La didáctica de la Medida en la Educación Obligatoria

MAGNITUDES Y MEDIDA
Santiago Fernández Fernández
Asesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia-Bilbao
Se le pregunta a un niño de diez años qué cantidad de agua sale de un grifo en un
minuto. Unos minutos más tarde el niño está delante del grifo con una regla graduada
tratando de medir el chorro de agua.
Introducción
En nuestra vida diaria las personas tenemos que efectuar muchos tipos de
medidas para resolver cuestiones cotidianas: ¿cuánto tiempo tardaré más o
menos? ¿cuánto me gastaré por término medio? ¿ qué superficie de terreno he
de sembrar? ¿cuántos litros cabrán en la piscina?. En muchas ocasiones este
tipo de problemas se resuelven con una simple estimación, en otras hay que
utilizar una serie de fórmulas y procedimientos matemáticos más o menos
sofisticados.
Lo que nadie duda es que desde la antigüedad medir es una necesidad vital
para el hombre. Todas las culturas se han enfrentado a problemas de medida
que en su día fueron de suma importancia. Por poner un ejemplo:
El tunel eupaliano
Hacia el año 550 a C. Polycrates regidor de la ciudad de Samos (al sur de la
península italiana), encargó al ingeniero Eupalinos la construcción de un
túnel que atravesara el monte Kastro a cuyos pies se situaba la ciudad. El túnel
conectaría un manantial de agua con la ciudad, asegurando así el
suministro de agua. Como su construcción era muy urgente, Polycrates
obligó a realizar la obra comenzando por las dos bocas simultáneamente,
lo que claramente supuso un reto para Eupalinos. El túnel en cuestión tenía
1.036 metros de longitud, y es de señalar que las dos ramas que debían
juntarse en el interior del monte se desviaron menos de 1%.
Dicho túnel, que aún se mantiene en pie, y su construcción es motivo de
asombro entre los visitantes fue sin duda una gran obra de ingeniería.
Desde un punto de vista esquemático: La montaña a excavar tenía dos
entradas, que llamaremos A y B y el túnel debía construirse mediante un
segmento que uniese los puntos A y B.
En la figura adjunta se representa la planta del monte y, en trazo discontinuo el
túnel que se desea construir
Es evidente que el problema clave es conocer la
dirección de la recta que une los puntos A y B.
¿sabrías resolver tú este problema?
Al final del capítulo puedes encontrar algunas ideas
para resolverlo.
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1.- La importancia de la medida
Medir es una actividad universal e importante para el desarrollo de ideas
matemáticas, se ocupa de comparar, ordenar y cuantificar cualidades que
tienen valor e importancia. La medida en general se ocupa de comparar cosas
en función de una cualidad compartida. Los problemas de medida tratan de
responder a una pregunta general “¿cuántos?”
Según ( A. J. Bishop,1999) la medida constituye una de las principales
actividades humanas. Está presente en todas las culturas, desde las más
antiguas, ya que permite resolver muchos problemas cotidianos, como:
comparar, estimar o calcular con más o menos precisión distintas magnitudes.
Sin duda, todos estos procesos son necesarios para el conocimiento de
nuestro entorno.
Podemos señalar multitud de ejemplos en los que necesitamos el
conocimiento de la medida: desde la confección de calendarios, que permitió
organizar el tiempo y predecir las estaciones, la medida de terrenos, hasta los
actuales sistemas de control y seguimiento de la trayectoria de una nave
espacial.
La mayoría de los sistemas educativos han reconocido esta importancia
práctica de la medida, y la han reflejado con más o menos acierto en sus
diseños curriculares. Si analizamos los contenidos y criterios de evaluación
incluidos en el REAL DECRETO por el que se establecen las enseñanzas
mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria.(BOE: 5/
Enero /2007), nos encontramos con los siguientes apartados:
Contenidos
 Medida y cálculo de ángulos en figuras planas.
 Estimación y cálculo de perímetros de figuras. Estimación y cálculo de
áreas mediante fórmulas, triangulación y cuadriculación.
 Obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras. Volúmenes de
cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen la
estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes.
 Aplicación de la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras para
la obtención indirecta de medidas.
 Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana.
 Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de
problemas del mundo físico: medida y cálculo de longitudes, áreas,
volúmenes, etc.
 Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de
problemas métricos en el mundo físico
 Medida de longitudes, áreas y volúmenes. Razón entre longitudes, áreas
y volúmenes de cuerpos semejantes
Criterios de evaluación
 Estimar y calcular longitudes, áreas y volúmenes de espacios y objetos
con una precisión acorde con la situación planteada y comprender los
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procesos de medida, expresando el resultado de la estimación o el
cálculo en la unidad de medida más adecuada.
 Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener
medidas directas e indirectas en situaciones reales
1.1- ¿Qué medida se enseña en nuestras aulas?
Es curioso señalar que si bien todos admitimos que es muy importante
desarrollar los contenidos de la medida mediante situaciones significativas:
combinar las mediciones y la reflexión sobre ellas, utilizar distintos lenguajes,
aplicar y conocer distintos sistemas de unidades etc. Sin embargo, si abrimos
al azar, cualquier libro de texto, tanto en Primaria como en Secundaria, lo más
probable es encontrarnos, casi exclusivamente, con actividades de medida de
este tipo:
• Expresa en gramos: 2Kg, 4 Dg, 6 g.
• Si la diagonal de un cuadrado mide 81 m, ¿cuánto mide el lado del
cuadrado?
• Calcula el perímetro y área de un círculo de radio igual a 14 cm.
• Calcula el volumen de una esfera de r = 5 cm
• Si a = 7m, b = 5m y C = 80°, obtén c, A y B.
Es decir, cálculos y más cálculos y aplicación de fórmulas y más fórmulas.
Actividades descontextualizadas y en algún caso sin sentido. Es difícil
encontrar en los actuales libros de texto actividades de estimación, de
medición de objetos reales, de cálculos de áreas y volúmenes mediante la
descomposición y recomposición de figuras, de medición indirecta, de
resolución de problemas complejos e interesantes, de proyectos de
investigación, etc.
En definitiva, la mayoría de nuestros los alumnos no han tenido la
oportunidad, en su escolaridad, de medir directamente, realizar estimaciones,
calcular medidas de superficies y volúmenes de diversas figuras y cuerpos
geométricos mediante variados procedimientos, comparar pesos de distintos
objetos, medir ángulos, realizar mediciones mediante procedimientos
indirectos, etc. y de esta manera ir apropiándose poco a poco de los procesos
fundamentales de la medida.
Nadie duda de la necesidad social de incluir contenidos relacionados con la
medida en la escuela. Esta consideración social de la medida es la genera
una curiosa paradoja en su enseñanza. En efecto, la impartición de estos
contenidos se suelen limitar a un trabajo formal de cambio de unidades en el
Sistema Métrico Decimal y a la aplicación de una serie de fórmulas que en
esencia encierran en sí mismo una falta de sentido en relación con los
aspectos verdaderamente importantes de la medida como son la medición,
comparación, estimación… de objetos de reales, así como la resolución de
problemas de medida en diversos contextos.
Si bien el conocimiento de la medida es esencial para que los alumnos puedan
comprender lo que ocurre a su alrededor, ya que les permite interpretar la
realidad y en su caso posicionarse ante ella. Sin embargo, su trabajo en el
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aula se reduce, en la mayoría de los casos, a un mero saber escolar, con muy
poca utilidad, y muy lejana de su práctica diaria.
El gran reto didáctico es trabajar en el aula situaciones significativas que
permitan a los alumnos la construcción con significado de los contenidos
esenciales de la medida. Aunque ya han pasado varios años, es interesante
acercarse a la siguiente reflexión, en relación con la medida, realizada por
grupo Cero (1984)
“ Es natural que una de las primeras cosas –si no la primera- que se tenga en
cuenta para poner en la lista de lo que es deseable que todos los alumnos sepan,
sea el sistema métrico decimal: Comprender y usar las relaciones entre mm, cm,
dm, m y Km; entre gramo, kilo y tonelada; entre ml, cl y litro; entre cm2
y m2
;entre
cm3
, dm3
, m3
y litro.
Ya sería algo el que todos los alumnos supiesen eso. Pero a nosotros nos parece
que cabe el peligro de considerar estos conocimientos como un fin en sí mismo, con
lo cual la consolidación de ellos podría reducirse a la práctica de medir perímetros
de polígonos, superficies de suelos para saber cuánto costaría enmoquetarlos o
calcular sin mucha significación el volumen de un cuboide de aristas 3, 5 y 8 cm.
De acuerdo con que el dominio de las relaciones expresadas arriba es necesario,
pero es solamente un medio en el interior del concepto de medida. No es suficiente
[…] Y no es el uso mecánico de unidades ya dadas y su aplicación a situaciones
estáticas lo que mejor puede dar ocasión a una actividad que no resulte aburrida
para cualquiera y a una reflexión que no empequeñezca al alumno ante aparatos de
medida más precisos que él, pero menos dotados para hacer preguntas pertinentes
y tomar decisiones adecuadas al contexto.”
1.2- Pensando en voz alta con respecto a algunos temas didácticos
relacionados con la medida.
En las siguientes líneas, a modo de píldoras, se presentan algunos puntos que
seguramente nos harán pensar y obrar en consecuencia:
 Bajo el epígrafe de actividades de medida se esconden un conjunto de
situaciones que poco tiene que ver con ella. En efecto, si hacemos un análisis
riguroso de varios libros de texto se puede constatar que las actividades
propuestas son una excusa para trabajar aspectos del llamado dominio
aritmético (ordenación y descomposición numérica, trabajo con números
decimales, etc.). Si bien este aspecto es importante, no es el objeto central de
la medición, en la literatura didáctica se denomina a este cambio de
orientación: sustituciones de saberes.
 Hay contenidos esenciales como son los que surgen de la estimación y
aproximación de medidas que están prácticamente fuera del contexto escolar
a pesar de ser contenidos obligatorias en nuestro currículo escolar.
 Sería deseable que los alumnos que entren en la enseñanza Secundaria
tengan una buena comprensión de los contenidos de medida, que dispongan
de unas ciertas destrezas en mediciones y además que tengan un
adiestramiento en lecturas directas de los instrumentos más habituales de
medida, así como el haber realizado mediciones mediante procedimientos
indirectos.
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 Las actividades de medición pueden y deben exigir una interacción dinámica
entre los estudiantes y el entorno. La medición debe constituir una exploración
activa del mundo real.
 A pesar de que la medida es un tema habitual en todos los currículos de
matemáticas, el equipamiento de los centros educativos en lo que respecta a
instrumentos de medida en el aula puede calificarse como mínimo. Los centros
escolares cuentan como mucho con reglas, cintas métricas, transportador de
ángulos, una balanza y poco más.
 Tanto en la enseñanza Primaria como en la Secundaria la magnitud más
tratada es la longitud, seguida del tiempo, la masa, la capacidad y la superficie
y bastante distancia está el volumen. Hay un cierto desequilibrio en el
tratamiento de las diversas magnitudes.
En definitiva, somos conscientes de que la medida es un campo complejo
donde confluyen operaciones mentales y lógicas, habilidades espaciales,
gráficas y numéricas y habilidades estimativas que en la mayoría de los casos
requieren un planteamiento riguroso y bien secuenciado en el tiempo. El
problema aún se agrava más si queremos avanzar rápidamente en aspectos
formales, primando excesivamente la asignación numérica frente a la
comparación de magnitudes; introduciendo las unidades estándar sin antes
haber trabajado con una amplia variedad de medidas, entre ellas las
antropométricas, ya que son un instrumento de primer orden de cara a estimar.
1.3.-Propuestas de trabajo en el campo de la medida.
Actualmente la mayoría de los colectivos dedicados a la enseñanza de las
matemáticas proponen prestar una especial atención al aprendizaje de los
aspectos más significativos de la medida y que en muchas ocasiones han sido
olvidados a favor de los más algorítmicos. En esta línea Los Principios y
Estándares para la educación matemática (NCTM, 2000) propugnan dedicar:
Más atención Menos atención
- Sentido de la magnitud y de la
unidad de medida.
- Realización y estimación de
mediciones en contexto.
- Uso de mediciones para explorar
propiedades o resolver problemas.
- Sentido espacial
- Resolver problemas en los que se
involucren aspectos de la medida.
-Transformaciones mecánicas
entre unidades.
- Utilización de fórmulas.
- Mediciones fuera de contexto.
Para conseguir ese horizonte deseado propone trabajar en los siguientes
aspectos:
Comprender los atributos mensurables de los objetos y las unidades y
sistemas de medida.
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 Reconocer atributos de longitud, peso, área, volumen, tiempo,
amplitud de ángulos.
 Comparar y ordenar objetos de acuerdo a los atributos de longitud,
peso, área, volumen, tiempo y amplitud de ángulos.
 Utilizar tanto medidas estándar como no estándar
 Realizar conversiones entre unidades, dentro de un mismo sistema
 Comprender y usar las unidades del Sistema Métrico Decimal
 Comprender que las mediciones son aproximaciones y que la
elección de unidades afecta a la precisión de la medida.
 Seleccionar la unidad apropiada de cara a realizar mediciones de
objetos.
 Estudiar qué le ocurre a las medidas de una figura bidimensional,
como el perímetro o el área cuando cambia su forma.
 Estudiar la medida de figuras tridimensionales y diferenciar el área y
el volumen de dichas figuras.
Aplicar técnicas, instrumentos y fórmulas apropiados para obtener
medidas.
 Desarrollar diversas estrategias para estimar el perímetro, área y
volumen de diversas figuras y cuerpos, con un apropiado grado de
precisión.
 Seleccionar y utilizar referencias para estimar medidas
 Desarrollar estrategias para calcular el área y volumen de figuras y
cuerpos que son fácilmente descomponibles.
 Comprender y utilizar fórmulas para calcular el área y volumen de
diversas figuras y cuerpos geométricos.
 Resolver problemas relativos a factores de escala, utilizando razones
y proporciones.
 Resolver problemas de distancias mediante técnicas trigonométricas.
 Analizar la precisión, exactitud y error cometido al analizar diversas
situaciones de medida.
1.4- El Tratamiento de la medida en la Educación Secundaria
El estudio de la medida demuestra la utilidad y las aplicaciones prácticas de las
matemáticas, mientras que la necesidad de comunicarse con precisión subraya
la importancia de disponer de unidades normalizadas y sistemas comunes de
medida.
Las actividades de medida permiten una interacción dinámica entre los
estudiantes y su entorno, por tanto su didáctica debe pivotar de manera
prioritaria en resolver situaciones relativas a experiencias de medida.
Los estudiantes pueden encontrar ideas sobre la medición dentro y fuera de la
escuela, las oportunidades para utilizar y comprender la medida surgen de
forma natural en otras partes de las matemáticas, las ciencias, la educación
tecnológica, el arte, la arquitectura, la lectura e la interpretación de mapas, etc.
Hay que constatar que la mayoría del profesorado dedica mucho tiempo y
un gran esfuerzo al estudio de la medida, sobre todo en Primaria, y en la
mayoría de los casos con escaso éxito. Al llegar a Secundaria, los alumnos
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tienen dificultades no sólo porque muchos de ellos han olvidado el Sistema
Métrico Decimal, sino porque también carecen de los conceptos y
procedimientos básicos relativos a la medida y que afloran en otras situaciones.
Para trabajar adecuadamente la medida en la Educación Secundaria partimos
de la base que los alumnos en la Educación Primaria ya han hecho bastantes
experiencias, puesto que han medido objetos, también conocen las unidades
de medida más importantes (metro, kilogramo, litro, metro cuadrado…), han
calculado la medida de longitud y superficie de algunas figuras elementales,
