CUADERNILLO MATEMÁTICA PARA DOCENTE

COMPROBAMOS
NUESTROS
APRENDIZAJES
CUADERNILLO DE EVALUACIÓN
DE MATEMÁTICA PARA
DOCENTES

COMPROBAMOS NUESTROS APRENDIZAJES
CUADERNILLO DE EVALUACIÓN
DE MATEMÁTICA PARA DOCENTES
Ministerio de Educación
Av. De laArqueología, cuadra. 2. San Borja
Lima, Perú
Teléfono 615-5800
www.minedu.gob.pe
Primera edición 2015
Tiraje: ejemplares
Elaboración de contenidos:
Elvis Flores Mostacero
Luis Hurtado Mondoñedo
Revisión Pedagógica:
PedroCollanqui Díaz
Diagramación:
HungriaAlipio S.
Impreso por……………………………
©Ministerio de Educación – 2015 –Todos los derechos reservados. Prohibida la
reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso
expreso de los editores.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú No. 2015-....
Impreso en Perú / Printed in Peru
*El presente material se ha elaborado con base en los ítems liberados de PISA

3
ÍNDICE
Manual para el uso pedagógico de los
cuadernillos de evaluación
Introducción
Prueba de matemática
Preguntas seleccionadas de matemática
pág. 7
pág. 5
pág. 13
pág. 37

5
Estimado(a) docente:
El presente cuadernillo de evaluación debe convertirse en un instrumento para
desarrollar competencias y capacidades en tus estudiantes.A través de este material, es
importante que ellos descubran maneras diferentes de aprender matemática, a partir de
situaciones problemáticas y en contextos que se relacionan con la vida real.
Las preguntas tipo PISA que se trabajarán en este material deben ser un reto no solo
para tus estudiantes sino también para ti como docente, ya que deberás motivarlos
a enfrentarse con la mejor disposición a preguntas que desafíen su competencia
matemática.
Si bien el desarrollo de este cuadernillo de evaluación servirá para familiarizar a tus
estudiantes con la prueba PISA, también debe ser un instrumento que te permita
reflexionar sobre tu práctica pedagógica, a partir de los avances o dificultades que irás
observando en tus estudiantes cuando lo desarrollen.
Al inicio de este cuadernillo encontrarás un pequeño manual que será de utilidad para
comprender la finalidad del material y la manera en la que puedes aprovecharlo. Luego,
presentamosunapruebaparatusestudiantesconelsolucionariorespectivo.Cabeseñalar
que existen varias formas de llegar a las respuestas, pero alcanzamos una propuesta que
servirá de referencia. Finalmente, encontrarás preguntas seleccionadas tipo PISA para
que sean trabajadas en clase, de manera que tus estudiantes se familiaricen con cada
tipo de pregunta.
¡Te animamos a asumir el reto y a apoyar a tus estudiantes en el logro de mejores
aprendizajes! ¡Con tu ayuda lograremos mejores resultados en la prueba PISA de este
año!
INTRODUCCIÓN

7
MANUAL PARA EL USO
PEDAGÓGICO DE LOS
CUADERNILLOS DE
EVALUACIÓN
1. Propósito del manual
El presente documento tiene por finalidad brindar orientaciones y sugerencias para el
uso de los cuadernillos de evaluación distribuidos a las instituciones educativas del país,
de tal modo que se aproveche al máximo sus posibilidades pedagógicas. Por lo tanto,
antes de utilizar las pruebas o las preguntas seleccionadas que contienen los cuadernillos,
los profesores deberán asegurarse de haber leído este manual para utilizarlo de la mejor
manera, según lo planificado en sus unidades didácticas y sesiones de aprendizaje.
2. Descripción de los cuadernillos de evaluación
Es un conjunto de documentos que serán distribuidos a estudiantes y profesores de un
grupo de instituciones educativas del país. Según los destinatarios, los materiales serán los
siguientes:
Para el estudiante: un cuadernillo con una simulación de prueba y a continuación,
preguntas seleccionadas para trabajar en clase.
Para el profesor: un manual de uso pedagógico, una simulación de prueba con solucionario
y un conjunto de preguntas seleccionadas con solucionario.
3. Propósito de los cuadernillos de evaluación
Los cuadernillos de evaluación tienen como propósito familiarizar a los estudiantes con el
tipo de ítems que se utilizará en la próxima prueba PISA y su forma de resolución. Se debe
tener claro que no se persigue preparar al estudiante para rendir una prueba, que puede ser
un acto circunstancial, sino que se apropie de un conjunto de estrategias que le permitan
potenciar al máximo el desarrollo de sus competencias en múltiples circunstancias.
Estos cuadernillos tienen sentido en la medida que nuestros estudiantes necesitan
comprender los procedimientos que se utilizan en la mencionada evaluación internacional.
En las escuelas del país no tenemos una experiencia acumulada en la resolución de
pruebas en línea. Por ello, atendiendo a la transparencia con que se debe realizar todo

8
acto de evaluación, a nuestros estudiantes les asiste el derecho de tener la oportunidad
de experimentar este proceso y así afrontar este reto en igualdad de condiciones con los
estudiantes de otros países.
4. Uso pedagógico del cuadernillo de evaluación
El cuadernillo de evaluación no tiene un fin en sí mismo. Es un medio para desarrollar
las competencias y capacidades de los estudiantes. Por lo tanto, más importante que
el estudiante responda bien o mal es que se empodere de los procedimientos y de las
estrategias para responder con éxito a este tipo de situaciones. Esto quiere decir, que los
materiales se deben incorporar como parte de las actividades pedagógicas planificadas por
el docente, según como se explica a continuación.
4.1. Uso pedagógico de la prueba
a. Para diagnosticar el desarrollo de la competencia evaluada.
Lapruebasepuedeutilizarcomounaevaluacióndeentradaparaidentificarsilosestudiantes
desarrollaron una determinada competencia. Si es así, los resultados de la evaluación solo
se utilizarán para calcular el porcentaje de estudiantes que lograron responder uno u otro
ítem, pero no tendrán efectos en los calificativos de unidad y período. Si se decide utilizarla
como una evaluación de entrada, se debe pensar en la elaboración de una prueba de salida
con características similares. Para ello, se puede utilizar como referencia el cuadernillo
de preguntas seleccionadas. Este material, al igual que la prueba, permitirá seleccionar
preguntas del mismo tipo y de similar extensión y complejidad.
Si se aplica una prueba de salida, es necesario que entre la primera y la última prueba haya
una etapa en la que el estudiante se apropie de las técnicas para comprender el tipo de
preguntas utilizadas en la prueba y, de igual modo, se familiarice con la resolución de los
ítems planteados. Para ello, se puede utilizar el cuadernillo de preguntas seleccionadas
u otras actividades que el profesor proponga. Cualquiera de las decisiones que tome el
profesor se deben ejecutar en el marco de las actividades planificadas en la unidad o las
sesiones de aprendizaje.
b. Para evaluar el desarrollo de una competencia en una unidad
determinada.
Si los textos seleccionados o situaciones problemáticas en la prueba son similares a los
desarrollados por el profesor en su unidad didáctica y los ítems responden a los indicadores
planteados, el instrumento se puede utilizar para la evaluación final de la competencia. En
este caso, los resultados de la evaluación sí tienen efectos en el calificativo que obtenga el
estudianteenlaunidad.Sisetomaestadecisión,previamentesefamiliarizaráalestudiante
con los mecanismos para resolver el tipo de ítems de la prueba.

9
Si la prueba se utiliza para la evaluación final de la competencia, terminada su aplicación,
debe ser resuelta en forma conjunta con los estudiantes. Para ello, se puede utilizar el
siguiente procedimiento:
c. Para identificar las dificultades que tienen los estudiantes en la
resolución de este tipo de ítems.
Esta es la actividad que se relaciona más con la próxima prueba PISA, pues brinda la
oportunidad para que los estudiantes se familiaricen con la forma de plantear los ítems y el
modo de resolverlos. Para identificar en qué ítems los estudiantes tienen más dificultades
se debe realizar una tabulación de los datos para calcular el porcentaje de estudiantes
que responde bien y el porcentaje que no logra hacerlo. Para ello, pueden tomar como
referencia la siguiente tabla:
Nro.
de
ítem
Respuestas
correctas
% de
respuestas
correctas
Respuestas
incorrectas
% de
respuestas
incorrectas
Principales
dificultades
01
02
03
04
05
Pedir a los estudiantes que expliquen el procedimiento que utilizaron para responder
las preguntas, que compartan las dificultades que tuvieron y la estrategia que utilizaron
para superarlas.
Promover un diálogo para que los estudiantes expliquen por qué consideran que es
correcta o no una determinada pregunta.
Corroborar y complementar el procedimiento para responder los ítems planteado por
los estudiantes. En caso de que el procedimiento no sea el adecuado, demostrar cómo
hacerlo y, además, explicar por qué la respuesta es la correcta.
Esta tabulación permitirá focalizar las actividades pedagógicas en la superación de las
dificultades detectadas.Además de resolver la prueba conjuntamente con los estudiantes,
el docente deberá incorporar en su unidad didáctica estrategias para comprender el tipo
de preguntas utilizadas en la prueba, además de actividades de comprensión similares a las
planteadas en la prueba.

