Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
Calculo Diferencial
1. 1
UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS QUIMICA Y DE LA SALUD
CARRERA DE BIOQUIMICA Y FARMACIA
APLICACIÓN DE PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS
PARA LA ELABORACION DE ENVASE DE AGUA
MARIA ISABEL TANDAYAMO SISALIMA
SELENA STEFANIA TORRES HERRERA
MARVIN MIGUEL VALAREZO ATIENCIE
MACHALA
2016
2. 2
UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA
UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS Y DE LA SALUD
CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
PROYECTO DE AULA DE CALCULO DIFERNCIAL
TEMA:
APLICACIÓN DE PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS PARA LA ELABORACION DE
ENVASE DE AGUA
INTEGRANTES:
MARIA ISABEL TANDAYAMO SISALIMA
SELENA STEFANIA TORRES HERRERA
MARVIN MIGUEL VALAREZO ATIENCE
DOCENTE:
ING. DELLY SAN MARTIN
CATEDRA:
CALCULO DIFERNCIAL
PARALELO:
PRIMER SEMESTRE DE BIOQUIMICA Y FARMACIA “B”
EL ORO - MACHALA
2016
3. 3
AGRADECIMIENTO
Nos gustaría que estas líneas sirvieran para expresar nuestro más profundo y sincero
agradecimiento a todas aquellas personas que con su ayuda han colaborado en la realización
del presente trabajo, en especial a la Ing. Delly San Martin por la orientación, el seguimiento
y la supervisión continua de la misma, pero sobre todo por la motivación y el apoyo que
hemos recibido a lo largo de este tiempo.
También nos gustaría agradecer la ayuda recibida de nuestros familiares que con su constante
apoyo nos han incentivado a seguir adelante con nuestro proyecto.
A todos ellos, muchas gracias.
4. 4
DEDICATORIA
Este proyecto se lo dedicamos primeramente a Dios quien nos da la fuerza para seguir
adelante y a la Ing. Delly San Martin quien ha sabido guiarme correctamente impartiendo sus
conocimientos de la mejor manera y por la paciencia que ha tenido en cada clase y además
tutoría y también quiero dedicárselo con mucho cariño y esfuerzo para mis padres quienes son
la base primordial para que yo me encuentre día a día de pie para continuar logrando mis
objetivo.
5. 5
RESUMEN
Este proyecto es con el fin de verificar el uso de cálculo en la vida diaria y además
relacionarlo con el perfil académico de un profesional de bioquímica y farmacia.Pues al
parecer el cálculo deferencial se encuentra implícito en varias cuestiones de nuestra vida
diaria que se mencionan con las palabras “ máxima” y “ mínima”, como por ejemplo: el costo
mínimo de un producto considerando cierto tiempo, algunos problemas de tiempo mínimo en
los que se menciona el tiempo que tarda cada persona y el tiempo que tardarían en conjunto
esas personas en realizar la misma actividad, voltaje máximo que puede soportar algún
aparato eléctrico utilidad máxima de un objeto.
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INDICE
PROYECTO DE AULA DE CALCULO DIFERNCIAL.............................................................2
AGRADECIMIENTO..................................................................................................................3
DEDICATORIA ..........................................................................................................................4
RESUMEN...................................................................................................................................5
SIMBOLOGÍA ............................................................................................................................7
INTRODUCCION .......................................................................................................................8
OBJETIVOS................................................................................................................................9
Objetivo general.......................................................................................................................9
MARCO TEÓRICO ..................................................................................................................10
El Cálculo Diferencial................................................................................................................10
Que es el cálculo diferencial....................................................................................................10
El cálculo diferencial en la vida cotidiana...............................................................................10
Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:.........................................................11
Máximos y Mínimos...................................................................................................................12
Definición:..............................................................................................................................12
1. Derivada primera de la función ............................................................................................12
PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS YMINIMOS.....................................................................13
Instrucciones generales: .........................................................................................................14
1. Ejercicio..........................................................................................................................15
CONCLUSIONES......................................................................................................................16
RECOMENDACIÓN.................................................................................................................16
ANEXOS....................................................................................................................................17
Bibliografía ................................................................................................................................18
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INTRODUCCION
El cálculo diferencial es una poderosa herramienta de la matemática para analizar el cambio
en las cosas, se utiliza especialmente en lo que son derivadas.
Galileo Galilei, consideró que las matemáticas griegas eran muy sencillas para poder expresar
sus niveles y creó la cinemática que trata de movimiento en abstracto, los eruditos necesitaban
un lenguaje más dosificado de la que se hablaba en los tiempos de Arquímedes y Euclides en
otras palabras después de Galileo, la física necesitaba un lenguaje más avanzado
aproximadamente después de 25 años de su muerte se descubriría por fin ese famoso lenguaje
y a utilizarse desde entonces este se llamaría Calculo Diferencial. En si cada vez nuevos
autores entran a aportar y dar nuevos avances del cálculo entre los más famosos fueron Isaac
Newton, Leibniz, Barrow. Pierri fue un matemático francés, quien diseño métodos como los
máximos y mínimos, acercando casi al descubrimiento de cálculo diferencial mucho antes que
Newton y Leibniz.
