La derivada. Calculo de derivadas. Derivabilidad

1. TEMA : LA DERIVADA
1.- TASA DE VARIACION MEDIA
Medimos el crecimiento o decrecimiento de una función en un intervalo calculando la tasa de variación
media de la función en dicho intervalo
T.V.M.de f en [x1, x2] =
f(x2)
var iación de la función f(x2)-f(x1)
=
var iación de la var iable independiente f(x1) x2 – x1
f ( x2 ) − f ( x1 ) x1 x2
x2 − x1
3
Ejemplo: Calcula la tasa de variación media de f ( x) = en el intervalo [-3, -1]. ¿Crece o decrece la
x
función en dicho intervalo?
f (− 1) − f (− 3) − 3 − (− 1) − 3 + 1 − 2
a) T.V.M. [− 3, − 1] = = = = = −1
− 1− (− 3) − 1+ 3 2 2
b) Como la tasa de variación media es negativa, la
función es decreciente en el intervalo dado.
2.- DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
La derivada de la función f(x) en el punto x = x0 es el limite
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f(x0+h)
f ´(x0 ) = lim f(x0 + h)-f(x0 )
h →0 h
f(x0)
La derivada f ´(x0 ) es un número que nos indica la h
variación instantánea de la función en el punto x = x0 x0 x0 + h
3
Ejemplo: Hallar la derivada de f ( x) = en el punto x=-3
x
f(-3)=-1
3
f ( −3 + h ) =
−3+ h
3 h
+1
f (−3 + h) − f (−3) 1 −1
f ′(− 3) = lim = lim h − 3 = lim h − 3 = lim =
h →0 h h →0 h h→0 h h→0 h − 3 3
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2. TEMA : LA DERIVADA
Ejemplo: Hallar la derivada de f(x) = - x2 + 6x en el punto x=2
f(2) = - 4 + 12 = 8
f (2 + h ) = −(2 + h ) + 6(2 + h ) = −4 − h 2 − 4h + 12 + 6h = − h 2 + 2h + 8
2
f (2 + h) − f (2) − h 2 + 2h h(− h + 2)
f ′(2 ) = lim = lim = lim = lim(− h + 2 ) = 2
h →0 h h →0 h h →0 h h →0
⎧− x si x < 0
Ejemplo: Hallar la derivada de la función f ( x) = x = ⎨ en el punto x=0
⎩ x si x ≥ 0
f ( 0 + h ) − f ( 0) h −0 −h
f ′(0 − ) = lim− = lim− = lim− = lim− − 1 = −1
h →0 h h →0 h h→0 h h →0
f ( 0 + h ) − f ( 0) h −0
f ′(0 + ) = lim+
h
= lim+ = lim+ = lim+ 1 = 1
h →0 h h →0 h h→0 h h →0
Como f ´(0−) ≠ f ´(0+ ) f no es derivable en x=0
3.- FUNCIÓN DERIVADA.
La función derivada de una función f(x) es una nueva función que asocia a cada número real su
derivada. Se denota por f´(x). Su definición es la siguiente:
f ( x + h) − f ( x )
f ´(x) = lim
h→0 h
Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 .
f(x+ h) = (x+h)2 =x2 + 2xh + h2
f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - x2 = 2xh + h2
f ( x + h) − f ( x ) h 2 + 2 xh h( h + 2 x )
f ´(x) = lim = lim = lim = lim(h + 2 x ) = 2 x
h →0 h h →0 h h →0 h h →0
Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 - 2x .Una vez hallada f ‘(x), calcula f ‘(3), f ‘(0) y f ‘ (1)
f(x+ h) = (x+h)2 – 2(x+h) =x2 + 2xh + h2 -2x - 2h
f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - 2x -2h - x2 + 2x = 2xh + h2 - 2h
f ( x + h) − f ( x ) h 2 + 2 xh − 2h h(h + 2 x − 2)
f ´(x) = lim = lim = lim = lim(h + 2 x − 2) = 2 x − 2
h →0 h h →0 h h →0 h h →0
Por tanto, la función derivada de f(x) = x2 - 2x es f´(x) = 2x - 2
Si ahora se desea hallar la derivada en cualquier punto, basta con sustituir.
