5) Mecánica del Cuerpo Rígido




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5) Mecánica del Cuerpo Rígido
5,1) Definición de CR
Es un sistema de partículas especial que no se deforma bajo el rango d...
d r
τ R ,ext ≡
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S5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m y dimensiones representadas en la figura.

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 M 
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S5P3) Una polea de ...
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  1. 1. 5) Mecánica del Cuerpo Rígido 133
  2. 2. 5) Mecánica del Cuerpo Rígido 5,1) Definición de CR Es un sistema de partículas especial que no se deforma bajo el rango de fuerzas que actúa sobre el. Se adopta para poder describir la componente ROTACIONAL del movimiento de los cuerpos. SP i dij n↔∞ j dij ≡ cte CR → cuerpos indeformables 5,2) Movimiento del Cuerpo Rígido El Movimiento del CR, en el caso planar, se puede describir de la siguiente manera, Traslación rotación Mov. CR ≡ de un punto + en torno de del CR dicho punto → CM → CM cm w cm r v Esta descomposición de movimientos ya ha sido vista en otros casos, “Mov. Parabólico” MP ≡ MRUx “+” MRUVy i) Traslación 0’ = CM r r r r ≡ r0'/ 0 + r ' r r r v ≡ v0'/ 0 + v ' r r r a ≡ a0'/ 0 + a ' r r r FR ≡ FR , ext ≡ MaCM ii) Rotación d r τ R ,ext ≡ L dt ↑ ↑ r r F p r r r r r r τF ≡r xF L≡rx p O: → pto fijo → CM → mov // al CM r Cuando las rotaciones se efectúan bajo un eje especial, llamado eje principal de inercia, EPI, al L se puede escribir así: r r L = Iw ← EPI I: momento de inercia respecto al EPI 134
  3. 3. d r τ R ,ext ≡ dt { r L ≡ Iw } → ↑ xyz r  r ≡ Iw = Iα r τ R ,ext ≡ Iα El I tendría su equivalente en m, representando por lo tanto inercia rotacional, → I≡M Momento de Inercia, I r La expresión general de I se extrae de la forma general del L , esto es, r r r L≡ ∫ r × v dm CR r r r y, escribiendo v ≡ ω × r , con lo cual, r r r r r r L≡ ∫ CR r × v dm ≡ ∫ r × (ω × r ) dm , reemplazando el triple producto vectorial, CR r r r r r r r r × (ω × r ) ≡ r 2ω − ( r .ω )r , entonces, r ∫ r × v dm ≡ ∫ r × (ω × r ) dm ≡ ∫ { r ω − (r .ω )r } dm , desarrollando la integral y r r r r r r r r r L≡ 2 CR CR CR ordenando términos obtendríamos la expresión tensorial, r tr L ≡ Iω t donde I es el tensor de inercia descrito por, I I xy I xz  t  xx  I ≡  I yx I yy I yz   I zx I zy I zz    en la cual las formas I ij son los productos de inercia y I ii los momentos principales. Los momentos principales siempre pueden escribirse de esta forma, ξ ∫r ξ I CR ≡ 2 dm CR r r dm iii) Energía 1 2 1 r r EkR ≡ Iw ≡ L ⋅ w 2 2 r r EPI: L ≡ I ⋅ w EM ≡ Ek + Ep Si r r → ∃ Fnc ∨ w Fnc ≡ 0 → E M ≡ cte → EM ≡ EKT + EkR + E p 135
  4. 4. S5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m y dimensiones representadas en la figura. Y e 0 h x z x, y I CR ≡ ??? Y disco rx Z x h X a) ξ ≡x Discos: ξ Asumiendo anillos de masa dm ξ I disco ≡ ∫ dI { M anillos R Anillos: Asumiendo pequeños arcos de masa dm, ξ I anillo ≡ ∫ R 2 dm dm Ma I ξ ≡ R 2M anillo R ≡ Ma R 2 ∫ ξ Regresando al disco: I disco ≡ r 2dm disco anillo: dm ↔ M(masa del disco) da dm 0 r dr r 136
  5. 5.  M  dm ≡ σda ≡ 2  {2πrdr}  πR  2M ≡ rdr R2 { ∫ r dr } 4 2 R 2M 2M R MR → Iξ = 3 ≡ x = 0 R 2 R 2 4 2 dm 2 Iξ≡ x ≡ ∫ dIξ ≡ ∫ cono disco r ( x) 2 ρ } m  2   { πr ( x ) dx} r ( x ) e dm r( x) = 2 ; x, ρ= ≡∫  V h dV 2 ≡ ... ? b) ξ≡y Iξ≡ y ≡ ? cono z Teorema cuerpos planos: Iz = Ix + Iy x y M Teorema de Steiner: I ≡ Icm + Md2 cm d Y Y’ Y’ disco disco rx Z’ X Z Z' x h X → Idisco ≡ I y ′ + I z′ ≡ 2Idisco x y′ 137