han realizado comparaciones entre distintos objetos, etc.
En la Educación Secundaria el alumnado tiene que avanzar y profundizar en
los siguientes aspectos:
 Utilizar un vocabulario adecuado para interpretar y transmitir
informaciones bastante precisas sobre el tamaño de los objetos.
 Trabajar con estimaciones de medida, de esta manera se refuerza el
concepto de medida y de paso se relaciona la medida con el campo
numérico.
 Entender la estructura y el uso de los sistemas de medidas.
 Realizar diversas mediciones con los instrumentos adecuados a la
medición y al nivel de exactitud, profundizando en los distintos errores
que son susceptibles de todas las medidas.
 Estudiar la acotación de errores al estimar, medir o aproximar una
magnitud.
 Trabajar la medición indirecta a través de fórmulas como la medida de
áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas.
 Utilizar los conceptos de proporcionalidad geométrica para realizar
mediciones indirectas y aplicar estos conocimientos en la resolución de
diversos problemas de medida.
 Utilizar el teorema de Pitágoras para resolver un abanico de situaciones
de medida.
 Conocer y utilizar contenidos trigonométricos básicos de cara a resolver
problemas de medida.
 Trabajar con la medida de ángulos y el sistema sexagesimal.
En definitiva se trata de que el alumnado amplíe la comprensión y utilización de
la medida en diversos contextos y la relacione de una manera significativa con
otros campos de las matemáticas.
En este sentido, hay que señalar como la medida está estrechamente
relacionada con la geometría y el campo numérico. El concepto de semejanza,
por ejemplo, puede usarse para resolver situaciones de medición indirecta,
para representar medidas se utilizan los números decimales,...,
1.5- Alternativas y experiencias en torno a la medida
En el apartado anterior se ha querido poner de relieve la atención que
debemos prestar a la medida a lo largo de la Educación Secundaria.
Pero, además, y como valor añadido, la medida es un contexto excepcional
para desarrollar otras facetas educativas más amplias, como son:
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 Mostrar la evolución histórica de las Matemáticas, vinculada al
desarrollo humano y tecnológico.
 La utilidad que tienen las Matemáticas en otras ramas del conocimiento
como la tecnología, dibujo, geografía, etc.
 La posibilidad de resolver problemas, simples o complejos, de la vida
cotidiana.
 La utilización de distintas formas de trabajo: manual/intelectual,
individual/grupal, creativo/ rutinario.
 La posibilidad de utilizar los distintos recursos: gráficos, numéricos,
calculadoras, instrumentos de medida...
 La posibilidad de relacionar distintas parte de las Matemáticas entre sí.
2. ¿Qué entendemos por Medir?
Medir es relacionar una magnitud con otra u otras que se consideran patrones
universalmente aceptados, estableciendo una comparación de igualdad, de
orden y de número. El acto de medir, por tanto, implica realizar un experimento
de cuantificación, normalmente con un instrumento especial (reloj, balanza,
termómetro, cinta métrica, etc.)
2.1.- Magnitud y cantidad. El Diccionario de la RAE define la magnitud como
la propiedad física de un cuerpo que puede ser medido, por ejemplo la longitud,
la superficie, la temperatura o el peso. Por tanto, la magnitud es una
propiedad que poseen todos los objetos, que permite que puedan ser medidos
y dicha medida, representada en la cantidad, puede ser expresada mediante
números sobre la base de una comparación con otro cuerpo o fenómeno que
se toma como patrón. La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la velocidad,
la temperatura, la superficie, entre muchas otras, son magnitudes.
Hay magnitudes que pueden ser directamente apreciables por nuestros
sentidos, como los tamaños y pesos de los objetos, o más indirectas como la
aceleración, la energía, etc.
Cuando se consigue que la cuantificación sea objetiva (no dependa del
observador y todos coincidan en la medida) se llama magnitud física (tiempos,
longitudes, masas, temperaturas, aceleraciones, energías). Hay otras
magnitudes que no resultan cuantificables universalmente: gustos, sabores,
colores,…aunque pueda existir alguna propiedad física relacionada, como la
potencia sonora con el ruido, la longitud de onda de la luz con el color, etc.
La Oficina Internacional de Pesos y Medidas por medio del Vocabulario
Internacional de Metrología (BIPM, por sus siglas en francés, Bureau
International des Poids et Mesures) define la cantidad como un atributo de
un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y
determinado cuantitativamente.
Por tanto, Cantidad es lo que resulta de la medición de una magnitud y se
expresa con números seguidos de la unidad correspondiente. Por ejemplo 120
kg, 10 cm, 3 horas, 16 ºC, 80 km/h, son ejemplos de cantidades que, a su vez,
son resultado de medir las magnitudes masa, longitud, tiempo, temperatura y
velocidad respectivamente.
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No debe confundirse magnitud con cantidad. La magnitud es la propiedad, la
cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud. Por ejemplo, la longitud es una
magnitud, pero 3 metros es una cantidad.
De una manera más general y precisa, el resultado de una medida lleva
asociado tres aspectos: una cantidad, una magnitud y una precisión, este
último aspecto se suele olvidar, pero hay que señalar que la incertidumbre es
innata a la medida, ya que puede ser disminuida pero nunca anulada.
Ejemplo: la cuerda mide 13, 20 metros con un error de ± 5 centímetros
La unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada
magnitud física. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un
patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Las
primeras se conocen como unidades básicas o de base, mientras que las
segundas se llaman unidades derivadas. Un conjunto consistente de unidades
de medida en el que ninguna magnitud tenga más de una unidad asociada se
denomina sistema de unidades.
Algunas actividades de medida
1. Busca en Internet o en una enciclopedia el valor aproximado de los
distintos objetos, cuerpos, edificios y señala la unidad de longitud que
utilizarías para medir las magnitudes que te proponemos: ancho de un
folio, tamaño de un lapicero, longitud de un grano de arroz, altura de la
torre Eiffel, altura de un autobús, distancia de tu casa al instituto, largo
de un campo de baloncesto, longitud de la muralla china, longitud del río
Tajo, tamaño de una ballena, distancia de la tierra al sol, altitud del
monte Everest, radio de la tierra.
2. Indica qué unidad de capacidad utilizarías para expresar la medida de
los siguientes recipientes: un vaso de agua, una botella de refresco, una
piscina olímpica, el depósito de gasolina de un automóvil, un pantano.
3. Escribe cinco productos de un supermercado que venden por kilogramos
y otros cinco que venden por gramos.
2.2 - Estimación y aproximación
Parece claro que cuando medimos un objeto, el resultado debería tener un
cierto sentido; las estimaciones y las referencias ayudan a reconocer cuándo
es razonable una medida. ¿Qué estrategias utilizan los alumnos a la hora de
estimar medidas?
En un conocido estudio sobre la comprensión de las Matemáticas por parte de
los adolescentes (Hart y otros, 1981) se muestra, entre otros, los siguientes
resultados para la edad de 14 años:
a) El 22,8% de los alumnos y alumnas del estudio referido, entre otras cosas, a
la estimación de medidas, responden que la medida del segmento AB, con una
regla graduada en esta posición, es 7 cm.
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b) Para un 45% del alumnado encuestado, la longitud de estos dos segmentos,
dibujados sobre cuadrícula, es la misma.
c) El 15% del alumnado opina que las áreas de estas dos figuras son
diferentes
Evidentemente las respuestas obtenidas no son muy alentadoras ¿ porqué es
tan difícil la estimación?
Para trabajar adecuadamente este tipo de situaciones hay que distinguir entre
dos conceptos claves: la aproximación y la estimación
o Aproximar un resultado o una medida de un objeto consiste en
sustituir su valor exacto por un número próximo a él. Si decimos que el
número pi es igual a 3, 14 estamos realizando una aproximación.
Cuando el valor aproximado es mayor que el real, la aproximación se llama por
exceso, y cuando es menor, por defecto. Las aproximaciones pueden
realizarse por redondeo o por truncamiento, como más adelante veremos.
o La estimación de una medida es un “juicio a priori” sobre el valor del
resultado de la medida de una cantidad. Si decimos que en un
kilogramo de arroz hay unos 2.000 granos de arroz estamos realizando
una estimación, esto es un juicio a priori.
Dentro de la estimación en el campo de la medida se distingue entre dos
grupos de magnitudes: continuas y discretas. Por ejemplo, una estimación,
para el caso de magnitudes continuas, es la valoración que hacemos sobre la
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estatura de una persona cuando la comparamos con la nuestra; para el caso
de magnitudes discretas un ejemplo puedes ser la estimación del número de
personas que asisten a un acto o el número de naranjas que hay en un saco de
10 kg, etc.
Algunas actividades de estimación
1. Estimar la longitud de la mesa del profesor (en cm).
2. Estimar la superficie de la una mesa (en m2
).
3. Estimar la capacidad de la papelera (en litros).
4. Estimar el peso de una silla (en Kg.).
5. Haz un cálculo estimativo de los pasos que das en una hora y
estimar la distancia que has recorrido.
6. Calcula de manera estimada, el peso de los siguientes objetos:
una llave, un libro de 200 páginas, un bolígrafo, un coche vacío,
un autobús vacío, 1 litro de aceite.
7. Estimar el tiempo que tarda un avión en realizar el trayecto
Barcelona- París
8. Estimar el número de alubias que hay en un kilogramo.
9. Estimar la altura de un edificio
10. Estimar la cantidad de litros de agua que gastamos al
ducharnos.
2.3.-Medición directa y medición indirecta.
o Medición directa es aquella que se realiza aplicando un instrumento
para medir una magnitud. Por ejemplo: medir una longitud de una
distancia mediante una cinta métrica, conocer la masa de un objeto
utilizando una balanza, etc.
Sin embargo, no siempre es posible realizar una medida directa, bien porque
no disponemos del instrumento adecuado o porque el valor a medir es muy
grande o muy pequeño o porque hay obstáculos de otra naturaleza, etc. En
este caso realizaremos la medición aplicando fórmulas u otro procedimiento.
o La medición indirecta calcula el valor de la medida mediante una
fórmula (expresión matemática), previo cálculo de las magnitudes que
intervienen en la fórmula por medidas directas. Un ejemplo de una
medida indirecta puede ser calcular la hipotenusa de un triángulo
rectángulo conocidos sus catetos, o bien calcular la superficie de un
terreno a través de sus medidas lineales.
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2.4.- La medida y los errores
Todas las medidas vienen condicionadas por posibles errores experimentales
(accidentales y sistemáticos) y por la sensibilidad del aparato. Como no es
posible conocer el "valor verdadero" (x) de una magnitud nos interesa calcular
el posible error y de aquí surge la llamada teoría de errores. Hay dos
conceptos claves que conviene tener muy claros: el error absoluto y el error
relativo de una medida, ya que no es lo mismo cometer un error de 5
centímetros al medir una vara de 1, 5 metros que cometer el mismo error al
medir un camino de 30 metros.
El error absoluto de una medida es la diferencia entre el valor real de una
magnitud y el valor que se ha medido. Puede ser positivo o negativo, según si
la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa).
El error absoluto tiene por tanto las mismas unidades que las de la medida.
Dado que el valor exacto no se conoce en la mayoría de los casos, se
considera como exacto el valor promedio de los valores obtenidos.
El error relativo de una medida es la relación que existe entre el error
absoluto y la magnitud medida, este error es adimensional (no tiene
dimensiones), Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%)
de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo
(según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por
defecto.
En general, efectuar una única medida de una magnitud es poco fiable. Como
sabemos, variados factores pueden influir en que sea incorrecta, como por
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ejemplo haber leído mal la escala del aparato, un despiste a la hora de apuntar
la medida, etc.
Para evitarlo se debería repetir la medición de la misma magnitud x varias
veces. Como resultado obtendremos una serie de valores x1; x2; :::; xn,
lógicamente cada uno afectado por el error de precisión ¿Pero qué valor es el
que representa mejor a ese conjunto de valores?¿de estos valores cuál es
el más fiable?. La mejor aproximación al verdadero valor de x viene dada por la
media aritmética ( x ) de las medidas, esto es:
El error cometido al aproximar el valor verdadero de x por x es el llamado
error accidental E que se calcula a partir de la siguiente expresión:
Ejemplo. Las medidas de la longitud de una mesa efectuadas por cuatro
alumnos han sido las siguientes. 3,01 m; 3,11 m; 3,20 m; 3,15 m
1. El valor que se considera exacto se obtiene calculando la media
aritmética de los cuatro valores:
1175,3
4
15,320,311,301,3
=
+++
=x
Por tanto, aproximando, consideramos 3, 12 m como el valor exacto de la
longitud de la mesa
2. Errores absolutos y errores relativos de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
3,01 m
3,01 - 3,12 = - 0,11 m -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
3,11 m
3,11 -3,12 = - 0,01 m -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)
3,20 m
3,20 -3,12 = + 0,08 m +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)
3,15 m
3,15 - 3,12 = + 0,03 m +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)
Medidas indirectas y la propagación de errores
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Como ya sabemos en ocasiones no podemos medir directamente el valor de
una magnitud y la única manera de conocerlo es utilizar una fórmula. Pero el
resultado obtenido mediante dicha fórmula también tiene una imprecisión( o
error) que dependerá de la imprecisión con que conozcamos las magnitudes
que intervienen en la fórmula. Por tanto debemos conocer previamente los
valores de las magnitudes que intervienen en la fórmula y sus imprecisiones.
Veamos un ejemplo:
Queremos calcular la superficie de un rectángulo de lados a = 15,3 ± 0,1 cm y
b= 8,2 ± 0,1 cm
La superficie del rectángulo, según sabemos, es S =a.b, si no tenemos en
cuenta los errores, la superficie sería.
S =15,3 · 8,2 =125,46 cm 2
¿Pero es ésta realmente la superficie? ¿qué error estamos cometiendo?
Para hallar la imprecisión tomamos las dos dimensiones con el exceso de sus
imprecisiones. Serán 15,4 y 8,3 y obtenemos el área por exceso
S’ =127,82 cm 2
. Haciendo lo mismo por defecto, obtenemos
S”=(15,2)(.8,1) = 123,12 cm 2
Estos últimos cálculos nos indican que realmente el valor de la superficie está
comprendida entre los valores numéricos: 123,12 y 127,82. Luego si
comunicamos que el valor es de 125, 46 estamos asumiendo de entrada un
error. Sería mejor comunicar el resultado de 125,46 ± 2 cm 2
.
Un aspecto interesante es estudiar como se propagan los errores de una
medida al aplicar determinadas fórmulas.
2.5.-Comunicación de una medida y las cifras significativas
Las cifras significativas de una medida están formas por los dígitos que se
conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la
medida.
Así, por ejemplo, si decimos que el resultado de una medida es 13,82 m,
queremos expresar que serán significativas las cifras 1, 3, 8 y 2 y que los
dígitos 1, 3 y 8 son cifras exactas y además que el dígito 2 puede ser erróneo.
O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centésimas de metro
(centímetros), aquí es donde está el error del aparato y de la medida.
Por tanto, si estamos trabajando en un contexto de medida has de tener en
cuenta que no es lo mismo 13,80 m que 13,8 m. En el primer caso queremos
decir que se ha precisado hasta los centímetros mientras que en el segundo
caso sólo hasta los decímetros.
Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un
número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de
cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.
Errores de truncamiento y redondeo
El error de truncamiento consiste en suprimir una serie de cifras de entre las
menos significativas.
Ejemplos
14

