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Introducción <ul><li>Móvil inicial de la investigación: análisis del tratamiento escolar de la noción de límite de una fun...
Justificación y Antecedentes <ul><li>El estado del arte realizado da cuenta de la extensa bibliografía que  confirma la pr...
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Revisión Socioepistemológica <ul><li>Revisión histórica .  Se espera encontrar elementos que permitan detectar las práctic...
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Proyecciones y tareas pendientes <ul><li>Completar la revisión socioepistemológica, especialmente lo relativo al DME actua...
Referencias bibliográficas <ul><li>Aizpuru, A. y Pérez-Fernández, F. (1999) El Cours d’Analyse de Cauchy.  Suma , Nº 30, f...
Referencias bibliográficas <ul><li>Bokhari, M. A. Y Yushau, B. (2006).  Local (L,   )-approximation of a function of sing...
Referencias bibliográficas <ul><li>Dubinsky, E. (1991). Reflective Abstraction in Advanced Matemátical Thinking. En Tall, ...
Referencias bibliográficas <ul><li>Robert, A. (1982). L’Acquisition de la notion de convergence des suites numériques dans...
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Presentacion Molfino

  1. 1. Los procesos de institucionalización del límite: un análisis socioepistemológico IPN – Cicata Programa de Doctorado en Matemática Educativa Seminario de Investigación en ME III Primera Entrega Tutoras: Dra. Gabriela Buendía y Dra. Cecilia Calvo 6 de marzo de 2009 Verónica Molfino Vigo
  2. 2. Introducción <ul><li>Móvil inicial de la investigación: análisis del tratamiento escolar de la noción de límite de una función de variable real. </li></ul><ul><li>En Uruguay, necesaria problematización de los contenidos del currículum y del diseño del discurso matemático escolar. </li></ul><ul><li>Se espera que el análisis socioepistemológico de los procesos de institucionalización y las prácticas sociales asociadas al concepto provea herramientas para intervenir sobre dicho discurso. </li></ul>
  3. 3. Justificación y Antecedentes <ul><li>El estado del arte realizado da cuenta de la extensa bibliografía que confirma la problemática planteada. </li></ul><ul><li>Diseño escolar actual del concepto de límite en Bachillerato en Uruguay: enseñanza tradicional con la introducción del tema a partir de la definición formal. </li></ul><ul><li>Una actividad experimental con estudiantes de nivel medio superior puso en evidencia la capacidad para resolver actividades que requieren manejo intuitivo del concepto pero deficiencia en aquéllas que requieren mayor nivel de formalización, como la demostración. </li></ul>
  4. 4. Estado del Arte <ul><li>Dimensión cognitiva . (Tall, Vinner, Shwarzenberger, Juter) </li></ul><ul><li>Dimensión epistemológica . (Cornu, Sierpinska, Dubinsky, Artigue, Hitt, Páez) </li></ul><ul><li>Dimensión didáctica : abordajes alternativos. (Bokhari y Yushau, Bertero y Trípoli) </li></ul><ul><li>Dimensión histórica . (Blázquez y Ortega, Bagni, Bertero y Trípoli, Juter) </li></ul>
  5. 5. Estado del Arte <ul><li>En suma… </li></ul><ul><li>El constructo imagen conceptual – definición conceptual (Tall y Vinner, 1981) explica desde el enfoque cognitivo los argumentos intuitivos que utilizaron los matemáticos hasta Newton y Leibniz (infinitésimos). </li></ul><ul><li>Críticos como Berkeley aportaron para generar un conflicto cognitivo que promovió la necesidad de formalizar el concepto. </li></ul><ul><li>Según Tall y Vinner (1981), la definición conceptual –conjunto de palabras con que un individuo explica lo que entiende por un concepto determinado–, no es única, sino que varía según el contexto socio-histórico en el que se considera, y no tiene por qué coincidir con la definición formal, que es la considerada como válida por la comunidad matemática en determinado momento y en determinado lugar. </li></ul><ul><li>El análisis socioepistemológico puede aportar herramientas para dar cuenta de cómo, por qué y para qué coexisten estas dos definiciones en el aula, especialmente en el caso del concepto de límite. </li></ul><ul><li>Existe un paralelismo entre los obstáculos epistemológicos que se presentaron en la evolución del concepto y los que presentan los estudiantes. </li></ul><ul><li>En particular, los asociados con la etapa de búsqueda de fundamentos y formalización: de tipo lógico (uso de cuantificadores) y los relacionados con el símbolo de pasaje al límite. </li></ul>