10
4.2. Uso pedagógico de las preguntas seleccionadas
a. Para desarrollar de manera específica algunas capacidades de la
competencia.
Algunas sesiones de aprendizaje pueden estar orientadas al desarrollo específico de una
o más capacidades. En este caso, las preguntas seleccionadas se pueden utilizar para
desarrollar las capacidades para las que fueron planteadas. Para que ello suceda se puede
seguir el siguiente procedimiento:
Pedir a los estudiantes que identifiquen la capacidad que se evalúa mediante el ítem
y conversar sobre lo que ella significa. Por ejemplo, si el ítem responde a la capacidad
“Infiere significados de los textos escritos”, los estudiantes deben entender claramente
que consiste en obtener información nueva a partir de los datos explícitos del texto.
Realizar actividades de comprensión en las que se ejerciten formas de desarrollar la
capacidad. Por ejemplo, si se desea inferir significados, se puede utilizar estrategias
para identificar el propósito del texto, interpretar el doble sentido, la ironía, etc.
Conversar con los estudiantes sobre la forma de evidenciar que la capacidad se está
desarrollando. Para ello, se puede tomar como referencia los indicadores propuestos en
las rutas de aprendizaje respectivas.
Resolver las actividades planteadas en el cuadernillo de preguntas seleccionadas,
siguiendo las estrategias aprendidas. La resolución de las preguntas se puede realizar en
forma individual y en conjunto analizar cómo se llegó a la respuesta correcta. También
se puede hacer en parejas para compartir los procedimientos utilizados. Cada integrante
puede realizar un ejercicio y luego compartir procedimientos y resultados o entre los
dos integrantes pueden resolver el mismo ejercicio. En otras ocasiones se puede hacer
en pequeños grupos o con todos los estudiantes, verbalizando cada paso que se da para
llegar a la respuesta correcta.
Reflexionar con los estudiantes sobre cómo se llegó a la respuesta correcta, las
dificultades que surgieron y la forma como fueron superadas.
b. Para la evaluación formativa de algunas capacidades de la
competencia.
Los ítems propuestos en el cuadernillo de preguntas seleccionadas responden a
determinadas capacidades e indicadores, por lo tanto, pueden ser utilizadas durante las
sesiones de aprendizaje para corroborar si la capacidad se está desarrollando o no, con
la finalidad de aplicar mecanismos de mejoramiento. Esto requiere que previamente se
identifique la capacidad y los indicadores a los que responde el ítem para saber en qué
sesión de aprendizaje utilizarlo. Como es de esperar, en estos casos la intención solo es
regular el proceso de aprendizaje, por lo tanto, no es necesario colocar calificativo alguno.
Lo que sí se debe hacer es aplicar mecanismos de devolución adecuados, mediante los
cuales se comunique al estudiante lo que ha logrado y lo que le falta lograr en función de los
aprendizajes previstos. No basta señalar el error y explicar cómo superarlo, el estudiante
debe ser consciente de lo que se espera de él y cómo debe alcanzarlo.

11
b. Para la evaluación de la competencia planificada en la unidad.
En cada unidad didáctica el estudiante obtiene un calificativo que representa el nivel de
desarrollo de la competencia. Estos calificativos son insumos para el reporte que en cada
periodo se brinda a estudiantes y padres de familia. En los instrumentos que se utilice para
evaluar la competencia se puede utilizar alguno de los ítems propuestos en el cuadernillo
de preguntas seleccionadas, siempre y cuando respondan a las capacidades e indicadores
que el profesor haya previsto al planificar la evaluación. La diferencia con lo planteado en
el literal anterior es que en este caso la evaluación sí se realiza con la finalidad de colocar
un calificativo. Se debe garantizar, además, que el ítem incorporado en el instrumento de
evaluación permita evaluar la competencia en toda su dimensión y no se reduzca solo a la
evaluación de una capacidad específica. Esto quiere decir que el conjunto de ítems que se
incluya en el instrumento tengan unidad y en su conjunto permitan evaluar la competencia
en toda su dimensión. Se debe recordar que la competencia no es la suma de capacidades
sino la combinación armónica de todas ellas.
c. Como insumo para elaborar otras preguntas.
En las unidades didácticas y en las sesiones de aprendizaje se necesita evaluar
permanentemente,yaseapararegularelaprendizajeoparacomprobarsisehanalcanzado
los logros previstos, por lo tanto, los ítems propuestos en el cuadernillo de preguntas
seleccionadas no serán suficientes para evaluar las capacidades y competencias en las
distintas unidades didáctica. Por ello, el profesor puede plantear sus propios ítems, según
los indicadores seleccionados en la unidad, y teniendo en cuenta las características de las
preguntas seleccionadas. Al igual que en el caso anterior, al elaborar los ítems se debe
garantizar la evaluación de la competencia mediante la movilización armónica de todas sus
capacidades y no a partir de la evaluación aislada de cada una de ellas. Para plantear ítems
con características similares a los del cuadernillo, el profesor deberá analizar la tipología de
las preguntas, la estructura del ítem y los distintos niveles de demanda cognitiva.
Estas son algunas sugerencias que cada profesor deberá adecuar y enriquecer según
las condiciones de la institución educativa y las características de los estudiantes, pero
sin perder de vista el propósito fundamental del cuadernillo de evaluación: empoderar
al estudiante de las estrategias que le permitan desarrollar las competencias lectora y
matemática,yafrontarlasexigenciasqueellodemande,deacuerdoconlosrequerimientos
de las evaluaciones nacionales e internacionales. Es bueno recordar que no se trata de
preparar para un examen, a modo de una academia, sino de brindar herramientas para que
los estudiantes tengan desempeños eficientes en múltiples circunstancias.

15
Pregunta 1
Identifica a los corredores que ganaron las medallas de
oro, plata y bronce en esta carrera. Completa la tabla
siguiente con su número de calle, su tiempo de reacción
y su tiempo final.
TIEMPO DE REACCIÓN
Medalla Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo final (s)
ORO
PLATA
BRONCE
Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo final (s)
1 0,147 10,09
2 1,136 9,99
3 0,197 9,87
4 1,180 No acabó la carrera
5 0,210 10,17
6 0,216 10,04
7 0,174 10,08
8 0,193 10,13
Pregunta 1:
Observando la tabla vemos que los tres menores tiempos finales corresponden a los corredores de
la calle 3 (9,87 s), calle 2 (9,99 s) y calle 6 (10,04 s). De aquí que la medalla de oro corresponde al
corredor de la calle 3, la medalla de plata al corredor de la calle 2 y la medalla de bronce al corredor
de la calle 6. Completamos la tabla para cada uno de los corredores señalados.
Resolución
Medalla Calle Tiempo de reacción (s) Tiempo final (s)
ORO 3 0,197 9,87
PLATA 2 0,136 9,99
BRONCE 6 0,216 10,04

16
Pregunta 2
Pregunta 3
Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio entre el
dólar de Singapur y el rand sudafricano era de:
1 SGD = 4,2 ZAR
Mei-Ling cambió 3000 dólares de Singapur en rands
sudafricanos con este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero
recibió Mei-Ling en rands sudafricanos?
Respuesta:
Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling
le quedaban 3900 ZAR. Los cambió en dólares de
Singapur, dándose cuenta que el tipo de cambio había
cambiado a:
1 SGD = 4,0 ZAR
¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur?
Respuesta:
EL TIPO DE CAMBIO