Si queremos truncar a tres cifras decimales 0.02367 y - 3.8913
0.02367 se convierte en 0.023
-3.8913 se convierte en -3.891
Es evidente que
• Los números positivos disminuyen su valor cuando se truncan.
• Los números negativos aumentan su valor cuando se truncan.
El error de redondeo, por su parte, consiste en dejar una serie de cifras
significativas y suprimir otras de acuerdo a las siguientes reglas:
Reglas de redondeo
1- Si la primera de las cifras a suprimir es menor que 5, entonces las cifras
anteriores no se modifican. Ejemplo si el número es 13,82; como el último
dígito es 2 (menor que cinco), quedaría 13,8.
2- Si la primera de las cifras a suprimir es mayor que 5 (o igual a 5 seguida de alguna
cifra no nula), se incrementa en 1 la última cifra conservada. Ejemplo si el número es
13,86; como el último dígito es 6 (mayor que cinco), quedaría 13,9.
3- Si la primera de las cifras a suprimir es igual a 5 seguida de ceros, se incrementa en
1 la cifra conservada si ésta es impar, y no se modifica si es par.
Errores propagados
Se llama errores propagados a aquellos errores que se van acumulando
cuando se operan con números que ya poseen un error previo.
1. Calcular los errores absolutos, relativos y porcentuales que se comenten
al tomar como valores de π como a) 22/7, b) 333/106, c) 355/113
2. En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 Km,
300 m. ¿Qué error relativo es mayor?.
3. Como medida de un radio de 6 dm hemos obtenido 60.6 cm. Calcula: el
error absoluto y el relativo de la medida del radio, el error absoluto y
relativo de la longitud de la circunferencia de tal radio, el error
absoluto y el error relativo del área.
4. Midiendo una longitud con una cinta de agrimensor cometemos errores
del 0.5 %. ¿Cuál es el error absoluto y el relativo en la medida del área
de un terreno rectangular de 60 x 50 m?.
5. Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo obteniendo los
siguientes resultados, expresados en gramos:
12.372 gr. 12.373 gr 12.372 gr 12.371 gr 12.370 gr
12.374 gr 12.374 gr 12.373 gr 12.371 gr 12.372 gr
Expresar correctamente el resultado de la pesada y calcular
su error relativo.
6. Queremos determinar la distancia que hay entre dos paredes con una
cinta métrica que aprecia hasta milímetros. Realizamos cinco medidas
y obtenemos los siguientes valores:
80,1 cm; 79,5 cm; 80,4 cm; 79,8 cm; y 80,0 cm.
¿Cuál es el resultado de ésta medida? ¿Cuál es el error
15