  6. 6. Reconocimiento del fenómeno didáctico <ul><li>Análisis de los fenómenos didácticos presentes en la institucionalización de la noción de límite de funciones de variable real . </li></ul><ul><li>Distanciamiento entre el tratamiento predominantemente algorítmico del concepto de límite en la didáctica tradicional y las actividades que priorizan abordajes más intuitivos, valiéndose tal vez de herramientas, prácticas y argumentos propios de la génesis y evolución del concepto. </li></ul><ul><li>Experiencias con estudiantes permiten confirmar que el acercamiento tradicional habilita a los estudiantes a calcular límites de funciones pero representa un obstáculo al momento de utilizar el concepto como argumento en la demostración de propiedades y de relacionar el estudio analítico de una función con su representación gráfica. </li></ul><ul><li>Desde el abordaje socioepistemológico, la componente epistemológica deja de centrarse en el objeto en sí –concepto de límite– como un concepto matemático preestablecido para focalizarse en las prácticas sociales asociadas al mismo, en un contexto determinado. </li></ul>
  7. 7. Preguntas de investigación <ul><li>¿Cómo son los procesos de institucionalización que se presentan en la evolución e introducción al ámbito escolar del concepto? </li></ul><ul><li>En particular: </li></ul><ul><ul><li>¿qué preguntas o problemas generaron la necesidad de trabajar con él? ¿y con la definición épsilon-delta? </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Esas son las mismas razones por las cuales se hace necesario introducir la definición formal en el aula? </li></ul></ul><ul><li>¿Qué herramientas nos aporta el análisis socioepistemológico del concepto de límite para intervenir en el discurso matemático escolar? </li></ul>
  8. 8. Objetivos de investigación <ul><li>Problematizar el discurso matemático escolar respecto al concepto de límite, y en particular de la inclusión de la definición formal en los primeros abordajes al tema. </li></ul><ul><li>Realizar un análisis socioepistemológico del fenómeno didáctico descripto. Este análisis se centrará en los procesos de institucionalización del concepto de límite. </li></ul><ul><li>Identificar y analizar las prácticas de referencia y prácticas sociales vinculadas a la génesis e institucionalización del concepto de límite y formular una epistemología de prácticas del mismo. </li></ul><ul><li>Diseñar secuencias didácticas alternativas a las tradicionales, que doten de mayor significado al concepto de límite –y en particular a la definición formal, en caso de que se introduzca en el aula- y tengan más en cuenta los escenarios en los que se producen los aprendizajes, en el sentido en que lo plantean Cantoral y Farfán (2003). </li></ul>
  9. 9. Estado del Arte <ul><li>Respondiendo preguntas </li></ul><ul><li>¿Cómo son los procesos de institucionalización que se presentan en la evolución e introducción al ámbito escolar del concepto? </li></ul><ul><li>Desde el punto de vista del desarrollo socioepistemológico del concepto: ¿qué preguntas o problemas generaron la necesidad de trabajar con él y en particular con la definición épsilon-delta? </li></ul><ul><li>Se pueden diferenciar cuatro etapas: </li></ul><ul><li>Antiguos griegos : Rigurosidad en las demostraciones por exhausión. Ambiente geométrico – estático. </li></ul><ul><li>Hasta S. XVII : Métodos infinitesimales. Búsqueda de solución a problemas prácticos sin interés en fundamentos. </li></ul><ul><li>Siglos XVII y XVIII : transformación de los fundamentos con el fin de extender los resultados obtenidos para casos particulares. La priorización de métodos algebraicos frente a los analíticos representó un obstáculo para la formalización y condujo a errores. (Euler, Lagrange, D’Alembert). </li></ul><ul><li>Siglo XIX y principios del XX : aritmetización del análisis, con la formalización como práctica social que regula las actividades. (Cauchy, Weierstrass). </li></ul>
