Como resolver ejercicios de Binomio de Newton

1. TEOREMA DEL BINOMIO

2. Teorema del Binomio
Conducta de entrada
YO SÉ
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Bien Poco Nada
Lógica y teoría de conjuntos
Propiedades en el Sistema de los
números reales
Método de inducción
Análisis combinatorio

3. Teorema del Binomio
• El teorema del binomio, (o, binomio de Newton), expresa
la 𝒏-ésima potencia de un binomio como un polinomio. El
desarrollo de 𝒙 + 𝒚 𝒏
es de singular importancia, pues,
aparece con mucha frecuencia en la matemática y posee
diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
• Newton en 1685 y Abu Bekribn Muhammad ibn al-Husayn al-
Karaji alrededor del año 1000.
• El teorema del binomio para 𝒏 = 𝟐 se encuentra en los
Elementos de Euclides (300 a. C.).
INTRODUCCIÓN

4. Teorema del Binomio
OBJETIVOS
GENERAL
Utilizar el análisis combinatorio para
la determinación de la expansión del
binomio de Newton y aplicar éste a
situaciones prácticas.
ESPECÍFICOS
Identificar la posición de un determi-
nado término que cumpla ciertas
condiciones
Obtener el desarrollo de un binomio
dado
Determinar un término en particular
conociendo su posición sin desarrollar
todos los términos del binomio

5. Teorema del Binomio
Sean 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ. Consideremos el binomio 𝒙 + 𝒚
Al multiplicar por sí mismo a este binomio, se obtienen las
siguientes potencias:
𝒙 + 𝒚 𝟏 = 𝒙 + 𝒚
𝒙 + 𝒚 𝟐
= 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
𝒙 + 𝒚 𝟑 = 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚
= 𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙𝒚 𝟐 + 𝒚 𝟑
𝒙 + 𝒚 𝟒
= 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚
= 𝒙 𝟒 + 𝟒𝒙 𝟑 𝒚 + 𝟔𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 𝟑 + 𝒚 𝟒
𝒙 + 𝒚 𝟓 = 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚
= 𝒙 𝟓
+ 𝟓𝒙 𝟒
𝒚 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑
𝒚 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟐
𝒚 𝟑
+ 𝟓𝒙𝒚 𝟒
+ 𝒚 𝟓
1. Binomio a la potencia 𝒏–ésima

6. Teorema del Binomio
De lo anterior, podemos inferir que, para 𝑛 ∈ ℕ0, se tiene:
a) El desarrollo 𝒙 + 𝒚 𝒏
tiene la forma:
𝒙 + 𝒚 𝒏 = 𝒄 𝟎 𝒙 𝒏 + 𝒄 𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 𝒚 𝟏 + ⋯ + 𝒄 𝒌 𝒙 𝒏−𝒌 𝒚 𝒌 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒚 𝒏
e incluye 𝒏 + 𝟏 términos.
b) Las potencias de 𝒙entre el 1er y último términos del desarrollo son:
𝒙 𝒏,𝒙 𝒏−𝟏,𝒙 𝒏−𝟐, …, 𝒙 𝟐,𝒙 𝟏,𝒙 𝟎
c) Las potencias de 𝒚 entre el 1er y último términos del desarrollo son:
𝒚 𝟎
, 𝒚 𝟏
, 𝒚 𝟐
, …, 𝒚 𝒏−𝟐
,𝒚 𝒏−𝟏
,𝒚 𝒏
d) Para cada término, la suma de los exponentes de 𝒙e 𝒚 es 𝒏.
1. Binomio a la potencia 𝒏–ésima

7. Teorema del Binomio
e) 𝒄 𝟎 = 𝟏y 𝒄 𝟏 = 𝒏.
f) Si 𝒄 𝒌 𝒙 𝒏−𝒌 𝒚 𝒌 es el 𝒌–ésimo término, el coeficiente 𝒄 𝒌 es igual
a:
𝒄 𝒌 =
𝒄 𝒌−𝟏 𝒏 − 𝒌 + 𝟏
𝒌 − 𝟏
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes
iguales.
Observación: Se observan algunas regularidades en el desarrollo
de los binomios que pueden ser estudiadas utilizando la teoría del
análisis combinatorio, como se muestra a continuación
1. Binomio a la potencia 𝒏–ésima

