicular a los otros dos planos de proyección. En el perfil los elementos se ven en VM. En la planta y el alzado la proyección queda contenida en una recta. La horizontal h coincide con la recta de máxima inclinación y es, al mismo tiempo, una recta de punta. La frontal f coincide con la recta de máxima pendiente y es una recta vertical. h3 α3= VM α2 h2 y y Y’ Y’ ≡ f2 f3 α1 ≡h1 f1

17. 12. Proyecciones auxiliares del plano por medio de CAMBIOS DE PLANO Que una forma plana sea paralela a un plano de proyección supone una gran ventaja ya que la proyección que obtenemos sobre este es real en forma y dimensión (VM). Conversión plano oblicuo en proyectante horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL) B 2 B’ 1 f2 C 2 C’ 1 A 2 A’ 1 A 1 YC Para realizar esta operación utilizamos como auxiliar una recta FRONTAL f1 YB YB C 1 YC B 1

18. Conversión plano proyectante horizontal en frontal (CAMBIO DE PLANO VERTICAL) Por las proyecciones horizontales de los puntos se trazan nuevas líneas de referencia perpendiculares a la recta-proyección horizontal del plano y sobre ellas se trasladan las cotas 1 A 1 C La nueva proyección vertical está en VM. 2 1 A C’ B 2 2 C A’ zA ZA 2 2 B B’ 2 ZB ZB

19. Conversión plano oblicuo en proyectante vertical (CAMBIO DE PLANO VERTICAL) B 2 A” 2 C’’ 2 h2 C 2 B’’ A 2 2 A 1 h1 Para realizar esta operación utilizamos como auxiliar una recta HORIZONTAL zB zB C 1 ZC ZC B 1

20. Conversión plano proyectante vertical en horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL) C 1 C 2 A 2 B’ 1 B 2 A’ 1 Por las proyecciones verticales de los puntos se trazan nuevas líneas de referencia perpendiculares a la recta-proyección vertical del plano y sobre ellas se trasladan los alejamientos B 1 YC YC C YB YB 1 La nueva proyección horizontal está en VM. A 1

21. RESUMEN Para representar la VM de un plano en posición general realizamos dos cambios de plano. En el primero el plano ha de quedar proyectante (vertical) : h1 indica la dirección de la proyección A partir de esta proyección y proyectando perpendicularmente definimos el nuevo plano horizontal de proyección paralelo a este polígono sobre el que hallamos la VM del mismo. B2 B’1 z2 z2 B’2 h2 A’1 A2 z1 z1 C2 A’2 B1 A1 C’2 h1 C’1 y1 y1 y2 y2 C1 VM

22. En este caso un de las horizontales del plano (lados AB o CD) indica la dirección de la proyección En el segundo, el plano debe quedar paralelo al nuevo plano de proyección A2 B2 A2’≡B2’ A’ 1 z z C2 B1’ D2 C1 A1 C2’≡D2’ VM C1’ Y1 B1 D1’ D1 Y1 Y2 Y2

23. Cambio de plano horizontal (piezas) En la nueva proyección horizontal (o planta auxiliar), los alejamientos relativos respecto al plano de los elementos representados no varían respecto a los que tenían en la antigua planta. y1 y1 y2 y y y2 VM VM

24. Cambio de plano vertical (piezas) En la nueva proyección vertical (o alzado auxiliar), las cotas o alturas de los elementos representados no varían respecto a las que tenían en el antiguo alzado VM VM V2 V3 A3 z z z A2 B2 α z A1 B3 V1 B1

25. r 2 s 2 r 2 s 2 P 2 P 1 r 1 s r 1 1 s 1 13. Intersección entre rectas La intersección entre dos rectas es un punto. No hay que confundirla con el caso de dos rectas que se cruzan (en el espacio) Rectas que se cortan Rectas que se cruzan Existe un punto común a ambas rectas NO existe un punto común a las rectas

26. 14. Intersección de dos planos La intersección dos planos es una recta. Si utilizamos como planos dos formas poligonales, la recta intersección está definida por el segmento que tienen ambos en común (siempre que los planos no sean paralelos) β D2 B2 E2 s G2 A2 α C2 H2 F2 D1 F1 B1 G1 A1 E1 H1 C1 Si uno de los planos es proyectante, se visualiza directamente la recta intersección.

27. visibilidad Para determinar la visibilidad de los planos: En las zonas comunes de la proyección horizontal serán invisibles, aquellas que observando la proyección vertical tenga menor cota. D2 B2 E2 G2 Menor cota: no visible en proyección horizontal A2 C2 H2 Menor cota: no visible en proyección horizontal F2 D1 F1 B1 G1 A1 E1 H1 C1 En las zonas comunes de la proyección vertical, serán visibles las que tenga mayor alejamiento (lo que se ve en el plano horizontal) y oculta la de menor.