f ´(3)= 6 – 2 = 4 f´(0) = 0 - 2= -2 f ´(1) = 2 – 2 -= 0
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3. TEMA : LA DERIVADA
4.- REGLAS DE DERIVACIÓN
Derivada de f (x)=k f´(x)= 0
y = Ln10 → y´= 0
Derivada de f (x)=x f´(x)= 1
Derivada de f (x)=xn f´(x)= n· xn-1
y = x2 → y´= 2· x
y = x3 → y´= 3· x 2
y = x4 → y´= 4· x 3
1 −2
y= 2
= x −2 → y´= −2· x − 2−1 = −2· x −3 =
x x3
1 1 −1
1 2 −1 1 2 1
f ( x) = x = x 2 → f ´(x) = ·x = ·x =
2 2 2 x
1
Derivada de f ( x) = x f ´(x) =
2 x
1 −2
1 1
f ( x) = x = x
3 3
f ´(x) = · x 3 =
3 3 x2
1
Derivada de f ( x ) = n x f ´(x) =
n x n −1
1 5 5 3
x3 3− 5 −1 5 5 x3
y= =x 2
=x 2
→ y´= x 2 = x 2 =
x 2 2 2
Derivada de una constante por una función: y=k · f (x) y´= k · f´(x)
y = 3x 5 → y´= 3·5 x 4 = 15 x 4
−2 3 −2 2 −6 2
y= x → y´= 3x = x
7 7 7
x3 1 3x 2
y= → y´= 3 x 2 =
5 5 5
Derivada de una suma o diferencia de funciones: y=f (x)+g (x) y´ = f´(x)+g´(x)
y = 5 x 2 + 3x → y´= 5·2 x + 3 = 10 x + 3
y = −3 x 3 + 4 x 2 − 2 x − 7 → y´= −3·3 x 2 + 4·2 x − 2 = −9 x 2 + 8 x − 2
Derivada de un producto de funciones: y=f (x) · g (x) y´ = f´(x) · g(x) + f(x) ·g´(x)
y = (3 x − 5)( x 2 + 4 x)
y´= 3( x 2 + 4 x) + (3 x − 5)(2 x + 4) = 3 x 2 + 12 x + 6 x 2 + 12 x − 10 x − 20 = 9 x 2 + 14 x − 20
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4. TEMA : LA DERIVADA
Podemos operar primero y derivar después
y = (3 x − 5)( x 2 + 4 x) = 3 x 3 + 12 x 2 − 5 x 2 − 20 x = 3 x 3 + 7 x 2 − 20 x → y´= 9 x 2 + 14 x − 20
f ( x) f ´(x)·g ( x) − f ( x)·g´(x)
Derivada de un cociente de funciones y = y´=
g ( x) g ( x) 2
y=
2x − 1
→ y´=
( )
2 x 2 + 1 − (2 x − 1)2 x
=
2x 2 + 2 − 4x 2 + 2x
=
− 2x 2 + 2x + 2
x2 +1 (x 2
+1 )2
(x 2
+1 )2
(x 2
+1 ) 2
1 − (5 − 6 x ) 6x − 5
y= → y´= =
5 x − 3x 2 (5x − 3x ) (5 x − 3x )
2 2 2 2
1− x2 − 2 x ( x − 3) − (1 − x ) − 2 x 2 2
+ 6x − 1 + x 2 − x 2 + 6x − 1
y= → y´= = =
x −3 (x − 3)2 (x − 3)2 (x − 3)2
Derivada de funciones compuestas: y = f(g(x)) y´= f ´( g ( x )) · g´( x )
La derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de cada una de las
funciones que se componen
(
y = 3x 2 − 2 x + 5 )6
“Es una composición de un polinomio y una potencia por tanto su derivada es el producto de la
derivada de la potencia 6(3 x 2 − 2 x + 5) y la derivada del polinomio (6 x − 2) ”
5
(
y´= 6 3 x 2 − 2 x + 5 · (6 x − 2 ) )
5
y = 5x 3 − 2 x + 1
“Es una composición de un polinomio y una raíz cuadrada por tanto su derivada es el producto de la
derivada de la raíz y la derivada del polinomio”
1
y´= (6 x − 2) )
2 5x − 2 x + 1
3
Función potencial
y = f ( x) n → y´= n f ( x) n −1 · f ´(x)
1 1
y= f (x) y´= f ´(x) y = n f ( x) y´= f ´(x)
2 f ( x) n n f ( x) n−1
y´= 3(2 x + 5) 2 · 2 = 6(2 x + 5)
2
y = (2 x + 5) 3 →
1 12 x 2 6x 2
y = 4x 3 + 1 → y´= ⋅ 12 x 2 = =
2 4x3 + 1 2 4x3 + 1 4x3 + 1
−3
6x − 7
( ) 1
( ) (6 x − 7) =
1
y = 4 3x 2 − 7 x = 3x 2 − 7 x 4 → y´= 3x 2 − 7 x 4
4 (
4 4 3x 2 − 7 x )
3
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5. TEMA : LA DERIVADA
Exponencial de base a: y = a x → y´= a x ln a y = a f ( x) → y´= a f ( x ) ln a · f ´(x)
