Estructuras algebraicas, vectores y espacios vectoriales(4)

1. Métodos Matemáticos I
Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval
Agosto 2013

2. Estructura algebraica
Conjunto de operaciones binarias
 Se representan <A, operación>, <{a, b,
c}, operación>, si son sencillas; o bien,
se
representan
<conjunto,
1o.
operación, 2o. operación> cuando son
dobles


3. Operación binaria

La
que
ocurre
cuando, entre si, se
operan conjuntos y
el resultado de esta
operación da un
tercer conjunto.

4. Ejemplo
Siendo los conjuntos
A= {1, 2, 3} y
B= {4, 5, 6}
entonces
AxB=
{4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18}

x
4
5
6
1
4
5
6
2
8
10
12
3
12
15
18

5. Vector
Cantidades físicas que necesitan
dirección
y
magnitud
para
su
especificación, fuerza y velocidad son
ejemplos de vectores.
 Se representa por un segmento de línea
recta con dirección y longitud dadas. P1
es el punto inicial y P2 el punto terminal
del vector, la cabeza de la flecha indica
la dirección del vector.


6. Espacios vectoriales
Conjunto de n-adas ordenadas, también
conocido como espacio euclidiano o
espacio n-dimensional
 Un espacio vectorial es un espacio no
vacío.


7. Espacios vectoriales






Se denota por Rn , éste es una sucesión de
n números reales, donde:
R1 = espacio unidimensional, línea recta
real.
R2 = espacio bidimensional, pares
ordenados.
R3 = espacio tridimensional, terna
ordenadas.
…
Rn = espacio n-dimensional, n-adas
ordenadas.

8. Espacios vectoriales

Siempre cumplen las propiedades o
axiomas de la suma de vectores y la
multiplicación por un escalar dichas
propiedades vistas en espacios ndimensiónales Rn o R2.

9. Operaciones Básicas con
Vectores en R2
cierre
 Conmutativa
 Asociativa
 elemento neutro e identidad
 distributiva.


10. 







Para suma de vectores
X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).
Para multiplicación de un vector por un escalar
H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).
Las propiedades que cumplen son las mismas
que vimos en operaciones básicas con
vectores en R2.
El vector cero “0” es el vector neutro o
identidad de la suma de vectores en Rn:
0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como
propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0,
0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde
“U” es un vector y “a” un escalar.

11. Sub espacio vectorial
Sub conjunto del espacio vectorial
W es un sub espacio vectorial de V si W es
un espacio vectorial bajo las operaciones
de suma y multiplicación por un escalar
definidas en V.
 Para que W sea un sub espacio de V debe
cumplir las propiedades de cierre de la
suma y la multiplicación por un escalar
también debe cumplir la ley del elemento
neutro bajo la suma, el inverso bajo la
suma y el neutro bajo la multiplicación por
un escalar.



12. Reales
Vectores
U=
(k1,k2,…kn)
Escalares
Rn
Números
específicos,
constantes

13. Ecuaciones lineales
a1 x1 + a 2 x2 + … an xn = b
 Incógnitas: x , x , …, x
1
2
n
 Constantes: a , a , …, a , b
1
2
n
 ak coeficiente de xk
 b, constante de la ecuación
Solución: conjunto de valores de las
incógnitas U = (k1,k2,…kn)
 x = k , x = k , …, x = k .
1
1
2
2
n
n
 Sustituyendo x por k
i
i
a1 k1 + a 2 k2 + … an kn = b


14. Variables para denotar
incógnitas
Suponen orden
 Siendo tres: x, y, z
 Siendo cuatro: x, y, z, t
 Siendo cinco: x, y, z, s, t

15. Ecuaciones lineales
2x – 5y +3xz = 4

No es una ecuación
lineal pues el producto
de dos incógnitas la
hace de segundo grado
X + 2y – 4z + t = 3
U = (3, 2, 1, 0)
U = (1, 2, 3, 4)
(3) + 2(2) – 4(1) +
(0) = 3
(1) + 2(2) – 4(3) +
(4) = 3
3+4–4+0=3
1 + 4 – 12 + 4 = 3
Cierto
Solución
Falso

16. Ecuaciones lineales con una
incógnita
ax = b

Teorema 1.1:
Solución única: Si a  0, x = b/a
ii. No tiene solución: si a = 0 pero b  0
iii. Soluciones infinitas: Si a = 0 y b = 0,
todo escalar k es solución
i.

