Ciencia de Materiales. Capitulo 3. Parte 1

Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Ín

Ciencia de Materiales:

Estructuras cristalinas y amorfas en los
materiales
.

Juan José Reyes Salgado


Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.


Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en el
espacio.




espacio.
Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:




espacio.
Aleaciones.




espacio.
Aleaciones.
Algunos cerámicos.




espacio.
Aleaciones.
Algunos cerámicos.

Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:




espacio.
Aleaciones.
Algunos cerámicos.

Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.




espacio.
Aleaciones.
Algunos cerámicos.


Esto signica que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.




espacio.
Aleaciones.
Algunos cerámicos.


Esto signica que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.
Agua líquida (enlace secundario).




El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describir
representando a los átomos en los puntos de intersección de
una red cristalina.




una red cristalina.
Esta red se llama red espacial.




una red cristalina.
Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.




una red cristalina.
En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de
uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.




una red cristalina.
Cada red espacial puede describirse especicando la posición
de los átomos en una celda unitaria.




una red cristalina.
El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres
vectores de la red.




una red cristalina.
El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres
vectores de la red.
Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γ
son las constantes de la red de la celda unitaria.



Los cristalógrafos han demostrado que tan sólo se necesitan 7
tipos diferentes de celdas unitarias para crear todas las redes.




Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de la
celda unitaria básica.




A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar se
pueden describir todas las redes posibles.




Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:




Sencilla.




Sencilla.
Centrada en el cuerpo.




Sencilla.
Centrada en las caras.




Sencilla.
Centrada en las caras.
Centrada en las bases.




La mayoría de los metales puros cristalizan al solidicarse en
tres estructuras cristalinas compactas:





a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).





b) Cúbica centrada en las caras (FCC).





b) Cúbica centrada en las caras (FCC).
c) Hexagonal compacta (HCP)




La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cúbico
centrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente es
igual a 0.287 × 10−9 m ó 0.287nm. Por tanto, si se alinean
celdas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mm
habría:




La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cúbico
centrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente es
igual a 0.287 × 10−9 m ó 0.287nm. Por tanto, si se alinean
celdas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mm
habría:
1mm ×


1 celda unitaria
= 3.48 × 106
0.287 × 10−6 mm/nm


celdas unitarias

Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)




1 átomo (en el centro) + 8 ×



1
8

(en los vértices) = 2 átomos


Factor de empacamiento (APF):




APF


=

volumen de los atomos en la celda unitaria
volumen de una celda unitaria



APF

=

Vatomos



4
3

= (2)( π R 3 ) = 8.373R 3


APF

=

Vatomos

4
3

= (2)( π R 3 ) = 8.373R 3
Vcelda



= a3


APF

=

Vatomos

4
3

= (2)( π R 3 ) = 8.373R 3
Vcelda
a



= a3

4R
3

=√


APF

=

Vatomos

4
3

= (2)( π R 3 ) = 8.373R 3
Vcelda

4R
3
= 12.32R 3
a

Vcelda



= a3

= a3

=√


APF

=

Vatomos

4
3

= (2)( π R 3 ) = 8.373R 3
Vcelda

= a3

4R
3
3
3
Vcelda = a = 12.32R
APF = 0.68
a



=√

Estructura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC)




8×

1
8

1
(en los vértices) + 6 × 2 (medios átomos sobre las caras) =
4 átomos




APF=0.74


Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)



Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)

1 átomo (en el centro) + 4 × 1 + 4 ×
6
átomos



1
12

= 1 (en los vértices) = 2

Problema

Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina de
zinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.



Problema

SOLUCIÓN:



Problema

SOLUCIÓN:

AreaABC


1
2

= (base )(altura)


Problema

SOLUCIÓN:

AreaABC

AreaT


1
2

= (base )(altura)


= (6)(AreaABC )

Problema

SOLUCIÓN:

AreaABC

1
2

= (base )(altura)

= (6)(AreaABC )
2
o
AreaT = 3a sin (60 )

AreaT



Problema

SOLUCIÓN:

AreaABC

1
2

= (base )(altura)

= (6)(AreaABC )
2
o
Volumen = (AreaT )(c )
AreaT



Problema

SOLUCIÓN:

AreaABC

1
2

= (base )(altura)

= (6)(AreaABC )
2
o
Volumen = (AreaT )(c )
AreaT

Volumen



= 0.0913nm3


(0,0,0)
(1,1,1)

(1,0,0)
(1,1,0)


(0,1,0)
(1,0,1)

(0,0,1)
(0,1,1)


Para los cristales cúbicos los índices de las direcciones
cristalográcos son los componentes del vector de dirección
descompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos a
mínimos enteros.




mínimos enteros.
[100], [010], [001], [0¯ ], [00¯], [¯ ] = 100
10
1 100




mínimos enteros.
[100], [010], [001], [0¯ ], [00¯], [¯ ] = 100
10
1 100
Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familia



mínimos enteros.
[100], [010], [001], [0¯ ], [00¯], [¯ ] = 100
10
1 100
Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familia
Otras familias: Diagonal del cubo 111 y diagonales de las
caras 110


Índices de Miller

Los índices de Miller de un plano cristalino se denen
como el recíproco de las fracciones de intersección que el plano
presenta en sus ejes cristalográcos x , y y z de las tres aristas
no paralelas de la celda unitaria cúbica.