17
Pregunta 2: La respuesta es 12600 rands sudafricanos
Pregunta 3: La respuesta es 975 dólares de Singapur.
Se sabe que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur (SGD) y el rand sudafricano (ZAR) era de:
1 SGD = 4,2 ZAR
Esto significa que por cada SGD que se cambia, a este tipo de cambio, se reciben 4,2 ZAR. De aquí
que si Mei-Ling cambió 3000 SGD, con este tipo de cambio, entonces recibió ZAR.
Otra forma sería plantear una regla de tres:
1 SGD ______________________ 4,2 ZAR
3000 SGD ______________________ x
la misma que nos da por resultado x = 12600 ZAR.
Al volver a Singapur, tres meses después, el tipo de cambio había cambiado a:
1 SGD = 4,0 ZAR
A Mei-Ling le quedaban 3900 ZAR y los cambió en SGD según este nuevo tipo de cambio. La
cantidad recibida se puede calcular siguiendo una regla de tres:
1 SGD _________________________ 4,0 ZAR
x _________________________ 3900 ZAR
la misma que nos da por resultado x = 975 SGD.
Resolución

18
Pregunta 4
Estás preparando tu propio aliño para la ensalada.
He aquí una receta para 100 mililitros (ml) de aliño.
¿Cuántos mililitros (ml) de aceite para ensalada necesitas
para preparar 150 ml de este aliño?
Respuesta: ml
SALSAS
Aceite para ensalada: 60 ml
Vinagre: 30 ml
Salsa de soja: 10 ml
Pregunta 4: La respuesta es 90 ml
Deacuerdoalainformaciónparapreparar100mldealiñosenecesita60mldeaceiteparaensalada.
De aquí se tiene que para 50 ml de aliño se necesitarían 30 ml de aceite para ensalada. Por tanto
para preparar 150 ml de aliño se necesitará 90 ml de aceite para ensalada.
Resolución

19
Pregunta 5
Pregunta 6
¿Cuánto dura el periodo de la secuencia de este faro?
¿Durante cuántos segundos emite este faro destellos de
luz a lo largo de un minuto?
2 segundos
3 segundos
5 segundos
12 segundos
4 segundos
12 segundos
20 segundos
24 segundos
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
EL FARO

20
Pregunta 7
Mario comienza a observar el faro 1 segundo después
que este inicia una secuencia. Durante los siguientes 8
segundos, ¿cuántos destellos de luz verá?
2 destellos
3 destellos
4 destellos
5 destellos
a)
b)
c)
d)
Pregunta 5: La respuesta es 5 segundos.
Pregunta 6: La respuesta es 24 segundos.
Pregunta 7: La respuesta es 3 destellos.
De acuerdo al enunciado, periodo de la
secuencia es el tiempo que dura un ciclo
completo antes de que comience a repetirse.
Hemos encontrado el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L” y en este ciclo el faro emite 2 segundos de destellos
de luz. El ciclo dura 5 segundos, por tanto en 1 minuto (60 segundos) tendremos
60
5
= 12 ciclos.
Dado que en 1 ciclo el faro emite 2 segundos de destellos de luz, entonces en 12 ciclos emitirá 24
segundos de destellos de luz.
De acuerdo con el enunciado Mario comienza a observar el faro 1 segundo después que este inicia
una secuencia. Luego, durante los siguientes 8 segundos, él observará los últimos 4 segundos de la
secuencia y los 4 primeros segundos de la secuencia siguiente. Esto es,
1O, 1L, 1O, 1L - 2O, 1L, 1O
De aquí que Mario verá 3 destellos de luz.
Resolución
Periodo Periodo
De la figura vemos las siguientes ocurrencias: 2
segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de luz (1L),
1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo de luz
(1L), 2 segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de
luz (1L), 1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo
de luz (1L), 2 segundos de oscuridad (2O) y 1
segundo de luz (1L). Esto es la secuencia: 2O, 1L,
1O, 1L; 2O, 1L, 1O, 1L; 2O, 1L, ...
Podemos reconocer el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L”
en esta secuencia. De aquí se desprende que
después de 5 segundos el ciclo vuelve a repetirse.

21
Pregunta 8
¿Consideras que la afirmación del presentador es una
interpretación razonable del gráfico? Da una explicación
que fundamente tu respuesta.
ROBOS
Pregunta 8: La respuesta es que la interpretación no es razonable.
Señalaremos algunas razones que respalden nuestra respuesta.
Si se mostrara el gráfico completo y comparamos las alturas de las barras se vería que se
trata de un aumento ligero del número de robos.
La información del gráfico muestra que de 1998 a 1999 el número de robos aumentó en
9, aproximadamente. No se trata de un enorme aumento del número de robos.
Al comparar el aumento del número de robos de 1998 a 1999 con respecto al número
de robos registrados en 1998 obtenemos
9
508 = 0,0177 . En términos porcentuales,
representa un aumento del 2% aproximadamente. Esto indica que no se trata de un
enorme aumento del número de robos.
Resolución

22
Pregunta 9
Rodea con un círculo la ﬁgura que se ajusta a la
descripción anterior
TRIÁNGULOS
P
M
QR
N
SA
P
M
Q
S
R
N
D
P
M
Q
S
RN
B
P
M
Q
S
R
N
C
P
M
Q
S
R
N
E
Descripción
El triángulo PQR es un triángulo
rectángulo
Con el ángulo recto en R
El segmento RQ es menor que
el segmento PR
M es el punto medio del
segmento PQ
N es el punto medio del
segmento QR
S es un punto dentro del
triángulo
El segmento MN es más grande
que el segmento MS
P
M
QR
N
S
A
P
M
Q
S
R
N
D
P
M
Q
S
RN
B
P
M
Q
S
R
N
C
P
M
Q
S
R
N
E
Pregunta 9: La respuesta es la Opción D
Construiremos un cuadro que nos permita verificar si las diferentes opciones cumplen con
la descripción dada. Basta que alguna opción no cumpla una de las características dadas
para descartarla. De aquí que la primera opción en ser descartada es la E; luego la C; de ahí la
A y finalmente la B. Vemos que la D es la única opción que cumple con todas las características
descritas. Con fines didácticos presentamos la comparación completa.
Resolución

23
Pregunta 10: La respuesta es 1276 ladrillos.
Tenemos un patio rectangular cuyas dimensiones son 5,25 m de largo y 3,00 m de ancho. De aquí
que el área de dicho patio es (5,25 m)(3,00) = 15,75 m2
.
Se sabe que Nicolás necesita 81 ladrillos por metro cuadrado. De aquí que para pavimentar todo el
patio necesita (15,75 m2
)(81 ladrillos/m2
) = 1275.75 ladrillos. Esto es 1276 ladrillos.
Resolución
Pregunta 10
Calcula cuántos ladrillos necesita Nicolás para
pavimentar todo el patio.
EL PATIO

24
Pregunta 11
Pregunta 12
Completa la tabla:
n = Número de manzanos Número de coníferas
1
2
3
4
5
En el planeamiento descrito anteriormente, se pueden
utilizar dos fórmulas para calcular el número de
manzanos y el de coníferas:
Número de manzanos = n2
Número de coníferas = 8n
Donde “n” es el número de filas de manzanos.
Existe un valor de “n” para el cual el número de manzanos
coincide con el de coníferas. Hallar este valor de “n”.
Respuesta:
MANZANOS

25
1 1 8
2 4 16
3 9 24
4 16 32
5 25 40
Pregunta 13
Supongamos que el agricultor quiere plantar un huerto
mucho mayor, con muchas filas de árboles. A medida
que el agricultor vaya aumentando el tamaño del huerto,
¿qué se incrementará más rápidamente: el número de
manzanos o el de coníferas?
Explica cómo has hallado la respuesta.
Pregunta 11: La respuesta es
Resolución

26
Pregunta 12: La respuesta es 8.
El enunciado presenta dos fórmulas para calcular el número de manzanos y el de coníferas:
Número de manzanos = n2
Número de coníferas = 8n
Donde “n” es el número de filas de manzanos.
El número de manzanos coincidirá con el número de coníferas cuando:
n2
= 8n
n2 – 8n = 0
n(n – 8) = 0
n = 0 n = 8
Dado que “n” representa el número de filas de manzanos, entonces n ≠ 0.
Luego, el valor de “n” para el cual el número de manzanos coincide con el de coníferas es 8.
Al observar la imagen dada podemos contar, para cada valor de “n”, el número de manzanos (•) y
el número de confiteras (×). Por ejemplo tenemos que para n=1, el número de manzanos es 1 y el
número de confiteras 8.Así, por observación directa, podemos completando la tabla hasta para n=4.
De esta tabla vemos que:
En la columna del número de coníferas tenemos 8; 16; 24; 32. Notamos que el número
aumenta de 8 en 8. De aquí que podemos predecir que para n=5 el número de coníferas
será 32+8=40.
La columna del número de manzanos corresponde al cuadrado de los primeros números
naturales: 1=12; 4=22; 9=32; 16=42. De aquí que podemos predecir que para n=5 el
número de manzanos será 52=25.
MANZANOS
1 1 8
2 4 16
3 9 24
4 16 32