17. Ecuaciones lineales
degeneradas
0x1 + 0x2 + … 0xn = b
 Teorema 1. 2:
i. Si b  0 la ecuación no tiene
solución
ii. Si b = 0, todo vector U = (k1,k2,…kn)
es una solución

18. Ecuaciones lineales no
degeneradas
a1x1 + a2x2 + … anxn = b
 Primera incógnita
 Coeficiente no nulo
 Su posición p, menor valor entero de j
para el cual aj  0
xp es primera incógnita si aj = 0
para j  p pero a  0

19. Teorema 1.3:
 Para
a1x1 + a2x2 + … anxn = b
Con primera incógnita xp
i. Cualquier conjunto de valores de las
incógnitas xj con j  p dará una
única solución
ii. Toda solución de la ecuación se
obtiene en i

20. Ruta de Solución
2x – 4y + z = 8
 Asignamos valores arbitrarios a las variables
libres
y = a, z = b
 Sustituimos dichos parámetros
2x – 4a + b = 8
 Despejamos x
2x = 8 + 4a – b  x = 4 + 2a – ½ b
 Obtenemos el conjunto solución
u = (4 + 2a – ½ b, a, b)

21. Ecuaciones lineales con dos
incógnitas
ax + by = c
a, b, c  
 a  0 ó b  0, se supone no degenerada


Solución
 u  R2
 k1, k2  
u = (k1, k2)

22. Sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas
a1x + b1y = c1
a x+b y= c
2
2
2
 a y b no son simultáneamente nulos
1
1
ni a2 y b2
 Solución simultánea: único par de
números reales u = (k1, k2) que

satisface ambas ecuaciones

23. Sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas
 Solución
simultánea:
único par de
números reales
u = (k1, k2)
que satisface
ambas
ecuaciones

24. Sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas

Cuando a, b, coeficientes de x e
y respectivamente, son
proporcionales
 No tiene solución. Las rectas del
gráfico son paralelas
 Tiene infinitas soluciones dado que
son ecuaciones equivalentes. Las
líneas del gráfico son coincidentes.

25. Sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas

a1/a2= b1/ b2
b1
a2
ó
a1
b2
= a1b2 – a2b1 = 0
No solución si: a1/a2= b1/ b2  c1/c2
 Infinitas soluciones si:
a1/a2= b1/ b2 = c1/c2
 Única solución si el determinante de
los coeficientes es diferente de 0


26. Algoritmo de eliminación

27. Sistemas de ecuaciones
lineales de m ecuaciones
lineales

L1, L2, …, Lm son ecuaciones lineales
con n incógnitas x1, x2, …, xn
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…………………………………………………….
…………………………………………………….
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Donde aij, bi son constantes

28. Sistemas de ecuaciones
lineales de m ecuaciones
lineales
Solución particular. Conjunto de
valores de las incógnitas, digamos
x1 = k1, x2 = k2, …, xn = kn, o bien, la
n-pla U = (k1,k2,…kn) , solución de
cada una de las ecuaciones del
sistema.
 Solución general: conjunto de todas
las soluciones


29. Sistemas equivalentes

Operaciones elementales
[E1] Intercambiar las ecuaciones i-ésima y
j-ésima: Li  Lj
[E2] Multiplicar la ecuación i-ésima por un
escalar no nulo k: kLi  Li, k  0
[E3] Sustituir la ecuación i-ésima por ella
misma más k veces la j-ésima: (kLj + Li)  Li
[E] Sustituir la ecuación i-ésima por k (no
nulo) veces ella misma más k’ veces la jésima: (k’Lj + kLi)  Li , k  0