28. Mediante cambio de plano B2 h2 G2 z4 z4 B’2 z3 z3 z1 z1 L2 z2 z2 K2 J2 F2 J’2 A2 E’2 K’ h1 K’2 E2 J1 F’2 C’2 C2 B1 E1 A’2 G’2 L1 F1 C1 A1 G1

29. Mediante planos auxiliares B2 G2 α2 S2 M2 L2 K2 A2 O2 Q2 P2 β2 F2 T2 E2 C2 B1 E1 K1 S1 T1 M1 F1 C1 L1 P1 A1 Q1 G1 O1

30. 15. Intersección entre recta y plano La intersección de una recta con un plano es un punto. β r El método general para determinar la intersección de una recta r con un plano α, consiste en hacer pasar por la recta r un plano auxiliar β. La intersección de α con β produce una recta s. La intersección de r con s origina el punto de intersección. P s α r2 α2 P2 Si el plano está situado en posición favorable (proyectante), queda inmediatamente visualizado el punto de intersección. El plano en posición proyectante es una posición favorable, muy útil para la resolución de intersecciones y en la representación de la perpendicularidad. r1 P1 α1

31. Mediante cambio de plano Mediante plano auxiliar que contenga la recta (intersección de planos) r2 r2 ≡α2 D2 B2 B2 h2 r’2 E2 z1 z1 z2 z2 z3 z3 A2 A2 E1 C’2 A’2 I1 D1 C2 C2 I’2 r1 r1 I1 I2 I2 B’2 h1 C1 C1 A1 A1 B1 B1

32. 16. Intersección de dos planos mediante intersección recta plano α2 B2 G2 S2 N2 A2 β2 F2 E2 T2 ≡O2 M2 C2 B1 E1 P2 N1 T1 S1 F1 P1 C1 A1 M1 G1 O1

33. 17. Paralelismo 1. Paralelismo entre rectas 2. Paralelismo entre recta y plano Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas. Una recta r es paralela a un plano, cuando lo es a una recta s que está contenida en el plano r r2 s2 Si demás de ser paralelas son paralelas a un plano de perfil, se necesita su proyección de perfil para verificar el paralelismo B A s α r1 s1

34. Casos de paralelismo entre recta y plano Trazar por un punto P exterior a un plano α una recta paralela al plano. (infinitas soluciones) Trazar por un punto P un plano α paralelo a un recta r. (infinitas soluciones) Dadas dos rectas r y s no paralelas, trazar el plano α paralelo a s. (solución única) P2 P2 P2 s2 r2 r2 r2 r2 s2 s2 s2 P1 P1 P1 s1 r1 r1 r1 r1 s1 s1 s1

35. 3. Paralelismo entre planos Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ. P2 P2 Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paralelos hallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros pares de rectas del otro plano. h2 h2 f2 f2 Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los lados del polígono que representa el plano. P1 P1 h1 h1 f1 Trazar por un punto P el plano β paralelo al plano α. f1 r2 r2 α2 α2 α2 s2 s2 r1 r1 α1 α1 α1 s1 s1

36. 18. Perpendicularidad 1. Perpendicularidad entre rectas Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas son perpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos rectas sobre este plano son perpendiculares entre sí. A2 A2 P2 P2 r r2 r1 r2 h2 f2 A1 A1 r1 Recta perpendicular a f o h que pasa por P α P1 s s’ h1 f1 P1 r’

37. Recta perpendicular a r que pasa por A: Método cambio de plano 12 22 1. Realizo el cambio de plano horizontal y convierto r en una horizontal. B2 A2 p2 r2 2. Realizo este mismo cambio de plano para A. r1 21 3. Desde A’1 trazo una s’1 rectaperpendicular a r’1. A1 2’1 4. Obtengo B, punto de intersección de las dos rectas y lo traslado sobre las otras proyecciones de r. 11 p1 5. Uno A con B para dibujar las proyecciones de la recta s perpendicular a r B’1 B1 A’1 s’1 1’1 r’1

38. Recta perpendicular a r que pasa por A: Método Plano auxiliar B2 f2 ≡ s2 12 ≡α2 22 h2 r2 A2 p2 1. Dibujo por A una horizontal perpendicular a r1 2. Dibujo por A una frontal perpendicular a r2 r1 h1 21 B1 3. Inserto r en un plano auxiliar α que corta al plano formado por h y f A1 f1 4. Obtengo los puntos de intersección 1 y 2 para hallar s (intersección de los dos planos) p1 5. Donde s corta a r hallo punto B 6. Uno A con B y obtengo recta solución. 11 s1

39. 2. Perpendicularidad entre recta y plano f2 P2 Si una recta es perpendicular a un plano también lo es a todas las infinitas rectas contenidas en ese plano. h2 r2 Trazar por A el plano perpendicular a una recta conocida Trazar por P la recta perpendicular a un plano conocido A2 f2 h2 c2 r1 r2 Aplicando el teorema de las tres perpendicularidades se deduce que en la planta la proyección de la recta r será perpendicular a las proyecciones de las rectas horizontales del plano. Por la misma razón en el alzado la proyección de r será perpendicular a las proyecciones de las frontales del plano. A1 f1 B2 f1 A2 h1 c1 P1 B1 h1 A1 r1

40. P2 3. Perpendicularidad entre planos Dibujar plano que pase por la recta r y sea perpendicular al dado ABC Un plano βes perpendicular a otro αsi β contiene una recta perpendicular a α. Además r es el eje de un haz de planos perpendiculares a α. f2 h2 c2 s2 r2 B2 f1 A2 r h1 c1 P1 α2 B1 β α A1 r1 s1 α1

41. r2 42 Analizar si son perpendiculares entre sí los dos planos f2 32 D2 h2 22 12 B2 1. Dibujo una horizontal del plano ABC E2 A2 2. Dibujo una frontal del plano ABC F2 C2 3. Dibujo en el plano EFG una recta cualquiera r cuya r1 sea perpendicular a h1 y r2 perpendicular a f2 F1 B1 41 f1 A1 r1 4. Compruebo que la recta pertenece al plano EFD. En este caso compruebo que la recta r pertenece al plano por lo que ambos planos son perpendiculares. D1 11 21 E1 31 C1 h1