1. Capítulo 3
Espacios vectoriales
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 1

2. 3.1 Espacios vectoriales
El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos
llamados vectores en los que se definen dos
operaciones, la adición y la multiplicación por un
escalar. También tiene otras propiedades alge-
braicas, la conmutatividad y la asociatividad
u+v =v+u
u + (v + w) = (u + v) + w
Se analizan éstas y otras propiedades para formular
un conjunto de axiomas que definen un espacio
vectorial.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 2

3. Definición: Espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto de elementos
llamados vectores en los que se definen dos
operaciones, la adición y la multiplicación por un
escalar y satisfacen las siguientes condiciones:
Sean u, v y w ∈ V y α y β escalares.
Axiomas de cerradura
u+v∈ V
αu∈ V
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 3

4. Axiomas de multiplicación
por un escalar
Axiomas de adición
u+v= v+u α (u + v) = α u + α v
u + (v + w) = (u + v) + w (α + β )u = α u + β u
u+0= u (α β )u = α (β u)
u + (-u) = 0 1u = u
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 4

5. Espacio vectorial de matrices
Considérese el conjunto de matrices de 2×2.
Denotado por M22. Usando notación vectorial, sean
a b  e f
u= ; v =  
c d  g h
Si se satisfacen todos los axiomas, se tiene un
espacio vectorial.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 5

6. 3.2 Subespacios de Rn
Un subconjunto H no vacío de Rn se llama
subespacio vectorial de Rn si se satisfacen las
siguientes propiedades.
1. Si u y v están en H, u + v está en H.
2. Si α es cualquier escalar y u está en H,
entonces α u está en H
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 6

7. Ejemplos
1. {0} y Rn son subespacios de Rn.
También se les llama subespacios triviales de
R n.
2. H = {(x, y, 0), x, y ∈ R} es un subespacio de R3.
3. H = {(x, y, x + y), x, y ∈ R} es un subespacio de
R3.
4. El conjunto H = {(x, x + 1), x ∈ R} no es
subespacio de R2.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 7

8. 3.3 Combinación lineal de vectores
Definición:
Sean v1, v2, ...,vn vectores-n de un espacio vectorial
V. Se dice que v, un vector en V, es una
combinación lineal de los vectores v1, v2, ...,vn si
existen escalares α1, α2, …, αn, tales que
α1 v1+ α2 v2+…+ αn vn= v
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 8

9. Ejemplo
El vector (5, 4, 2) es una combinación lineal de los
vectores (1, 2, 0), (3, 1, 4) y (1, 0, 3) puesto que
(5, 4, 2) = (1, 2, 0) + 2(3, 1, 4) - 2(1, 0, 3)
El problema de determinar si un vector es
combinación lineal de otros vectores se convierte
en resolver sistemas lineales.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 9

10. Ejemplos
1. Determinar si el vector (-1, 1, 5) es una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (0, 1, 4) y
(2, 3, 6)
2. Expresar el vector (4, 5, 5) como una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, 1, 4)
y (3, 3, 2)
3. Demostrar que el vector (3, -4, -6) no es una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (1, 4, 5) y
(-1, -1, -2)
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 10

11. Dependencia e independencia lineal
Definición:
a) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} en un
espacio vectorial V se dice que es linealmente
dependiente si existen escalares α1, α2, …, αn,
no todos cero, tales que
α1v1 + α2v2+ …+ αnvn = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 11

12. Definición
b) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es
linealmente independiente si
α1v1 + α2v2+ …+ αnvn = 0
solo si α1, α2, …, αn = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 12

13. Ejemplo:
Vectores linealmente dependientes
El conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 1, 1), (8, 6, 10)}, es
linealmente dependientes en R3.
α1(1, 2, 3) + α2(-2, 1, 1) + α3(8, 6, 10) = 0
 1 10 
1 0
 1 −2 8  α1   0   1 −2 8 0   3 3 1 0 4 0
          
 2 1 6  α2  =  0   2 1 6 0 ∼ 0 1 −2 0  ∼  0 1 −2 0 
 3 1 10   α   0   3 1 10 0   0 0 0 0 0 0 0 0
  3         
 
−4r (1, 2, 3) + 2r (-2, 1, 1) + r (8, 6, 10) = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 13

14. Ejemplo:
Vectores linealmente independientes
El conjunto de vectores {(3, -2, 2), (3, -1, 4), (1, 0, 5)}, es
linealmente independiente en R3.
α1(3, -2, 2) + α2(3, -1, 4) + α3(1, 0, 5) = 0
 1 
 1 1 0
 3 3 1  α1   0   3 3 1 0  3
 1 0 0 0
        