El cálculo diferencial tiene también un uso cotidiano, y la salud también ya que permite
resolver problemas básicos en nuestro alrededor.
Concretamente, podemos optimizar una función: calcular máximos y mínimos de una curva,
estudiar la razón de cambio de una variable respecto a otra. Las aplicaciones del cálculo
diferencial en las ciencias naturales incluyen modelos de crecimiento simple, interacciones
entre organismos, trabajo de neuronas, reacciones enzimáticas, modelamiento epidemiológico
y muchas otras. (Oviedo, s.f.).
9. 9
OBJETIVOS
Objetivo general
Aplicar los métodos de cálculo diferencial a través de la elaboración de un proyecto de
investigación, para elaborar envases o tetrapck para aplicarlos a futuro en nuestra carrera.
Objetivos específicos
Resolver un problema de máximos y mínimos para la elaboración de un envase
tetrapck.
Verificar el máximo o mínimo de dicho problema a resolverse.
10. 10
MARCO TEÓRICO
El Cálculo Diferencial
El Cálculo es una rama de la Matemática cuyas ideas datan de la época de Arquímedes
(287-212 a.C.), cuyo origen puede establecerse en culturas tan diversas como la de
Grecia, Egipto, Babilonia, India, China y Japón y cuya consolidación como disciplina
se produce a partir de los estudios realizados en el siglo XVII por Isaac Newton
(1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) Muchos de los descubrimientos
científicos que han permitido el avance de nuestra civilización durante los tres últimos
siglos hubieran sido imposible si no se hubiera conocido el Cálculo. Gran parte del
Cálculo implica el empleo de números reales o de variables para describir cantidades
cambiantes; pero, fundamentalmente, implica el uso de funciones a los efectos de
describir la relación entre tales variables, proceder al análisis de problemas que las
involucran. El estudio y resolución de estos problemas resulta fundamental en un
mundo de cambios constantes, pleno de cuerpos en movimiento y con fenómenos de
flujo y reflujo; de allí que el Cálculo, como cuerpo de técnicas de cómputos y
conceptos esenciales, siga teniendo vigencia, siga sirviendo como el principal lenguaje
cuantitativo de la ciencia y la tecnología. (Bortolato, 2014)
Que es el cálculo diferencial
El cálculo diferencial es un análisis matemático y dentro del cálculo mismo donde
consiste en el cambio de variables dependientes que cambian a independientes que son
como el objeto de estudio del análisis. Como principal objeto del cálculo es la
derivada, la derivada en el cambio de una función de variables independientes es de
interés para el cálculo infinitesimal, esto es cuando el cambia se da hasta cero si
relaciona con el límite de modo que el límite es la principal herramienta del cálculo y
se lo diferencia del algebra. Los máximos y mínimos son unas funciones donde se
busca los puntos de inflexión de cualquier tipo de curva geométrica, o puntos
máximos y mininos de productos.
El cálculo diferencial en la vida cotidiana
Pues al parecer el cálculo deferencial se encuentra implícito en varias cuestiones de
nuestra vida diaria que se mencionan con las palabras “ máxima” y “ mínima”, como
11. 11
por ejemplo: el costo mínimo de un producto considerando cierto tiempo, algunos
problemas de tiempo mínimo en los que se menciona el tiempo que tarda cada persona
y el tiempo que tardarían en conjunto esas personas en realizar la misma actividad,
voltaje máximo que puede soportar algún aparato eléctrico utilidad máxima de un
objeto; como por ejemplo el tiempo de vida de las pilas, etc.
El cálculo diferencial es muy útil en la vida cotidiana ya que por medio de el podemos
obtener soluciones de problemas que se nos puedan presentar.
El cálculo diferencial nos sirve para resolver problemas de la vida diaria y así poderlos
asimilarlos de manera más analítica y fácil. (Camarena, 2012)
Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:
• El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración
• El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo:
- En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se
puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente
calcular, si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica
de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin
ningún problema.
En economía los costos marginales, los ingresos marginales y las utilidades
marginales también son derivadas. Una aplicación interesante de la derivada se
encuentra en los problemas de optimización. Por ejemplo, cuando una compañía que
elabora bebidas desea reducir costos produciendo una lata que contenga el máximo
volumen y requiera el mínimo de material, la solución puede encontrarse mediante el
empleo del cálculo diferencial.
El cálculo tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para
resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente.
.La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la
tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza
se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el
análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa
razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las
carreras científicas y técnicas. (Carranza A. G., 2015)
12. 12
Máximos y Mínimos
Valores máximo y mínimo de una función; valores de una. Función puede haber uno
que sea más grande (máximo) o más pequeño (mínimo) que los demás. En
muchísimos problemas prácticos importa saber a qué valor de la variable corresponde
tal valor de la función. (Granville, 2009)
Definición:
Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para
toda x en D donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en
D.
De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para toda x en D; el
número f(c) se denomina valor mínimo de f en D.
Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f.
