1. MATERIAL DE APOYO PARA SEXTA LA PRÁCTICA DE
MATEMÁTICAS FINANCIERAS (2008-09)
En la sexta práctica informática de LADE y LD-LADE redactaremos cuadros de amortización
de empréstitos ayudados de la hoja de cálculo Excel. En concreto resolveremos los siguientes
tipos de empréstitos:
1. Empréstito normal de anualidad constante y amortización a la par.
2. Empréstito normal de anualidad constante con prima de amortización y lote.
3. Empréstito a amortizar mediante títulos constantes y prima de amortización.
4. Empréstito con pérdida del último cupón.
1. Empréstito normal de anualidad constante y amortización a la par.
En un empréstito amortizado mediante anualidad constante lo primero que se calcula es la
anualidad teórica, y se hace a través de la ecuación que establece la equivalencia financiera
entre lo que la sociedad emisora adquiere como deuda en el momento inicial por la puesta en
circulación de los títulos y la actualización financiera del flujo de anualidades que entrega para
la amortización de obligaciones y pago de intereses periódicos.
CN 1
CN1 = a .a n i ⇒ a =
an i
Antes de redactar el cuado de amortización hemos de calcular el nº de títulos que se amortizan
cada año; comenzamos con los amortizados el primer año ( M 1 ) y posteriormente hallamos los
títulos amortizados los años consecutivos ( M 2 , M 3 , M 4 ..., M n ) siguiendo la expresión:
M k = M 1 (1 + i ) k −1 . Para obtener los títulos amortizados el primer año tenemos dos opciones:
a) Calcular M1 desde la anualidad teórica obtenida anteriormente:
a − N 1 .Ci
a = I 1 + m1 = N 1 .Ci + M 1 .C ⇒ M 1 =
C
b) Calcular M1 desde la siguiente expresión:
N1 = M 1 + M 2 + M 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = M 1 ⋅ sn i → M 1 = N1
sn i
Hallados M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ..., M n , a continuación, se realiza el redondeo de los títulos amortizados
cada uno de los años, ya que cada año debe amortizarse un número de títulos entero. Para ello se
sumará la parte entera de los títulos amortizados cada uno de los años y los títulos que falten
hasta llegar al total de títulos emitidos se repartirán entre aquellos que presenten la parte
decimal más alta, redondeando por defecto todos los demás.
Una vez calculado esto comenzados con el cuadro de amortización.
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2. - 1º Completamos la columna de los títulos amortizados ( M h ) en cada uno de los años una vez
realizado el redondeo.
- 2º Columna de total títulos amortizados ( Th = Th −1 + M h )
- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( N h+1 = N h − M h )
- 4º Columna de las cuotas de amortización ( mh = M h ⋅ C ). Esta columna representa lo que la
entidad emisora paga por amortización cada uno de los años y será el número de empréstitos
amortizados cada uno de los años por el valor nominal de los títulos.
- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés ( I h = N h ⋅ C ⋅ i ). La cuota de interés se
calcula como el cupón por el número de títulos vivos a principio de periodo.
- 6º la columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés y de
amortización de cada uno de los años ( ah = mh + I h ). Aunque este empréstito teóricamente es
de anualidad constante el redondeo de los títulos lleva a que la anualidad no salga constante.
A continuación, se muestra un ejemplo en el que calcularemos el cuadro de amortización de un
empréstito de anualidad constante y amortización a la par.
La Empresa R emite un empréstito de 8.000 títulos u obligaciones de 100€ de nominal cada uno
de ellos a amortizar a la par mediante anualidad constante durante 10 años y por el que se
pagará un cupón anual por título de 6€.
Lo primero que tenemos que calcular es el valor actual y final con las fórmulas de EXCEL VA
= 7,3601 y VF = 13,18 para poder calcular posteriormente tanto la anualidad teórica
CN1 100 * 8000
aT = = = 108.694,37€ como el número de títulos amortizados el primer año:
an i 7 ,3601
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3. M 1 = N1 = 8000 / 13,18 = 606,94 . Luego, en la columna E desde E7 a E16
sn i
introduciremos los títulos amortizados en los años 2 a 10 mediante:
M h = M 1 ( 1 + i ) h −1 → M 2 = M 1 ( 1 + i )1 = 643 ,36; → M 3 = M 2 ( 1 + i )1 = 681,96 y así para todos los
años.