30. Sistemas equivalentes

Teorema 1.4:
Si un sistema de ecuaciones lineales (#)
se obtiene de otro (*) mediante una
sucesión
infinita
de
operaciones
elementales, entonces (#) y (*) tienen el
mismo conjunto solución

31. Sistemas equivalentes

Resolución
Paso 1. Usar operaciones elementales
para reducir el sistema a uno
equivalente más simple (en forma
triangular escalonada)
Paso 2. Usar la sustitución hacia atrás
para hallar la solución del sistema más
simple

32. Sistemas equivalentes
x + 2y – 4z = – 4
5x + 11y – 21z = – 22
3x – 2y + 3z = 11
(– 5L1 + L2)  L2
(– 3L1 + L3)  L3
x + 2y – 4z = – 4
y–z=–2
– 8y + 15z = 23

33. Sistemas equivalentes
x + 2y – 4z = – 4
y–z=–2
– 8y + 15z = 23
(8L2 + L3)  L3
x + 2y – 4z = – 4
y–z=–2
7z = 7

34. Teorema 1.5:
Supongamos un sistema de ecuaciones
lineales que contiene la ecuación
degenerada
L : 0x1 + 0x2 + … 0xn = b
a) Si b = 0, L puede suprimirse del sistema
sin alterar la solución (T. 1.2, ii)
b) Si b  0, el sistema no tiene solución dado
que la ecuación no la tiene (T. 1.2, i)


35. Sistemas en forma triangular y
escalonada

Forma triangular
 Si el número de ecuaciones es igual al
número de incógnitas y si xk es la primera
incógnita de la k-ésima ecuación. Por tanto
tiene la forma
a11x1 + a12x2 + … + a1,n – 1xn – 1 + a1nxn = b1
a22x2 + … + a2,n – 1xn – 1 + a2nxn = b2
…………………………………………………….
an – 1,n – 1xn – 1 + an – 1,nxn = bn – 1
annxn = bn

36. Sistemas en forma
triangular
Donde a11, a22, …, ann  0
 Solución única: procedimiento de
sustitución hacia atrás


37. Sistemas en forma triangular y
escalonada

Forma escalonada. Variables libres
 Si ninguna ecuación es degenerada
 La primera incógnita de cada ecuación está
a la derecha de la primera incógnita de la
ecuación anterior
a11x1 + a12x2 + … + a1,n – 1xn – 1 + a1nxn = b1
a2j xj + a2, j xj +… + a2nxn = b2
2 2
2+1 2+1
…………………………………………………….
arj xj + ar, j
r
r
r+1
xj
r+1
+ … + ar nxn = br

38. Sistemas en forma escalonada

Donde
 1 < j2 < … < jr
 a11, a2j , …, arj  0
rn
2
r
 xk se denomina variable libre si xk no es
la primera incógnita de la ecuación, esto
es xk x1, xk  xj , …, xk  xj
2
r

39. Sistemas en forma escalonada
Teorema 1.6:
Consideremos el sistema de ecuaciones
de forma escalonada (presentado
anteriormente) Existen dos casos:
i. r = n Hay tantas ecuaciones como
incógnitas. El sistema tiene solución
única


40. Sistemas en forma escalonada
ii.
r < n Hay menos ecuaciones que
incógnitas.
Entonces podemos asignar
arbitrariamente valores a las n – r
variables libres y obtener una de
infinitas soluciones del sistema
Teorema 1.6

41. Sistemas en forma escalonada
Siendo:
x + 2y – 4z = – 4
y–z=–2
– 8y + 15z = 23
Este no es un sistema escalonado

42. Sistemas en forma escalonada
x + 4y – 3z + 2t = 5
z – 4t = 2
 Un sistema escalonado
 Las primeras incógnitas son x y z
 Las variables libres son y y t
 Solución:
 Asignar parámetros a variables libres
 Sustitución hacia atrás

43. Sistemas en forma escalonada
x + 4y – 3z + 2t = 5
z – 4t = 2
y=a
t=b
 En consecuencia
 z = 2 + 4b
 x = 11 – 4a + 10b
 Solución: (11 – 4a + 10b, a, 2 + 4b, b)