27
Pregunta 13: La respuesta es el número de manzanos.
Una forma de argumentar la respuesta anterior sería
apelando a las características del modelo matemático que
corresponde a cada uno. El número de manzanos está dado
por un modelo cuadrático, n2, y el número de coníferas por
un modelo lineal 8n. Para n>8, a medida que n aumenta, la
cuadrática se incrementa n2 más rápido que la lineal 8n.
Otra forma de argumentar sería apelando a una gráfica.
Podemos construir en un mismo sistema bidimensional
la gráfica del modelo cuadrático de los manzanos y el
modelo lineal de las coníferas. Si bien la variable n es
discreta, la suponemos continua con n≥0 y tendremos, en
el 1er cuadrante para la cuadrática la rama derecha de una
parábola convexa de vértice en el origen (azul) y para la
lineal una recta de pendiente 8 que pasa por el origen (rojo).
El punto de corte de la recta y la parábola corresponde a n=8. Observamos que para n>8 la gráfica
de azul está por encima de la gráfica de rojo. Esto indica que, para n>8, a medida que n aumenta el
número de manzanos se incrementa más rápidamente que el número de coníferas.
Mostramos una tercera forma. Del análisis hecho en la pregunta 12 vimos que:
El número de coníferas 8; 16; 24; 32; 40 aumenta en forma constante.
Al pasar de n=1 a n=2 el incremento es de 16-8=8 coníferas.
En todos los casos el incremento es de 8 coníferas. Los números correspondientes al incremento
de coníferas forman una sucesión constante cuyo valor constante es 8.
El número de manzanos 1; 4; 9; 16; 25 no aumenta en forma constante.
Al pasar de n=1 a n=2 el aumento es de 4-1=3 manzanos.
Vemos que el incremento va en aumento: 3; 5; 7; 9. Los números correspondientes al incremento
de manzanos forman una sucesión creciente dada por la progresión aritmética de razón 2.
De aquí podemos concluir que, a medida que el agricultor vaya aumentando el tamaño del huerto,
el número de manzanos se incrementará más rápidamente que el número de coníferas.

28
Resolución
Pregunta 14: La respuesta es 20%
Pregunta 14
¿Cuál es la probabilidad de que Roberto extraiga un
caramelo rojo?
Con la información de la figura, considerando la escala del eje vertical, encontramos el número de
caramelos de cada color. Organizamos esta información en una tabla:
Color N°
Rojo 6
Naranja 5
Amarillo 3
Verde 3
Azul 2
Rosa 4
Violeta 2
Marrón 5
El número total de caramelos es 30 y de ellos 6 son rojos. De aquí que la probabilidad de que
Roberto coja un caramelo rojo es 6/30, esto es 1/5 o del 20%.
CARAMELOS DE COLORES
10%
20%
25%
40%
a)
b)
c)
d)
Rojo
Naranaja
Amarillo
Verde
Azul
Rosa
Violeta
Marrón

29
Pregunta 15
A continuación figuran tres afirmaciones sobre la
producción diaria en la empresa Electrix ¿Son correctas
dichas afirmaciones?
Rodea con un circulo “Si” o “No” según corresponda a cada afirmación.
REPRODUCTORES DEFECTUOSOS
Resolución
Pregunta 15: La respuesta es No, No, Si.
Afirmación: Un tercio de los reproductores fabricados diariamente son reproductores de video.
La afirmación no es correcta. La información proporcionada muestra que se fabrican al día 2.000
reproductores de vídeo y 6.000 reproductores de audio. De aquí que el número total de reproductores
fabricados al día es 8.000. La tercera parte de los reproductores fabricados diariamente es 2.666 y no
los 2.000 del número que corresponde a los reproductores de vídeo como señala la afirmación.
Afirmación: Encadalotede100reproductoresdevídeofabricadoshabrá,exactamente,5defectuosos.
Laafirmaciónnoescorrecta.Lainformaciónproporcionadaseñalaque,paraelcasodelosreproductores
de vídeo, el porcentaje medio de reproductores defectuosos al día es 5%. Esto es que de cada 100
reproductores de vídeo fabricados habrá, en promedio, 5 defectuosos. Se trata de una proporción
media y no exacta.
Afirmación: Si de la producción diaria se elige un reproductor de audio al azar para probarlo, la
probabilidad de que tenga que ser reparado es de 0,03.
Laafirmaciónescorrecta.Lainformaciónproporcionadaseñalaque,paraelcasodelosreproductoresde
audio, el porcentaje medio de reproductores defectuosos al día es 3%. Esto indica que si se elige al azar
unreproductordeaudiolaprobabilidaddequeesteseadefectuosoes3%,oenformaequivalente0,03.

30
Pregunta 17
DADOS
Pregunta 16
A la derecha se pueden ver tres dados
colocados uno encima del otro. El dado 1
tiene cuatro puntos en la cara de arriba.
¿Cuántos puntos hay en total en las cinco
caras horizontales que no se pueden ver
(cara de abajo del dado 1, caras de arriba
y de debajo de los dados 2 y 3)?
Respuesta:
Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y
pegando cartón. Estos dados se pueden hacer de muchas
maneras. En el dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que
se pueden utilizar para hacer cubos, con puntos en las caras.
¿Cuál de las siguientes figuras se pueden doblar para
formar un cubo que cumpla la regla de que la suma de
caras opuestas sea 7? Para cada figura, rodea con un
círculo “Sí” o “No” en la tabla de abajo.

31
Resolución
Pregunta 16: La respuesta es 17 puntos
Para la resolución debemos tener en cuenta la regla mencionada para un dado regular: el número total
de puntos en dos caras opuestas es siempre siete.
De esta regla y lo mostrado en la imagen, tenemos:
Dado 1: Debido a que la cara de arriba del dado 1 tiene 4 puntos, entonces la cara horizontal de
abajo tiene 3 puntos.
Dado 2: Independientementedelospuntosdelascaraslaterales,lospuntosdelacarahorizontalde
arriba y de la cara horizontal de abajo del dado 2, al ser caras opuestas suman 7.
Dado 3: Independientementedelospuntosdelascaraslaterales,lospuntosdelacarahorizontalde
arriba y de la cara horizontal de abajo del dado 3, al ser caras opuestas suman 7.
Luego, en total las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de
arriba y de debajo de los dados 2 y 3) suman 3+7+7=17 puntos.
Pregunta 17: Las respuestas son Forma I No; Forma II Sí; Forma III Sí; Forma
IV No
Considerando la plantilla del desarrollo de un cubo mostrada en la figura notamos que al construir el
cubo las caras opuestas seríanA yC; B y E; D y F.
C
B F
C
F E D B
A
Observando los recortes de la figura vemos que solo las formas II y III cumplen la regla de que la suma
de los números de las caras opuestas es 7.

32
ELENA, LA CICLISTA
Pregunta 18
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
Durante un trayecto, Elena hizo 4 km durante los 10
primeros minutos y luego 2 km durante los 5 minutos
siguientes.
a) La velocidad media de Elena fue mayor durante los 10 primeros minutos que
durante los 5 minutos siguientes.
b) La velocidad media de Elena fue la misma durante los 10 primeros minutos
que durante los 5 minutos siguientes.
c) La velocidad media de Elena fue menor durante los 10 primeros minutos que
durante los 5 minutos siguientes.
d) No se puede decir nada sobre la velocidad media de Elena a partir de la
información facilitada.