Como el número de los títulos a amortizar cada año, en este caso, no es un número entero,
debemos pasar a realizar un procedimiento de redondeo de los títulos. Así, en la columna F
colocamos sólo la parte entera de los títulos, la sumamos al final de la columna y observamos
cuántos títulos faltan hasta llegar al total de emitidos. Esta diferencia la repartimos entre los
valores de la columna G a aquellos que en la columna E tenían la parte decimal más alta. Para
realizar este cálculo en la columna F utilizamos la función de Excel Entero, con ella en la celda
correspondiente aparecerá solo la parte entera de la celda que le indiquemos. Por ejemplo, en la
celda F7 pondremos =ENTERO(E7) y aparecerá 606 y así sucesivamente. Posteriormente
sumaremos todos los títulos en la celda F17 y en este caso aparece 7.994 títulos por lo que
faltan por distribuir 6 títulos que se los colocaremos a aquellos que tienen la parte decimal más
alta (para mayor claridad los hemos puesto en color azul), por lo que en la columna G tienen un
título más. Así, por ejemplo en la celda F7 hay 606 títulos como tienen una parte entera alta en
la G7 hemos puesto =F7+1 = 607 títulos. (Decimos en este caso que todos esos Mk los
redondeamos por exceso, mientras que el resto se redondean por defecto).
Los títulos que aparecen en esta columna G7 serán los que colocaremos en el cuadro de
amortización en la columna E, desde E21 hasta E30. Así, en E21 pondremos =G7 y
arrastraremos la fórmula hasta E30. Desde este momento comenzaremos a rellenar el cuadro de
amortización con las indicaciones y orden establecidos anteriormente quedando el cuadro como
mostramos a continuación:
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4. 2. Empréstito normal de anualidad constante con prima de amortización y lote.
Este tipo de empréstito se caracteriza porque presenta la prima de amortización como
característica comercial, las obligaciones se amortizan por un valor superior al nominal, lo que
implica que la cuota de amortización se calcula en este caso como mh = M h ( C + P ).
Para calcular el cuadro de amortización se debe realizar en primer lugar, un proceso de
normalización, lo que nos permitirá obtener el número de títulos que se amortiza cada uno de
los años. La normalización que tendremos que realizar será la siguiente:
C′ = C + P
C ⋅i C ⋅i
C ⋅ i = C '⋅i ' ⇒ i ' = =
C' C+P
Con los valores C´ e i´ resolvemos el empréstito como si fuera un empréstito normal de
anualidad constante recordando que en la cuota de amortización cada título se amortiza no por
el valor nominal sino por el valor nominal más la prima.
En primer lugar, calculamos la anualidad teórica estableciendo la equivalencia financiera entre
el compromiso adquirido por la empresa emisora en el momento de la emisión, que es C´N1, y
las anualidades actualizadas que dicha empresa entregará, esto es, C'.N1 = a.a ⇒ a = C ′N1 .
n i'
a n i'
En segundo lugar, obtendremos los títulos amortizados el primer año M1, ya sea mediante:
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5. a − N1 ⋅ C ' i' o a través de la expresión: N
a = N1.C ' i'+ M1.C ' ⇒ M 1 = M1 = 1 .
C' s n i'
En tercer lugar, calculamos los títulos a amortizar el resto de los años mediante la expresión:
M h = M 1 ( 1 + i' )h −1 . En caso de que el número de títulos a amortizar cada uno de los años no sea
entero realizaremos el mismo procedimiento de redondeo realizado en el ejemplo anterior.
A partir de este momento, realizaremos el cuadro de amortización del empréstito como si fuese
un empréstito normal con la única diferencia de que en las cuotas de amortización de cada año
tendremos en cuenta la prima de amortización.
Cuadro de Amortización.
- 1º Calculamos la columna de los títulos amortizados ( M h ) una vez realizado el redondeo (en
caso de ser necesario).
- 2º Columna de total títulos amortizados ( Th = Th −1 + M h )
- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( N h+1 = N h − M h )
- 4º Rellenamos la columna de las cuotas de amortización ( mh = M h ⋅ (C + P) ). Lo que la entidad
emisora paga por amortización cada uno de los años será el número de títulos amortizados por el
valor nominal de los títulos más la prima de amortización que recibe cada título.
- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés ( I h = N h ⋅ C ⋅ i ).
- 6º La columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés, cuota de
amortización de cada uno de los años ( ah = mh + I h ).
En el caso, en el que también existiese un lote, incorporaríamos una nueva columna en el cuadro
amortización (Lote= Lh ). Lo cual afectaría a la anualidad que estaría formada por cuota de
amortización, interés y lote ( a h = mh + I h + Lh ).