absoluto y relativo de ésta medida?
3.- Breve historia de la medida
Desde la antigüedad medir es una necesidad vital para el hombre. Desde los
albores de la humanidad surgió la necesidad de disponer de un sistema de
medidas para realizar intercambios. Según los últimos estudios científicos las
unidades de medida empezaron a utilizarse hacia unos 5.000 años a.C.
Los egipcios tomaron el cuerpo humano como base
para las unidades de longitud, las longitudes de sus
antebrazos, pies, manos o dedos. El codo, cuya
distancia es la que hay desde el codo hasta la punta
del dedo corazón de la mano, fue la unidad de
longitud más utilizada en la antigüedad, de tal forma
que el codo real egipcio, es la unidad de longitud más
antigua conocida.
También los soldados romanos, en sus marchas, usaban la medida de los
pasos, relacionaban 5 pies con un paso y 1.000 pasos hacían una milla. En las
vías romanas se marcaban con mojones de piedra los miliarios. Otra medida de
longitud se relacionaba con las falanges del dedo pulgar, de allí se origina la
pulgada. La máxima abertura de la mano originó el palmo; y la longitud del
brazo dio lugar a la yarda. La longitud de un palo determinado dio lugar a la
vara; el alcance de una flecha o de un tiro de ballesta también fue una medida
de longitud muy usada; el radio de máxima visión en un terreno plano es el
origen de la legua que fue una unidad muy antigua entre las medidas galas.
Pero cada vez fue más necesario establecer una correspondencia entre unas
unidades y otras, y así aparecen las primeras equivalencias: una palma tiene
cuatro dedos; un pie tiene cuatro palmas; un codo ordinario tiene un pie y
medio, esto es, 6 palmas; y si a ese codo se le añade un pie más, tenemos el
grado o medio paso que es igual, por tanto, a un codo más un pie, o dos pies y
medio, o diez palmas; y por fin el paso que es la distancia entre dos apoyos del
mismo pie al caminar. En la siguiente tabla se pueden observar algunas
equivalencias.
16

Es evidente que cada una de estas medidas se corresponde, de alguna
manera, con una medida humana. Así, la braza en algunas culturas
correspondía a la altura del cuerpo humano, mientras que la vara, al doblar los
brazos, es lo que mide el hombre de codo a codo.
Del mismo modo que muy pronto se utilizaron diversos patrones para calcular
la longitud, se tardó bastante en relacionar las medidas de superficie con la
extensión de un largo y un ancho. Estas medidas al principio se las relacionaba
con la siembra de terrenos, es así como surge el acre, que era la superficie
arable en una mañana por un labrador. En tiempos del rey Enrique VII de
Inglaterra se estableció que un acre era la porción de tierra de 40 varas de
largo y 4 varas de ancho. Como curiosidad, en la antigua Babilonia las medidas
de superficie estaban determinadas por la cantidad de granos necesarios para
poder sembrarlas.
Los problemas de volumen, la capacidad y el peso, desde un principio se
relacionaron de una manera muy estrecha. Así el volumen era una medida
que se asociaba con la capacidad del recipiente y el peso de este con su
contenido. Las primeras medidas de capacidad eran reconocidas en objetos
naturales: como la capacidad de una calabaza de tamaño medio o la
capacidad de una cáscara de huevo. La primera medida exacta de capacidad
que se conoce pertenece a la cultura babilónica: era un cubo hueco de un
palmo de arista. Este cubo lleno de agua era la unidad de capacidad de agua
que contenía. El peso de ese cubo lleno fue su unidad de peso.
17

3.1.-Nacimiento del Sistema Métrico Decimal.
A medida que el comercio se fue extendiendo por Europa, surgió la
necesidad de ponerse más o menos de acuerdo y así tratar de unificar un
sistema de medidas coherente y práctico. Es de señalar que la falta de
uniformidad de las medidas no tenía una influencia decisiva en la vida cotidiana
de la mayor parte de los ciudadanos; ni los artesanos ni los campesinos
sentían las dificultades que esto conllevaba, incluso para algunos la
diversidad de unidades representaba una ventaja pues les permitía modificarlas
para cobrar más y pagar menos. Pero existían muchos colectivos que sí
necesitaban una cierta unificación. A finales siglo XVIII ya existía un clamor
generalizado exigiendo esta unificación de medidas. Había un hecho
constatable y era que cada región o inclusive cada aldea disponía de sus
propias medidas, lo que suponía un obstáculo muy importante para las
relaciones comerciales, además de originar serias disputas entre mercaderes y
entre los ciudadanos y los funcionarios que recaudaban el fisco.
La primera adopción oficial de tal sistema de medidas ocurrió en Francia, en
1791, después de la Revolución Francesa. Cien años antes, en 1670, el
sacerdote Gabriel Mouton, tuvo la ocurrencia de definir una unidad de distancia
basada en las dimensiones de la Tierra y también propuso que las unidades
fraccionarias no fueran como las de otros sistemas al uso (en que 12 pulgadas
hacen un pie y 3 pies hacen una yarda, por ejemplo), sino unidades decimales,
esto es que fueran divisiones entre 10 unas de otras.
El trabajo de unificación de un sistema de medidas fue encargado a la
Academia Francesa de las Ciencias. En los estudios preliminares se propuso
como unidad de distancia la longitud de un péndulo que va y viene en un
segundo (la idea era buena; sin embargo, el movimiento del péndulo se altera
con la intensidad de la gravedad ya que ésta varía de un lugar a otro, si bien el
cambio es muy pequeño, se podía detectar ya en el siglo XVIII). Después de
controvertidos debates, la Academia diseñó un sistema completo de unidades,
basado en el metro, con una gran coherencia, pero extremadamente complejo.
Primero porque el metro era un concepto abstracto poco relacionado con la
vida cotidiana. Segundo, porque fijaba la relación entre diversas unidades
basándose en el criterio de numeración decimal. Sin duda, estos acuerdos
supusieron una gran revolución. El científico Lavoisier llegó a decir de esta
propuesta que "nada más grande ni más sublime ha salido de las manos del
hombre que el sistema métrico decimal".
Los propulsores de la reforma pretendían garantizar la uniformidad y
permanencia de las unidades de medida tomándolas de propiedades derivadas
de la Naturaleza, además el sistema debía cumplir dos condiciones, la primera
que estuviera basado en la observación científica y la segunda que fuera un
sistema de carácter decimal. Actualmente no somos muy conscientes de la
ventaja que representa esta coincidencia entre numeración y medida, porque,
al no suponer ninguna dificultad, nos pasa desapercibida.
La Academia de Ciencias recomendó, después de arduas deliberaciones, que
la unidad de distancia del nuevo sistema llevaría el nombre de metro. El metro
se dividiría en fracciones decimales: el decímetro (la décima parte del metro), el
centímetro (la centésima parte), el milímetro (la milésima), etc.
18

Pero, ¿qué era un metro?
Una comisión de distinguidos científicos, entre los que se encontraban J. L.
Lagrange y P.S. Laplace, se encargó de estudiar en profundidad la unidad de
longitud. El 21 de septiembre de 1792 quedó fijado como valor del metro como
“la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre que pasa por
París”
Para determinar la longitud exacta del metro, los astrónomos J. Delambre y P.
Mechain dirigieron una expedición entre Dunkerke, y Barcelona. En 1793, con
la medida aún por precisar, se construyó un patrón provisional que daba la
medida del metro a partir de datos geodésicos incompletos. El trabajo fue
completado en 1798, llegando a concluir que el cuadrante terrestre tenía
exactamente 10.000.000 metros (ahora sabemos que el cuadrante de la Tierra
es 10.001.966 metros). En junio de 1799 por fin se llevó a cabo la presentación
formal del metro ante las autoridades francesas y se adoptó un lema para el
nuevo sistema de medidas: "Para todos los pueblos, para todos los tiempos"
Es de señalar que pese a la adopción oficial del sistema métrico, ni siquiera los
franceses lo usaron en seguida. Napoleón tuvo que permitir que se siguiera usando
el viejo sistema medieval de medidas y no fue hasta 1840 cuando el sistema métrico
decimal se convirtió en el único legal en Francia.
Si el metro era la unidad de longitud, la pinte (luego renombrada como litro)
era la unidad de capacidad, que se definió como el volumen que contiene un
cubo de lado igual a la décima parte del metro.
El trabajo para determinar la unidad de masa fue asignado a A. Lavoisier, el
padre de la química moderna. Su historia pasó por muchas vicisitudes.
Inicialmente la unidad de masa fue el grave (renombrado después como
kilogramo). El kilogramo correspondía a la masa de 1000 cm3
de agua pura a
4ºC. Esta adopción supuso una serie de problemas ya que se hacían muchas
mediciones de masas menores que un kilogramo; de hecho, el gobierno
francés optó inicialmente en adoptar como unidad de masa el gramo; pero
para definir una unidad de masa —como para definir la unidad de distancia—
había que construir un patrón, esto es un objeto cuya masa sería oficialmente
un gramo lo que resultó muy complicado. Por tanto en vez de utilizar un
patrón de masa de un gramo, se propuso como patrón el equivalente a mil
gramos: un kilogramo.
Hay que diferenciar una unidad, que es una idealización abstracta, y un patrón o
modelo, que es la materialización de la unidad. Desde el origen del sistema métrico,
los patrones han tenido varias revisiones para reflejar una precisión creciente a
medida que avanzaba la ciencia de la metrología. Por citar un ejemplo: el patrón
metro ha sufrido varias transformaciones, el año 1889 era la longitud de una barra
de platino e iridio que se guardaba en París, en 1960, se definió el metro como
1.650.763,73 longitudes de onda de una determinada línea espectral; en 1983 se
adoptó una nueva definición del metro basada en la velocidad de la luz, el metro era
medida como "la longitud del camino atravesado por la luz en el vacío durante un
intervalo de tiempo de 1 / 299.792.458 de segundo” . De esta forma, el metro
recobró su relación inicial con un fenómeno natural, esta vez realmente inmutable y
universal, como es la velocidad de la luz. El kilogramo, sin embargo, permanece
19