−2 −1 0 0  ∼  0 1 0 ∼ 0 1 0 0
−2 −1 0  α 2  =  0  13
   
 2 4 5  α   0   2 4 5 0  6
 0 0 1 0
  3       
0 0 1 0
 
 
α1 = α2 = α3 = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 14

15. Ejemplo:
Considerar las funciones f (x) = x2 + 1; g(x) = 3x - 1,
h(x) = -4x + 1, del espacio vectorial P2 de polinomios de
grado ≤ 2. Demostrar que el conjunto de funciones
{f, g, h} es linealmente independiente.
α1 f + α2g + α3h = 0
α1 (x2 + 1) + α2 (3x – 1) + α3(-4x + 1) = 0
1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0   1 0 0 0
    4  
0 3 −4 0   0 3 −4 0  ∼  0 1 − 0 ∼ 0 1 0 0

 1 −1 1 0   1 −1 1 0   3   
    0 0 1 0 0 0 1 0
 
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 15

16. 3.4 Espacio generado por un
conjunto de vectores
Definición:
Se dice que los vectores-n v1, v2, …, vn generan un
espacio vectorial si todo vector en el espacio se
puede expresar como una combinación lineal de
estos vectores. Se denota por Gen {v1, v2, …, vn}.
Un conjunto generador de vectores define, de
alguna forma, el espacio vectorial puesto que cada
vector del espacio se obtiene de este conjunto.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 16

17. Ejemplo:
Los vectores (1, 2, 0), (0, 1, -1) y (1, 1, 2) generan R3.
Solución: Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.
α1(1, 2, 0) + α2(0, 1, -1) + α3(1, 1, 2) = v
 1 0 1  α1   x 
    
 2 1 1  α 2  =  y 
 0 −1 2  α   z 
  3   
 1 1 y 
1
1 0 1 x  2 2 2  1 0 0 3x − y − z 
     
 2 1 1 y ∼ 0 1 −2 −z  ∼  0 1 0 −4 x + 2 y + z 
 0 −1 2 z   0 0 1 −(2 x − y − z )   0 0 1 − ( 2 x − y − z ) 
     
 
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 17

18. Ejemplo:
¿Está el vector (2, 3) en Gen{(1, 2), (3, 5)}?
Solución: Esto es cierto si:
α1(1, 2) + α2(3, 5) = (2, 3)
 1 3 2   1 3 2   1 0 −1
 ∼ ∼ 
 2 5 3 0 1 1 0 1 1 
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 18

19. Ejemplo:
Demostrar que Gen {E11, E12, E21, E22} = M22
Solución: Sea A una matriz de 2×2:×
α1 E11 + α2 E12 + α3 E21 + α4 E22 = A
 a11 a12  1 0 0 1 0 0 0 0
A=  = α1   + α2   + α3   + α4  
 a21 a22   0 0  0 0  1 0  0 1
 a11 a12   α1 α 2 
 = 
 a21 a22   α 3 α 4 
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 19

20. Ejemplo
Sean: v1 = (1, 2), v2 = (3, 5), v3 = (2, 4). Determinar
1. Gen {v1, v2}
Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del
espacio generado. Entonces,
α1 v1 + α 2 v 2 = v
1 3 x  1 3 x   1 0 −5 x + 3 y 
 ∼ ∼ 
 2 5 y   0 1 2x − y   0 1 2x − y 
Gen {v1, v2} = R2
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 20

21. (continuación)
2. Gen {v1, v3}
Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del
espacio generado. Entonces,
α1 v1 + α 2 v 3 = v v = ( x, 2 x) = (1, 2) x = (1, 2)r
1 2 x  1 2 x  Gen { v1 , v 3 } = {rv1 , r ∈ R}
 ∼ 
2 4 y   0 0 −2 x + y 
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 21

22. Las siguientes afirmaciones son ciertas:
1. {e1, e2, e3, … en} genera a Rn
2. {1, x, x2, … xn} genera Pn
3. {E11, E12, E13, … Emn } genera Mmn
4. {E11, E22, E33, … Enn } genera Dnn
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 22

23. 3.5 Bases y dimensión
Definición:
Un conjunto no vacío B de un espacio vectorial V
distinto de cero es una base de V si:
1. B es linealmente independiente
2. B genera a V
Conocer la base de un espacio vectorial es útil para
comprender el espacio y sus propiedades.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 23

24. Teorema 7.
Todo espacio vectorial tiene al menos una base
Las siguientes afirmaciones son ciertas:
1. {e1, e2, e3, … en} base estándar de Rn
2. {1, x, x2, … xn} base estándar de Pn
3. {E11, E12, E13, … Emn } base estándar de Mmn
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 24

25. Ejemplo
Demostrar que el conjunto {(1, 0, -1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)}
es una base para R3.
Solución:
1. Este conjunto de vectores es LI si
α1(1, 0, -1) + α2(1, 1, 1) + α3(1, 2, 4) = 0
 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
     
 0 1 2 0 ∼ 0 1 5 2 0 ∼ 0 1 0 0
 −1 1 4 0   0 0 1 0   0 0 1 0 
     
α1= α2 = α3 = 0
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 25

26. Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.
2. Este conjunto de vectores genera a R3 si
α1(1, 0, -1) + α2(1, 1, 1) + α3(1, 2, 4) = v
1 1 1 x  1 1 1 x   1 0 0 2x − 3y + z 
     
