Soluci´n Gr´fica de un PL
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CCIR / Matem´ticas
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Ejemplo 1
Suponga que se desea resolver el problema PL:
Max z = 3 x + 2 y
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Se desea resolver el problema PL:
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Region factible
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Localizacion del optimo
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Ejemplo 3
Suponga que se desea resolver el problema PL:
Max z = 2 x + y
sujeto a
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Region factible
En este ejemplo, la regi´n factible es la misma que en el ejemplo 1.
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Pero ha cambiando la funci´n obje...
Ejemplo 4
Se desea resolver el problema PL:
Max z = x + y
sujeto a
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+ 20 y
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Region factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y...
Ejemplo 5
Se desea resolver el problema PL:
Max z = −3 x + y
sujeto a
−4 x
2x
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+ 3y
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CCIR / Matem´ticas
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Region factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y...
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Obtencion del optimo
A pesar que la regi´n factible es no acotada, el gradiente crece en
o
una direcci´n hacia donde l...
Ejemplo 6
Se desea resolver el problema PL:
Max z = 3 x − y
sujeto a
−4 x
2x
x
x

+ 3y
+ 3y
− y
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CCIR / Matem´ticas
a

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Obtencion del optimo
Este problema tiene la misma regi´n factible que el problema
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previo pero la funci´n crece en di...
Aprendizajes?

Sobre la regi´n factible:
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puede ser vac´ (ejemplo 4), acotada (ejemplos 1,2 y 3) o
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Aprendizajes?
Una funci´n lineal definida sobre un segmento de recta se
o
convierte en una funci´n lineal en una variable; ...
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Presentacion ejemplo metodo grafico