y = 2x → y´= 2 x ln 2
y = 2 3 x +5 → y´= 2 3 x + 5 ln 2 · 3
Exponencial de base e: y = e x → y´= e x y = e f ( x) → y´= e f ( x ) · f ´(x)
· (2 x − 5)
2 2
−5 x −5 x
y = ex → y´= e x
y = e x + e−x → y´= e x + e − x (−1) = e x − e − x
1 1 f ´(x) 1
Logaritmo de base a: y = log a x → y´= y = log a f ( x) → y´=
x ln a f ( x) ln a
1 1
y = log x → y´=
x Ln10
3 1
y = log(3 x − 1) → y´=
(3 x − 1) Ln10
1 f ´(x)
Logaritmo neperiano: y = ln x → y´= y = ln f ( x) → y´=
x f ( x)
3
y = ln(3 x + 4) → y´=
3x + 4
1 1 3 3
y = ln (3 x + 4) = ln(3 x + 4) → y´= · =
2 2 3x + 4 6 x + 8
Función seno: y = sen x → y´= cos x y = sen f ( x ) → y´= cos f ( x ) · f ´( x )
y = sen( x 2 + 1) → y´= cos( x 2 + 1) · 2 x
Función coseno: y = cos x → y´= − sen x y = cos f ( x ) → y´= − senf ( x ) · f ´( x )
y = cos( 6 x + 5) → y´= − sen (6 x + 5) · 6 = −6 sen (6 x − 5)
1
Funcion tangente: y = tg x → y´=
cos 2 x
= 1 + tg 2 x y = tg f ( x) → y´=
1
( )
f ´(x ) = 1 + tg 2 x · f ´(x )
cos 2 f ( x)
· 4 = (1 + tg 2 (4 x) )·4
1
y = tg (4 x) → y´= 2
cos (4 x)
y = sen 3 (2 x + 5) → y´= 3 sen 2 (2 x + 5) · cos(2 x + 5) · 2 = 6 sen 2 (2 x + 5) cos(2 x + 5)
1 f ´(x)
Función arco seno: y = arc sen x → y´= y = arc sen f ( x) → y´=
1− x2 1 − f ( x) 2
1 2x
y = arc sen x 2 → y´= 2x =
1− x2 ( ) 2
1− x4
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6. TEMA : LA DERIVADA
−1 − f ´(x )
Función arco seno: y = arc cos x → y´= y = arc cos f ( x) → y´=
1− x2 1 − f ( x) 2
1 −1 −1 1 1
y = arc cos → y´= 2
= =
x ⎛1⎞ x
2
x −1 x x2 −1
2
1− ⎜ ⎟ x2
⎝ x⎠ x2
1 f ´(x)
Función arco tangente: y = arc tg x → y´= y = arc sen f ( x) → y´=
1+ x2 1 + f ( x) 2
y = arc tg ( x) → y´=
1 1
=
1
1+ ( x) 2
2 x 2(1 + x ) x
5.- DERIVACION DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECIPROCA
Ejemplo halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es
f' (x) = 1 + tg2 x.
Solución:
y = arctg x
tg y = tg (arctgx ) = x
(1 + tg y )y´= 1
2
1 1
y´= =
1 + tg 2 y 1+ x2
De forma general, podemos hallar la derivada de la función inversa de la siguiente forma
´ ´ 1 ´ ´ 1
1 1 1
´ ´
´ ´ ´
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7. TEMA : LA DERIVADA
6.- TABLA DE DERIVADAS
y = f(x) + g(x) y´ = f´(x) + g´(x)
y = f(x)·g(x) y´= f´(x)·g(x) + f(x) g´(x)
y = k f(x) y´ = k f´(x)
f ( x) f ´(x) g ( x) − f ( x ) g´(x)
y= y´=
g ( x) g ( x) 2
f ( x) f ´(x)
y= ý´=
k k
y = g o f ( x) = g ( f ( x )) y´= g´( f ( x )) f ´( x )
FUNCION ELEMENTAL FUNCION COMPUESTA
y=k y´ = 0
y=x Y´= 1
y=x n
(n ≠ −1) y´= n x n −1 y = f ( x) n y´= n f ( x) n −1 · f ´(x)
y= x 1 y= f (x) 1
y´= y´= f ´(x)
2 x 2 f ( x)
y=n x 1 y = n f ( x) 1
y´= y´= f ´(x)
n n x n −1 n n f ( x) n −1
y = log a x 1 1 y = log a f ( x) f ´(x) 1
y´= y´=
x Ln a f ( x) ln a
y = Lnx 1 y = ln f ( x ) f ´(x)
y´= y´=
x f ( x)
y = ax y´= a x Lna y = a f ( x) y´= a f ( x ) ln a · f ´(x)
y = ex y´= e x y = e f ( x) y´= e f ( x ) · f ´(x)
y = sen x y´= cos x y = sen f (x ) y´= cos f ( x ) · f ´( x )