44. Algoritmo de reducción

Paso 1.
Intercambiar las ecuaciones de forma que x1
aparezca con un coeficiente no nulo en la
primera ecuación es decir, conseguir a11  0
Paso 2.
Utilizar a11 como pivote para eliminar x1 de
todas las ecuaciones excepto de la primera.
Esto es, para cada i > 1, efectuar la
operación
[E3]: (ai1/ a11) L1 + Li  Li ó [E] ai1L1 + a11Li  Li


45. Algoritmo de reducción

Paso 3.
Examinar la nueva ecuación L:
a) Si L tiene la forma 0x1 + 0x2 + … 0xn = 0
o si es un múltiplo de otra ecuación,
suprimirla del sistema
b) Si L tiene la forma 0x1 + 0x2 + … 0xn = b
con b  0, abandonar el algoritmo. El
sistema no tiene solución

46. Algoritmo de reducción
Paso 4.
Repetir los pasos 1, 2, 3 con el
subsistema formado por todas las
ecuaciones excluyendo la primera
 Paso 5
Continuar con el proceso anterior hasta
que el sistema esté en forma
escalonada, o hasta que se obtenga
una ecuación degenerada en el paso 3b


47. Algoritmo de reducción
x + 2y – 3z = 1
2x + 5y – 8z = 4
3x + 8y – 13z = 7
– 2L1 + L2  L2
– 3L1 + L3  L3
x + 2y – 3z = 1
y – 2z = 2
2y – 4z = 4

48. Algoritmo de reducción
O bien
x + 2y – 3z = 1
y – 2z = 2
Forma escalonada
Variable libre: z
Asignamos parámetro: z = a. Luego,
y = 2 + 2a
x=–3–a
z=a
(– 3 – a, 2 + 2a, a)

49. Algoritmo de reducción
x + 2y – 3z = – 1
3x – y + 2z = 7
5x + 3y – 4z = 2

50. Teorema 1.7
Cualquier sistema de ecuaciones
lineales tiene:
i. Una única solución
ii. Ninguna solución
iii. Un número infinito de soluciones


52. Matriz

Sea una tabla ordenada de números como
sigue
a11 a12 …
a1n
a21 a22 …
a2n
A=
………………………………….
am1
am2
…
amn
A = (aij)
i = 1, …, m; j = 1, …, n
aij llamado entrada o componente ij, aparece
en la fila i-ésima y la columna j-ésima

53. Entrada principal no nula de R, la
primera en una fila.
 Fila nula. Cuando toda entrada en R es
0

1
A=
–3
0
5
4
–2

54. Matrices escalonadas

Cuando se cumplen las siguientes
condiciones:
i.
ii.
Todas las filas nulas, si las hay, están en
la parte inferior de la matriz
Cada entrada principal no nula está a la
derecha de la entrada principal no nula de
la fila precedente

55. Matrices escalonadas

Forma escalonada:
Esto es, si en A = (aij) existen entradas
distintas de cero
a1j , a2j , …, arj donde j1 < j2 < … < jr
1
2
r
con la propiedad de que
 aij = 0 para i  r, j < ji
 para i > r, a1j , …, arj son las entradas
1
r
principales no nulas de A

56. Matrices escalonadas

Forma canónica por filas: Si
Cada entrada principal no nula es 1, y
iv. Cada entrada principal no nula es la
única entrada distinta de cero en su
columna
iii.

57. Equivalencia por filas.
 Se
dice que una matriz A es
equivalente por filas a otra B, escrito
A  B, si
 B puede obtenerse a partir de A
mediante una sucesión finita de las
operaciones llamadas elementales
entre filas

58. Operaciones elementales
E1 intercambiar las filas i-ésima y jésima : Ri  Rj.
 E2 Multiplicar la fila i-ésima por un
escalar no nulo k: kRi  Ri, k 0
 [E3]Sustituir la fila i-ésima por ella
misma más k veces la j-ésima:
kRj + Ri  Ri
 [E] Sustituir la fila i-ésima por k (no nulo)
veces ella misma más k’ veces la
j-ésima: k’Rj + kRi  Ri, k  0
