Matemáticas aplicadas a la Economía II: Sistemas de ecuaciones lineales (II)

1. February 1, 2010
() February 1, 2010 1 / 21

2. Semana 2
Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobeius. Método de Gauss de resolución de
sistemas lineales
Universidad Carlos III de Madrid
Matemáticas II
Curso 2009-2010
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones Curso 2009-2010
Semana lineales 2 / 21

3. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. En forma
extendida,
a11 x1 + · · · + a1n xn b1


 =
. .
. .
. .
am1 x1 + · · · + amn xn bm

=

Denición
Se dice que el sistema de ecuaciones lineales Ax = b es
compatible si tiene solución.
incompatible si no tiene solución.
Un sistema de ecuaciones lineales compatible es
determinado si tiene una única solución.
indeterminado si tiene más de una solución.
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Semana lineales 3 / 21

4. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. En forma
extendida,
a11 x1 + · · · + a1n xn b1


 =
. .
. .
. .
am1 x1 + · · · + amn xn bm

=

Denición
Se dice que el sistema de ecuaciones lineales Ax = b es
compatible si tiene solución.
incompatible si no tiene solución.
Un sistema de ecuaciones lineales compatible es
determinado si tiene una única solución.
indeterminado si tiene más de una solución.
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Semana lineales 3 / 21

5. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. En forma
extendida,
a11 x1 + · · · + a1n xn b1


 =
. .
. .
. .
am1 x1 + · · · + amn xn bm

=

Denición
Se dice que el sistema de ecuaciones lineales Ax = b es
compatible si tiene solución.
incompatible si no tiene solución.
Un sistema de ecuaciones lineales compatible es
determinado si tiene una única solución.
indeterminado si tiene más de una solución.
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Semana lineales 3 / 21

6. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. En forma
extendida,
a11 x1 + · · · + a1n xn b1


 =
. .
. .
. .
am1 x1 + · · · + amn xn bm

=

Denición
Se dice que el sistema de ecuaciones lineales Ax = b es
compatible si tiene solución.
incompatible si no tiene solución.
Un sistema de ecuaciones lineales compatible es
determinado si tiene una única solución.
indeterminado si tiene más de una solución.
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Semana lineales 3 / 21

7. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. En forma
extendida,
a11 x1 + · · · + a1n xn b1


 =
. .
. .
. .
am1 x1 + · · · + amn xn bm

=

Denición
Se dice que el sistema de ecuaciones lineales Ax = b es
compatible si tiene solución.
incompatible si no tiene solución.
Un sistema de ecuaciones lineales compatible es
determinado si tiene una única solución.
indeterminado si tiene más de una solución.
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Semana lineales 3 / 21

8. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Ejemplo
El sistema de ecuaciones lineales
2x +y =5
4x + 2y = 7
es incompatible, pues son ecuaciones de rectas paralelas distintas.
El sistema
x +y =4
2x + 2y = 8
es compatible indeterminado: es la misma recta en ambos casos.
El sistema
x +y =5
4y = 8
tiene cómo única solución el vector (3, 2). Es un sistema compatible
determinado, ya que representa a dos rectas que se cortan.
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Semana lineales 4 / 21

9. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Ejemplo
El sistema de ecuaciones lineales
2x +y =5
4x + 2y = 7
es incompatible, pues son ecuaciones de rectas paralelas distintas.
El sistema
x +y =4
2x + 2y = 8
es compatible indeterminado: es la misma recta en ambos casos.
El sistema
x +y =5
4y = 8
tiene cómo única solución el vector (3, 2). Es un sistema compatible
determinado, ya que representa a dos rectas que se cortan.
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Semana lineales 4 / 21

10. Método de Gauss. Matrices escalonadas Introducción
Ejemplo
El sistema de ecuaciones lineales
2x +y =5
4x + 2y = 7
es incompatible, pues son ecuaciones de rectas paralelas distintas.
El sistema
x +y =4
2x + 2y = 8
es compatible indeterminado: es la misma recta en ambos casos.
El sistema
x +y =5
4y = 8
tiene cómo única solución el vector (3, 2). Es un sistema compatible
determinado, ya que representa a dos rectas que se cortan.
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Semana lineales 4 / 21

11. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Observación
A diferencia del método de Cramer, que solo funciona cuando el
sistema es compatible determinado...
el método de Gauss nos permite estudiar todo tipo de sistema de
ecuacioens lineales, determinar cuándo es incompatible, y encontrar la
solución o soluciones cuando es compatible.
Denición
La matriz ampliada (A|b) se dene a partir del sistema de
ecuaciones Ax = b. En forma extendida, tenemos
a11 a1n b1
 
... |
(A|b) =  .
.
.
.
.
.
 
