Trabajo realizado para compartir con los colegas docentes

1. MINISTERIO DE EDUCACIÓN
ESCUELA SUPERIOR DE
CHIMBORAZO
TIC'S EN EL EJERCICIO
DOCENTE AREA MATEMATICAS
PARTICIPANTE: Luis Chimborazo A
FACILITADOR: Ing. Verónica Granizo

2. TEORÍA DE CONJUNTOS
1.2.1 CONJUNTOS
La Teoría de Conjuntos es la rama de las matemáticas a la que el
matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX.
El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso
más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o
explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su
forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para
construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar
conceptos abstractos como el infinito.
Otra aplicación de la teoría de conjuntos la encontramos con el modelado
e investigación de operaciones en las ciencias computacionales.
Los conjuntos fueron por primera vez formalmente estudiados por G. Cantor.
Después de esto la teoría de conjuntos se ha convertido en un área muy bien
establecida de matemáticas, contradicciones o paradojas que encontramos en
dicha teoría.

3. 1.- CONJUNTO
El edificio matemático descansa sobre el concepto de conjunto; acerca del cual,
todos tenemos una idea intuitiva es decir no tiene definición si no más bien se lo
considera como una noción intuitiva así como el punto, la recta, el plano en
geometría.
Al conjunto se los puede establecer como la reunión, colección de varios
elementos que tengan la misma característica
Ejemplo.-Colección de obras de arte; De un grupo de estudiantes etc.
En general denotaremos a los conjuntos con letras mayúsculas como: A, B, C,
D, .......X, Y, Z
Los objetos que constituyen o forman un conjunto se denominan elementos de
dicho conjunto los cuales se los representa con letras minúsculas como: a, b, c, d,
e, .... x, y, z.
Ejemplo. A= {a,e,i,o,u } D = { 2,4,6,8,10,12}

4. 2.- PERTENENCIA Y NOOP PEERRATCEINÓENN CDIEA CONJUNTOS
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto usaremos el signo “ ” que se lee “pertenece
a” o también “ es elemento de “
Ejemplo. 6 D se lee : 6 pertenece a D
Ejemplo. i A se lee: i es elemento de A
Si 6 no pertenece a D usaremos el signo “ ” y se lee “no pertenece a” o también “no es elemento
de”
Ejemplo. 7 D se lee 7 no pertenece a D o 7 no es elemento de D
Ejemplo: Supongamos que a = 1.82 y N = {1, 2, 3, ... }, entonces a N ya que a no es un número
natural y N es el conjunto de los números naturales.
Por conveniencia es necesario considerar un conjunto que no tiene ningún elemento. Este conjunto
se llama conjunto vacio y se denota por y en algunas ocasiones por
Como ilustración, tomemos el conjunto
A= x ; x es un niño de dos años que posee un título de bachiller
Obviamente, no existen bachilleres de dos años de edad; por tanto, conjunto vacío .

5. 3.- DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.- Existen dos métodos para determinar un
conjunto que son:
1.- Por extensión o Tabulación.- Es decir realizando un inventario de los mismos es decir
escribiendo todos y cada uno de los elementos del con junto entre llaves separados por comas
o puntos y comas; además debemos representar los elementos por una sola vez.
Ejemplo 1: El conjunto B cuyos elementos son: 1,3,5,7 B = { 1,3,5,7}
3.1.- Por Comprensión.- Un conjunto puede ser definido también por medio de una o más
propiedades que caracterizan a sus elementos y solo a ellos
Ejemplo 1: M = {dedos de la mano}
* De igual manera quedaría definido por comprensión mediante la fórmula estándar:
Para denotar un conjunto se utiliza la notación: A = {x/ x es P} y se lee: A es el conjunto de
todos los elementos x tal que x es P
En este caso P es una propiedad privativa de todos los elementos del conjunto A
Ejemplo: M = { x/ x de la mano } que se lee: El conjunto M esta formado por los elementos
x tal que x es dedo de la mano.
Ejemplo: A = { x/x Î N ^ 4 < x < 9}
El símbolo “ / ” significa tal que (suele usarse también en su lugar el símbolo “:”) x es una
variable que representa a cualquier elemento del conjunto.
Como se ha visto hasta aquí, cualquiera que sea la manera de determinar un conjunto, siempre
es posible decir, con absoluta seguridad, cuando un objeto determinado pertenece o no al
mismo.

6. 2.- CLASE DE CONJUNTOS.- Los conjuntos se clasifican en:
2.1.-Conjuntos Infinitos.- Son aquellos en los que nunca podremos nombrar su último
elemento.
Ejemplo. N = { 0,1,2,3,4,5...... }
2.2.-Conjuntos Finitos.- Son aquellos en los que se pueden nombrar su último elemento.
Ejemplo. O = { enero, febrero, marzo,........ diciembre}
2.3.- Conjunto Vació.- Se llama conjunto vacío al que carece de elementos y se designa
con
Ejemplo. T = { cuadriláteros de 6 lados}.
24.- Conjunto Unitario.- Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento.
Ejemplo. A = { x/ x es satélite natural de la tierra}
2.5.- Conjunto Universo o Referencial.- Es el conjunto formado por todos los elementos
del tema de referencia
2. 6.- Conjuntos Equivalentes.- Son aquellos conjuntos que tienen el mismo número de
elementos

8. 3.1.- UNIÓN DE CONJUNTOS.- La unión de los conjuntos A y B es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota:
A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x EA o x E B}
2.- INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.- Se define la intersección de dos
conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota
por A n B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede
definir: A nB = { x / x E A y x E B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

10. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1.- En una encuesta a los estudiantes de razonamiento
matemático, acerca de sus preferencias en el uso de las redes
sociales se obtuvieron los siguientes resultados:
55 prefieren facebook
60 prefieren twitter
20 usan ambos
10 no prefieren ninguno de los dos
Usa el diagrama de Venn para responder las siguientes
preguntas.
1 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook?
2 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente twitter?
3 ¿ Cuántos estudiantes usan al menos uno de los dos?
4 ¿ Cuántos estudiantes fueron encuestados?

11. SOLUCIÓN
Paso 1
Reconocer quienes y cuántos son los conjuntos
La encuesta es acerca de las preferencias de uso de las redes sociales, las
cuales lo conforman facebook y twitter; por lo que tenemos dos conjuntos
Sean los conjuntos:
F = el conjunto de estudiantes que prefieren facebook.
T = el conjunto de estudiantes que prefieren twitter.
Además tenemos el conjunto:
F ∩ T = en conjunto de estudiantes que prefieren ambos
Paso 2
Identificar la cardinalidad de los conjuntos
De los datos del problema tenemos:
card(F) = 55
card(T) = 60
card(F ∩ T) = 20.

12. Paso 3
Ubicar los números cardinales en el diagrama de Venn
Estrategia: Empieza siempre por las intersecciones de todos los conjuntos. Así card(F
∩ T) = 20
Para el conjunto F: como dentro del círculo de F tenemos 20 elementos y el card(F) =
55, ¿ Cuánto le falta a 20 para llegar a 55?. Ubica la respuesta como indica la gr´afica.
Para el conjunto T: repite el proceso anterior, ¿ Cuánto le falta a 20 para llegar a 60?.
Ubica la respuesta como indica la
gráfica.
Finalmente ubicamos el dato que nos falta “10 no prefieren ninguno”
Ahora estamos preparados para responder las preguntas.
1 ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook? Respuesta: 35
2 ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente twitter? Respuesta: 40
3 ¿Cuántos estudiantes usan al menos uno de los dos?
Respuesta:35+20+40 = 95
4 ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?
Respuesta: 105