y = cos x y´ = − sen x y = cos f ( x ) y´= − senf ( x ) · f ´(x )
y = tg f (x )
y = tg x
y´= 1 + tg 2 x =
1
cos 2 x
y´=
1
2
( )
f ´(x ) = 1 + tg 2 f ( x) · f ´(x)
cos f ( x)
−1 y = cot g f ( x ) −1
y = cotg x
(
y´= − 1 + cot g 2 x = ) sen 2 x
y´= 2
( )
f ´(x) = − 1 + cot g 2 f ( x) · f ´(x)
sen f ( x)
y = arc sen x 1 y = arc sen f(x) f ´(x)
y´= y´=
1− x 2
1 − f(x) 2
y = arc cos x −1 y = arc cos f(x) - f ´(x)
y´= y´=
1− x2 1 − f(x) 2
y=arc tg x 1 y=arc tg f(x) f ´(x)
y´= y´=
1+ x2 1 + f(x) 2
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8. TEMA : LA DERIVADA
7.- DERIVACION LOGARÍTMICA
f(x) =xx
Tomamos el logaritmo neperiano de ambos miembros
ln f(x) = ln xx = x ln x
derivamos ambos miembros
f ´(x) 1
= ln x + x·
f ( x) x
despejamos f ’(x)
f ’(x) = xx ·[ln x + 1]
8.- DERIVACION IMPLICITA
x2 y2
Hallar la derivada de la función implicita + = 1 en el punto x=3
25 9
quitamos denominadores
9x2+ 25 y2 = 225
derivamos y despejamos y´
-18x
18x + 50 y y' = 0 ; y' = 50y
calculamos la ordenada y para x=3
144 12
x=3 9·9+25y2 = 225 25y2 = 144 y2 = y=±
25 5
sustituimos en la derivada y´
− 18·3 − 54 − 9 − 18·3 − 54 9
y' (3) = = = o y' (3) = = =
12 120 20 − 12 − 120 20
50· 50·
5 5
9.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCION
Una función será derivable en aquellos puntos en que pueda trazarse recta tangente. Por tanto
no será derivable en:
a) Los puntos de discontinuidad
b) Los en los que no coinciden las derivadas laterales (puntos angulosos donde no coinciden las
semitangentes por la izquierda y por la derecha)
c) Los puntos en los que la derivada es ∞ (tangente vertical)
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9. TEMA : LA DERIVADA
1
Ejemplo 1: Estudiar la derivabilidad de f(x)= x - 1
Discontinua en x = 1 y por tanto no es derivable en dicho punto.
−1
En el resto es derivable siendo f ' ( x) =
(x − 1)2
Ejemplo 2. Estudiar la derivabilidad de f(x) en x= -1
, 1
2 , 1
En x=-1
lim 1 lim 2 2 1
f no es continua y por tanto tampoco es derivable.
Comprobémoslo
1 1 1 2 2 2 1 1
lim lim lim ∞
0
1 1 2 2 2 2
lim lim lim lim 2 2
No es derivable en x=-1 ya que f´(-1-) ≠ f´(-1+) y además f´(-1-) = ∞
3
Ejemplo3: Estudiar la derivabilidad de f(x) = x
f es continua en R
f ´(x) =
1 no derivable en x = 0 ya que f´(0)= ∞
3
x2
En x=0 tiene un punto con tangente vertical
Ejemplo 4: Estudiar la derivabilidad de f(x)=|x|
Es continua en R.
Calculemos la derivada en x =0
Lim h − 0 Lim h Lim h
+ = = =1
h→0 h h→0 h h→0h
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10. TEMA : LA DERIVADA
Lim h − 0 Lim h Lim − h
− = = = −1
h→0 h h→0 h h→0 h
Podemos estudiar la derivabilidad en x= 0 de otra manera. Expresamos la función como una función
definida a trozos y la derivamos
⎧− x si x < 0 ⎧− 1 si x < 0
f ( x) = x = ⎨ f ´(x ) = ⎨
⎩ x si x ≥ 0 ⎩ 1 si x > 0
Calculamos la derivada en x=0
f´(0-) = lim f ´( x) = −1 f´(0+) = lim f ´(x) = 1
x→0 x →0
No es derivable en x =0 ya que no coinciden las derivadas laterales.
Es un punto anguloso
José Ángel López Martín Pág 10