Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales homogéneas. Explica que una ecuación diferencial es homogénea si sus coeficientes son funciones homogéneas del mismo grado. Describe dos métodos para determinar el grado de una ecuación homogénea, ya sea por inspección o sumando los exponentes de cada término. Finalmente, muestra un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial homogénea mediante el cambio de variables y la separación de variables.

1. Curso: Ecuaciones Diferenciales Nombre del maestro: César Octavio Martínez Padilla Tema: Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.) Autor: Luis Angel León González Registro: 10310209 Salón: B: 212 25 de Febrero de 2011

2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.) Si la ecuación diferencial está escrita en la forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 //forma ordinaria sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes M(x,y)y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.

3. Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea 1.Por Inspección M(tx,ty) N(tx,ty) tnf(x,y) // n = grado del exponente

4. Ejemplo (por inspección) f(x,y) = (x3y – x2y2)/(x + 8y)//ecuacion original = [(tx)3ty – (tx)2(ty)2]/(tx + 8ty) //multiplicamos cada termino por ‘t’ = (t3x3ty – t2x2t2y2)/(tx + 8ty) //eliminamos paréntesis = (t4x3y – t4 x2y2)/(tx + 8ty) //simplificamos un poco = (t4 (x3y – x2y2))/((t(x + 8y)) //se factoriza ‘t’ en ambos lados = t 3 ((x3y – x2y2)/(x + 8y)) // al dividir t4/t queda t3 //indica el grado de la ecuacion homogénea //este es el primer paso (saber el grado de la ecuacion homogénea)

5. Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea 2. Suma de los exponentes de c/literal o de c/término Ejemplo: f(x,y) = 6x2y1 + 5y3 3° 3° //aquí podemos ver que la ecuación es homogénea, por tener el mismo grado en ambos términos

6. Elementos claves para las E.D.H. (cambio de variables) 1. y = uxdy = udx + xdu 2. x = uydx = udy + ydu 3. u = x + y y = u –x dy = du - dx

7. Ejemplo Resuelve la E.D. por homogéneas (x2 + xy + 3y2)dx – (x2 + 2xy)dy = 0 //ecuacion original M(x2 + xy + 3y2) 2° //verificamos que fuera homogénea N(x2 + 2xy)2°//por el método de suma de exponentes de cada término

8. //resolviendo paréntesis (x2 + x2u + 3u2x2)dx – [x2 + 2x2u][udx + xdu] //se factoriza x2 en ambos lados para poder eliminarla x2 (1 + u + 3u2)dx – x2(1 + 2u)(udx + xdu) = 0 //quitando paréntesis dx + udx + 3u2dx – udx – xdu – 2u2dx – 2xudu = 0 //agrupamos términos semejantes dx + u2dx – xdu – 2xudu = 0 //factorizamos “dx” y “xdu” (1 + u2)dx – (1 + 2u)xdu = 0 //despejando (1 + u2)dx = (1 + 2u)xdu //reacomodando dx/x = (du + 2udu)/(1 + u2) Simplificación para separar variables

9. Solución: //usando el primer elemento clave, sustituimos ‘y’ por ‘ux’. [x2 + x(ux) + 3(ux)2]dx – [x2 + 2x(ux)][udx + xdu] = 0 //separamos variables y resolvemos por ese método (dx/x) - du/(1 + u2) + (2udu)/(1 + u2) = 0 //resolvemos las integrales ln x – arctg u – ln |1 + u2| = cte //sustituimos el valor de ‘u’ (u = y/x) para dar el resultado ln x – arctg (y/x) – ln |1 + y2/x2) = cte