1. BINOMIO DE NEWTON
Aplicar las combinaciones de factorial y combinatorio.
Expandir o desarrollar polinomicamente
Calcular cualquier término de la expansión de
INTRODUCCIÓN
El teorema del binomio fue descubierto por Abu BakribnMuhanMadibn al-Husayn
al-Karaji alrededor del año 1000. Newton utilizó los conceptos de exponentes
generalizados mediante los cuales una expresión polinomica se transformaba en
una serie infinita aplicando los métodos de interpolación y extrapolación de
Wallis. Debido a esto pudo demostrar que un gran número de series existentes
eran casos particulares, fuera por diferenciación o por integración. A partir de
este descubrimiento, newton intuyó que se podía operar con series infinitas de la
misma manera que con expresiones polinomicas finitas.
El desarrollo del binomio de Newton que abordamos desempeña un papel
importante en los capítulos siguientes de algebra y en especial en el análisis
matemático que se estudia en los primeros ciclos en todas las carreras de
ingeniería y ciencias. Por ello, mostraremos algunas de sus aplicaciones, por
ejemplo, en la desigualdad de Bernoulli.
Asimismo para demostrar
También se observa la gran aplicación en la teoría de ecuaciones,
desigualdades, funciones y fundamentalmente en la teoría de sucesiones y
series, que son temas centrales en el análisis matemático real y complejo; por
ello, citamos un ejemplo de una serie:
2. , el cual se comprueba así
s=1+x(1+x+x2
+x3
+..)
s=1+x.s s-x.s=1
(1-x) s=1,
Luego: 1
DEFINICIONES PREVIAS
FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL
Sea
Ejemplos:
1. 5! =1x2x3x4x5=120
2. 4!-3!=1.2.3.4-1.2.3=24-6=18
3. Resuelva la siguiente ecuación:
Resolución
De la definición
Si (2x -7)! = 1 2x – 7 = 0 v 2x – 7 = 1;
3. De donde
Por lo tanto, existen dos soluciones
Propiedades del factorial
1.
2.
3. (n + 1)! – n.n!=n!
4. n!-(n-1)! = (n-1).(n-1)!
Ejemplos
1. Simplificamos S
Resolución:
2. ¿Cuál es el valor de x que verifica la ecuación?
4. Resolución
Recordando que x!=x(x-1)!
3. Resuelva la siguiente ecuación
x!+x.x!+(x+1).(x+1)!=720
Resolución
Comox!+x.x!=x!(1+x)=(x+1)!
En la ecuación
Pero 720 = 6!
NUMERO COMBINATORIO
El numero combinatorio denotado por representa el número total de combinaciones
que se pueden realizar con n elementos tomados de K en K.
5. En una combinación un grupo se diferencia de otro cuando por lo menos difieren en un
elemento.
Se calcular del modo siguiente:
Ejemplos.
1.
2. Simplifique M
Resolución
Aplicando la definición de número combinatorio
3. Determine el valor de n que verifica la ecuación
Resolución
Aplicamos la definición del número combinatorio
6. Propiedades del número combinatorio
Ejemplos:
1.
2.
3.
Combinatorio
Ejemplos
1.
2. Resuelve la ecuación
Resolución
De acuerdo a la propiedad
I. x2
= 2x x=0 v x=2
Ambas resoluciones, ya que se tiene
II. x2
+2x=8 x2
+2x-8=0
7. (x+4)(x-2) = 0 x=-4 v x=2
Aquí la solución es solamente 2, puesto que no está definida
Por lo tanto, existen dos soluciones: 0; 2.
3. Halla la suma de los mayores valores de m y n si se verifica la igualdad.
Resolución
Se presentan diversos casos:
a. m-9=0 ^n=0 m=9 ^n=0
b.
Luego los mayores valores son m=28, n=19
Suma de números combinatorios
Ejemplos
1.
2. Reduzca lo siguiente:
8. Resolución
Por combinatorios complementarios
En lo pedido
DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CUANDO n ES UN NUMERO
NATURAL
Analizamos el desarrollo del binomio (x+a)n
para n N, mediante los siguientes
ejemplos:
La idea es averiguar como es el desarrollo de (x+a)2
; n N
MÉTODO DEDUCTIVO
Partiremos de los productos notables
Donde