  1. 1. Soluci´n Gr´fica de un PL o a CCIR / Matem´ticas a euresti@itesm.mx CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  2. 2. El m´todo gr´fico de soluci´n de problemas de programaci´n lineal e a o o (PL) s´lo aplica a problemas con dos variables de decisi´n; sin o o embargo, ilustra adecuadamente los conceptos que nos permitir´n a entender la naturaleza del problema PL y de all´ entender los ı m´todos de soluci´n algebraicos. e o Primeramente graficaremos la regi´n factible. Despu´s ilustraremos o e el comportamiento de funciones lineales para entender c´mo o determinar los puntos ´ptimos. o CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  3. 3. Ejemplo 1 Suponga que se desea resolver el problema PL: Max z = 3 x + 2 y sujeto a 2x x x x + y + y y CCIR / Matem´ticas a ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 100 80 40 0 0 R5 R4 R3 R1 R2 Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  4. 4. Nuestra primera meta es graficar en el plano la regi´n factible; es o decir, graficar la totalidad de puntos del plano que satisfacen las restricciones. Notemos que las restricciones se deben cumplir simult´neamente. Es decir, que los puntos deben cumplir la a restricci´n R1 , la restricci´n R2 , y as´ sucesivamente hasta la o o ı restricci´n R5 . Desde el punto de vista de teor´ b´sica de o ıa a conjuntos, la regi´n factible es la intersecci´n de los conjuntos que o o satisfacen por separado cada una de las restricciones. Para avanzar en nuestra meta, debemos saber c´mo determinar los puntos del o plano que satisfacen una desigualdad lineal. Distinguimos dos casos: cuando en la desigualdad s´lo aparece una variable de decisi´n o o (es decir, la otra variable tiene coeficiente cero) cuando en la desigualdad aparecen las dos variables de decisi´n (es decir, ambas tienen coeficientes diferentes de cero o en tal desigualdad) CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  5. 5. ´ Cuando solo aparece una variable En este caso, cuando cambiamos el s´ ımbolo de desigualdad por el s´ ımbolo de igualdad lo que obtenemos es el conjunto frontera del conjunto de puntos que cumple la desigualdad. En este caso, dicha frontera es una l´ ınea horizontal o vertical: por inspecci´n, es f´cil o a determinar el lado de dicha frontera que cumple la desigualdad. x ≤ 40 x ≥0 y ≥0 40 y =0 x =0 x = 40 CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  6. 6. Cuando aparecen las dos variables Nuevamente, cambiamos el s´ ımbolo de desigualdad por el s´ ımbolo de igualdad y lo que obtenemos es una l´ ınea recta. Esta recta es f´cil de graficar usando la t´cnica de intersecci´n con los ejes: a e o hacemos cero una de las variables y despejamos para la otra variable. De nuevo, la recta es la frontera de nuestro conjunto: por inspecci´n, es f´cil determinar el lado de dicha frontera que cumple o a la desigualdad. 100 80 x + y = 80 2 x + y = 100 2 x + y ≤ 100 50 CCIR / Matem´ticas a x + y ≤ 80 Soluci´n Gr´fica de un PL o a 80
  7. 7. ´ Region factible Se forma haciendo una intersecci´n de los conjuntos de puntos que o hemos encontrado (El punto S(20, 60) se determina resolviendo el sistema 2 x + y = 100 y x + y = 80; el punto R(20, 60) se determina resolviendo el sistema 2 x + y = 100 y x = 40). T (0, 80) S(20, 60) R(40, 20) P(0, 0) CCIR / Matem´ticas a Q(40, 0) Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  8. 8. Crecimiento de z = 3 x + 2 y De momento, nos olvidamos de la regi´n factible y vemos en qu´ o e direcci´n crece la funci´n z: siendo el gradiente de la funci´n o o o ∂z ∂z z =< ∂x = 3, ∂y = 2 > determinamos que en tal direcci´n crece o z; direcciones perpendiculares a z (< 2, −3 >) dan las curvas de nivel. z = 210 z = 180 z = 150 z = 120 z = 90 z = 60 z = 30 z =0 z CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  9. 9. ´ ´ Localizacion del Optimo Ahora graficamos las curvas de nivel de z encima de la regi´n o factible y determinamos aquel punto de la regi´n factible que o queda en la curva de nivel de mayor valor (caso de maximizaci´n). o T (0, 80) z = 210 z = 180 z = 150 z = 120 S(20, 60), ´ptimo con z = 180 o z = 90 z = 60 z = 30 z =0 z R(40, 20) P(0, 0) CCIR / Matem´ticas a Q(40, 0) Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  10. 10. Ejemplo 2 Se desea resolver el problema PL: Min z = 4 x − y sujeto a −2 x 3x 2x x x + 3y + 5y + 2y y CCIR / Matem´ticas a ≤ 90 ≤ 245 ≥ 40 ≤ 40 ≥ 0 ≥ 0 Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  11. 11. ´ Region factible Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspecci´n el lado de la recta que cumple la desigualdad. o Y (0, 49) S(15, 40) x ≤ 40 T (0, 30) R(40, 25) U(0, 20) −2 x + 3 y ≤ 90 Z (−45, 0) O 3 x + 5 y ≤ 245 P(20, 0) CCIR / Matem´ticas a Q(40, 0) 2 x + 2 y ≥ 40 Soluci´n Gr´fica de un PL o a X (81.6, 0)