  10. 10. Marco teórico <ul><li>Socioepistemología como teoría de investigación que da fundamento al proyecto. Desde esta línea de investigación las componentes didáctica, cognitiva y epistemológica se ven resignificadas por la componente social. En particular interesa analizar la construcción social del concepto de límite: las prácticas sociales asociadas a su institucionalización en su transición hacia un saber escolar. </li></ul><ul><li>Transposición didáctica (Chevallard, 1991). Descripción del proceso de transformaciones adaptativas que sufre un saber designado como saber a enseñar para convertirse en un objeto de enseñanza. Esto conduce al análisis de los procesos de institucionalización del concepto en cuestión. </li></ul><ul><li>Institucionalización (Artigue, 2002 y Cordero, 2005). Análisis de los procesos de evolución que al seno de las instituciones –formales y no formales– ha tenido la matemática a través de la identificación y el estudio de las prácticas que sustentan cada uno de los saberes. </li></ul><ul><li>Reconocimiento del fenómeno social que se produce por parte del estudiante al tomar “oficialmente” el saber y por parte del profesor al comprometerse con el aprendizaje del estudiante. </li></ul>
  11. 11. Aspectos metodológicos Este esquema presupone una manera específica de entender la construcción del conocimiento y los procesos de enseñanza y aprendizaje: construir conocimiento no se refiere exclusivamente a la adquisición de conceptos, sino también a las prácticas sociales que dieron origen y actualmente “dan vida” al conocimiento en cuestión Reconocimiento de un fenómeno didáctico Epistemología de prácticas Situación Diseño de aula Revisión socioepistemológica El papel de las prácticas Desarrollo intencional de las prácticas + Profesor + Variables externas e internas
  12. 12. Revisión Socioepistemológica <ul><li>Revisión histórica . Se espera encontrar elementos que permitan detectar las prácticas sociales relacionadas con cada momento del fenómeno en cuestión y elaborar la epistemología de prácticas. </li></ul><ul><li>Revisión del Discurso Matemático Escolar actual . </li></ul><ul><li>Entrevistas a docentes </li></ul><ul><li>Análisis de libros de texto: fichas con generalidades, tablas comparativas y análisis de las componentes conceptual, didáctico-cognitivas y fenomenológicas. </li></ul>
  13. 13. Construcción social del concepto de límite Extensión de un concepto a otros conceptos? Generalización del concepto a otros contextos S. XX V Formalización Algebraico – analítico Aritmetización del análisis S. XIX y principios S. XX IV Búsqueda de fundamentación rigurosa? Analítico Transformación de fundamentos del análisis infinitesimal 2ª mitad S. XVII y S. XVIII III Predicción (no necesariamente vinculada al concepto de límite). Estudio del movimiento. Resolución de problemas concretos. Geométrico – dinámico Métodos infinitesimales. Trabajo intuitivo con poca fundamentación. Renacimiento hasta S. XVII II Validación y formalización de resultados Determinación de áreas y volúmenes de cuerpos y figuras concretas. Geométrico-estático. En demostraciones por exhausión. Rigurosidad en demostraciones. Grecia Antigua I Prácticas asociadas Móviles Ambiente en que se desarrolla el concepto Características principales Período Etapa
  14. 14. Proyecciones y tareas pendientes <ul><li>Completar la revisión socioepistemológica, especialmente lo relativo al DME actual. </li></ul><ul><li>Completar la socioepistemología de prácticas (construcción social) relativa al concepto de límite. </li></ul><ul><li>Propiciar el desarrollo intencional de las prácticas identificadas en el punto anterior para diseñar una situación de enseñanza. </li></ul><ul><li>Concluir acerca del fenómeno didáctico analizado. </li></ul>