. ... . | . 
am 1 ... amn | bm
En ese sistema, la matriz A adopta el nombre de matriz asociada
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Semana lineales 5 / 21

12. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Observación
A diferencia del método de Cramer, que solo funciona cuando el
sistema es compatible determinado...
el método de Gauss nos permite estudiar todo tipo de sistema de
ecuacioens lineales, determinar cuándo es incompatible, y encontrar la
solución o soluciones cuando es compatible.
Denición
La matriz ampliada (A|b) se dene a partir del sistema de
ecuaciones Ax = b. En forma extendida, tenemos
a11 a1n b1
 
... |
(A|b) =  .
.
.
.
.
.
 
. ... . | . 
am1 ... amn | bm
En ese sistema, la matriz A adopta el nombre de matriz asociada
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Semana lineales 5 / 21

13. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Observación
A diferencia del método de Cramer, que solo funciona cuando el
sistema es compatible determinado...
el método de Gauss nos permite estudiar todo tipo de sistema de
ecuacioens lineales, determinar cuándo es incompatible, y encontrar la
solución o soluciones cuando es compatible.
Denición
La matriz ampliada (A|b) se dene a partir del sistema de
ecuaciones Ax = b. En forma extendida, tenemos
a11 a1n b1
 
... |
(A|b) =  .
.
.
.
.
.
 
. ... . | . 
am 1 ... amn | bm
En ese sistema, la matriz A adopta el nombre de matriz asociada
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Semana lineales 5 / 21

14. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Observación
A diferencia del método de Cramer, que solo funciona cuando el
sistema es compatible determinado...
el método de Gauss nos permite estudiar todo tipo de sistema de
ecuacioens lineales, determinar cuándo es incompatible, y encontrar la
solución o soluciones cuando es compatible.
Denición
La matriz ampliada (A|b) se dene a partir del sistema de
ecuaciones Ax = b. En forma extendida, tenemos
a11 a1n b1
 
... |
(A|b) =  .
.
.
.
.
.
 
. ... . | . 
am 1 ... amn | bm
En ese sistema, la matriz A adopta el nombre de matriz asociada
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Semana lineales 5 / 21

15. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Observación
A diferencia del método de Cramer, que solo funciona cuando el
sistema es compatible determinado...
el método de Gauss nos permite estudiar todo tipo de sistema de
ecuacioens lineales, determinar cuándo es incompatible, y encontrar la
solución o soluciones cuando es compatible.
Denición
La matriz ampliada (A|b) se dene a partir del sistema de
ecuaciones Ax = b. En forma extendida, tenemos
a11 a1n b1
 
... |
(A|b) =  .
.
.
.
.
.
 
. ... . | . 
am 1 ... amn | bm
En ese sistema, la matriz A adopta el nombre de matriz asociada
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Semana lineales 5 / 21

16. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Consideremos la siguiente matriz ampliada ideal:
 
1 3 5 | 1
 0 1 4 | 2 
0 0 2 | 4
En este caso, la matriz asociada tiene un triángulo debajo de la
diagonal formado por ceros, y la solución es directa, escalonada:
Si tomamos la última la, tenemos que 2 z = 4, o sea z = 2, que es la
solución para la tercera variable.
Siguiendo el escalón superior ahora, sustituimos la z en la segunda
ecuación, y obtenemos y + 8 = 2 por lo tanto y = −6, con lo que ya
tenemos la segunda variable resuelta.
Pasando al tercero y último escalón, hacemos las sustituciones
correspondientes a z y y , para obtener x − 18 + 10 = 1, con lo que
concluimos que x = 9, y completamos la solución del sistema.
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Semana lineales 6 / 21

17. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Consideremos la siguiente matriz ampliada ideal:
 
1 3 5 | 1
 0 1 4 | 2 
0 0 2 | 4
En este caso, la matriz asociada tiene un triángulo debajo de la
diagonal formado por ceros, y la solución es directa, escalonada:
Si tomamos la última la, tenemos que 2 z = 4, o sea z = 2, que es la
solución para la tercera variable.
Siguiendo el escalón superior ahora, sustituimos la z en la segunda
ecuación, y obtenemos y + 8 = 2 por lo tanto y = −6, con lo que ya
tenemos la segunda variable resuelta.
Pasando al tercero y último escalón, hacemos las sustituciones
correspondientes a z y y , para obtener x − 18 + 10 = 1, con lo que
concluimos que x = 9, y completamos la solución del sistema.
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Semana lineales 6 / 21

18. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Consideremos la siguiente matriz ampliada ideal:
 
1 3 5 | 1
 0 1 4 | 2 
0 0 2 | 4
En este caso, la matriz asociada tiene un triángulo debajo de la
diagonal formado por ceros, y la solución es directa, escalonada:
Si tomamos la última la, tenemos que 2 z = 4, o sea z = 2, que es la
solución para la tercera variable.
Siguiendo el escalón superior ahora, sustituimos la z en la segunda
ecuación, y obtenemos y + 8 = 2 por lo tanto y = −6, con lo que ya
tenemos la segunda variable resuelta.
Pasando al tercero y último escalón, hacemos las sustituciones
correspondientes a z y y , para obtener x − 18 + 10 = 1, con lo que
concluimos que x = 9, y completamos la solución del sistema.
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Semana lineales 6 / 21

19. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Consideremos la siguiente matriz ampliada ideal:
 
1 3 5 | 1
 0 1 4 | 2 
0 0 2 | 4
En este caso, la matriz asociada tiene un triángulo debajo de la
diagonal formado por ceros, y la solución es directa, escalonada:
Si tomamos la última la, tenemos que 2 z = 4, o sea z = 2, que es la
solución para la tercera variable.
Siguiendo el escalón superior ahora, sustituimos la z en la segunda
ecuación, y obtenemos y + 8 = 2 por lo tanto y = −6, con lo que ya
tenemos la segunda variable resuelta.
Pasando al tercero y último escalón, hacemos las sustituciones
correspondientes a z y y , para obtener x − 18 + 10 = 1, con lo que
concluimos que x = 9, y completamos la solución del sistema.
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Semana lineales 6 / 21

20. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Consideremos la siguiente matriz ampliada ideal:
 
1 3 5 | 1
 0 1 4 | 2 
0 0 2 | 4
En este caso, la matriz asociada tiene un triángulo debajo de la
diagonal formado por ceros, y la solución es directa, escalonada:
Si tomamos la última la, tenemos que 2 z = 4, o sea z = 2, que es la
solución para la tercera variable.
Siguiendo el escalón superior ahora, sustituimos la z en la segunda
ecuación, y obtenemos y + 8 = 2 por lo tanto y = −6, con lo que ya
tenemos la segunda variable resuelta.
Pasando al tercero y último escalón, hacemos las sustituciones
correspondientes a z y y , para obtener x − 18 + 10 = 1, con lo que
concluimos que x = 9, y completamos la solución del sistema.
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Semana lineales 6 / 21

21. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada (A|b)
en una matriz ampliada A b
equivalente, ( e | e ), en que la matriz Ae es
escalonada
El truco para hallar la matriz escalonada consiste en realizar las
operaciones siguientes, sabiendo que el resultado no se afecta:
1 Si multiplicamos una ecuación por un número diferente de cero la
ecuación no cambia.
2 Si reordenamos las ecuaciones el sistema no cambia.
3 Si a una ecuación le sumamos un múltiplo de otra ecuación el sistema
no cambia.
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Semana lineales 7 / 21

22. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada (A|b)
en una matriz ampliada A b
equivalente, ( e | e ), en que la matriz Ae es
escalonada
El truco para hallar la matriz escalonada consiste en realizar las
operaciones siguientes, sabiendo que el resultado no se afecta:
1 Si multiplicamos una ecuación por un número diferente de cero la
ecuación no cambia.
2 Si reordenamos las ecuaciones el sistema no cambia.
3 Si a una ecuación le sumamos un múltiplo de otra ecuación el sistema
no cambia.
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Semana lineales 7 / 21

23. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada (A|b)
en una matriz ampliada A b
equivalente, ( e | e ), en que la matriz Ae es
escalonada
El truco para hallar la matriz escalonada consiste en realizar las
operaciones siguientes, sabiendo que el resultado no se afecta:
1 Si multiplicamos una ecuación por un número diferente de cero la
ecuación no cambia.
2 Si reordenamos las ecuaciones el sistema no cambia.
3 Si a una ecuación le sumamos un múltiplo de otra ecuación el sistema
no cambia.
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Semana lineales 7 / 21

24. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada (A|b)
en una matriz ampliada A b
equivalente, ( e | e ), en que la matriz Ae es
escalonada
El truco para hallar la matriz escalonada consiste en realizar las
operaciones siguientes, sabiendo que el resultado no se afecta:
1 Si multiplicamos una ecuación por un número diferente de cero la
ecuación no cambia.
2 Si reordenamos las ecuaciones el sistema no cambia.
3 Si a una ecuación le sumamos un múltiplo de otra ecuación el sistema
no cambia.
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Semana lineales 7 / 21

25. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada (A|b)
en una matriz ampliada A b
equivalente, ( e | e ), en que la matriz Ae es
escalonada
El truco para hallar la matriz escalonada consiste en realizar las
operaciones siguientes, sabiendo que el resultado no se afecta:
1 Si multiplicamos una ecuación por un número diferente de cero la
ecuación no cambia.
2 Si reordenamos las ecuaciones el sistema no cambia.
3 Si a una ecuación le sumamos un múltiplo de otra ecuación el sistema
no cambia.
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Semana lineales 7 / 21

26. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Denición
Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada si se cumple lo
siguiente:
1 Las las no nulas están por encima de las las nulas.
2 En cada la i = 1, . . . , m cualquiera, si el primer elemento no nulo
es el elemento aij (es decir aij = 0 y aik = 0 para todo k j ),
entonces ai +1,l = 0 para todo 1 ≤ l ≤ j .
Observación
Otra manera de expresar la segunda condición de la denición es que
si en una la cualquierai , el primer elemento no nulo es aij entonces
akl = 0 para todo par k i , l ≤ j .
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Semana lineales 8 / 21

27. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Denición
Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada si se cumple lo
siguiente:
1 Las las no nulas están por encima de las las nulas.
2 En cada la i = 1, . . . , m cualquiera, si el primer elemento no nulo
es el elemento aij (es decir aij = 0 y aik = 0 para todo k j ),
entonces ai +1,l = 0 para todo 1 ≤ l ≤ j .
Observación
Otra manera de expresar la segunda condición de la denición es que
si en una la cualquierai , el primer elemento no nulo es aij entonces
akl = 0 para todo par k i , l ≤ j .
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Semana lineales 8 / 21

28. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Denición
Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada si se cumple lo
siguiente:
1 Las las no nulas están por encima de las las nulas.
2 En cada la i = 1, . . . , m cualquiera, si el primer elemento no nulo
es el elemento aij (es decir aij = 0 y aik = 0 para todo k j ),
entonces ai +1,l = 0 para todo 1 ≤ l ≤ j .
Observación
Otra manera de expresar la segunda condición de la denición es que
si en una la cualquierai , el primer elemento no nulo es aij entonces
akl = 0 para todo par k i , l ≤ j .
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Semana lineales 8 / 21

29. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Denición
Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada si se cumple lo
siguiente:
1 Las las no nulas están por encima de las las nulas.
2 En cada la i = 1, . . . , m cualquiera, si el primer elemento no nulo
es el elemento aij (es decir aij = 0 y aik = 0 para todo k j ),
entonces ai +1,l = 0 para todo 1 ≤ l ≤ j .
Observación
Otra manera de expresar la segunda condición de la denición es que
si en una la cualquierai , el primer elemento no nulo es aij entonces
akl = 0 para todo par k i , l ≤ j .
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Semana lineales 8 / 21

30. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Ejemplo
Las matrices
   
5 3 0 4 1 2 0 0 1
 0 1 6 2 0   0 1 2 3 
 ; 
 0 0 1 3 0   0 0 0 5 
0 0 0 0 1 0 0 0 0
son matrices escalonadas.
Mientras que la matriz
 
2 0 0 1
 0 1 2 3 
 
 0 0 0 0 
0 0 0 1
no es escalonada.
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Semana lineales 9 / 21

31. Método de Gauss. Matrices escalonadas El Método de Gauss
Ejemplo
Las matrices
   
5 3 0 4 1 2 0 0 1
 0 1 6 2 0   0 1 2 3 
 ; 
 0 0 1 3 0   0 0 0 5 
0 0 0 0 1 0 0 0 0
son matrices escalonadas.
Mientras que la matriz
 
2 0 0 1
 0 1 2 3 
 
 0 0 0 0 
0 0 0 1
no es escalonada.
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Semana lineales 9 / 21

32. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Dada la matriz:  
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 0 0 0 0 
0 5 0 4 7
primero reordenamos las las de manera que todas las las de ceros, si
las hay, queden abajo del todo:
 
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
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Semana Curso 2009-2010 10 / 21

33. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Dada la matriz:  
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 0 0 0 0 
0 5 0 4 7
primero reordenamos las las de manera que todas las las de ceros, si
las hay, queden abajo del todo:
 
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 10 / 21

34. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Necesitamos que la primera columna tenga ceros debajo del primer
elemento (que puede ser cero también, aunque no en este caso):
 
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
Procedamos entonces a reordenar de nuevo las las de manera que los
ceros de esta columna queden abajo del todo.
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
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Semana Curso 2009-2010 11 / 21

35. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Necesitamos que la primera columna tenga ceros debajo del primer
elemento (que puede ser cero también, aunque no en este caso):
 
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
Procedamos entonces a reordenar de nuevo las las de manera que los
ceros de esta columna queden abajo del todo.
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 11 / 21

36. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado.
Si no, buscamos el primer elemento donde no se cumple la condición
de escalonamiento. A este número le llamamos pivote y a partir de
ahora nos olvidamos de las las por encima de su la correspondiente.
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
Repetimos ahora los pasos anteriores olvidándonos de las las ya
escalonadas:  
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 5 0 4 7 
 
 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 12 / 21

37. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado.
Si no, buscamos el primer elemento donde no se cumple la condición
de escalonamiento. A este número le llamamos pivote y a partir de
ahora nos olvidamos de las las por encima de su la correspondiente.
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
Repetimos ahora los pasos anteriores olvidándonos de las las ya
escalonadas:  
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 5 0 4 7 
 