  12. 12. ´ ´ Localizacion del optimo En este caso el problema es de minimizaci´n; as´ en la direcci´n o ı, o opuesta al gradiente la funci´n se minimiza. Para determinar el o o ´ptimo, debemos buscar la curva de nivel en la direcci´n opuesta al o gradiente de menor valor que toca a la regi´n factible. o z = −60 z = −30 z =0 z = 30 z = 60 z = 90 z = 120 z = 150 z = 180 z = 210 S(15, 40) M´ ınimo con z = −30 T (0, 30) R(40, 25) U(0, 20) O P(20, 0) Q(40, 0) z CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  13. 13. Ejemplo 3 Suponga que se desea resolver el problema PL: Max z = 2 x + y sujeto a 2x x x x + y + y y CCIR / Matem´ticas a ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 100 80 40 0 0 R5 R4 R3 R1 R2 Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  14. 14. ´ Region factible En este ejemplo, la regi´n factible es la misma que en el ejemplo 1. o Pero ha cambiando la funci´n objetivo; el gradiente es o z =< 2, 1 > y las curvas de nivel son tales que son paralelas a uno de los lados de la regi´n factible. Y esa curva es la de mayor o valor en el problema de maximizaci´n. Por tanto, habr´ infinitas o a ¯ soluciones: todos los puntos del segmento SR son m´ximos. a T (0, 80) z = 120 z = 100 z = 80 z = 60 S(20, 60) z = 40 z = 20 z =0 R(40, 20) z P(0, 0) CCIR / Matem´ticas a Q(40, 0) Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  15. 15. Ejemplo 4 Se desea resolver el problema PL: Max z = x + y sujeto a 6x 20 x + 5y + 20 y y x CCIR / Matem´ticas a ≥ 300 ≤ 100 ≥ 30 ≥ 0 Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  16. 16. ´ Region factible Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspecci´n el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este o ejemplo la regi´n factible es vac´ no hay valores de x y de y o ıa: que satisfagan simult´neamente todas las restricciones. a y R(0, 60) Q(0, 50) 6 x + 5 y ≥ 300 y ≥ 30 T (0, 30) 20 x + 20 y ≤ 100 P(50, 0) x O x ≥0 CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  17. 17. Ejemplo 5 Se desea resolver el problema PL: Max z = −3 x + y sujeto a −4 x 2x x x + 3y + 3y − y y CCIR / Matem´ticas a ≤ 60 ≥ 30 ≤ 20 ≥ 0 ≥ 0 Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  18. 18. ´ Region factible Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspecci´n el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este o ejemplo la regi´n factible es infinita: se extiende o indefinidamente entre dos rectas que se abren. −4 x + 3 y ≤ 60 T (0, 20) x − y ≤ 20 2 x + 3 y ≥ 30 R(0, 10) O Q(15, 0) P(20, 0) CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  19. 19. ´ ´ Obtencion del optimo A pesar que la regi´n factible es no acotada, el gradiente crece en o una direcci´n hacia donde la regi´n est´ acotada: por tanto, el o o a o ´ptimo existe y est´ en el punto T (0, 20). a T (0, 20) z R(0, 10) z = 80 Q(15, 0) P(20, 0) O z = 60 z = 40 z = 20 z =0 z = −20 z = −40 z = −60 CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  20. 20. Ejemplo 6 Se desea resolver el problema PL: Max z = 3 x − y sujeto a −4 x 2x x x + 3y + 3y − y y CCIR / Matem´ticas a ≤ 60 ≥ 30 ≤ 20 ≥ 0 ≥ 0 Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  21. 21. ´ ´ Obtencion del optimo Este problema tiene la misma regi´n factible que el problema o previo pero la funci´n crece en direcci´n opuesta entonces es o o posible encontrar puntos sobre la frontera x − y = 20 con evaluaci´n cada vez mayor. El problema no tiene m´ximo; el valor o a de la funci´n no es acotado. o T (0, 20) R(0, 10) Q(15, 0) P(20, 0) O z = −60 z = −40 z = −20 z =0 z z = 20 a CCIR / Matem´ticas Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  22. 22. Aprendizajes? Sobre la regi´n factible: o puede ser vac´ (ejemplo 4), acotada (ejemplos 1,2 y 3) o ıa infinita (ejemplos 5 y 6). cuando no es vac´ . . ıa. es faceteada: sus caras son realizadas por cortes rectos; por ello es que es convexa, es decir, no tiene partes sumidas; por ello es que para dos puntos en la regi´n factible, el o segmento que los une est´ totalmente dentro de la regi´n a o factible. cuando es acotada y no vac´ . . ıa. los puntos extremos la definen completamente. CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a
  23. 23. Aprendizajes? Una funci´n lineal definida sobre un segmento de recta se o convierte en una funci´n lineal en una variable; y por lo tanto, o toma sus valores m´ximos o m´ a ınimos en los extremos del intervalo (a´n en el caso que sea constante la funci´n). u o Al optimizar un PL que tiene regi´n factible acotada y no o vac´ los valores m´ximos y m´ ıa, a ınimos los toma en un punto extremo de la regi´n factible (en una esquina del poliedro que o es la regi´n factible). o Al optimizar un PL que tiene regi´n factible no acotada o pueden ocurrir dos posibilidades: que el m´ximo o el m´ a ınimo lo tome en un punto extremo ´ o que el problema no sea acotado: es decir, que no es posible encontrar un valor ´ptimo porque siempre es posible encontrar o un punto en la regi´n factible con una evaluaci´n mejor. o o CCIR / Matem´ticas a Soluci´n Gr´fica de un PL o a

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