formalmente definido basándose en el patrón que ya tiene más de dos siglos de
antigüedad.
El prototipo internacional del kilogramo,, el único
patrón materializado que permanece para definir una
unidad básica del SI.
Resumen del Sistema Métrico Decimal
• Lo primero que se fijó fue la base de numeración, eligiendo la decimal o base 10
(Lagrange, al inicio de las discusiones, defendía la base 11 y algunos otros la 12).
• Lo segundo fue acordar que la unidad de longitud, que se llamaría "metro" (medida
griega antigua), serviría también para medir las áreas y los volúmenes.
• En tercer lugar se acordó que sólo habría una unidad básica para todos los
tamaños, formándose las unidades de tamaños distintos como múltiplos y
submúltiplos, anteponiendo prefijos latinos o griegos a la unidad básica.
• En cuarto lugar se acordó que los múltiplos y submúltiplos del metro se aplicarían
también a las demás unidades. En realidad se estableció la unidad de superficie
igual a 100 m2
, que se llamó un área, y la de volumen igual a (0,1 m)3
, que se llamó
un litro.
• En quinto lugar se acordó elegir 1 m=1/10 000 del cuadrante del meridiano
terrestre (hoy día esto es 0,9998 m) y no la longitud del péndulo que bate
segundos que defendía Talleyrand (que es 0,994 m), En 1799 se fabricó el
metro patrón con dos muescas en una barra de platino iridiado (para
estabilidad mecánica, química y térmica).
• En sexto lugar que la unidad de peso (no se distinguía de la masa) sería la de 1
millonésima de la unidad de volumen (es decir 1 cm3
) lleno de agua a 4 ºC (primero
se pensó en agua a 0 ºC), y se llamaría un gramo (primero se llamó un ‘grave’).
Finalmente, por razones prácticas se construyó un kilogramo patrón (el primero
tenía 1000,03 g, pero posteriormente fue corregido).
• También se decimalizó el tiempo, usando como unidad el día, sus múltiplos y
submúltiplos. Duró 12 años este calendario (12 meses de 3 décadas cada uno más
5 o 6 días de fiesta).
En España su empleo es oficial desde 1849, aunque sobre todo en el ámbito agrario
ha coexistido con las medidas tradicionales, y así son aún frecuentes términos como
yugadas, robadas, varas, celemines, fanegas, etc.., que además varían de unas
regiones a otras.
3.2.-Sistema Internacional de Unidades
El siglo XX aportaría nuevas necesidades de precisión a las sucesivas
definiciones del metro y la introducción de otras unidades que satisficieran las
necesidades sociales y científicas de los nuevos tiempos, dando lugar a un
Sistema Internacional de unidades para la ciencia y la técnica, basado en el
sistema métrico. Así pues, el viejo Sistema Métrico Decimal de la Revolución
Francesa se ha convertido hoy en día en un sistema más moderno, más
universal y más completo, conocido como Sistema Internacional de
Unidades(SI).
20

Las siete unidades básicas que componen el SI, están enumeradas en la
siguiente tabla. Es claro que a medida que avanza la Ciencia y se mejoran los
métodos de medida, se ha tenido que revisar las definiciones de las siete
unidades. Actualmente, se definen de la siguiente manera:
Magnitud Unidad Símbolo Definición
longitud metro m Distancia que recorre en el vacío la luz en
1/299 792 458 de segundo
masa kilogramo kg
Masa del prototipo internacional
tiempo segundo s
Duración de 9 192 631 770 oscilaciones de la
radiación correspondiente a la transición entre
los dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del átomo de cesio 133
corriente
eléctrica
ampere A
Intensidad de una corriente constante que
produciría una fuerza de 2 x 10-7
newtons por
metro de longitud entre dos alambres
rectilíneos paralelos de longitud infinita y
sección circular despreciable puestos a una
distancia de un metro uno del otro en el vacío
temperatura kelvin K
Fracción 1/273.16 de la temperatura del punto
triple del agua
cantidad de
materia
mol mol
Cantidad de materia de un sistema
compuesto de tantas entidades elementales
como átomos hay en 0.012 kilogramos de
carbono 12
intensidad
luminosa
candela cd
Intensidad luminosa en una dirección dada de
una fuente que emite radiación monocromática
de frecuencia 540 x 1012
hertz y cuya
intensidad energética en esa dirección es igual
a 1/683 de watt por esterradián
Estas siete magnitudes se denominan magnitudes fundamentales. Hay otras
magnitudes que se llaman derivadas, o compuestas de las fundamentales, es
decir, las que se deducen de las fundamentales mediante fórmulas o cálculos
indirectos, como son la velocidad, la fuerza, la superficie, el volumen, etc. …
Evidentemente un sistema de unidades bien definidas facilita la comunicación
entre las personas. ¿Podríamos imaginarnos cómo sería nuestra socieda si
siguiéramos usando unidades locales? Por ejemplo, en algunas escuelas
tendrían que aprender cuántos litros es una arroba, cuantas varas hay en una
legua, etc.,y en otras escuelas otras relaciones.
Hay que señalar que no todos los países han adoptado un sistema tan
“universal”. Por citar un ejemplo dramático: la nave Mars Climate Orbiter, que
se estrelló contra Marte en 1999, falló porque los científicos se equivocaron
21

con las unidades. Investigaciones posteriores al accidente demostraron que la
firma aeroespacial, fabricante de la sonda, trabajaba con datos
correspondientes a las medidas anglosajonas en lugar de las Sistema
Internacional. El resultado de este error hizo que la nave viajara a una latitud
inferior a la razonable y el rozamiento con la atmósfera marciana destruyó la
nave, error que le costó a la NASA 125 millones de dólares.
Múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI
Múltiplos Submúltiplos
FACTOR PREFIJO SÍMBOLO FACTOR PREFIJO SÍMBOLO
1024
yotta Y 10-1
deci d
1021
zetta Z 10-2
centi c
1018
exa E 10-3
milli, mili m
1015
peta P 10-6
micro 
1012
tera T 10-9
nano n
109
giga G 10-12
pico p
106
mega M 10-15
femto f
103
kilo k 10-18
atto a
102
hecto h 10-21
zepto z
101
deka, deca d 10-24
yocto y
4.- Magnitudes
4.1.- Magnitudes: longitud, masa y capacidad
Sin duda la magnitud más estudiada y conocida dentro del ámbito escolar es
la longitud. Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas
veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos
obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida.
Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija,
universal e invariable. Pero en muchas ocasiones el metro resulta demasiado
pequeño o demasiado grande, de aquí la necesidad de crear los múltiplos y
submúltiplos del metro.
22

UNIDADES DE LONGITUD
MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS
Nombre
Kilómetro
hectómetro
decámetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
micrómetro
nanómetro
picómetro
Símbolo
km
hm dam m dm cm mm µm ηm ρm
Equivalencia 103
m 102
m 10 m 10-1
m 10-2
m 10-3
m 10-6
m 10-9
m 10-12
m
Hay otros múltiplos como Mega, Giga y Tera que no se suelen emplear en las
medidas de longitud, sin embargo sí se utilizan con frecuencia las siguientes:
unidades referidas bien a distancias grandes o bien a distancias pequeñas.
• UA = unidad astronómica = radio medio de la órbita de la tierra en torno al sol =
149680000 Km.
• Año-luz = distancia recorrida por la luz en un año ≅ 9.4608×1012 Km.
(Velocidad de la luz = 300.000 Km/seg,
• Parsec (pc) = 3,26 años-luz.
• Para átomos y moléculas se usa el Amstrong (

Α)=10-10
m.
Siguiendo un esquema similar presentamos la unidades de masa
23

UNIDADES DE MASA
Nombre
Kilogramo
hectogramo
decagramo
gramo
decigramo
centigramo
miligramo
microgramo
nanogramo
picogramo
Símbolo
Kg.
Hg. dagr gr. dgr cgr mgr µgr ηgr ρgr
Equiva-
lencia
103
gr.
102
gr.
10
gr.
10-1
gr.
10-2
gr.
10-3
gr.
10-6
gr.
10-9
gr.
10-12
gr.
Las medidas de capacidad son unidades derivadas, pero de uso cotidiano y
al igual que la masa y la longitud, van de diez en diez.
UNIDADES DE CAPACIDAD
Nombre
Kilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
Símbolo
Kl.
Hl. dal l dl cl. ml
Equiva-
lencia
103
l 102
l 10 l 10-1
l 10-2
l 10-3
l
Hay otras unidades que suelen aparecer en textos de prensa o revistas son:
De longitud:
Pulgada = 2,54 cm
Pie = 30,48 cm = 12 pulgadas
Yarda = 0,9144 m = 3 pies
Milla terrestre = 1,6093 Km. = 1609,3 m
Milla marina = 6080 pies = 1,8531 Km. = 1853,1 m
De masa:
Onza = 28,35 gr.
Libra = 16 onzas = 453,6 gr.
Arroba = 28 libras = 12,7 Kg.
De capacidad:
Pinta = 0,568 litros
Galón británico = 8 pintas = 4,546 litros
Barril americano = 158,98 litros (Para petróleo)
24