0 1 2 y  ∼  0 1 5 2 ( x + y ) 2  ∼  0 1 0 −2 x + 5 y − 2 z 
 −1 1 4 z  0 0 1 x − 2y + z  0 0 1
 x − 2y + z 
    
α1= 2x - 3y + z; α2= -2x + 5y - 2z; α3= x - 2y + z
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 26

27. Dimensión
Definición:
Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n
vectores, entonces la dimensión de V es n, que se
denota por dim(V).
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 27

28. Ejemplo
Considere el conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 4, 1)} en
R3. Estos vectores generan el subespacio V que consta
de todos los vectores de la forma
α1(1, 2, 3) + α2(-2, 4, 1) = v
Además, el segundo vector no es múltiplo del primer
vector, por lo tanto, son LI. Por consiguiente, los
vectores forman una base para V. Así, dim (V) = 2.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 28

29. 3.6 Rango de una matriz
Definición:
Sea A una matriz de m×n. Los renglones de A se
pueden considerar como vectores renglón r1, r2, …, rm,
y las columnas como vectores columnas c1, c2, …, c n.
Los vectores renglón generan un subespacio de Rn
llamado espacio renglón de A, y los vectores columna
generan un subespacio de Rm llamado espacio columna
de A.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 29

30. Ejemplo
 1 2 −1 2 
 
Considerar la matriz: A = 3 4 1 6
5 4 1 0
 
Los vectores renglón de A son
r1 = (1, 2, -1, 2), r2 = (3, 4, 1, 6), r3 = (5, 4, 1, 0)
Estos vectores generan un subespacio de R4 llamado
espacio renglón de A.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 30

31. Los vectores columna de A son:
1  2  −1  2
       
c1 =  3  , c 2 =  4  , c3 =  1  , c 4 =  6 
 5  4 1 0
       
Estos vectores generan un subespacio de R3 llamado
espacio columna de A.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 31

32. Rango de una matriz
Definición:
La dimensión del espacio renglón y del espacio
columna de una matriz A, recibe el nombre de rango
de A. El rango de A se denota como rango(A).
Teorema 8
El espacio renglón y el espacio columna de una
matriz tienen la misma dimensión.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 32

33. Ejemplo
Determinar el rango de la matriz
1 2 3
 
A = 0 1 2
2 5 8
 
Se tiene
(2, 5, 8) = 2(1, 2, 3) + (0, 1, 2)
Así, (1, 2, 3) y (0, 1, 2) forman una base para el espacio
renglón de A, el rango(A) = 2
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 33

34. Teorema 9
Los vectores renglón diferentes de cero de una matriz
A de forma escalón reducida constituyen una base
para el espacio renglón de A. El rango de A es el
número de vectores renglón diferentes de cero.
Ejemplo: 1 2 0 0
 
0 0 1 0
Determinar el rango de la matriz A=
0 0 0 1
 
0 0 0 0
rango(A) = 3
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 34

35. Ejemplo
Encontrar una base para el espacio renglón de la
siguiente matriz A y determine su rango.
1 2 3 1 2 3 1 5 2 2  1 0 7 
       
A =  2 5 4 2 5 4  ∼  0 1 −2  ∼  0 1 −2 
1 1 5 
  1 1 5 0 0 0  0 0 0 
 
   
B = {(1, 0, 7 ), (0, 1, -2)}
rango(A) = 2
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 35

36. Base para el espacio columna
Encontrar una base para el espacio columna de la
siguiente matriz A.
1 1 0  1 2 −1   1 2 −1   1 0 5 
       
A =  2 3 −2  ; AT =  1 3 −4  1 3 −4  ∼  0 1 −3 

 −1 −4 6   0 −2 6   0 −2 6   0 0 0 
       
 1   0  
    
B =  0  ,  1  
 5   −3  
    
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 36

37. Generalización:
El procedimiento anterior puede generalizarse para
encontrar la base de un subespacio V generado por un
conjunto de vectores. Los vectores se expresan como
vectores renglón de una matriz y se reduce la matriz a
la forma reducida escalón. Los vectores renglón
diferentes de cero de la matriz reducida escalón
proporcionan una base para V.
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 37

38. Ejemplo:
Determinar una base para el subespacio V de R4
generado por los vectores
(1, 2, 3, 4), (-1,-1,-4,-2), (3, 4, 11, 8)
Solución, A es la matriz cuyos renglones son los
vectores anteriores.
1 2 3 4  1 2 3 4  1 0 5 0
     
A =  −1 −1 −4 −2  −1 −1 −4 −2  ∼  0 1 −1 2 

 3 4 11 8   3 4 11 8   0 0 0 0 
     
B = {(1, 0, 5, 0 ), (0, 1, -1, 2)}
Capítulo 3 Espacios Vectoriales 38