Ejemplo. Supongamos que la empresa R emite un empréstito compuesto por 8.000 títulos de
100€ de nominal cada uno de ellos a una tasa de interés anual constante del 6%, que se
amortizará en los próximos 10 años mediante anualidad constante. Como novedad emite los
títulos con una prima de amortización de 5€, esto es, el valor de amortización de cada título es
105€.
Para resolver este cuadro de amortización tal y como anteriormente hemos indicado lo primero
que haremos será normalizar el empréstito quedando los siguientes valores:
C' = C + P = 100 + 5 = 105€ ; C ⋅i C ⋅i 6
i' = = = = 5,71%
C' C + P 105
Con estos valores de C´ e i´ calcularemos VA, VF, anualidad teórica y los títulos que se
amortizan cada año. Realizaremos posteriormente el redondeo y el cuadro de amortización
como siempre, recordando que en este caso en la columna de los títulos amortizados cada año
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6. tendremos en cuenta que nos devuelven el valor de amortización y este incluye el nominal más
la prima de amortización: mh = M h ⋅ (C + P) . Quedando el cuadro de amortización como sigue:
Ejemplo. Supongamos que la empresa anterior realiza la misma emisión anterior pero para
animar a los obligacionistas a adquirir títulos reparte 50 lotes anuales por valor de 10€ cada uno
de ellos. Calcule el cuadro de amortización de dicho empréstito.
En este caso, el cuadro de amortización es similar al anterior con la única diferencia de que
existirá una nueva columna llamada lote y estará compuesta por todo lo que la empresa paga de
lote anual (50*10=500€) y que la anualidad debe incorporar el lote en su cálculo
( a L = a + L = 112.589 ,21 + 5.000 = 113.089 ,21€ ).
Quedando el cuadro de la siguiente manera:
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7. 3. Empréstito en el que se amortiza anualmente un número constante de títulos
Cada año se amortiza el mismo número de títulos, por lo que el cálculo de este empréstito es
muy sencillo ya que lo primero que se calcula es el número de títulos que se debe amortizar
cada año que al ser constantes se calcula de la siguiente manera: M = M = ... = M = M = N 1
1 2 n
n
Realizado este cálculo debe observarse si el número de títulos a amortizar es entero, en caso de
no serlo será necesario redondear (de igual modo al realizado en los empréstitos anteriores).
Hecho esto, se comienza el cuadro en el mismo orden y siguiendo la misma estructura que la
explicada en el apartado anterior. Esto es:
Cuadro de Amortización:
- 1º Completamos la columna de los títulos amortizados ( M h = M ) una vez realizado el
redondeo.
- 2º Columna de total títulos amortizados ( Th = Th −1 + M )
- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( N h +1 = N h − M h )
- 4º Rellenamos la columna de las cuotas de amortización ( mh = M ⋅ C ). En este caso, esta
columna tendrá una cuantía constante.
- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés ( I h = N h ⋅ C ⋅ i ).
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8. - 6º La columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés y de
amortización de cada uno de los años ( ak = I k + mk = N k C .i + MC ). En este tipo de empréstitos la
anualidad no se mantendrá constante, sino que seguirá una progresión aritmética decreciente.
Ejemplo. Supongamos una determinada empresa desea emitir un empréstito con las mismas
características que en ejercicios anteriores, esto es, se emiten 8.000 títulos u obligaciones de
100€ de nominal cada uno de ellos a amortizar durante 10 años en el que se pagará un cupón
anual por título de 6€, pero en este caso se amortizan mediante títulos constante.
Lo primero que tendremos que calcular será el número de títulos constante que se amortiza cada
año: M 1 = M 2 = ... = M n = M = N 1 = 8.000 = 800 títulos , en este caso como el número de títulos a
n 10
amortizar cada año es constante no hace falta realizar el redondeo y podremos comenzar con el
cuadro de amortización como siempre. Quedando el cuadro como sigue:
En el caso en el que además de que el número de títulos a amortizar cada uno de los años sea
constante exista una prima de amortización, el cuadro de amortización seguirá la misma
estructura que el cuadro anterior, con la única diferencia que en la columna de las cuotas de
amortización lo que la entidad emisora paga por amortización cada uno de los años será el
número de títulos amortizados (que en este caso es una cuantía constante) por el valor nominal
de los títulos más la prima de amortización que recibe cada título, esto es, ( mh = M ⋅ ( C + P ) ).