 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 12 / 21

38. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado.
Si no, buscamos el primer elemento donde no se cumple la condición
de escalonamiento. A este número le llamamos pivote y a partir de
ahora nos olvidamos de las las por encima de su la correspondiente.
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 0 0 1 3 
 
 0 5 0 4 7 
0 0 0 0 0
Repetimos ahora los pasos anteriores olvidándonos de las las ya
escalonadas:  
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
 0 5 0 4 7 
 
 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 12 / 21

39. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado. Si no, eliminamos todos
los números diferentes de cero que estén en la misma columna y por debajo
del pivote (llamémoslo con la notación general a ij ) que no sean cero
haciendo las operaciones a ij lai +k −a+ i k ,j lai :
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
3la3 − 5la2 : 
 0 15 − 15 0 − 10 12 − 25 21 − 35 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
=
 0 0 −10 −13 −14 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado. En caso contrario
repetimos las operaciones anteriores sólo con las las donde la matriz no
esté escalonada. En este caso, hemos terminado, como se puede constatar.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 13 / 21

40. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado. Si no, eliminamos todos
los números diferentes de cero que estén en la misma columna y por debajo
del pivote (llamémoslo con la notación general a ij ) que no sean cero
haciendo las operaciones a ij lai +k −a+ i k ,j lai :
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
3la3 − 5la2 : 
 0 15 − 15 0 − 10 12 − 25 21 − 35 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
=
 0 0 −10 −13 −14 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado. En caso contrario
repetimos las operaciones anteriores sólo con las las donde la matriz no
esté escalonada. En este caso, hemos terminado, como se puede constatar.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 13 / 21

41. Método de Gauss. Matrices escalonadas Ejemplo del método de Gauss para matrices
Ejemplo
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado. Si no, eliminamos todos
los números diferentes de cero que estén en la misma columna y por debajo
del pivote (llamémoslo con la notación general a ij ) que no sean cero
haciendo las operaciones a ij lai +k −a+ i k ,j lai :
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
3la3 − 5la2 : 
 0 15 − 15 0 − 10 12 − 25 21 − 35 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
 
=
 0 0 −10 −13 −14 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Si la matriz ya está escalonada, hemos terminado. En caso contrario
repetimos las operaciones anteriores sólo con las las donde la matriz no
esté escalonada. En este caso, hemos terminado, como se puede constatar.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 13 / 21

42. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Observación
La forma escalonada de una matriz no es única. Depende del orden en
que se realizen las operaciones.
Sin embargo, el número de las distinto de cero siempre es el mismo.
Denición
Dada una matriz cualquiera A llamamos rango de A, en símbolos
rg (A), al número de las diferentes de cero que tiene la matriz
equivalente en cualquiera de sus formas escalonadas.
Observación
Con lo dicho, tenemos ya la intuición de que si el rango de la matriz
asociada a un sistema de ecuaciones es inferior al de su número de
las, la solución, si existe, no es única.
Por otro lado, si la matriz es cuadrada, y el rango es completo,
entonces la solución (si existe), es única. En este caso es lógico pensar
que la matriz inversa de A, A−1 , existe.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 14 / 21

43. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Observación
La forma escalonada de una matriz no es única. Depende del orden en
que se realizen las operaciones.
Sin embargo, el número de las distinto de cero siempre es el mismo.
Denición
Dada una matriz cualquiera A llamamos rango de A, en símbolos
rg (A), al número de las diferentes de cero que tiene la matriz
equivalente en cualquiera de sus formas escalonadas.
Observación
Con lo dicho, tenemos ya la intuición de que si el rango de la matriz
asociada a un sistema de ecuaciones es inferior al de su número de
las, la solución, si existe, no es única.
Por otro lado, si la matriz es cuadrada, y el rango es completo,
entonces la solución (si existe), es única. En este caso es lógico pensar
que la matriz inversa de A, A−1 , existe.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 14 / 21

44. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Observación
La forma escalonada de una matriz no es única. Depende del orden en
que se realizen las operaciones.
Sin embargo, el número de las distinto de cero siempre es el mismo.
Denición
Dada una matriz cualquiera A llamamos rango de A, en símbolos
rg (A), al número de las diferentes de cero que tiene la matriz
equivalente en cualquiera de sus formas escalonadas.
Observación
Con lo dicho, tenemos ya la intuición de que si el rango de la matriz
asociada a un sistema de ecuaciones es inferior al de su número de
las, la solución, si existe, no es única.
Por otro lado, si la matriz es cuadrada, y el rango es completo,
entonces la solución (si existe), es única. En este caso es lógico pensar
que la matriz inversa de A, A−1 , existe.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 14 / 21

45. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Observación
La forma escalonada de una matriz no es única. Depende del orden en
que se realizen las operaciones.
Sin embargo, el número de las distinto de cero siempre es el mismo.
Denición
Dada una matriz cualquiera A llamamos rango de A, en símbolos
rg (A), al número de las diferentes de cero que tiene la matriz
equivalente en cualquiera de sus formas escalonadas.
Observación
Con lo dicho, tenemos ya la intuición de que si el rango de la matriz
asociada a un sistema de ecuaciones es inferior al de su número de
las, la solución, si existe, no es única.
Por otro lado, si la matriz es cuadrada, y el rango es completo,
entonces la solución (si existe), es única. En este caso es lógico pensar
que la matriz inversa de A, A−1 , existe.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 14 / 21

46. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Observación
La forma escalonada de una matriz no es única. Depende del orden en
que se realizen las operaciones.
Sin embargo, el número de las distinto de cero siempre es el mismo.
Denición
Dada una matriz cualquiera A llamamos rango de A, en símbolos
rg (A), al número de las diferentes de cero que tiene la matriz
equivalente en cualquiera de sus formas escalonadas.
Observación
Con lo dicho, tenemos ya la intuición de que si el rango de la matriz
asociada a un sistema de ecuaciones es inferior al de su número de
las, la solución, si existe, no es única.
Por otro lado, si la matriz es cuadrada, y el rango es completo,
entonces la solución (si existe), es única. En este caso es lógico pensar
que la matriz inversa de A, A−1 , existe.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 14 / 21

47. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Ejercicio para clase práctica
Consideremos la matriz:
 
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
A=
 
0 0 0 1 3 
 
 0 0 0 0 0 
0 5 0 4 7
con matriz escalonada equivalente:
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
A e
 
=
 0 0 −10 −13 −14 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Entonces el rango de A (½y de Ae !) es cuatro.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 15 / 21

48. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Ejercicio para clase práctica
Consideremos la matriz:
 
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
A=
 
0 0 0 1 3 
 
 0 0 0 0 0 
0 5 0 4 7
con matriz escalonada equivalente:
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
A e
 
=
 0 0 −10 −13 −14 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Entonces el rango de A (½y de Ae !) es cuatro.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 15 / 21

49. Método de Gauss. Matrices escalonadas Rango de una matriz
Ejercicio para clase práctica
Consideremos la matriz:
 
0 3 2 5 7
 1 7 2 4 3 
A=
 
0 0 0 1 3 
 
 0 0 0 0 0 
0 5 0 4 7
con matriz escalonada equivalente:
 
1 7 2 4 3
 0 3 2 5 7 
A e
 
=
 0 0 −10 −13 −14 

 0 0 0 1 3 
0 0 0 0 0
Entonces el rango de A (½y de Ae !) es cuatro.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 15 / 21

50. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Teorema (Teorema de Rouché-Frobenius)
Consideremos el sistema de ecuaciones Ax = b:
a11 x1 + · · · + a1 x b1

n n =
. .


. .
. .
a

x + ··· + a x = b
m 1 1 mn n m
1 El sistema de ecuaciones es compatible si y sólo si rg A = rg(A|b).
2 Supongamos que el sistema de ecuaciones es compatible (y, según el
apartado anterior, se verica que rg(A) = rg(A|b) ≤ n). Entonces,
1 El sistema es compatible determinado si y sólo si rg A = rg(A|b) = n.
2 El sistema es compatible indeterminado si y sólo si
rg A = rg(A|b ) n. En este caso, el número de parámetros
necesarios en la solución del sistema es n − rg(A).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 16 / 21

51. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Teorema (Teorema de Rouché-Frobenius)
Consideremos el sistema de ecuaciones Ax = b:
a11 x1 + · · · + a1 x b1

n n =
. .


. .
. .
a

x + ··· + a x = b
m 1 1 mn n m
1 El sistema de ecuaciones es compatible si y sólo si rg A = rg(A|b).
2 Supongamos que el sistema de ecuaciones es compatible (y, según el
apartado anterior, se verica que rg(A) = rg(A|b) ≤ n). Entonces,
1 El sistema es compatible determinado si y sólo si rg A = rg(A|b) = n.
2 El sistema es compatible indeterminado si y sólo si
rg A = rg(A|b ) n. En este caso, el número de parámetros
necesarios en la solución del sistema es n − rg(A).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 16 / 21

52. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Teorema (Teorema de Rouché-Frobenius)
Consideremos el sistema de ecuaciones Ax = b:
a11 x1 + · · · + a1 x b1

n n =
. .