  15. 15. Referencias bibliográficas <ul><li>Aizpuru, A. y Pérez-Fernández, F. (1999) El Cours d’Analyse de Cauchy. Suma , Nº 30, febrero 1999, pp. 5-25. </li></ul><ul><li>Artigue, M (1998). Enseñanza y aprendizaje del análisis elemental: ¿qué se puede aprender de las investigaciones didácticas y los cambios curriculares? Relime , Vol 1, Nº 1, marzo 1998, pp. 40-55. </li></ul><ul><li>Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7(3). </li></ul><ul><li>Bagni, G. (2005) Historical Roots of limit notion. Development of its representation registers and cognitive development. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education 5:4, pp. 453-468. </li></ul><ul><li>Bertero, F y Trípoli, M (2006). Teoría de infinitesimales: historia, desarrollo y aplicaciones . Tesis para obtener grado de Licenciatura en Matemática no publicada. </li></ul><ul><li>Bertero, F y Trípoli, M (2007). Distintos enfoques para la enseñanza de la noción de límite en un primer curso de Cálculo. Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa en el campo de las Ciencias Exactas y Naturales, octubre 2007. </li></ul><ul><li>Bills, L. y Tall, D. (1998). Operable Definitions in Advanced Mathematics: the case of the Least Upper Bound. Proceedings of PME 22 , Stellenbosch, South Africa, 2, pp. 104 – 111. </li></ul><ul><li>Blázquez, S. y Ortega, T. (2002). Nueva definición de límite funcional. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas , Nº 30, pp. 67-84. </li></ul><ul><li>Blázquez, S., Ortega, T. et al (2006). Una conceptualización de límite para el aprendizaje inicial de análisis matemático de la universidad. Relime , Vol. 9, Nº 2, julio 2006, pp. 189-209. </li></ul>
  16. 16. Referencias bibliográficas <ul><li>Bokhari, M. A. Y Yushau, B. (2006). Local (L,  )-approximation of a function of single variable: an alternative way to define limit. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , Vol. 37, No. 5, July 2006, pp. 515–526. </li></ul><ul><li>Buendía, G. (2004). Una epistemología del aspecto periódico de las funciones en un marco de prácticas sociales. (Un estudio socioepistemológico). Tesis de doctorado no publicada. Cinvestav, México. </li></ul><ul><li>Cantoral, R. & Farfán, R. M. (2003) .Matemática Educativa: Una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 6(1), 27-40. </li></ul><ul><li>Cantoral, R., Farfán, R., Lezama,J. Martínez-Sierra, G. (2006) Socioepistemología y representación: algunos ejemplos. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa . Número especial, 83-102. </li></ul><ul><li>Castañeda, A. (2004). Un acercamiento a la construcción social del conocimiento: Estudio de la evolución didáctica del punto de inflexión. Tesis de Doctorado no publicada. Cicata, IPN, México. </li></ul><ul><li>Catsigeras, E. , Curione, K., Míguez, M. (2005). Un enfoque constructivista en la enseñanza de los conceptos de límite y continuidad. Actas del Congreso de Matemáticas XII JAEM, pp. 571 – 575. </li></ul><ul><li>Cauchy, A. L. (1821). Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique . Edición Fascimilar de la primera edición. Sevilla, España: Sociedad Andaluza de Educación Matemática “Thales”. </li></ul><ul><li>Chevallard , Y. (1991). La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado . Buenos Aires: Aique. </li></ul><ul><li>Cordero, F. (2005). La institucionalización del conocimiento matemático y el rediseño del discurso matemático escolar. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Vol 19, pp. 824 – 830. </li></ul><ul><li>Cornu, B. (1986). Les principaux obstacles a l’apprentissage de la notion de limite. Bulletin IREM – APMEP , Feb 1986, pp. 55- 63. </li></ul><ul><li>Cornu, B. (1991). Limits. En Tall, D. (Ed), Advanced Mathematical Thinking (pp. 153 - 166). Netherlands: Kluwer Academic Publishers. </li></ul><ul><li>Cottrill, J., Dubinsky, E., Nichols, D., Schwingendorf, K., Thomas, K., & Vidakovic, D. (1996). Understanding the limit concept: Beginning with a coordinated process schema. Journal of Mathematical Behavior, 15, 2, pp. 167 – 192. </li></ul><ul><li>Davis, R. B. y Vinner, S. (1986). The notion of limit: some seemingly unavoidable misconception stages. Journal of Mathematical Behaviour, 5(3), pp. 281 – 303. </li></ul>