Como seguramente observarás, las unidades que hemos presentado son
múltiplos o divisores de diez con respecto a la unidad principal. Todas siguen
un mismo patrón, es el siguiente:
MÚLTIPLOS Uni-
dad
SUBMÚLTIPLOS
Divisores.
Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca 1 deci centi mili micra nano pico
T
G M K h da d c m µ η ρ
1012
109
106
103
102
10 10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
4.2.- Magnitud: Superficie
Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos
dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella
una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro
cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan
sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.
UNIDADES DE SUPERFICIE
Nombre
Kilómetrocuadrado
Hectómetrocuadrado
decámetrocuadrado
metrocuadrado
decímetrocuadrado
centímetrocuadrado
milímetrocuadrado
Símbolo
Km2
Hm2
dam2
m2
. dm2
cm2
mm2
Equivalencia 106
m2
104
m2
102
m2
1 10-2
m2
10-4
m2
10-6
m2
Ha a ca
Hectárea
área
centiárea
UNIDADES AGRARIAS
La comprensión de los conceptos de perímetro, área y volumen se amplían y
profundizan en la educación secundaria. Además de comprender y aplicar las
fórmulas pertinentes de cara a realizar los cálculos pedidos, los alumnos
deberían desarrollar procedimientos significativos, a través de investigaciones,
en vez de memorizarlos. Un dominio particularmente rico y asequible para
realizar estas investigaciones lo constituye el cálculo del área de figuras en el
25

plano. Una vez que los estudiantes han descubierto que es posible hallar el
área de un rectángulo , en principio de medidas naturales, cubriéndolo
mediante un cierto número de cuadraditos( aspecto que ya se ha trabajado en
la educación primaria),y posteriormente relacionar ese número con el valor
numérico que resulta de aplicar a fórmula del área del rectángulo( base.
altura), ya están preparados para explorar y descubrir otras relaciones , como
las que existen entre el área del rectángulo, el paralelogramo, el triángulo, el
trapecio, etc.. Esta exploración permite a los estudiantes la oportunidad de ver
como se relacionan entre sí las ideas matemáticas y además razonar de
manera deductiva. Son procesos simples pero de una gran potencia, en los
que únicamente se aplican procedimientos, más o menos inteligentes, de
descomposición y recomposición de figuras en el plano.
En los siguientes dibujos se puede observar cómo se puede calcular y justificar
el cálculo del área de determinadas figuras que mediante transformaciones
elementales se relacionan con otras figuras de área conocida.
Área del paralelogramo aBasexalturA =
Área del triángulo
2
aBasexaltur
A =
Área del trapecio
altura
baseBase
A .
2
)( +
=
Ärea del Hexágono regular
apotema
Perímetro
A .
2
)(
=
26

Ärea del círculo 2
.rA π=
Para ejercitarte, calculando áreas de figuras, trata de razonar, descubrir y
justificar el área de las figuras que se muestran en relación a las siguientes
composiciones
Ärea del trapecio
Área del triángulo
Proyecto de investigación: problemas de cuadratura
Los problemas geométricos de disección plantean la partición de figuras
geométricas en trozos de forma que al unirse se obtengan otras figuras
geométricas. Lógicamente la figura inicial y la que resulta de volver a unir
27

todos los trozos son figuras equivalentes( del mismo área). Los problemas de
cuadratura son aquellos en las que se trata de realizar distintas divisiones, en
nuestro caso de figuras planas, (por ejemplo un polígono regular) de forma que
con las piezas obtenidas pueda construirse un cuadrado. Los siguientes
ejemplos son soluciones de cuadratura de diversos polígonos. Trata de
comprender la figura e investiga cada uno de los casos.
PROBLEMAS DE CUADRATURA
Medida de terrenos y la fórmula de Herón. Si queremos calcular el área de
un terreno triangular aplicando el procedimiento académico, esto es calcular la
base y su altura correspondiente… tenemos serios problemas ¿cómo medir la
altura?. Para resolver este problema existe un método llamado el método de
Herón ,¿ quién fue Herón y qué hizo?.Herón de Alejandría vivió hacia el siglo III
a. de C. se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos
permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados. No es
necesario por tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Si llamamos s
al semiperímetro y a, b, c a los tres lados. Entonces el área del triángulo
puede expresarse como
28

5.- La trigonometría y el sistema sexagesimal
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones
entre los ángulos y los lados de los triángulos. Su conocimiento se utiliza
frecuentemente para resolver problemas de medidas y para ello se vale de las
razones trigonométricas y de algunos resultados notables, como los teoremas
del seno y del coseno.
Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los
lados de un triángulo rectángulo. Se definen:
Para resolver algunos problemas de medidas es también necesario conocer
los llamados teoremas del seno y del coseno, que dicen lo siguiente:
Teorema del seno: En cualquier triangulo, la medida del lado es directamente
proporcional al seno del ángulo opuesto.
Teorema del coseno: En cualquier triangulo, el cuadrado de un lado es
equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos su doble
producto por el coseno del ángulo que forman.
Nota: Es claro que para agilizar los cálculos hay que utilizar una calculadora
científica.
29

El Tiempo es la magnitud física que mide la duración o separación de
acontecimientos sujetos a cambio, esto es, el período que transcurre entre el
estado del sistema cuando éste aparentaba un estado A y el instante en el que
A registra una variación perceptible para un observador (o aparato de medida).
El tiempo es una magnitud que permite ordenar los sucesos en secuencias,
estableciendo un pasado , un presente y un futuro, y da lugar al principio de
causalidad , uno de los axiomas del método científico
El segundo es la unidad de tiempo en el Sistema Internacional de Unidades.
Un minuto equivale a 60 segundos y una hora equivale a 3.600 segundos.El
símbolo del segundo es s (adviértase que no es una abreviatura: no admite
mayúscula, punto ni plural). Hasta 1967 se definía el segundo como la ochenta
y seis mil cuatrocientosava parte de la duración que tuvo el día solar medio
entre los años 1750 y 1890 y, a partir de esa fecha, su medición se hace
tomando como base el tiempo atómico. Además del segundo, minuto, hora,
día , semana, quincena, mes, año y siglo se suelen emplear en ocasiones muy
especiales los siguientes múltiplos y submúltiplos del segundo.
Submúltiplos
del segundo
Múltiplos
el segundo
Valor Símbolo Nombre Valor Símbolo Nombre
10–1
s ds decisegundo 101
s das decasegundo
10–2
s cs centisegundo 102
s hs hectosegundo
10–3
s ms millisegundo 103
s ks kilosegundo
30
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en
60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se
aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
Unidades de medida de ángulos
La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado. Un grado es el
ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Para medir ángulos
con más precisión y exactitud, se utilizan unidades menores que el grado: el minuto y el
segundo.
• Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1° = 60'
• Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1' = 60"
Los ángulos también se miden en radianes (El radián es la unidad de ángulo plano en el
Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia
que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.)
- Unidades de medida de tiempo
Unidades de medida de tiempo son el siglo, el año, el mes, el día... Para medir períodos
de tiempos menores que el día utilizamos la hora, el minuto y el segundo.
1 hora tiene 60 minutos
1 minuto tiene 60 segundos

10–6
s µs microsegundo 106
s Ms megasegundo
10–9
s ns nanosegundo 109
s Gs gigasegundo
10–12
s ps picosegundo 1012
s Ts terasegundo
Desde un punto de vista filosófico el tiempo es un concepto primario que no
se puede definir en referencia a ningún otro concepto más básico. Su definición
es difícil y se basa en la experiencia universal de que el tiempo existe y que
tiene ciertas propiedades. Dicho de otro modo, es algo de lo que tenemos un
conocimiento tosco. Si acudimos a los distintos diccionarios, nos encontramos
con algunas de las siguientes características respecto a la magnitud tiempo:
es aparentemente continuo, no comparte características con el espacio
,los sucesos están ligados al tiempo (de hecho es imposible la existencia de
un suceso sin el tiempo y medimos el tiempo como el intervalo entre dos
sucesos).
Lo sucesos ocurren secuencialmente en el tiempo., el tiempo corre en una sola
dirección. No se puede ir “hacia atrás” en el tiempo.
Estas propiedades percibidas del tiempo condicionan nuestra forma de
representarlo. Desde un punto de vista matemático, el tiempo se pueden
representar mediante una sucesión creciente de números reales.
Problemas propuestos
1. Estás ascendiendo por un camino y ve una señal que le indica que el
camino tiene una inclinación del 5% , o sea que asciende 5 m por cada
100 m de camino. ¿Cuál es el ángulo entre el camino y la dirección
horizontal?
2. Un árbol de 30 m de alto proyecta una sombra de 40 m de larga.
Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento
3. Calcula la altura de una torre, sabiendo que desde un punto del terreno
se observa su punto más alto bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos
10 m, bajo un ángulo de 60°.
4. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la
otra orilla, bajo un ángulo de 70º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el
ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura
del río
5. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus
lados miden 180 m y 50 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
6. Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos
llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 50 m, desde los
puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC
ángulos BAC = 52º y BCA = 61º. ¿Halla la distancia entre A y B?
7. Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros
puntos accesibles C y D, separados por la longitud de 70m . Suponiendo
que los ángulos ACD = 81º; BCD = 40º, BDC = 32º y ADC = 23º .
Determinar la distancia AB.
8. Dos coches, con velocidades respectivas de 70km/h y 80km/h, toman
dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 60º ¿Qué distancia
habrá entre ellos a los 5 minutos de viaje?
9. Un viajero parte con una velocidad de 75km/h; a los 10 minutos se da
cuenta de que se ha equivocado de carretera y toma otra que forma un
ángulo de 120º con la anterior (a la misma velocidad) ¿A qué distancia
31

