Resolución de triángulos, reducción al primer cuadrante

2. 0º 90º 180º 270º -360º 30º 45º 60º 120º 135º 150º 210º 225º 240º 300º 315º 330º Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante Sabemos que un circunferencia completa tiene 360º sexagesimales. Ahora en 12 partes. (Color granate) Cada parte tendrá 30º sexagesimales. Por último en ocho partes. (Color verde) Cada una tendrá ahora 45º. Vamos a dividirla en cuatro partes. (Color azul) Cada parte tendrá 90º sexagesimales y se denominan cuadrantes. Trigonometría Grados sexagesimales

3. π /6 π /4 2 π /6 4 π /6 3 π /4 5 π /6 7 π /6 5 π /4 8 π /6 10 π /6 7 π /4 11 π /6 0 3 π /6 6 π /6 9 π /6 -12 π /6 Sabemos que un circunferencia completa tiene 2 π radianes. Por último en ocho partes. Cada una tendrá ahora π /4 radianes. (Color verde) Trigonometría Radianes Vamos a dividirla en cuatro partes. Cada parte tendrá π /2 radianes. Después en 12 partes. Cada parte tendrá π /6 radianes. (Color granate)

4. Trigonometría Vamos a definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo  . El ángulo  determina en la circunferencia, un punto P de coordenadas (x , y) Definimos ahora, las funciones trigonométricas de un ángulo  . Representamos una circunferencia de radio r , en un sistema de ejes de coordenadas. 0º 90º 180º 270º 360º  x y P (x,y) x y r Razones trigonométricas en una circunferencia

5. Trigonometría De igual manera definimos las razones trigonométricas inversas. Razones trigonométricas 0º 90º 180º 270º 360º  x y P (x,y) x y r

6. Trigonometría Según el cuadrante en que nos encontramos, cambia el signo de la ordenada y de la abscisa de un punto, por consiguiente también cambiará el signo de las razones trigonométricas del ángulo asociado a dicho punto. Signo de las razones trigonométricas según el cuadrante 0º 90º 180º 270º -360º Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante sen  > 0 cos  > 0 cos  >0 sen  >0 sen  < 0 sen  > 0 cos  < 0 cos  < 0 El signo del seno se corresponde con la ordenada, por lo tanto es positivo en el primer y segundo, cuadrantes. De igual forma será negativo en el tercero y cuarto. El signo del coseno se corresponde con la abscisa, por lo tanto es positivo en el primer y cuarto, cuadrantes. De igual forma será negativo en el segundo y tercero. + + + + ̶ ̶ ̶ ̶

7. Vamos a ver todas las razones trigonométricas de un ángulo agudo  . Si nos fijamos en las definiciones resulta sencillo relacionarlas entre ellas Veamos la lectura de cada una de las razones trigonométricas. Trigonometría sen  se lee seno de  cos  se lee coseno de  tan  se lee tangente de  cosec  se lee cosecante de  sec  se lee secante de  cotan  se lee cotangente de  Razones trigonométricas

8. Trigonometría Circunferencia goniométrica o trigonométrica es la circunferencia de radio unidad. En dicha circunferencia, la ordenada coincide con el seno del ángulo y la abscisa con el coseno. 0º 90º 180º 270º 360º  x P (x,y) x y 1 sen  cos  y Circunferencia goniométrica

9. 0º 90º 180º 270º 360º  x P (x,y) x y 1 sen  cos  y Vamos a deducir la fórmula fundamental de la Trigonometría, para ello partimos de la representación anterior del ángulo en la circunferencia trigonométrica. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la ordenada, la abscisa y el radio. (sen  ) 2 + (cos  ) 2 = 1 2 sen 2  + cos 2  = 1 Que se representa de la forma Esta fórmula se conoce como la fórmula fundamental de la Trigonometría Trigonometría Fórmula fundamental

10. Trigonometría A partir de la fórmula fundamental vamos a obtener dos fórmulas derivadas de ella. Dividimos la fórmula fundamental por cos 2  . Dividimos la fórmula fundamental por sen 2  . Otras fórmulas que relacionan las razones trigonométricas. Fórmulas derivadas

11. Trigonometría Podemos definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. De esta forma, las razones trigonométricas del ángulo B quedarán de la siguiente forma: El triángulo es el mismo que el de la circunferencia anterior, donde el radio es la hipotenusa, la ordenada es el cateto opuesto y la abscisa es el cateto contiguo. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

12. La hipotenusa vale l , un cateto l/2 y el otro cateto es h . Trazamos la altura h de forma que tenemos dos triángulos rectángulos. Tenemos un triángulo equilátero como el de la figura. Razones trigonométricas de un ángulo de 60º l l l/2 Hallamos el valor de h en función de l , mediante el Teorema de Pitágoras: Vamos a calcular el seno el coseno y la tangente de 60º en uno de los triángulos rectángulos.