33
Pregunta 18: La respuesta es la opción B.
Pregunta 19: La respuesta es la opción A.
Resolución
De acuerdo a la información proporcionada tenemos:
Durante los 10 primeros minutos Elena hizo 4 km. Entonces, durante los 10 primeros minutos, la
velocidad media fue
4 km
10 min
0,4 km/min
Durante los 5 minutos siguientes Elena hizo 2 km. Entonces, durante los 5 minutos siguientes, la
velocidad media fue 2 km
5 min
0,4 km/min.
Luego, podemos afirmar que la velocidad media de Elena fue la misma durante los 10 primeros
minutos que durante los 5 minutos siguientes.
De los datos se sabe que Elena recorrió 6 km hasta la casa de su tía y el velocímetro marcó una
velocidad media de 18 km/h para todo el trayecto. Si representamos con el tiempo que le llevó a
Elena llegar a casa de su tía podemos plantear:
Luego, podemos afirmar que a Elena le llevó 20 minutos llegar a casa de su tía.
6 km
t
km
h
= 18 →
→
1
3
t =
t = 20 min.
h
Pregunta 19
Elena recorrió 6 km hasta la casa de su tía. El velocímetro
marcó una velocidad media de 18 km/h para todo el
trayecto.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?
a) A Elena le llevó 20 minutos llegar a casa de su tía.
b) A Elena le llevó 30 minutos llegar a casa de su tía.
c) A Elena le llevó 3 horas llegar a casa de su tía.
d) No se puede decir cuánto tiempo le llevó a Elena llegar a casa de su tía.

34
TARIFAS POSTALES
Pregunta 20
¿Cuál de los siguientes gráficos es la mejor representación
de las tarifas postales en Zedlandia? (El eje horizontal
muestra el peso en gramos y el eje vertical muestra el
precio en zeds?)

35
Pregunta 20: La respuesta es Gráﬁco C
Resolución
La tabla muestra que:
Si el peso del paquete está comprendido entre los 501 g y 1000 g, la tarifa es 3,20 zeds.
Entre 501 y 1000 la tarifa es constante (segmento horizontal) e igual a 3,20.
El único gráfico que presenta estas características es el C. Nótese que si bien para los otros intervalos
de la tabla también tenemos tarifas constantes, la escala usada no permite distinguir los segmentos
horizontales y estos se ven como si fueran puntos aislados.
C
6
5
4
3
2
1
0
0 1000 2000 3000 4000

PREGUNTAS
SELECCIONADAS
DEMATEMÁTICA

39
La respuesta es 5 segundos.
Nos piden: ¿Cuánto dura el periodo de la secuencia?
De la figura vemos las siguientes ocurrencias:
2 segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de luz (1L),
1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo de luz (1L),
2 segundos de oscuridad (2O), 1 segundo de luz (1L),
1 segundo de oscuridad (1O), 1 segundo de luz (1L),
2 segundos de oscuridad (2O) y 1 segundo de luz (1L).
Esto es la secuencia: 2O, 1L, 1O, 1L; 2O, 1L, 1O,
1L; 2O, 1L, ...
Podemos reconocer el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L” en esta secuencia. De aquí
se desprende que después de 5 segundos el ciclo vuelve a repetirse.
De acuerdo al enunciado periodo
de la secuencia es el tiempo que
dura un ciclo completo antes de
que comience a repetirse.
Pregunta 1
Resolución
Periodo Periodo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Los faros son torres con un foco luminoso en la parte superior.
Los faros ayudan a los barcos a seguir su rumbo durante la
noche cuando navegan cerca de la costa.
Luz
Oscuridad
Tiempo (segundos)
EL FARO
Un faro emite destellos de luz según una secuencia regular ﬁja.
Cada faro tiene su propia secuencia.
En el diagrama de abajo se puede ver la secuencia de un faro
concreto. Los destellos de luz alternan con periodos de
oscuridad.
Se trata de una secuencia regular. Después de algún tiempo la secuencia
se repite.
Se llama periodo de la secuencia al tiempo que dura un ciclo completo, antes
de que comience a repetirse. Cuando se descubre el periodo de la secuencia,
es fácil ampliar el diagrama para los siguientes segundos, minutos o incluso
horas.

40
La respuesta es 24 segundos.
Nos piden: ¿Durante cuántos segundos emite este faro destellos de luz a lo largo de 1
minuto?
Hemos encontrado el ciclo “2O, 1L, 1O, 1L” y en este ciclo el faro emite 2 segundos de destellos de
luz. El ciclo dura 5 segundos, por tanto en 1 minuto (60 segundos) tendremos 60
5
= 12 ciclos.
Dado que en 1 ciclo el faro emite 2 segundos de destellos de luz, entonces en 12 ciclos emitirá 24
segundos de destellos de luz.
Pregunta 2
Resolución
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Los faros son torres con un foco luminoso en la parte superior.
Los faros ayudan a los barcos a seguir su rumbo durante la
noche cuando navegan cerca de la costa.
Luz
Oscuridad
Tiempo (segundos)
EL FARO
Un faro emite destellos de luz según una secuencia regular ﬁja.
Cada faro tiene su propia secuencia.
En el diagrama de abajo se puede ver la secuencia de un faro
concreto. Los destellos de luz alternan con periodos de
oscuridad.
Se trata de una secuencia regular. Después de algún tiempo la secuencia
se repite.
Se llama periodo de la secuencia al tiempo que dura un ciclo completo, antes
de que comience a repetirse. Cuando se descubre el periodo de la secuencia,
es fácil ampliar el diagrama para los siguientes segundos, minutos o incluso
horas.

41
La respuesta es 20 000.
Nos piden: ¿Cuál de las siguientes cifras constituye la mejor estimación del número
total de asistentes al concierto?
Se trata de un terreno rectangular con dimensiones de 100 m por 50 m por lo que su área es de
100 x 50 = 5 000 m2
. Considerando que, aproximadamente, en 1 m2
pueden caber 4 fans de pie.
Podemos estimar en 5 000 x 4 = 20 000 fans el número de asistentes al concierto.
Pregunta 3
En un concierto de rock se reservó para el público un terreno
rectangular con dimensiones de 100 m por 50 m. Se vendieron
todas las entradas y el terreno se llenó de fans, todos de pie.
EL CONCIERTO DE ROCK

42
Pregunta 4
Las tarifas postales de Zedlandia están en basadas en el peso
de los paquetes (redondeado al gramo más cercano), como se
muestra en la tabla siguiente.
TARIFAS POSTALES
TARIFAS POSTALES
6
6
6
6
5
5
5
5
44
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1000
1000
1000
50 10020
2000
2000
2000
200 350 500100020003000
3000
3000
30004000
4000
4000
A
C
B
D

43
La respuesta es Gráfi co C.
Nos piden: ¿Cuál de los siguientes gráfi cos es la mejor representación de las tarifas
postales en Zedlandia?
La tabla muestra:
Si el peso del paquete está comprendido entre los 501 g y
1000 g, la tarifa es 3,20 zeds.
Entre 501 y 1000 la tarifa es constante (segmento horizontal)
e igual a 3,20.
Si el peso del paquete está comprendido entre los 1001 g y 2000
g, la tarifa es 4,27 zeds.
e igual a 4,27.
Si el peso del paquete está comprendido entre los 2001 g y 3000
g, la tarifa es 5,03 zeds.
e igual a 5,03.
El único gráfico que presenta estas características es el C. Nótese que si bien para los otros
intervalos de la tabla también tenemos tarifas constantes, la escala usada no permite distinguir los
segmentos horizontales y estos se ven como si fueran puntos aislados.
Resolución
C
6
5
4
3
2
1
0
0 1000 2000 3000 4000

44
La respuesta es 20%
Nos piden: ¿Cuál es la probabilidad de que Roberto coja un caramelo rojo?
Con la información de la figura, considerando la escala del eje vertical, encontramos el número de
El número total de caramelos es 30 y de ellos 6 son rojos. De aquí que la probabilidad de que
Roberto coja un caramelo rojo es 6/30, esto es 1/5 o del 20%.
Color N°
Rojo 6
Naranja 5
Amarillo 3
Verde 3
Azul 2
Rosa 4
Violeta 2
Marrón 5
Pregunta 5
Resolución
La madre de Roberto le deja coger un caramelo de una bolsa.
Él no puede ver los caramelos. El número de caramelos de
cada color que hay en la bolsa se muestra en el siguiente
gráﬁco.
Rojo
Naranaja
Amarillo
Verde
Azul
Rosa
Violeta
Marrón
CARAMELOS DE COLORES
Rojo
Naranaja
Amarillo
Verde
Azul
Rosa
Violeta
Marrón