del punto de partida se encuentra a los 20 minutos de haber tomado esta
segunda carretera?
10. Tres personas están en tres puntos distintos de la orilla de un lago, la
primera dista de la segunda 1,2 km, la segunda de la tercera 1'3 km y
ésta de la primera 2km ¿Qué ángulos forman entre sí dichas personas?
11. Un aeroplano vuela a 160 km/s hacia el nordeste, en una dirección que
forma un ángulo de 52° con la dirección este. El viento está soplando a
20 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 30º con la
dirección norte. ¿Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del
aeroplano?
Proyecto de investigación: El método de Eratóstenes para medir la
circunferencia de la Tierra
Es increíble lo que se puede hacer con una vara de madera, un poco de
geometría y algo de imaginación. La idea se le ocurrió por primera vez a
Eratóstenes de Cirene, científico griego nacido por el año 280 a.C. Eratóstenes.
Los griegos de la época de Eratóstenes ya sabían que sabían que la Tierra era
redonda. Lo que no conocían era de qué tamaño.
En un papiro que encontró en la biblioteca de Alejandría, Eratóstenes leyó
acerca de un lugar llamado Siena (hoy Asuán), situado al sur de Alejandría,
que los rayos del Sol caían a plomo a una hora determinada en el día del
solsticio de verano. Esto se sabía porque en Siena había un pozo muy
profundo en cuyas aguas se podía ver reflejado el Sol justo al mediodía en el
solsticio de verano. Mientras que clavando una vara en el suelo en Alejandría
a la misma hora y el mismo día, Eratóstenes observó que la vara producía una
pequeña sombra. En definitiva, la vara proyectaba sombra en Alejandría, pero
no en Siena. Si realizamos un esquema tenemos:
Eratóstenes dedujo lo siguiente: si los rayos del Sol inciden directamente en
Siena, pero en Alejandría hacen un ángulo con la vertical, ese ángulo es igual
al que formarían las verticales de las dos ciudades si las prolongáramos hasta
el centro de la Tierra, es decir, es igual a la diferencia de latitud geográfica
entre Siena y Alejandría. Llamemos a este ángulo A.
Una vez medido el ángulo A, Eratóstenes contrató a un camellero para que se
fuera caminando a Siena y midiera la distancia entre las dos ciudades. La
distancia resultó ser de cerca de 840 kilómetros. El ángulo A, como comprobó
Eratóstenes, era de alrededor de 7.5°. La distancia de Alejandría a Siena, era
32

de unos 5.250 estadios. Un estadio es una medida antigua que equivale a
cerca de 157.5 metros. Con esta interesante información en manos,
Eratóstenes se dijo: el ángulo A (7.5°) es la cuadragésima octava parte de un
círculo completo (360°), por lo tanto, la distancia entre Alejandría y Siena
(5.250 estadios) debe estar en la misma proporción a la circunferencia total de
la Tierra, o sea, ésta debe ser 48 veces 5.250 estadios, o 252,000 estadios:
40,000 kilómetros, aproximadamente. Cometiendo un insignificante error.
Proyecto de investigación: Eratóstenes calculó el radio de la tierra basándose
en el hecho de que en uno de los lugares la vara no proyectaba sombra. Pero
si esto no fuera así. ¿cómo calcularías el radio de la tierra empleando algo de
trigonometría?
6.- Thales y la medida
Sin duda la aplicación “Thales” es una de las más socorridas a la hora de
calcular distancias de medidas indirectas. El historiador griego Plutarco, nos
describe el método que el mismo Thales, siendo aún adolescente, empleó para
calcular la altura de la gran pirámide de Keops. De acuerdo a Plutarco el joven
Thales razonó de la siguiente manera: "La relación que yo establezco con mi
sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". De ahí dedujo:
"En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra
de la pirámide será igual a su altura."
Thales se valió, únicamente de un
bastón, una cuerda . Así calculó
que la sombra proyectada por su
altura, guardaría una proporción
similar a la sombra de la propia
pirámide con respecto a la altura
de ésta.
Es muy importante que los alumnos comprendan y utilicen el concepto de
semejanza, ya que está muy relacionado con la proporcionalidad y con la idea
funcional de correspondencia. De cara a la resolución de problemas es un
contenido clave y merece dedicarle tiempo y esfuerzo de cara a que los
estudiantes tengan un dominio claro y funcional del mismo. Los problemas
relativos a la construcción e interpretación de escalas son situaciones que nos
pueden ayudar a relacionar e incrementar el conocimiento de la semejanza, la
proporcionalidad y la razón y desde luego para resolver problemas de medida,
como ya hemos comentado.
El llamado teorema de Thales, dice lo siguiente:
33

"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos rectas transversales,
los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son
proporcionales”
EF
DE
BC
AB
=
Mediante este teorema se pueden resolver multitud de problemas, veamos
algunos:
1. Un poste vertical de 6 metros de alto, proyecta una sombra de 4 metros.
¿ Cuál es la altura de un árbol que a la misma hora proyecta una sombra
de 2,8 metros ?
2. Encuentra la altura de un poste, tomando en cuenta que la estatura de
un hombre es de 1.75 m y a cierta hora de un día soleado su sombra de
1.2 m, y en ese mismo momento la sombra del poste es de 3 m de
longitud.
3. También podemos aplicarlo para resolver multitud de situaciones
interesantes de medida( se pueden ver muchas más en el libro de
Vicente Meavilla)
calcular la anchura de un río calcular la distancia a un barco
calcular la altura de un edificio
utilizando un espejo
Calcular la altura de un objeto con pie no
accesible
34

calcular la anchura de un río( método de los postes Chino)
Calcular la altura de un objeto con pie no accesible
7.- El Teorema de Pitágoras
Es sin duda unos de los resultados más conocidos en la matemática escolar.
Establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa (el
lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los dos catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la
hipotenusa es , se cumple que:
35

222
bac +=
El resultado de este teorema es, en ocasiones, imprescindible para realizar
mediciones indirectas, como veremos en algunos de los siguientes ejercicios:
1. Calcula la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide
20 cm.
2. Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 30 y 40
centímetros respectivamente.
3. Calcular la altura de un triángulo equilátero de 40 cm de lado.
4. Calcula la apotema de un hexágono regular de 30 cm de lado
5. Calcula la diagonal más grande de un paralepípedo de medidas: 14, 15 y
16 cm respectivamente.
6. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias
inscrita y circunscrita a un cuadrado de 6 m de diagonal.
7. El perímetro de un trapecio isósceles es de 120 m, las bases miden 45 y
35 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
8. A un hexágono regular 20 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se
le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
9. En una circunferencia una cuerda mide 4,8 cm y dista 0,7 cm del centro.
Calcular el área del círculo.
10. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y
29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área
del círculo.
11. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar
el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los
extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de
un cateto sobre ella 60 m. Calcular:1 Los catetos.2 La altura relativa a la
hipotenusa.
13. Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de
acero. Si se desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia
de 4 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán?.
14. EL siguiente problema fue hallado en el capítulo IX del libro chino: "Chu
Chang Suan Shu" o "Arte Matemático en Nueve Secciones"
Crece en medio de una laguna circular de 3m (300cm) de diámetro un
junquillo que sobresale 30 cm del agua cuando se inclina hasta que lo cubre de
agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué profundidad tiene el agua?
A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que
matemáticos y aficionados a las matemáticas han dado sobre este teorema. Se
muestran a continuación algunas de las más conocidas. Trata de comprenderlas y en
su caso demostrarlas.
36

8.-El Volumen y su dificultad
A pesar de ser seres tridimensionales los seres humanos tenemos muchas
dificultades al afrontar problemas en los que aparezcan situaciones espaciales
que requieran el cálculo de medidas de volúmenes. Nos resulta más o menos
familiar trabajar con el cálculo de las medidas de algunas figuras como el cubo
o el paralepípedo; pero tenemos verdaderas dificultades para calcular el
volumen de otras figuras ¿cuál es el problema?
El volumen es un concepto matemático rico en significados que ocupa un lugar
relevante en la matemática escolar. A pesar de que algunos investigadores se
han interesado en este tema, comparado con otras nociones, el concepto de
volumen ha sido estudiado muy poco. El profesor Vergnaud ha realizado uno
de los estudios más científico y exhaustivo hasta la fecha sobre el problema del
volumen, y de una manera muy esquemática estas son sus conclusiones:
37

Considera que hay dos maneras de considerar el volumen:
1) Como una magnitud unidimensional, en la que se presta especial
atención a la medición directa y la comparación. Este acercamiento
requiere estructuras aditivas.
2) Como un producto de medidas. Requiere una estructura multiplicativa y
su comprensión es más difícil y compleja.
Según Vergnaud, la utilización de la segunda vía de cara a trabajar con el
volumen presenta mayores dificultades; mientras que el modelo aditivo, si bien
nos puede dar una idea más clara del concepto de volumen, puede presentar
un obstáculo para la comprensión del volumen como un producto de medidas.
Nos queda por tanto una vía híbrida, que consiste en partir de la práctica, por
ejemplo: rellenando cubitos para calcular el volumen de un paralepípedo,
acompañando su cálculo con la utilización de la fórmula que nos da de una
manera rápida el volumen del paralepípedo.
El interesante trabajo de Vergnaud nos alerta sobre las dificultades que los
alumnos tienen a la hora de comprender el concepto de volumen, sus
conclusiones son las siguientes:
a) El concepto de volumen nos es dominado por alumnos de 11 a 15 años,
sin embargo es enseñado hacia los 12 años.
b) Los alumnos confunden, en muchas ocasiones, el volumen de los
cuerpos con la superficie, en ocasiones con el perímetro y a veces
mezcla los dos aspectos expresando que el volumen de un paralepípedo
es igual a la superficie de la base más la altura.
c) El cálculo directo del volumen de un paralepípedo, presenta una
dificultad similar a la de encontrar una de las dimensiones, conocido el
volumen y las otras dos dimensiones.
d) El cálculo del volumen en relación a otro, es una tarea compleja para la
mayoría de los alumnos entre 11 y 15 años. Hacia los 15 años se suele
solventar satisfactoriamente esta dificultad.
e) Las dificultades para comparar volúmenes de esferas en función de su
radio son enormes.
Como resumen de estos aspectos podemos señalar que la adquisición del
concepto de volumen requiere una cierta paciencia y que la manipulación y
construcción de paralepípedos permitirá una mejor aprehensión de la fórmula
multiplicativa del volumen.
El Concepto de volumen.
Los cuerpos ocupan un lugar o extensión en el espacio. Llamaremos volumen
de un cuerpo al número que expresa la medida de su extensión en el espacio.
El volumen es una magnitud física derivada. Como sabemos La unidad para
medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3
) que
corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin
embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3
) y el
centímetro cúbico (cm3
).
Para medir el volumen de los líquidos y los gases también podemos fijarnos en
la capacidad del recipiente que los contiene, utilizando las unidades de
capacidad, especialmente el litro (l) y el mililitro (ml). Existe unas equivalencias
entre las unidades de volumen y las de capacidad:
38