  17. 17. Referencias bibliográficas <ul><li>Dubinsky, E. (1991). Reflective Abstraction in Advanced Matemátical Thinking. En Tall, D. (ed.). Advanced Mathematical Thinking . Netherlands: Kluwer Academic Publishers. </li></ul><ul><li>Dubinsky, E. (2000) A theory-based approach to help students learn post-secondary mathematics: The case of limits.  Research reports in mathematics education , 1, Umea University,  pp. 1-18. </li></ul><ul><li>González, M.T., López, C. y Sierra, M. (1999). Evolución histórica del concepto de límite funcional en los libros de texto de Bachillerato y Curso de Orientación Universitaria (COU): 1940 – 1995. Enseñanza de las ciencias, 17 (3), pp. 463 – 476. </li></ul><ul><li>Hitt, F. (2003). El concepto de infinito: obstáculo en el aprendizaje de límite y continuidad de funciones. En Filloy, E. (Ed), Matemática Educativa, Aspectos de la investigación actual (pp 91 - 111). México DF, México: Fondo de Cultura Económica. </li></ul><ul><li>Juter, K. (2005). Limits of functions: How do students handle them? Pythagoras , 61, pp. 11-20. </li></ul><ul><li>Juter, K. (2006). Limits of functions as they developed through time and as students learn them today. Mathematical thinking and learning, Vol.8, Nº 4, pp. 407 – 431. </li></ul><ul><li>Kline, M. (1994). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, I y II. Madrid, España: Alianza Universidad. </li></ul><ul><li>Lezama, J (2005) Una mirada socioepistemológica al fenómeno de la reproducibilidad. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Vol.8, Núm. 3. pp. 339-362. México. </li></ul><ul><li>Martínez, G. (2005). Los procesos de convención matemática como generadores de conocimiento. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Vol.8, Núm. 2. pp. 195-218. México. </li></ul><ul><li>Mejía Ramos, J. y Tall, D. (2006). The long-term cognitive development of different types of reasoning and proof. Presentado en Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives, Essen, Alemania, 1-4 . </li></ul><ul><li>Montiel, G. (2005). Estudio socioepistemológico de la función trigonométrica . Tesis de Doctorado no publicada. Cinvestav, IPN, México. </li></ul><ul><li>Páez Murillo, R. (2005) Reconstrucción del concepto de límite: estudio de un caso. Resúmenes de las Comunicaciones presentadas al IX Simposio SEIEM . </li></ul><ul><li>Pinto, M. y Tall, D. (2001). Following students’ development in a traditional university analysis course. Submitted to PME 25. </li></ul>
  18. 18. Referencias bibliográficas <ul><li>Robert, A. (1982). L’Acquisition de la notion de convergence des suites numériques dans l’Enseignement Supérieur, Recherches en Didactique des Mathematiques , vol 3, no3, pp. 307 – 341. </li></ul><ul><li>Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics , 22. </li></ul><ul><li>Sierpinska, A. (1985). Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathématiques 6 (1), pp. 5-68. </li></ul><ul><li>Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics, 18 , pp. 371-397. </li></ul><ul><li>Tall, D y Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics , 12, pp. 151–169. </li></ul><ul><li>Tall, D. (1980). Mathematical Intuition, with Special Reference to Limiting Processes. Proceedings of PME 4, pp 170 – 176 . </li></ul><ul><li>Tall, D. (1991). The psycology of advanced mathematical thinking. En Tall, D. (ed.). Advanced Mathematical Thinking . Netherlands: Kluwer Academic Publishers. </li></ul><ul><li>Tall, D. (1992). The Transition to Advanced Mathematical Thinking: Functions, Limits, Infinity and Proof. En Grouws D.A. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching andLearning. New York: Macmillan, pp. 495–511. </li></ul><ul><li>Tall, D. y Schwarzenberger, R. (1978). Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits. Mathematics Teaching , 82, pp. 44–49. </li></ul><ul><li>Vinner, S. (1991). The Role of Definitions in the Teaching and Learning of Mathematics. En Tall, D. (Ed), Advanced Mathematical Thinking (pp. 65 - 81). Netherlands: Kluwer Academic Publishers. </li></ul><ul><li>Youschkevitch, A.P. (1976). The concept of function up to the middle of the 19th century. Arch. Hist. Exact. Sci. 16, 37-85. Traducción tomada de Farfan, R. (Ed.) (1997) Serie: Antologías, No. 1, 81-98. Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav – IPN, México. </li></ul>

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