En este PPT vamos a estudiar los conceptos de Vencimiento Común y Vencimiento Medio, tanto desde un punto de vista teórico como práctico. Podéis visualizar esta presentación explicada en vídeo en mi blog: www.jagonzalez.blogsgo.com

1. VENCIMIENTO COMUN
Y VENCIMIENTO MEDIO
Profesor: Juan Antonio González Díaz
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
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2. Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio
Tratamos de sustituir “n” capitales financieros (C1, t1), (C2, t2), ...... (Cn, tn) por un único capital financiero (C,t)
de tal manera que este último sea equivalente a todos los “n” capitales financieros iniciales.
Al nuevo Capital obtenido, C, se le denomina “Capital Único Equivalente”, y al momento de vencimiento “p” se le
llama “Vencimiento Común”.
Situación Inicial
A
C1
C2
C3
Cn
t1
t2
t3
tn
C
Situación Alternativa
B
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t
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

3. Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio
Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa, un solo
capital, cuando ambas opciones sean equivalentes
Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes
La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es
decir,
A (0) = B (0)
.
Situación Inicial
A
0
C1
C2
.
C3
t1
t2
t3
Situación Alternativa
B
.
Cn-1
tn-1
.
Cn
tn
C
t
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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

4. Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio
Para llevar ambas situaciones al momento 0, debemos utilizar una ley de descuento simple. Hemos visto
dos leyes distintas, la Ley Financiera de Descuento Comercial y la Ley Financiera de Descuento
Racional, ¿cómo sabremos cuál utilizar?
Si el enunciado nos facilita una tasa de descuento, usaremos la LFDC: C0 =Cn (1- n d)
Entonces la equivalencia sería la siguiente:
C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]
Pudiendo ser la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o cuantía
de cualquiera de los capitales individuales.
Si el enunciado nos facilita un tipo de interés, usaremos la LFDR:
Entonces la equivalencia sería la siguiente:
C0 
Cn
1 n i
Cn
C1
C2
C



1  t1  i
1  t2  i
1  tn  i
1 t i
Pudiendo ser también la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o
cuantía de cualquiera de los capitales individuales.
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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

5. Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio
Si el Capital Único Equivalente (C) fuera la suma del resto de los capitales,
C = C1 + C2 + ... + Cn
Entonces, al vencimiento “t” lo denominamos Vencimiento Medio, y se expresaría
como sigue:
C  t  C1  t1  C 2  t 2    C n  t n
Como podemos comprobar con el siguiente desarrollo:
C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]
C1 – C1 t1 d + C2 – C2 t2 d + ...+ Cn – Cn tn d = C - C t d
Reordenando,
C1 + C2 + ...+ Cn – C1 t1 d – C2 t2 d - ... – Cn tn d = C - C t d
C – d (C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn) = C - C t d
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t
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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

6. Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio
Despejando el valor de t,
t 
C1  t1  C 2  t 2   C n  t n
C
Que supone que el vencimiento del capital único se corresponde con la media aritmética ponderada de los
vencimientos de los capitales individuales. De ahí el nombre de VENCIMIENTO MEDIO
Una característica importante es que en el caso de vencimiento medio, éste no se ve modificado por el tipo
de interés o tipo de descuento de la operación, por lo que se trata de un dato irrelevante a efectos de
calcular el vencimiento medio
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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

7. PROBLEMA 1:
Considere tres capitales de cuantías C1, C2 y C3 con vencimientos respectivos de t1, t2 y t3 trimestres. Se
desean sustituir estos capitales por una única entrega de cuantía C y vencimiento t meses.
a)
Determine el vencimiento t, considerando que se opera a un tipo de descuento mensual d12
b)
Determine la cuantía del segundo capital, C2, considerando que se opera a un tipo de interés anual i
c)
Si suponemos que C1 + C2 + C3 = C, obtenga el vencimiento t3 del tercer capital
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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

8. SOLUCION AL PROBLEMA 1:
.
a)
C1
.
C3
C2
t1
Situación Inicial
A
0
Sólo puedo cambiar una situación inicial,
con varios capitales, por una situación
alternativa,. un solo capital, cuando
.
ambas opciones sean equivalentes
t2
Es decir, sólo puedo sustituir la
Situación A por la Situación B si son
equivalentes
t3 trimestres
Situación Alternativa
B
La Situación A será equivalente a la
Situación B si, valoradas en el mismo
momento, son iguales. Es decir,
A (0) = B (0)
C
t meses
C1    t1  3  d12
1
t 
1
  C2    t 2
1
C1    t1  3  d12
1
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 3  d12
  C3    t 3
1
  C2    t 2
1
 3  d12
 3  d12