. .
. .
a

x + ··· + a x = b
m 1 1 mn n m
1 El sistema de ecuaciones es compatible si y sólo si rg A = rg(A|b).
2 Supongamos que el sistema de ecuaciones es compatible (y, según el
apartado anterior, se verica que rg(A) = rg(A|b) ≤ n). Entonces,
1 El sistema es compatible determinado si y sólo si rg A = rg(A|b) = n.
2 El sistema es compatible indeterminado si y sólo si
rg A = rg(A|b ) n. En este caso, el número de parámetros
necesarios en la solución del sistema es n − rg(A).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 16 / 21

53. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Teorema (Teorema de Rouché-Frobenius)
Consideremos el sistema de ecuaciones Ax = b:
a11 x1 + · · · + a1 x b1

n n =
. .


. .
. .
a

x + ··· + a x = b
m 1 1 mn n m
1 El sistema de ecuaciones es compatible si y sólo si rg A = rg(A|b).
2 Supongamos que el sistema de ecuaciones es compatible (y, según el
apartado anterior, se verica que rg(A) = rg(A|b) ≤ n). Entonces,
1 El sistema es compatible determinado si y sólo si rg A = rg(A|b) = n.
2 El sistema es compatible indeterminado si y sólo si
rg A = rg(A|b ) n. En este caso, el número de parámetros
necesarios en la solución del sistema es n − rg(A).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 16 / 21

54. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Teorema (Teorema de Rouché-Frobenius)
Consideremos el sistema de ecuaciones Ax = b:
a11 x1 + · · · + a1 x b1

n n =
. .


. .
. .
a

x + ··· + a x = b
m 1 1 mn n m
1 El sistema de ecuaciones es compatible si y sólo si rg A = rg(A|b).
2 Supongamos que el sistema de ecuaciones es compatible (y, según el
apartado anterior, se verica que rg(A) = rg(A|b) ≤ n). Entonces,
1 El sistema es compatible determinado si y sólo si rg A = rg(A|b) = n.
2 El sistema es compatible indeterminado si y sólo si
rg A = rg(A|b ) n. En este caso, el número de parámetros
necesarios en la solución del sistema es n − rg(A).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 16 / 21

55. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Estamos ya preparados para establecer rigorosamente la existencia de
la inversa, A−1 , y su relación con el teorema anterior.
Proposición
Una matriz cuadrada A de tamaño n × n tiene inversa si, y sólo si
su rango es n.
Si A n × n tiene rango n, entonces la (única) solución al sistema
Ax = b viene dado por x = A−1 b.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 17 / 21

56. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Estamos ya preparados para establecer rigorosamente la existencia de
la inversa, A−1 , y su relación con el teorema anterior.
Proposición
Una matriz cuadrada A de tamaño n × n tiene inversa si, y sólo si
su rango es n.
Si A n × n tiene rango n, entonces la (única) solución al sistema
Ax = b viene dado por x = A−1 b.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 17 / 21

57. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Estamos ya preparados para establecer rigorosamente la existencia de
la inversa, A−1 , y su relación con el teorema anterior.
Proposición
Una matriz cuadrada A de tamaño n × n tiene inversa si, y sólo si
su rango es n.
Si A n × n tiene rango n, entonces la (única) solución al sistema
Ax = b viene dado por x = A−1 b.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 17 / 21

58. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo
Consideremos el sistema:
x + y + 2z = 1
  
1 1 2 | 1
2x + y + 3z = 2

con matriz ampliada  2 1 3 | 2 
3x + 2y + 5z = 3 3 2 5 | 3


Hallemos la matriz escalonada equivalente a (A|b ):
     
1 1 2 | 1 1 1 2 | 1 1 1 2 | 1
 2 1 3 | 2 ∼ 0 −1 −1 | 0 ∼ 0 1 1 | 0 
3 2 5 | 3 0 −1 −1 | 0 0 0 0 | 0
y concluyamos que el rango de A y de (A|b) es 2.
Usando el teorema, sabemos entonces que el sistema es compatible
indeterminado, y el número de parámetros, o grados de libertad, es
3 − rg(A) = 1. Pensemos en la solución, en términos de las x3 (o z ).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 18 / 21

59. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo
Consideremos el sistema:
x + y + 2z = 1
  
1 1 2 | 1
2x + y + 3z = 2

con matriz ampliada  2 1 3 | 2 
3x + 2y + 5z = 3 3 2 5 | 3


Hallemos la matriz escalonada equivalente a (A|b ):
     
1 1 2 | 1 1 1 2 | 1 1 1 2 | 1
 2 1 3 | 2 ∼ 0 −1 −1 | 0 ∼ 0 1 1 | 0 
3 2 5 | 3 0 −1 −1 | 0 0 0 0 | 0
y concluyamos que el rango de A y de (A|b) es 2.
Usando el teorema, sabemos entonces que el sistema es compatible
indeterminado, y el número de parámetros, o grados de libertad, es
3 − rg(A) = 1. Pensemos en la solución, en términos de las x3 (o z ).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 18 / 21

60. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo
Consideremos el sistema:
x + y + 2z = 1
  