  6. 6. y ′ // y dI y ≡ dI cm + dm x 2 ≡ dI y ' + dm x 2 I y ≡ ∫ dI y I y ≡ ...? S5P3) Una polea de doble peso tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de 0,25 m. De los cables que se enrollan en la periferia de la polea cuelgan 2 pesas iguales de w = 200 N. Suponiendo que la fricción en el eje de apoyo y la masa de los cables se desprecian, determine la aceleración del cuerpo que baja. Use r2 = 2r1 ≡ 0,4 m. SOLUCION: α r1 r2 P 0 Q T1 T2 a1 w 1 2 w ↓ a2 ≡ atp ≡ r2 α Radio de giro: Es el radio que tendría una partícula de masa M de ξ ξ tal manera que su I ≡ MR ≡ I . El radio de giro asociado a un cuerpo debe interpretarse como el radio de una 2 CR partícula de igual masa con idéntico I respecto del mismo eje. ξ ξ M ξ ξ ≡ R M Icr ≡ I part ≡ MR 2 En el caso de nuestro problema, es el radio que tendría una partícula con la misma masa del cuerpo de tal manera que su I sea igual al de la polea respecto de su eje axial. Por lo tanto, usando la información del radio de giro de la polea, determinamos su momento de inercia respecto a su eje axial, Radio de giro: I ≡ MR2 ← R=0,25 y M=100 Iξ ≡ 100 (0,25)2 ≡ 6,25; ξ : eje axial Analizando el disco: atP a τ R ,ext ≡ Iα ≡ I ξ ≡ Iξ 2 r2 r2 a T2r2 − T1r1 = I ξ 2 ...(1) r2 Analizando cuerpo 2: w w − T2 ≡ a2 ...(2) g Analizando cuerpo 1: 138
  7. 7. w ar T1 − w = a1 ; a1 ≡ atQ ≡ α r1 ≡ 2 1 g r2 w a2 r1 w r1 T1 − w ≡ ≡ a2 ...(3) g r2 g r2 Tenemos un sistema consistente donde podemos calcular a2, T1 y T2, …calcule!? S5P4) Una cuerda pasa por una polea sin rozamiento, según indica la figura, llevando una masa m1 en un extremo y estando enrollada por el otro a un cilindro de masa m2 que rueda sobre un plano horizontal, ¿Cuál es la aceleración de la masa m1? m2 µ p m1 ↓ a1 SOLUCION: T DCL (m1): DCL (m2): Q T W1 W2 ↓ a1 f da 2 Ley traslasional para m1: N w1 − T ≡ m1a1...(1) 2da Ley rotacional para m2: ξp τ R ,ext = I cilindroα : P se mueve paralelo al CM 1  a a T ( 2r ) = I cilindroα ≡  m2 r 2 + m2 r 2  α , α ≡ tQ ≡ 1 ξp 2  2r 2r 3 T ≡ m2 a1...( 2) 8 Una vez mas, tenemos un sistema consistente de ecuaciones, donde podemos calcular a1 y T,…calcule!? ¿? Es posible calcular la fuerza de fricción ¿? Que tipo de fricción es ¿? Y como se mueve el CM S5P5) La rueda O pesa 650 N y rueda a lo largo de un plano horizontal (figura. El radio de giro de la masa de la rueda con 2 respecto a su eje geométrico es ( ) m. El coeficiente de fricción entre la rueda y el plano es 0,25. Determine la 3 aceleración del centro de la rueda y la aceleración angular de la rueda. SOLUCION: 30N 50N µ p f El efecto de giro de F1 = 30N respecto de P, es mayor que el de F2 ≡ 50 N. Ahora, fíjense, el efecto traslasional de F2 es mayor que F1. Ambos enfoques son consistentes con la fuerza de fricción f. El cuerpo se moverá hacia la izquierda. a) De lo anterior, aplicando la 2da Ley, 139
  8. 8. w 30 + (0, 25 × 650) − 50 FR ≡ ma CM → 30 + f − 50 =   acm → acm ≡ ≡ 2, 2 g 65 b) α ≡ ? Por la condición de rodadura, desde el punto P se observa la acm, acm ≡ αr, donde r: radio de la rueda. a cm αcm ≡ r Para calcular dicho radio, hacemos uso del radio de giro de la rueda, 2 ξ Mr ξ I ≡ cr ≡ I part ≡ MR ,ξ : eje axial del disco 2 2 1 Mr 2 ≡ MR 2 , R ≡ Rgiro 2 r = 2R 2 2 r= 2 = 3 3 acm 2,2 αcm ≡ ≡ ≡ 3,3 r (2 / 3) 140

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