13. Razones trigonométricas de un ángulo de 30º Trazamos la altura h de forma que tenemos dos triángulos rectángulos. Tenemos un triángulo equilátero como el de la figura. Hallamos el valor de h en función de l , mediante el Teorema de Pitágoras: La hipotenusa vale l , un cateto l/2 y el otro cateto es h . l/2 l l h

14. Razones trigonométricas de un ángulo de 45º Por ser isósceles sus dos catetos son iguales. Tenemos un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. Una vez hallado el valor de los catetos, calculamos las razones trigonométricas de 45º. Calculamos el valor del cateto x en función de la hipotenusa a , mediante el teorema de Pitágoras. De igual forma: x x a

15. Resolución de triángulos rectángulos B + C = 90º Hasta ahora para resolver un triángulo rectángulo disponíamos de: a 2 = b 2 + c 2 A = 90º Necesitábamos saber un ángulo y dos lados, si queríamos saber el resto de ángulos y lados, o sea, lo que llamamos resolver el triángulo.  Relación entre ángulos:  Relación entre lados (Teorema de Pitágoras): Al disponer de estas fórmulas junto con las de las razones trigonométrica de un ángulo, sólo necesitaremos saber un ángulo y un lado o dos lados para resolver el triángulo.

16. Resolución de triángulos rectángulos conocidos un ángulo y la hipotenusa 30º + C = 90º Vamos a resolver un triángulo rectángulo del que conocemos: a 2 = b 2 + c 2 B= 30º En la fórmula del seno hallamos b : a= 10 cm Ponemos todas las relaciones: Hallamos el ángulo C: C = 60º b = 5 cm En la fórmula del coseno hallamos c : B + C = 90º B=30º a= 10 cm C b c

17. Resolución de triángulos rectángulos conocidos un ángulo y un cateto 45º + C = 90º Vamos a resolver un triángulo rectángulo del que conocemos: a 2 = b 2 + c 2 B= 45º En la fórmula del seno hallamos b : b= 4 cm Ponemos todas las relaciones: Hallamos el ángulo C: C = 45º En la fórmula de la tangente hallamos c : Este resultado era de esperar ya que el triángulo, en este caso, es isósceles B + C = 90º b= 4 cm C B=45º a c

18. Resolución de triángulos rectángulos conocidos un cateto y la hipotenusa Vamos a resolver un triángulo rectángulo del que conocemos: a 2 = b 2 + c 2 b = 6 cm En la fórmula del seno hallamos B : a= 10 cm Ponemos todas las relaciones: Hallamos el cateto c : c = 8 cm B = 36º 52´ 12´´ Solo nos queda hallar el ángulo C : B + C = 90º 10 2 = 6 2 + c 2 36º 52´ 12´´ + C = 90º C = 53º 7´ 48´´ B a= 10 cm C b= 6 cm c

19. Resolución de triángulos rectángulos conocidos dos catetos Vamos a resolver un triángulo rectángulo del que conocemos: a 2 = b 2 + c 2 b = 3 m En la fórmula de la tangente hallamos B : c= 5 m Ponemos todas las relaciones: Hallamos la hipotenusa a : B = 30º 57´ 50´´ Solo nos queda hallar el ángulo C : B + C = 90º a 2 = 3 2 + 5 2 30º 57´ 50´´ + C = 90º C = 59º 2´ 10´´ a ≈ 5,83 m B c= 5 m C b= 3 m a

20. Trigonometría Tenemos una circunferencia trigonométrica (radio=1) Dibujamos un ángulo  en el primer cuadrante Dibujamos el ángulo suplementario de  , o sea 180º –  Observemos el triángulo OAB Observemos el triángulo OA’B’ = = – sen ( 180º –  ) cos ( 180º –  ) tan ( 180º –  ) = = sen  – cos  = – tan  Reducir al primer cuadrante. Ángulos suplementarios sen ( 180º –  ) cos ( 180º –  ) cos  sen  sen ( 180º –  ) cos ( 180º –  ) sen  cos  positivo positivo positivo negativo O A A’  180º –  r =1 sen  cos  sen ( 180º –  ) cos ( 180º –  ) O A B A’ B’ B B’