8. Teorema del BinomioLos términos del desarrollo 𝑥 + 𝑦 𝑛 para 𝑛 = 1, 2, 3, 4,
pueden obtenerse a través del siguiente diagrama de árbol:
𝒙
𝒚
𝒙𝒙
𝒙𝒚
𝒚𝒙
𝒚𝒚
𝒙𝒙𝒙𝒙
𝒙𝒙𝒙𝒚
𝒙𝒙𝒚𝒙
𝒙𝒙𝒚𝒚
𝒙𝒚𝒙𝒙
𝒙𝒚𝒙𝒚
𝒙𝒚𝒚𝒙
𝒙𝒚𝒚𝒚
𝒚𝒙𝒙𝒙
𝒚𝒙𝒙𝒚
𝒚𝒙𝒚𝒙
𝒚𝒙𝒚𝒚
𝒚𝒚𝒙𝒙
𝒚𝒚𝒙𝒚
𝒚𝒚𝒚𝒙
𝒚𝒚𝒚𝒚
𝒙𝒙𝒙
𝒙𝒙𝒚
𝒙𝒚𝒙
𝒙𝒚𝒚
𝒚𝒙𝒚
𝒚𝒚𝒙
𝒚𝒚𝒚
𝒚𝒙𝒙
𝒙 + 𝒚 𝟏 𝒙 + 𝒚 𝟐
𝒙 + 𝒚 𝟑
𝒙 + 𝒚 𝟒
= 𝒙 𝟒
= 𝒙 𝟑 𝒚
= 𝒙 𝟑 𝒚
= 𝒙 𝟑 𝒚
= 𝒙 𝟑 𝒚
= 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐
= 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
= 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐
= 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐
= 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
= 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐
= 𝒙𝒚 𝟑
= 𝒙𝒚 𝟑
= 𝒙𝒚 𝟑
= 𝒙𝒚 𝟑
= 𝒚 𝟒

9. Teorema del Binomio
Por ejemplo si: 𝒙 + 𝒚 𝟒
= 𝒄 𝟎 𝒙 𝟒
+ 𝒄 𝟏 𝒙 𝟑
𝒚 + 𝒄 𝟐 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝒄 𝟑 𝒙𝒚 𝟑
+ 𝒄 𝟒 𝒚 𝟒
𝒙 + 𝒚 𝟒
= 𝟏𝒙 𝟒
+ 𝟒𝒙 𝟑
𝒚 + 𝟔𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝟒𝒙𝒚 𝟑
+ 𝟏𝒚 𝟒
1. Binomio a la potencia 𝒏–ésima
𝒄 𝟏 =
𝟒 𝟏
𝟏
𝒄 𝟐 =
𝟒 𝟑
𝟐
𝒄 𝟒 =
𝟔 𝟐
𝟑
4 3 2 1
2 1 2 1
𝒄 𝟓 =
𝟒 𝟏
𝟒
4!
2! 4 − 2 !
4
2
4 3 2 1
3 2 1 1
4!
3! 4 − 3 !
4
3
4
1
4
4
𝒄 𝟎 = 𝟏
4
0
4!
1! 4 − 1 !
4!
4! 4 − 4 !
4!
0! 4 − 0 !

10. Teorema del Binomio
Si utilizamos los resultados obtenidos para el ejemplo anterior,
podemos escribir el desarrollo de 𝒙 + 𝒚 𝟒 como:
𝒙 + 𝒚 𝟒 =
𝟒
𝟎
𝒙 𝟒 +
𝟒
𝟏
𝒙 𝟑 𝒚 +
𝟒
𝟐
𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 +
𝟒
𝟑
𝒙𝒚 𝟑 +
𝟒
𝟒
𝒚 𝟒
Y al generalizar para 𝑛 ∈ ℕ0, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 2.1 (Teorema del Binomio) Dados 𝑛 ∈ ℕ0, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, el
desarrollo del binomio 𝒙 + 𝒚 𝒏, está dado por,
𝑥 + 𝑦 𝑛 =
𝑛
0
𝑥 𝑛 +
𝑛
1
𝑥 𝑛−1 𝑦 + ⋯ +
𝑛
𝑘
𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘 + ⋯ +
𝑛
𝑛 − 1
𝑥𝑦 𝑛−1 +
𝑛
𝑛
𝑦 𝑛
𝑥 + 𝑦 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝑛
𝑘
𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘
2. Formulación del Teorema del Binomio

11. Teorema del Binomio
Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes
binomiales de 𝒙 + 𝒚 𝒏.
3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal
Cada número en el triángulo es la suma de los dos
que están situados por encima de el.

12. Teorema del Binomio
3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal

13. Teorema del Binomio
Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes
binomiales de 𝒙 + 𝒚 𝒏.
3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal
𝒙 + 𝒚 𝟎 = 𝟏
𝒙 + 𝒚 𝟏
= 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚
𝒙 + 𝒚 𝟐 = 𝟏𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝟏𝒚 𝟐
𝒙 + 𝒚 𝟑 = 𝟏𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙𝒚 𝟐 + 𝟏𝒚 𝟑
𝒙 + 𝒚 𝟒
= 𝟏𝒙 𝟒
+ 𝟒𝒙 𝟑
𝒚 + 𝟔𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝟒𝒙𝒚 𝟑
+ 𝟏𝒚 𝟑
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
𝒙 + 𝒚 𝟓
𝒙 + 𝒚 𝟔

14. Teorema del Binomio
Esquema triangular en el que se encuentran los coeficientes
binomiales de 𝒙 + 𝒚 𝒏.
3. Teorema del Binomio – Triángulo de Pascal
= 𝟏
= 𝟐
= 𝟒
= 𝟖
= 𝟏𝟔
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
= 𝟑𝟐
= 𝟔𝟒

15. Teorema del Binomio
4. Problemas de aplicación
1. Desarrolle: (2𝑎 + 𝑏)4
2. En 1 −
𝑥2
2
14
determine: a) el quinto término; b) el(los) término(s)
central(es)
3. Determine el coeficiente de 𝑥18
(si existe), en el desarrollo de
𝑥2 +
3
𝑥
15