Dada la función f(x)=x3-6x+9x+4, estudia su crecimiento y decrecimiento.
¿Tiene f(x) máximos o mínimos?. Si los tiene halla sus coordenadas.
1. Derivada primera de la función
Hacemos la derivada primera de la función. La igualamos a 0 y resolvemos la ecuación
resultante. Si la ecuación tiene solución, en esos puntos de x puede haber máximos o
mínimos locales.
También se llaman extremos relativos, puntos singulares o puntos críticos.
13. 13
Primer
método
para
calcular
los
máximo
s y
mínimo
s de una
función.
Regla
guía en
las aplicaciones.
PRIMER PASO. Se halla la primera derivada de la función.
SECUNDO PASO. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la
ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.
TERCER PASO. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la
primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor * que el valor crítico y
después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente + y
después -, la función tiene un maximo para este valor crítico de la variable; en el caso
contrario, tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni mínimo
para el valor crítico considerado.
PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS
En muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión
matemática de la función cuyos valores máximos y mínimos se desean, esto es a veces
14. 14
bastante difícil. Ninguna regla es aplicable en todo los caso, pero en muchos
problemas podemos guiarnos por las siguientes.
Instrucciones generales:
a) Determinar la función cuyo máximo o mínimo se desea obtener.
b) Si la expresión resultante contiene más de una variable, las condiciones del
problema proporciona las suficientes relaciones entre las variables para que la
función pueda expresarse en términos de una sola variable.
c) A la función resultante se le aplica la regla para el cálculo de máximos y
mínimos.
d) En los problemas prácticos, muchas veces se ve con facilidad cuál de los
valores críticos dará un máximo y un mínimo; en consecuencia no siempre es
necesario aplicar el tercer paso.
e) Conviene construir la gráfica de la función para comprobar el resultado
contenido.
El cálculo de máximo s y mínimos puede a menudo simplificarse con la ayuda de los
siguientes principios, que se deducen inmediatamente de lo anterior expuesto.
a) Los máximos y mínimos de una función continua se representan
alternativamente.
b) Cuando c es un constante positiva, c f (x) es un máximo o un mínimo para los
valores de x que hace a f(x) máxima o mínima, y no para otros.
Por tanto, al determinar los valores críticos de x y al aplicar la regla para ver si se trata
de máximos o mínimos, puede omitirse los factores constantes, cuando c es negativa, c
f (x) es un máximo cuando f(x) es mínima, y recíprocamente. (Granville, 2009)
Ahora resolveremos un ejercicio aplicando problemas de máximos y mínimos para la
elaboración de envase de agua o tetrapck
15. 15
1. Ejercicio
Una compañía de agua purificada suele comercializar en garrafón de 20 litros pero
están desarrollando un proyecto donde puedan ofrecer al público un envase más
pequeño donde el costo de producción sea el menor posible entonces el tetrapck
que va a realizarse tiene un volumen de 800ml.
V= 800ml= 800cm3
b=2a
a x b x c
2ac + 2bc + 2ab
V= (a)(2a)(c)
V= a2 c
V=800cm3
A= 2ac+2(2a)c+2a(2a)
A= 2ac+4ac+4a2
A= 6ac+4a2
800=2 a2c
800 =c
2a2
A= 6ac (800) = 4 a2
2a2
A=4800 = 4 a2
2a2
C
a
b
2ac
2bc
2ab
16. 16
A= 2400 = 4 a2
a
A=2400a-1 = 4 a2
A=-2400a-2 = 8a
0=-2400= 8ª
a2
2400=a3
8
a = = 6.6943
Se reemplaza los valores
b = 13.3986
c = 8.9258
a x b x c = 799.99cm3
CONCLUSIONES
La optimización de cálculo es para la verificación de máximos o mínimos de una
función, o problema que se presente con la aplicación de máximos o mínimos
este proyecto fue realizo con la finalidad de ver el uso de cálculo diferencial en la
carrera de Bioquímica y Farmacia y que también es importante en la vida cotidiana.
RECOMENDACIÓN
Se recomienda aprender a derivar correctamente para poder realizar ejercicios con
facilidad.
Al igual que también se recomienda aprenderse las debidas reglas.
18. 18
Bibliografía
Bortolato, M. S. (2014). Calculo diferencial e integral . Libro de textos abiertos.
Camarena,F. (17 de 11 de 2012). Blog. Obtenido de calculo diferencial a la vida cotidiana:
http://camarena5201.blogspot.com/
Carranza,A. G. (21 de 10 de 2015). Calculo Diferencial "Vida Cotidiana". Obtenido de
http://vidacotidianaalma.blogspot.com/
Carranza,l. G. (21 de 10 de 2015). Calculo Diferencial "Vida Cotidiana". Obtenido de
http://vidacotidianaalma.blogspot.com/
Granville. (2009). Calculo Diferencial. Mexico:Limusa.
Oviedo, V. P. (s.f.). Matemática en la Salud.Obtenido de
http://netlizama.usach.cl/Apuntes%20Medicina%20(Veronica).pdf