45
La respuesta es la Opción C
Nos piden: ¿Cuál de las siguientes opciones reﬂ eja mejor el signifi cado de la afi rmación
del geólogo?
Según el enunciado el geólogo dijo “En los próximos veinte años, la posibilidad de que ocurra un
terremoto en la ciudad deZed es dos de tres”. Notamos que la afirmación del geólogo está referida
a “posibilidad de ocurrencia” que la expresa numéricamente como una probabilidad de 2/3.
La probabilidad que no ocurra ningún terremoto es 0. Dado que 2/3 es mayor que 0, entonces
podemos decir que la probabilidad de que haya un terremoto en algún momento en los próximos
20 años es mayor que la probabilidad de que no haya ningún terremoto.
Pregunta 6
Resolución
Se emitió un documental sobre terremotos y la frecuencia con que
estos ocurren. El documental incluía un debate sobre la posiblidad
de predecir los terremotos. Un geólogo dijo: “En los próximos
veinte años, la posiblidad de que ocurra un terremoto en la ciudad
de Zed es dos de tres”.
TERREMOTO
OPCIÓN A:
2
3 x 20 = 13,3; por lo que entre 13 y 14 años a
partir de ahora un terremoto en la ciudad de Zed.
OPCIÓN B:
2
3 es más que
1
2 , por lo que se puede estar
seguro de que habrá un terremoto en la ciudad de
Zed en algún momento, en los próximos 20 años.
OPCIÓN C: La posiblidad de que haya un terremoto en
la ciudad de Zed en algún momento en los
próximos 20 años es mayor que la probabilidad
de que no haya ningún terremoto.
OPCIÓN D: No se puede decir lo que sucederá, porque nadie
puede estar seguro de cuándo tendrá lugar un
terremoto.

46
La respuesta es la Opción D
Nos piden: Seleccionar la única fi gura que represente la descripción dada.
Construiremos un cuadro que nos permita verificar si las diferentes opciones cumplen con
la descripción dada. Basta que alguna opción no cumpla una de las características dadas
para descartarla. De aquí que la primera opción en ser descartada es la E; luego la C; de ahí la
A y finalmente la B. Vemos que la D es la única opción que cumple con todas las características
descritas. Con fines didácticos presentamos la comparación completa.
Descripción
El triángulo PQR es un triángulo rectángulo
Con el ángulo recto en R
El segmento RQ es menor que el segmento PR
M es el punto medio del segmento PQ
N es el punto medio del segmento QR
S es un punto dentro del triángulo
El segmento MN es más grande que el
segmento MS
Pregunta 7
Resolución
TRIÁNGULOS
P
M
QR
N
S
A
P
M
Q
S
R
N
D
P
M
Q
S
RN
B
P
M
Q
S
R
N
C
P
M
Q
S
R
N
E

47
La respuesta es 32 mg
Nos piden: ¿Cuánta cantidad de fármaco permanece activa en la sangre de Pedro al
fi nal del primer día?
La gráfica muestra que la cantidad de fármaco que permanece activa en la sangre de Pedro va
disminuyendo a medida que pasan los días. Los puntos rojos indican la cantidad presente después
de uno, dos tres o cuatro días.
Observamos:
Inicialmente (t=0) había 80 mg de fármaco presente en la sangre.
Después de 1 día (t=1) había un poco más de 30 mg de fármaco,
pero no llega a los 40 mg.
Después de 2 días (t=2) había un poco más de 10 mg de fármaco,
pero no llega a los 20 mg.
Despuésde3días(t=3)habíaunpocomenosde10mgdefármaco.
Después de 4 días (t=4) había muy poca cantidad de fármaco, casi
0 mg.
De lo anterior y de acuerdo a las opciones de respuesta, podemos señalar que 32 mg es la cantidad
de fármaco que permanece activa en la sangre de Pedro al final del primer día.
Pregunta 8
Resolución
Pedro tiene que tomar 80 mg de un fármaco para controlar su
presión sanguínea.
El siguiente gráﬁco muestra la cantidad inicial del fármaco y la
cantidad que permanece activa en la sangre de Pedro después de
uno, dos, tres y cuatro días.
Cantidad de fármaco activo (mg)
Tiempo (días) desde que se ha tomado el fármaco
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5
FÁRMACO
CONCENTRACIÓN DE UN FÁRMACO
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5

48
La respuesta es 40%
Nos piden: Al fi nal de cada día, ¿cuál es el porcentaje aproximado de fármaco del día
anterior que permanece activo?
Los estudiantes pueden observar del gráfico que la cantidad del medicamento que permanece
activa es un poco menos que la mitad de la cantidad activa el día anterior. De aquí que la opción
más plausible es 40%.
Analizando con mayor cuidado diremos que el enunciado señala que cada día permanece activa en
la sangre de Pedro aproximadamente la misma proporción de fármaco con relación al día anterior.
Así tenemos que inicialmente había 80 mg y al final del primer día había 32 mg (considerando la
respuesta de la pregunta anterior). La proporción de fármaco que permanece activa es 32/80, esto
es 2/5 o en forma equivalente 40%.
Otra forma sería plantear una regla de tres:
la misma que nos da por resultado x = 40%.
De aquí que la respuesta sea 40%.
80 mg 100 %
32 mg x %
Pregunta 9
Resolución
Pedro tiene que tomar 80 mg de un fármaco para controlar su
presión sanguínea.
El siguiente gráfico muestra la cantidad inicial del fármaco y la
cantidad que permanece activa en la sangre de Pedro después de
uno, dos, tres y cuatro días.
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5
FÁRMACO
CONCENTRACIÓN DE UN FÁRMACO
En el gráfico de la pregunta puede verse que, cada día,
permanece activa en la sangre de Pedro aproximadamente la
misma proporción de fármaco con relación al día anterior. Al final
de cada día, ¿cuál de las siguientes cifras representa el porcentaje
aproximado de fármaco del día anterior que permanece activo?

49
La respuesta es No es muy probable
Nos piden: ¿Cuán probable es que Daniela gane un premio?
De acuerdo a la pregunta para ganar el premio Daniela debe sacar una canica negra. Pero, de
acuerdo al enunciado, esto supone que en primer lugar la ruleta se detuvo en un número par.
Laruletaconstadeseisnúmerosdeloscualescincodeellossonpares.Deaquíquelaprobabilidad
de que la ruleta se detenga en un número par es
5
6
.
Hay 20 canicas en la bolsa, de ellas seis son negras. De aquí que la probabilidad de sacar una
canica negra de la bolsa es 6
20
.
De lo anterior se desprende que la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par y
sacar una canica negra es
5
6
× 6
20
. Esto es
1
4
, una probabilidad del 25%, por lo que concluimos que
no es muy probable que Daniela gane un premio.
Pregunta 10
Resolución
En un juego de una caseta de feria se utiliza en primer lugar
una ruleta. Si la ruleta se detiene en un número par, entonces
el jugador puede sacar una canica de una bolsa. La ruleta y las
canicas de la bolsa se representan en los dibujos siguientes.
FERIA

50
La respuesta puede ser Diseño A, Diseño C o Diseño D
Nos piden: Seleccionar los diseños con los cuales se puede construir el cerco utilizando
los 32 m de madera
De acuerdo al enunciado el carpintero tiene 32 m de madera para construir el cerco. Esto indica
que el perímetro del diseño debe ser igual (o menor) que 32 m. Si bien se indica que se seleccione
una respuesta, podemos encontrar tres respuestas al problema. El diseño D es la respuesta más
evidente debido a que corresponde a un rectángulo de 10 m de base y 6 m de altura y por tanto su
perímetro es 32 m.Sin embargo los diseñosA yC también cumplen la condición. Esto debido a que
la suma de las longitudes horizontales de los escalones es igual a la longitud horizontal total de 10
m y, al mismo tiempo, la suma de las longitudes verticales de los escalones es igual a la longitud
vertical total de 6 m.
El diseño D corresponde a un rectángulo de 10 m de base y 6 m de altura. Su perímetro es 32 m.
Pregunta 11
Resolución
Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir un
pequeño cerco alrededor de un parterre (terreno sembrado
de césped y ﬂores) en el jardín.
Está considerando los siguientes diseños del parterre.
CARPINTERO

51
El diseñoA es una figura simétrica respecto a la vertical que pasa por el punto medio de su base
de 10 m de longitud.
Considerando las longitudes de los pasos y alturas de los peldaños tenemos a + 2b + 2c = 10 y x
+ y + z = 6. El perímetro del diseño está dado por a + 2b + 2c + 2 (x + y + z) + 10, lo que es igual a
32 m.
Considerando las longitudes de los pasos y alturas de los peldaños tenemos a + 2b + 2c = 10 y x
+ 2y + 2z = 6. El perímetro del diseño está dado por 2 (a + 2b + 2c) + 2 (x + y + z), lo que es igual
a 32 m.
EldiseñoCesunafigurasimétricarespectoalaverticalyhorizontalquepasaporsucentro.
El diseño B no siempre cumple la condición del perímetro 32 m.Tomemos como ejemplo el caso
de un paralelogramo de base 10 m y altura 6 m como el que se muestra en la figura.