Índices de Miller

Orientación cristalográca.



Índices de Miller

Determinación de los índices de Miller.



Índices de Miller

1

Se elige un plano que no pase por (0,0,0).



Índices de Miller

1
2

Se determinan las intersecciones del plano en la función de los
ejes cristalográcos para un cubo unidad. (Pueden ser
fraccionarios).



Índices de Miller

1
2

3

fraccionarios).
Se obtiene el recíproco de las intersecciones.



Índices de Miller

1
2

3
4

fraccionarios).
Se obtiene el recíproco de las intersecciones.
Se simplican las fracciones y se determina el conjunto más
pequeño de números enteros.



Índices de Miller

Notación: (hkl)



Índices de Miller

Notación: (hkl)
Si varios planos reticulares equivalentes están relacionados por la
simetría del sistema cristalino, se llaman planos de una familia.
{hkl }



Índices de Miller



Índices de Miller

Intersecciones: 1 , 2 , 1
3 3


Índices de Miller

Intersecciones: 1 , 2 , 1
3 3
Recíprocos: 3, 3 , 1
2


Índices de Miller

dhkl


=√


a
h2

+ k2 + l2

Índices para los planos cristalinos en celdas HCP

Los índices de los planos cristalinos HCP son llamados
de Miller-Bravais (jkil ).



índices


Los índices de los planos cristalinos HCP son llamados
de Miller-Bravais (jkil ).
3 ejes basales a0 , a1 y a2 y uno vertical c .



índices


Planos basales



Planos del prisma

Índices de dirección en las celdas unitarias HCP



Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC

FCC



HCP


BCC



Densidad volumétrica

ρv =


masa/celda unitaria
volumen /celda unitaria


Problema

El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atónico de
0.1278nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que se
tocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCC
como se muestra, calcule el valor teórico de la densidad de cobre en
megagramos por metro cúbico. La masa atómica del cobre es de
63.54g/mol.



Problema

a


4R
2

= √ = 0.361nm


Problema

a

ρv =


4R
2

= √ = 0.361nm

masa/celda unitaria


Problema

a

ρv =
m

=

(4 atomos )(63.54g /mol )
6.02 × 1023 atomos /mol



masa/celda unitaria

10−6 Mg
g

4R
2

= √ = 0.361nm

= 4.22 × 10−28 Mg

Problema

a

ρv =
m

=

6.02 × 1023 atomos /mol

V



masa/celda unitaria

10−6 Mg
g

4R
2

= √ = 0.361nm

= 4.22 × 10−28 Mg

= a3 = 4.70 × 10−29 m3

Problema

a

ρv =
m

=

6.02 × 1023 atomos /mol
ρv =



masa/celda unitaria

10−6 Mg
g
m
V

V

4R
2

= √ = 0.361nm

= 4.22 × 10−28 Mg

= a3 = 4.70 × 10−29 m3

= 8.98Mg /m3 (8.98g /cm3 )

Densidad atómica planar

ρp =


atomos cortados por el area
area seleccionada


Problema

Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red de
BCC del hierro α en átomos por mm2 . La constante de red del
hierro α es 0.287 nm.



Problema

1 atomo

en el centro


+ 4×


1
4

de atomo en los v rtices

= 2 atomos

Problema

1 atomo

en el centro


+ 4×


1
4

= 2 atomos
√
√
( 2a)(a) = 2a2


Problema

1 atomo

en el centro

+ 4×

1
4

ρp = √



= 2 atomos
√
√
( 2a)(a) = 2a2


2 atomos
= 17.2atomos /nm2
2
2(0.287nm)

Problema

1 atomo

en el centro

+ 4×

1
4

= 2 atomos
√
√
( 2a)(a) = 2a2


ρp = √

2 atomos
= 17.2atomos /nm2
2(0.287nm)2
atomos
1012 nm2
17.2
×
2
2
nm



mm

Problema

1 atomo

en el centro

+ 4×

1
4

= 2 atomos
√
√
( 2a)(a) = 2a2


ρp = √

2 atomos
= 17.2atomos /nm2
2
2(0.287nm)
1012 nm2
atomos
×
17.2
2
2
nm

ρp = 1.72 × 10



13

mm

atomos /mm

2

Densidad atómica lineal

ρl =

diametros atomicos cortados en una direccion de interes


longitud seleccionada de la linea


Problema

Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la red
cristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene una
constante de red de 0.361 nm.



Problema

ρl =





Problema

ρl =


ρl =


2 atomos
2 atomos
3.92 atomos
√
=√
=
nm
2a
2(0.361nm)


Problema

ρl =


ρl =

2 atomos
2 atomos
3.92 atomos
√
=√
=
nm
2a
2(0.361nm)
atomos
106 nm
3.92
×
nm



mm

Problema

ρl =


ρl =

2 atomos
2 atomos
3.92 atomos
√
=√
=
nm
2a
2(0.361nm)
atomos
106 nm
3.92
×
nm

ρp = 3.92 × 10



6

mm

atomos /mm

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