  C3    t 3
1
C

 1 t
 3  d12
 d12


C
d12
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

9. SOLUCION AL PROBLEMA 1:
.
b)
C1
t1
Situación Inicial
A
0
C2
t2
Situación Alternativa
B
Sólo puedo cambiar una situación inicial,
con varios capitales, por una situación
alternativa, un solo capital, cuando
.
.
ambas opciones sean equivalentes
.
C3
t3 trimestres
C
t meses
Es decir, sólo puedo sustituir la
Situación A por la Situación B si son
equivalentes
La Situación A será equivalente a la
Situación B si, valoradas en el mismo
momento, son iguales. Es decir,
A (0) = B (0)
C3
C1
C2
C



t1
t2
t3
t
1
i
1
i
1
i
1
i
12
4
4
4
C2


C3
C1
C
 


t1
t
1 t i
1
i
1 3 i

12
4
4

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

  1  t 2  i 



4




VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

10. SOLUCION AL PROBLEMA 1:
c)
Situación Inicial
A
0
.
C1
C2
t1
t2
Situación Alternativa
B
.
C3
.
Si
t3 trimestres
C
.
C1 + C2 + C3 = C
Estamos ante Vencimiento Medio
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t
t meses
t3 
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C 
t
 C1  t1  C 2  t 2
3
C3
VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

11. PROBLEMA 2:
Debo pagar un capital de cuantía 23.000 euros dentro de 15 meses. Deseo sustituir ese pago por tres
capitales. Dos de 8.000 euros con vencimientos dentro de 4 meses y 10 meses respectivamente.
Calcule.
a)
La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de descuento
trimestral simple del 2%
b)
La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de interés anual
simple del 6%
c)
Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.500 euros. Para un tipo de
descuento bimensual del 1%
d)
Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.000 euros. ¿Qué tipo de
interés se ha utilizado?
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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

12. SOLUCION AL PROBLEMA 2:
a)
Sólo puedo cambiar una situación inicial,
con varios capitales, por una situación
alternativa, un solo capital, cuando
.
.
ambas opciones sean equivalentes
23,000
Situación Inicial
A
15 meses
.
8.000
Situación Alternativa
B
8.000
4
10
0
.
C3
18 meses
Es decir, sólo puedo sustituir la
Situación A por la Situación B si son
equivalentes
La Situación A será equivalente a la
Situación B si, valoradas en el mismo
momento, son iguales. Es decir,
A (0) = B (0)
23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)]
20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88]
C3 = 6.189,39 Euros
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13. SOLUCION AL PROBLEMA 2:
b)
Sólo puedo cambiar una situación inicial,
con varios capitales, por una situación
alternativa, un solo capital, cuando
.
.
ambas opciones sean equivalentes
23,000
Situación Inicial
A
15 meses
.
8.000
Situación Alternativa
B
8.000
4
10
0
.
C3
18 meses
Es decir, sólo puedo sustituir la
Situación A por la Situación B si son
equivalentes
La Situación A será equivalente a la
Situación B si, valoradas en el mismo
momento, son iguales. Es decir,
A (0) = B (0)
23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)]
21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09
C3 = 6.467,15 Euros
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14. SOLUCION AL PROBLEMA 2:
c)
Sólo puedo cambiar una situación inicial,
con varios capitales, por una situación
alternativa,. un solo capital, cuando
.
ambas opciones sean equivalentes
23,000
Situación Inicial
A
15 meses
.
8.000
Situación Alternativa
B
8.000
4
10
0
.
7.500
t3 meses
Es decir, sólo puedo sustituir la
Situación A por la Situación B si son
equivalentes
La Situación A será equivalente a la
Situación B si, valoradas en el mismo
momento, son iguales. Es decir,
A (0) = B (0)
23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01)
21.275 = 7.840 + 7.600 + 7.500 (1 - t3/2 0,01)
t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días)
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15. SOLUCION AL PROBLEMA 2:
.
d)
.
23,000
Situación Inicial
A
15 meses
.
8.000
Situación Alternativa
B
8.000
4
.
7.000
10
0
23.000 * 15 = 8.000 * 4 + 8.000 * 10 + 7.000 * t3
t3 meses
Si
C1 + C2 + C3 = C
Es decir, 8.000 + 8.000 + 7.000 = 23.000
Estamos ante Vencimiento Medio
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t
t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días)
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