21. Trigonometría Tenemos una circunferencia trigonométrica (radio=1) Dibujamos un ángulo  en el primer cuadrante Dibujamos el ángulo que difiere en 180º con  , o sea 180º+  Observemos el triángulo OAB Observemos el triángulo OA’B’ cos ( 180º +  ) = – = – sen ( 180+  ) cos ( 180+  ) tan ( 180 +  ) = = – sen  – cos  = tan  Reducir al primer cuadrante. Ángulos que difieren en 180º sen ( 180 +  ) sen  cos  sen ( 180 +  ) sen  cos  negativo positivo positivo cos ( 180º +  ) negativo O A B A’ B’  180º +  r =1 sen  cos  sen ( 180 +  ) cos ( 180º +  ) O A B A’ B’

22. Trigonometría Tenemos una circunferencia trigonométrica (radio=1) Dibujamos un ángulo  en el primer cuadrante Dibujamos el ángulo que sume 360º con  , o sea 360º –  Observemos el triángulo OAB Observemos el triángulo OA’B’ = – = sen ( 360 –  ) cos ( 360 –  ) tan ( 360 –  ) = = – sen  cos  = – tan  Reducir al primer cuadrante. Ángulos que suman 360º sen ( 360 –  ) cos ( 360º –  ) sen  cos  sen ( 360 –  ) cos ( 360º –  ) sen  cos  negativo positivo positivo positivo B A´ B´ O A  360º –  r =1 sen  cos  sen ( 360º –  ) cos ( 360º –  ) O A B A’ B’

23. Trigonometría Reducir al primer cuadrante. Ángulos complementarios sen  Tenemos una circunferencia trigonométrica (radio=1) Dibujamos un ángulo  en el primer cuadrante Dibujamos el ángulo complementario de  , o sea 90º –  Observemos el triángulo OAB Observemos el triángulo OA’B’ sen ( 90º –  ) cos  = = cos ( 90º –  ) sen  tan ( 90º –  ) = sen ( 90º –  ) cos ( 90º –  ) = sen  cos  Los dos triángulos son iguales = cotan  sen (90º –  ) = cos  cos (90º –  ) = sen  tan (90º –  ) = cotan   90º –  r =1 cos  cos ( 90º –  ) sen ( 90º –  ) O A B A’ B’ cos ( 90º –  ) cos  sen  sen ( 90º –  ) O A B A´ B´ sen   90º –  r =1 cos  cos ( 90º –  ) sen ( 90º –  ) O A B A’ B’

24. Trigonometría Reducir al primer cuadrante. Ángulos que difieren en 270º Tenemos una circunferencia trigonométrica (radio=1) Dibujamos un ángulo  en el primer cuadrante Dibujamos el ángulo que difiere 270º con  , o sea 270º +  Observemos el triángulo OAB Observemos el triángulo OA’B’ sen ( 270º +  ) – cos  = = cos ( 270º +  ) sen  tan ( 270º +  ) = sen ( 270º+  ) cos ( 270+  ) = sen  – cos  Los dos triángulos son iguales = – cotan  sen (270º +  ) = – cos  cos (270º +  ) = sen  tan (270º +  ) = – cotan  positivo cos ( 270 +  ) cos  sen  sen ( 270º+  ) positivo positivo negativo O A B A´ B´  270º +  r =1 sen  cos  cos ( 270 +  ) sen ( 270º+  ) O A B A’ B’

25. Trigonometría Reducir al primer cuadrante. Ángulos que suman 270º Tenemos una circunferencia trigonométrica (radio=1) Dibujamos un ángulo  en el primer cuadrante Dibujamos el ángulo que suma 270º con  , o sea 270º –  Observemos el triángulo OAB Observemos el triángulo OA’B’ sen ( 270º –  ) – cos  = = cos ( 270º –  ) – sen  tan ( 270º –  ) = sen ( 270º–  ) cos ( 270–  ) = – sen  – cos  Los dos triángulos son iguales = cotan  sen (270º –  ) = – cos  cos (270º –  ) = – sen  tan (270º –  ) = cotan  cos ( 270 –  ) cos  sen  sen ( 270º–  ) negativo positivo positivo negativo O A B A´ B´  270º –  r =1 sen  cos  cos ( 270 –  ) sen ( 270º–  ) O A B A’ B’