En el triángulo rectángulo de lados 8 m, 6 m y x, aplicando el teorema de Pitágoras, resulta
x = 10. De aquí que el paralelogramo tendría perímetro 40 m. Este diseño no cumple con la
condición.

52
La respuesta es 3.8 millones de zeds.
Nos piden: ¿Cuál fue el valor de las exportaciones de zumo de fruta de Zedlandia en el
año 2000?
Observando el gráfico de barras de las
exportaciones anuales de Zedlandia
vemos que exportó 42.6 millones de
zeds en el año 2000.
Pregunta 12
Resolución
Otros
21%
Tejidos de
algodón
26%
Lana
5%
Tabaco
7%
Zumo de fruta
9%
Arroz
13%
Té
5%
Carne
14%
DISTRIBUCIÓN DE LAS
EXPORTACIONES DE
ZEDLANDIA EN EL AÑO 2000
Esto es el 9% de 42.6 millones de zeds, es
decir 3.834 millones de zeds.
Observando el diagrama circular de
la distribución de exportaciones de
Zedlandia vemos que el 9% del total de las
exportaciones del año 2000 correspondió a
zumo de fruta.
Los siguientes diagramas muestran información sobre las
exportaciones de Zedlandia, un país cuya moneda es el
zed.
TOTAL DE LAS EXPORTACIONES
ANUALES DE ZEDLANDIA EN MILLONES
DE ZEDS, 1996 - 2000
1996 1997 1998 1999 2000
Año
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
42.6
37.9
Otros
21%
Tejidos de
algodón
26%
Lana
5%
Tabaco
7%
Zumo de fruta
9%
Arroz
13%
Té
5%
Carne
14%
27.125.4
20.4
DISTRIBUCIÓN DE LAS
EXPORTACIONES DE
ZEDLANDIA EN EL AÑO 2000
EXPORTACIONES
TOTAL DE LAS EXPORTACIONES
ANUALES DE ZEDLANDIA EN MILLONES
DE ZEDS, 1996 - 2000
1996 1997 1998 1999 2000
Año
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
42.6
37.9
27.125.4
20.4

53
La respuesta es 1.5 km
Nos piden: ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de salida hasta el inicio de la
recta más larga del trayecto?
El análisis del gráfico indica que el recorrido presenta tres trayectos rectos y tres trayectos curvos.
Podemos inferir esto debido a que es razonable pensar que:
En los tramos rectos la velocidad del coche aumenta, llega a su valor máximo, la mantiene en su
máximo durante el recorrido recto y empieza a disminuirla cuando ingresa a un tramo curvo.
Pregunta 13
Resolución
Este gráﬁco muestra cómo varía la velocidad de un auto de
carreras a lo largo de una pista llana de 3 km durante su segunda
vuelta.
VELOCIDAD DE UN AUTO DE CARRERAS
Velocidad de un auto de carreras durante un trayecto de 3 km
(segunda vuelta)
Velocidad
(km/h)
Salida
180
160
140
130
100
80
60
40
20
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
2,51,50,5
Distancia recorrida en la pista (km)

54
La velocidad del coche alcanza su mínimo valor en el punto más extremo de la curva. Al cruzar
estos puntos la velocidad aumenta hasta salir del tramo curvo y empezar el tramo recto.
El coche empieza a acelerar desde el inicio del tramo recto.
De acuerdo a la información del gráfico y el análisis anterior podemos decir que:
1) El primer trayecto recto inicia en las cercanías del puntoA, llega hasta el punto B y tiene una
longitud aproximada de 0.6 km.
2) El segundo trayecto recto inicia en las cercanías del punto C, llega hasta el punto D y tiene
una longitud aproximada de 0.8 km.
3) El tercer trayecto recto inicia en las cercanías del punto E, pasa por la salida y, hasta este
punto, tiene una longitud aproximada de 0.4 km.
De lo anterior y de acuerdo a las opciones de respuesta, decimos que la distancia aproximada
desde la línea de salida hasta el inicio de la recta más larga del trayecto es 1.5 km.

55
Pregunta 14
La respuesta es la opción B
Nos piden: ¿En cuál de los trayectos mostrados viajó el auto del que se obtuvo la gráfi ca
anterior?
El análisis del gráfico indica que el recorrido presenta tres trayectos rectos. En estos tramos la
velocidad alcanza su máximo valor y es sostenida durante todo el tramo recto. Los tramos donde
la velocidad del coche es baja corresponden a trayectos curvos del recorrido. El punto donde la
velocidad es la mínima sería el punto extremo de la curva. Luego tenemos tres tramos rectos y tres
curvos.
Resolución
A continuación, se muestra los dibujos de cinco trayectos:
S: Línea de Salida
LA VELOCIDAD DE UN AUTO DE CARRERAS
A
B
C
D
E

56
Dado que la pista tiene 3 km de recorrido, observando el gráfico vemos que el primer tramo recto
pasa por el punto de salida y es el más corto. De aquí que la B sería la opción más plausible.
Pregunta 15
vuelta.
(segunda vuelta)
Velocidad
(km/h)
Salida
180
160
140
130
100
80
60
40
20
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
2,51,50,5

57
La respuesta es a los 1.3 km aproximadamente
Nos piden: ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?
Del gráfico notamos que la velocidad más baja ocurre en el punto P, esta es cercana a los 70 km/h y
se registró aproximadamente a los 1.3 km de la línea de salida.
P
Resolución

58
La respuesta es la velocidad del auto aumenta
Nos piden: ¿Qué puedes decir sobre la velocidad del auto entre las marcas de los 2.6
km y 2.8 km?
Del gráfico notamos que entre las marcas de los 2.6 km y 2.8 km, la velocidad del coche aumenta.
Entre los puntos E y F la gráfica es creciente lo que indica que el coche acelera y por tanto la
velocidad aumenta.
E
F
Pregunta 16
Resolución
vuelta.
(segunda vuelta)
Velocidad
(km/h)
Salida
180
160
140
130
100
80
60
40
20
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
2,51,50,5

59
La respuesta es 12
Nos piden: ¿Cuántos monopatines distintos puede construir Marcos?
De acuerdo a la información de los precios de los productos ofrecidos por la tienda tenemos 3
opciones para la tabla, 2 opciones para el juego de ruedas, 1 opción para el juego de 2 ejes y 2
opciones para el juego de accesorios. De aquí que Marcos puede construir monopatines distintos.
Pregunta 17
Resolución
Marcos es un gran aﬁcionado del monopatín. Entra en una
tienda llamada PATINADORES para mirar algunos precios.
En esta tienda, puedes comprar un monopatín completo; o
puedes comprar una tabla, un juego de 4 ruedas, un juego de
2 ejes y un juego de accesorios para armar y montar tu propio
monopatín.
Los precios de estos productos de la tienda son:
MONOPATÍN
Producto
Patineta armada 82 u 84
40, 60 o 65
14 o 36
16
10 o 20
Tabla
Un juego de 4 ruedas
Un juego de 2 ejes
Un juego de accesorios
(cojinetes, hules,
tornillos y tuercas)
Precio en
zends

60
Las respuestas son Forma II y Forma III
Nos piden: ¿Cuál de las fi guras se puede doblar para construir un cubo que cumpla la
regla de que la suma de caras opuestas es 7?
Considerando la plantilla del desarrollo de
un cubo mostrada en la figura notamos
que al construir el cubo las caras opuestas
serían A y C; B y E; D y F.
Observando los recortes de la figura vemos que
solo las formas II y III cumplen la regla de que la
suma de los números de las caras opuestas es 7.
La suma de caras
opuestas, una vez
construido el cubo,
es 7
La suma de caras
opuestas, una vez
construido el cubo,
no es 7
C
B F
C
F E D B
A
Pregunta 18
Resolución
A la derecha, hay un dibujo de dos dados.
Los dados son cubos con un sistema especial de
numeración en los que se aplica las siguiente regla:
El número total de puntos en dos caras opuestas
es siempre siete.
Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando
cartón. Estos dados se pueden hacer de muchas maneras. En el
dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que se pueden utilizar para
hacer cubos, con puntos en las caras.
CUBOS CON NÚMEROS