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9. Para los casos en los que el número de títulos que se amortiza cada año sea constante y exista
prima de amortización no se realiza el proceso de normalización. Este procedimiento se realiza
exclusivamente para empréstitos con anualidad constante.
Siguiendo el ejemplo anterior pero considerando además que existe una prima de
amortización de 5€ lo único que cambiaría sobre el cuadro anterior es las cuotas de
amortización que eran constantes en este caso su valor es igual a:
mh = M ⋅ ( C + P ) = 800 ⋅ ( 100 + 5 ) = 84.000€ , quedando el cuadro de amortización como sigue:
4. Empréstito con pérdida del último cupón, amortización a la par y anualidad constante.
En este tipo de empréstito las obligaciones amortizadas pierden el derecho a percibir el cupón
correspondiente a dicho periodo, por lo que solo recibirán el valor de amortización (nominal o
nominal más prima de amortización según corresponda).
Para calcular dicho cuadro de amortización se debe proceder en primer lugar, a un proceso de
normalización. La normalización que tendremos que realizar para esta característica es:
C ′ = C − C ⋅ i = C ⋅ (1 − i ) ;
C ⋅i C ⋅i
C ⋅ i = C '⋅i ' ⇒ i ' = =
C' C ⋅ (1 − i )
Con los valores C´ e i´ resolvemos el empréstito como si fuera un empréstito normal, de manera
que utilizaremos C´ e i´ para el cálculo de los títulos amortizados cada uno de los años mediante
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10. la expresión: M 1 = N 1 . Posteriormente, pasaremos a calcular los títulos a amortizar el resto
s n i'
de los años mediante la expresión: M h = M 1 ( 1 + i' )h −1
A partir de este momento realizaremos el cuadro de amortización del empréstito como si fuese
un empréstito normal con la única diferencia de que para el cálculo de las cuotas de interés
tendremos en cuenta la pérdida del último cupón calculándolo como: I h = N h +1 ⋅ C ⋅ i .
Cuadro de Amortización:
- 1º Completamos la columna de los títulos amortizados ( M h ) una vez realizado el redondeo (en
caso de ser necesario).
- 2º Columna de total títulos amortizados ( Th = Th −1 + M h )
- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( N h+1 = N h − M h )
- 4º Columna de las cuotas de amortización ( mh = M h ⋅ C ).
- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés. Cada año reciben cupones todos los títulos
vivos al principio de dicho año excepto los que se amortizan ese mismo año, es decir hay que
pagar cupones a las obligaciones que quedarán vivas al principio del año siguiente:
( I h = N h +1 ⋅ C ⋅ i ). Por tanto, el último año el valor de la cuota de interés es 0.
- 6º La columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés, cuota de
amortización de cada uno de los años ( ah = mh + I h ).
Ejemplo: Calcule el cuadro de amortización de la empresa R si esta realiza la misma emisión de
títulos que en los ejercicios anteriores, es decir, emite 8.000 obligaciones de 100€ de nominal
cada uno de ellos a una tasa de interés anual constante del 6%, que se amortizará en los
próximos 10 años, pero en este caso el sistema de amortización se realiza mediante anualidad
constante y los títulos amortizados cada año pierden el último cupón.
La estructura del cuadro de amortización será la siguiente:
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11. Para realizar el cuadro de amortización debemos comenzar realizando la normalización, lo que
nos llevará a obtener un C´ e i´ que nos servirá para calcular los títulos que se amortizan cada
año. En este caso los valores de C´ e i´ serán de 94 y 6,38% respectivamente y nos servirán para
calcular VA, VF, la anualidad teórica y los títulos amortizados cada año con las expresiones:
M1 =
N1
= 8000 / 13,42 = 596,11
; M h = M 1 ( 1 + i ) h −1 → M 2 = M 1 ( 1 + i )1 = 634,16; → M 3 = M 2 ( 1 + i )1 = 674 ,64
sn i
y así sucesivamente para el resto de los años. Una vez realizado el redondeo correspondiente de
los títulos rellenaremos el cuadro de amortización como siempre teniendo en cuenta que en la
columna de la cuota de interés los cupones se pagan en relación al número de títulos vivos del
año correspondiente ( I h = N h +1 ⋅ C ⋅ i ). Así, por ejemplo la cuota de interés del primer año se
calculará como I1 = N 2 ⋅ C ⋅ i = 7.404 ⋅ 6 = 44.424€ , una vez realizado todos los cálculos el cuadro
queda de la siguiente forma:
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12. 12