1 1 2 | 1
2x + y + 3z = 2

con matriz ampliada  2 1 3 | 2 
3x + 2y + 5z = 3 3 2 5 | 3


Hallemos la matriz escalonada equivalente a (A|b ):
     
1 1 2 | 1 1 1 2 | 1 1 1 2 | 1
 2 1 3 | 2 ∼ 0 −1 −1 | 0 ∼ 0 1 1 | 0 
3 2 5 | 3 0 −1 −1 | 0 0 0 0 | 0
y concluyamos que el rango de A y de (A|b) es 2.
Usando el teorema, sabemos entonces que el sistema es compatible
indeterminado, y el número de parámetros, o grados de libertad, es
3 − rg(A) = 1. Pensemos en la solución, en términos de las x3 (o z ).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 18 / 21

61. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo
Consideremos el sistema:
x + y + 2z = 1
  
1 1 2 | 1
2x + y + 3z = 2

con matriz ampliada  2 1 3 | 2 
3x + 2y + 5z = 3 3 2 5 | 3


Hallemos la matriz escalonada equivalente a (A|b ):
     
1 1 2 | 1 1 1 2 | 1 1 1 2 | 1
 2 1 3 | 2 ∼ 0 −1 −1 | 0 ∼ 0 1 1 | 0 
3 2 5 | 3 0 −1 −1 | 0 0 0 0 | 0
y concluyamos que el rango de A y de (A|b) es 2.
Usando el teorema, sabemos entonces que el sistema es compatible
indeterminado, y el número de parámetros, o grados de libertad, es
3 − rg(A) = 1. Pensemos en la solución, en términos de las x3 (o z ).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 18 / 21

62. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo
Consideremos el sistema:
x + y + 2z = 1
  
1 1 2 | 1
2x + y + 3z = 2

con matriz ampliada  2 1 3 | 2 
3x + 2y + 5z = 3 3 2 5 | 3


Hallemos la matriz escalonada equivalente a (A|b ):
     
1 1 2 | 1 1 1 2 | 1 1 1 2 | 1
 2 1 3 | 2 ∼ 0 −1 −1 | 0 ∼ 0 1 1 | 0 
3 2 5 | 3 0 −1 −1 | 0 0 0 0 | 0
y concluyamos que el rango de A y de (A|b) es 2.
Usando el teorema, sabemos entonces que el sistema es compatible
indeterminado, y el número de parámetros, o grados de libertad, es
3 − rg(A) = 1. Pensemos en la solución, en términos de las x3 (o z ).
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Semana Curso 2009-2010 18 / 21

63. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo
Consideremos el sistema:
x + y + 2z = 1
  
1 1 2 | 1
2x + y + 3z = 2

con matriz ampliada  2 1 3 | 2 
3x + 2y + 5z = 3 3 2 5 | 3


Hallemos la matriz escalonada equivalente a (A|b ):
     
1 1 2 | 1 1 1 2 | 1 1 1 2 | 1
 2 1 3 | 2 ∼ 0 −1 −1 | 0 ∼ 0 1 1 | 0 
3 2 5 | 3 0 −1 −1 | 0 0 0 0 | 0
y concluyamos que el rango de A y de (A|b) es 2.
Usando el teorema, sabemos entonces que el sistema es compatible
indeterminado, y el número de parámetros, o grados de libertad, es
3 − rg(A) = 1. Pensemos en la solución, en términos de las x3 (o z ).
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 18 / 21

64. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Propiedad
Un sistema de ecuaciones homogéneo, en el que Ax = 0 (los
términos independientes valen todos cero), siempre tiene como
mínimo una solución. Esto viene de que el rango de A es siempre
igual, en este caso, al de (A|b).
Recordemos el ejemplo de sistema incompatible
2x +y =5
4x + 2y = 7
Aquí la matriz asociada tiene rango 1, y la ampliada rango 2. La razón
era que el lado izquierdo de la segunda ecuación era dos veces el
correspondiente de la primera, mientras que en el lado derecho no
ocurría lo mismo. Retomemos la gráca de las respectivas rectas, que
son paralelas.
Universidad Carlos III de MadridMatemáticas II () 2 Tema 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Semana Curso 2009-2010 19 / 21

65. Soluciones a Ax=b Teorema de Rouché-Frobenius
Propiedad
Un sistema de ecuaciones homogéneo, en el que Ax = 0 (los
términos independientes valen todos cero), siempre tiene como
mínimo una solución. Esto viene de que el rango de A es siempre
igual, en este caso, al de (A|b).
Recordemos el ejemplo de sistema incompatible
2x +y =5
4x + 2y = 7
Aquí la matriz asociada tiene rango 1, y la ampliada rango 2. La razón
era que el lado izquierdo de la segunda ecuación era dos veces el
correspondiente de la primera, mientras que en el lado derecho no
ocurría lo mismo. Retomemos la gráca de las respectivas rectas, que
son paralelas.
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