61
Pregunta 19
Un depósito de agua tiene
la forma y dimensiones que
se muestran en el dibujo.
Inicialmente el depósito está
vacío. Después se llena con
agua a razón de un litro por
segundo.
Depósito
de agua
DEPÓSITO DE AGUA
DEPÓSITO DE AGUA
Altura
Tiempo
A
Altura
Tiempo
D
Altura
Tiempo
E
Altura
Tiempo
B
Altura
Tiempo
C

62
La respuesta es Gráfi co B
Nos piden: ¿Cuál de los gráfi cos siguientes muestra cómo va cambiando la altura del
agua en el depósito en función del tiempo?
El depósito de agua tiene la forma de un cuerpo geométrico formado por un cono unido a un
cilindro. El cono, ubicado en la parte inferior, tiene una altura de 1.5 m y radio 1.0 m; el cilindro de
igual radio, ubicado en la parte superior, tiene una altura de 1.5 m.
Supondremos que la velocidad con la que se llena el tanque es constante.
Debido a la forma cónica de la parte inferior, la altura del agua aumentará más rápido al
comienzo y luego irá disminuyendo. Esto se interpreta como que la gráfica tiene una forma
creciente cóncava “achatándose” a medida que la atura alcanza los 1.5 m.
Debido a la forma cilíndrica de la parte superior, la altura del agua aumentará en forma
constante. Esto se interpreta como que la gráfica tiene una forma de un segmento de recta
creciente hasta alcanzar la atura de 1.5 m.
Del análisis anterior vemos que la opción B es la forma más plausible para la gráfica de la altura
en función del tiempo.
Resolución
Altura
Tiempo
B

63
La respuesta es Gráfi co A
Nos piden: ¿Cuál de estos gráfi cos representa mejor la altura de los pies de Manolo por
encima del suelo mientras se columpia?
El enunciado señala que Manolo, sentado en un columpio, empieza a columpiarse intentando
llegar tan alto como le sea posible. Esto indica que en cada ciclo del columpio “ida y vuelta” y con
respecto al suelo la altura máxima de sus pies aumenta mientras que la altura mínima de sus pies
es siempre la misma.
Cada ciclo de ida y vuelta comprende un continuo de subidas y bajadas, lo que se traduce en una
gráfica continua con picos cada vez más altos y valles a una misma altura. De aquí que la opción
más plausible es la gráfica A.
Resolución
Pregunta 20
COLUMPIO
Manolo está sentado en un columpio. Empieza a columpiarse.
Está intentando llegar tan alto como le sea posible.
Altura de los pies
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Tiempo
Altura de los pies
Altura de los pies
Altura de los pies
A
C
B
D
Altura de los pies
Tiempo
A

64
La respuesta es NO para todas las conclusiones
Nos piden: ¿Pueden las siguientes conclusiones deducirse de la información brindada
en esta pantalla?
Tenemos la siguiente información:
1) Se mide la estatura de todos los alumnos.
2) La estatura media de los chicos es de 160 cm.
3) La estatura media de las chicas es de 150 cm.
4) Elena ha sido la más alta, mide 180 cm.
5) Pedro ha sido el más bajo, mide 130 cm.
Dos estudiantes faltaron a clase ese día, pero fueron a clase al día siguiente. Se midieron sus
estaturas y se volvieron a calcular las medias. Sorprendentemente, la estatura media de las chicas
y la estatura media de los chicos no cambió.
Resolución
Pregunta 21
ESTATURA DE LOS ALUMNOS
Un día, en clase de matemática, se mide la estatura de todos
los alumnos. La estatura media de los chicos es de 160 cm y
la estatura media de las chicas es de 150 cm. Elena ha sido
la más alta: mide 180 cm. Pedro ha sido el más bajo: mide
130 cm.
Dos estudiantes faltaron a clase ese día, pero fueron a clase
al día siguiente. Se midieron sus estaturas y se volvieron a
calcular las medias. Sorprendentemente, la estatura media
de las chicas y la estatura media de los chicos no cambió.

65
La condición anterior podría deberse a varias posibilidades:
I. Dado que la estatura media de las chicas no cambió, entonces los dos estudiantes fueron chicas
con la misma estatura media que su grupo, esto es 150 cm.
II. Dado que la estatura media de los chicos no cambió, entonces los dos estudiantes fueron
chicos con la misma estatura media que su grupo, esto es 160 cm.
III. Dado que la estatura media de las chicas y chicos no cambió, entonces los dos estudiantes
fueron una chica y un chico, cada uno con estatura igual a la media de su grupo, esto es 150 cm
y 160 cm respectivamente.
IV. Dado que la estatura media de las chicas no cambió, entonces los dos estudiantes fueron chicas
cuya media de estaturas es igual que la media de su grupo, esto es 150 cm.
V. Dado que la estatura media de los chicos no cambió, entonces los dos estudiantes fueron
chicos cuya media de estaturas es igual que la media de su grupo, esto es 160 cm.
Justificaremos por que las conclusiones presentadas no se pueden deducir de las condiciones
dadas en el enunciado.
La conclusión “los dos estudiantes son chicas” no se deduce necesariamente de las condiciones
dadas. Solo se cumpliría en la posibilidad I, pero no para II o III.
La conclusión “uno de los estudiantes es un chico y el otro es una chica” no se deduce
necesariamente de las condiciones dadas. Solo se cumpliría en la posibilidad III, pero no para I
o II.
La conclusión “los dos estudiantes tienen la misma estatura” no se deduce necesariamente de
las condiciones dadas. Solo se cumpliría en la posibilidad I o II, pero no para III.
La conclusión “la estatura media de todos los estudiantes no cambió” no se deduce de las
condiciones dadas. Ninguna de las posibilidades permite llegar a esta conclusión.
Laconclusión“Pedrosiguesiendoelmásbajo”nosededucenecesariamentedelascondiciones
dadas. Se cumpliría para las posibilidades I, II y III, pero no para la IV oV.

66
Pregunta 22
Las siguientes imágenes son vistas laterales del edificio retorcido.
EL EDIFICIO RETORCIDO
En la arquitectura moderna, los edificios a menudo tienen formas
inusuales. La imagen siguiente muestra un modelo diseñado por
computadora de un “edificio retorcido” y un plano de la planta
baja. Los puntos cardinales muestran la orientación del edificio.
En la planta baja del edificio está la entrada principal y un espacio
para tiendas. Por encima de la planta baja hay 20 plantas de
viviendas.
El plano de cada planta es similar al de la planta baja, pero la
orientación de cada planta es ligeramente distinta a la de la planta
inmediatamente inferior. En el cilindro se encuentran el hueco del
ascensor y un vestíbulo para cada planta.

67
La respuesta es Desde el este
Nos piden: ¿Desde dónde se ha obtenido la vista lateral 1?
La vista de la planta baja nos permite considerar el plano mostrado como la composición de un
rectángulo y un círculo. De acuerdo con el enunciado, el plano de cada planta es similar pero su
orientación es ligeramente distinta a la de la planta inmediata inferior.
El modelo por computadora muestra que esta composición rota de modo que el ladoAB de la base
del rectángulo pasa de perpendicular a paralela con respecto a la orientación este-oeste.
Vista desde el sur Vista desde el sureste Vista desde el este
La siguiente imagen simula las distintas rotaciones de la composición vista desde arriba. En la vista
lateral 1 vemos, en su tamaño original, el canto de la composición ubicada en la parte superior.
Además la vista lateral 1 muestra los cortes del cilindro siempre al frente. Lo anterior nos permite
concluir que la vista lateral 1 está tomada desde el este.
Resolución

68
La respuesta es Desde el sureste
Nos piden: ¿Desde dónde se ha obtenido la vista lateral 2?
Seguiremos una estrategia similar a la de la pregunta anterior.
La imagen simula las distintas rotaciones de la composición vista desde arriba. En la vista lateral
2 vemos el canto de la composición, en su tamaño original, ubicada en la parte central. Además la
vista lateral 2 muestra los cortes del cilindro siempre al frente. Lo anterior nos permite concluir que
la vista lateral 2 está tomada desde el sureste.
Pregunta 23
Resolución
Las siguientes imágenes son vistas laterales del ediﬁcio retorcido.

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