1 l = 1 dm3
1 ml= 1 cm3
UNIDADES DE VOLUMEN
Nombre
Kilómetrocúbico
Hectómetrocúbico
Decámetrocúbico
Metrocúbico
Decímetrocúbico
Centímetrocúbico
Milímetrocúbico
Símbolo
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Equivalencia 109
m3
106
m3
103
m3
10-3
m3
10-6
m3
10-9
m3
Hay varios procedimientos para medir el volumen de diversos cuerpos. Veamos
como calcular el volumen de una pirámide y de una esfera.
8.1.-Volumen de una pirámide.
Los dibujos siguientes son suficientemente explicativos.
Primero dibujamos un cubo y trazando sus cuatro diagonales en el espacio,
dividimos al cubo en 6 pirámides iguales con misma base que el cubo y
altura la mitad de la arista del cubo. Como el volumen del cubo es igual al
volumen de 2 cajas o prismas cuadrados con misma base y altura la mitad
de la arista del cubo (que es la altura de las pirámides).Concluimos que
6·Volumen pirámide = Volumen cubo = 2·Volumen caja o prisma.
Es decir, 3·Volumen pirámide = Volumen prisma.
39

Por tanto, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un
prisma con las mismas dimensiones.
Hay otro procedimiento muy interesante para calcular de otra manera el
volumen de una pirámide, es el siguiente:
1.- Tomemos un prisma que tiene inscrita la pirámide en su interior.
2.- De este prisma nos quedarnos solo con un cuarto, por ejemplo, el de la
derecha ( tal como se muestra en el dibujo)
3.- Este cuarto de prisma, que contiene a su vez un cuarto de pirámide, le
dividimos en dos partes, tal como se muestra en el dibujo.
4. Si nos fijamos en el trozo que no es de la pirámide, y lo dividimos en dos, la
mitad es un trozo igual a un cuarto de pirámide, y la otra mitad, aunque no se
igual en forma, es igual en volumen, de manera que en un cuarto de prisma,
entran tres cuartos de pirámide.
Luego en un prisma entero, entran tres pirámides enteras, con lo que
deducimos que el volumen de la pirámide es el área de su base, multiplicada
por su altura y dividido entre tres
Haciendo una analogía o similitud entre prisma y cilindro, puesto que el
cilindro es el cuerpo de un prisma cuya base tiene infinitos lados, podemos
concluir que las fórmulas de un prisma se pueden aplicar a un cilindro. Lo
mismo sucede con el cono y pirámide, que tienen fórmulas muy parecidas....
8.2.-Dos maneras de calcular el volumen de una esfera:
a.- Método hindú
Consideramos la esfera dividida en multitud de pequeñas pirámides iguales con
vértice común en el centro de la esfera. La base de cada una de las pirámides
es muy pequeña, por lo que podemos considerarla plana y aplicar la fórmula
40

del volumen de una pirámide. Así, si llamamos Ab al área de la base de la
pirámide, su volumen es:
Volumen de la Pirámide = área de la base · altura/ 3 = Ab · r /3
Como el volumen, V, de la esfera es la suma de los volúmenes de todas las
pirámides:
Volumen de ESFERA = (Ab1 + Ab2 + Ab3 + ... ) r /3
La suma de las bases de todas esas pirámides será el área total de la esfera
(que, como ya sabemos, es 4πr2
): Por tanto el volumen de la esfera será:
V ESFERA = (4πr2
) · r/ 3 = 4/3( π r3
)
b- Arquímedes y el volumen de la esfera.
Como sabemos el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmula se debe al genial científico Arquímedes ( siglo III a.C), sin duda
fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso.
Vamos a ver cómo lo consiguió.
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono
recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:, tal como
se muestra en la siguiente figura:
Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (a distancia d
de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que
este plano crearía en cada una de las figuras:
• Cilindro: la sección es una circunferencia de radio R.
• Semiesfera: la sección es también una circunferencia pero de distinto
radio, digamos r. Mirando la siguiente figura
41

y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2
+d2
=R2
.
• Cono: La sección es también una circunferencia, pero ahora, como
podemos se ve aquí
El radio de la sección circular es d.
Por tanto tenemos:
Sección cilindro = πR2
= π(r2
+d2
) = πr2
+πd2
=
Sección semiesfera+Sección cono
Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras( realmente
estamos aplicando el famoso principio de Cavalieri):
Si para cada rebanada se tiene la relación anterior es claro que los volúmenes
siguen la misma relación. Es decir:
Volumen cilindro =Volumen semiesfera+Volumen cono
Pero Arquímedes ya conocía los volúmenes del cilindro y del cono:
Por tanto:
De donde el volumen de una esfera de radio R:
Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su
tumba la siguiente imagen:
42

En lo que respecta al volumen de los sólidos geométricos podemos
poner resumirlo en el siguiente mapa conceptual.
8.3.-Medición del volumen en cuerpos no regulares
Cuando un sólido no tiene una forma geométrica estándar, que permita
determinar por cálculo su volumen, se suele utilizar un procedimiento se le
atribuye a Arquímedes.
Supongamos que se desea saber el volumen de un objeto irregular pequeño.
En un recipiente graduado vertemos un líquido y, a continuación, sumergimos
en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer. Lógicamente se ha producido
un aumento de de nivel del líquido nos permitirá, mediante una simple resta,
determinar el volumen del objeto. El siguiente diagrama muestra un objeto
irregular y un recipiente con 9 centímetros cúbicos de agua. La cantidad de
agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella.
Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua
que provoca:
43

Al introducir el objeto al recipiente el agua subió su nivel marcando un volumen
de 25 cm3
. Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 15 cm3
por
tanto la diferencia de volumen se debe al volumen que aporta el objeto.
El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto,
menos el volumen del agua sin el objeto:
V = 25 cm3
- 15 cm3
= 10 cm3
Por lo tanto el objeto tiene un volumen de 10 cm3
9.- Las unidades de las nuevas tecnologías
Con la aparición de las nuevas tecnologías han surgido por doquier una serie
de términos que para muchas personas son casi desconocidos. Así, se habla
de bits, byte, gigas, megas, tera, etc. Pero qué son y qué significan.
Un bit es un dígito del sistema de numeración binario. Como sabemos en el
sistema de numeración decimal se usan diez dígitos, mientras que en el
binario se usan sólo dos dígitos, el 0 y el 1. Un bit o dígito binario puede
representar uno de esos dos valores, 0 ó 1. Por tanto el bit es la unidad
mínima de información empleada en cualquier dispositivo digital. Con el bit,
podemos representar dos valores cualesquiera, como verdadero o falso,
abierto o cerrado, blanco o negro, norte o sur, masculino o femenino, triste o
alegre, etc. Basta con asignar uno de esos valores al estado de "apagado" (0),
y el otro al estado de "encendido" (1). Evidentemente, podemos encontrar
cuatro posibles combinaciones utilizando dos bits, son las siguientes:
Con estas cuatro combinaciones podemos representar hasta cuatro
valores diferentes, como por ejemplo, los colores blanco, verde, azul y
negro.
A través de secuencias de bits, se puede codificar cualquier valor
discreto como números, palabras, imágenes,…
Por ejemplo con cuatro bits se pueden representar hasta 24
= 16
valores diferentes; con ocho bits se forma un octeto, y se pueden
44

representar hasta 28
= 256 valores diferentes. En general, con un
número n de bits pueden representarse hasta 2n
valores diferentes
Un Byte es una voz inglesa, que la Real Academia Española ha aceptado
como equivalente a octeto, es decir a ocho bits. La unidad byte no tiene
símbolo establecido internacionalmente, aunque en países anglosajones es
frecuente B mientras que en los francófonos es o (de octeto). Se usa
comúnmente como unidad básica de almacenamiento de información en
combinación con los prefijos de cantidad.
Los prefijos usados para medidas de byte normalmente son los mismos que los
prefijos del SI utilizados para otras medidas, pero tienen valores ligeramente
distintos. Se basan en potencias de 1024 (210
), un número binario conveniente,
mientras que los prefijos del SI se basan en potencias de 1000 (103
). La tabla
inferior ilustra estas diferencias.
Nombre
Abreviatur
a.
Factor
binario
Tamaño en el
SI
bytes B 20
= 1 100
= 1
kilo k 210
= 1.024 103
= 1.000
mega M 220
106
giga G 230
109
tera T 240
1012
peta P 250
1015
Así podemos establecer las siguientes equivalencias:
8 bits = 1 byte
1.024 bytes = 1 Kilobyte
1.024 kilobytes = 1 Megabyte
45

1.024 MegaBytes = 1 GigaByte
1.024 GigaBytes = 1 Terabyte
1.024 Terabytes= 1 Petabyte
Para hacernos una idea de la posibilidad de almacenamiento, medido en las
magnitudes mencionadas, aquí tienes una muestra
Tamaño Capacidad de almacenamiento aproximada
1 B Una letra
10 B Una o dos palabras
100 B Una o dos frases
1 KB Un cuento corto
10 KB Una página de enciclopedia (tal vez con un dibujo simple)
100 KB Una fotografía de poca resolución
1 MB Una novela entera de unas 500 páginas
10 MB Todas las obras completas de Pérez Galdós
100 MB Varios metros de libros.
1 GB Una furgoneta llena de páginas con texto
1 TB Una pequeña biblioteca de barrio
10 TB Todos los libros de la biblioteca Nacional
Proyectos de investigación relacionados con la medida.
1.- El tiempo y el calendario
Para controlar y organizar el tiempo disponemos del calendario, ¿qué es el
calendario?
Nuestro calendario se denomina gregoriano, actualmente utilizado de manera
oficial en casi todo el mundo. Así denominado por ser su promotor el Papa
Gregorio XIII, vino a sustituir en 1582 al calendario juliano, utilizado desde que
Julio César lo instaurara en el año 46 a.C. El Papa promulgó el uso de este
calendario de manera universa, algunas de sus características son las
siguientes: establece tres tipos de años, año común de 365 días, año bisiesto
de 366 días, año secular, el terminado en "00" -múltiplo de 100-
Estudia con detalle las características del calendario gregoriano.
2.- Estimar el volumen de la madera de un bosque
Para resolver esta situación hay que comprender el problema en su globalidad
y además entender una serie de conceptos que son claves para resolver la
situación. Por ejemplo, el concepto de «densidad» de madera de un bosque,
que podemos definirla como el volumen de la misma por unidad de superficie
de bosque. La solución de esta situación nos implica recurrir de una u otra
manera a los siguientes aspectos
b) Estudiar la trigonometría, para medir la altura aproximada de los árboles.
c) Medir el área de superficies no regulares (bosque), bien mediante plantillas
de papel milimetrado transparente, o bien aproximando mediante su
descomposición en rectángulos o triángulos sencillos.
c) Aplicar fórmulas de longitud, superficie y volumen de circunferencia, círculo y
cilindro.
46

d) Aplicar conceptos probabilidad, de cara a seleccionar y estudiar una
muestra de determinados árboles del bosque.
e) Comprender y utilizar el concepto de la densidad del bosque ocupada por
árboles, utilizando la escala, para ello podemos utilizar una foto aérea del
bosque.
Para afrontar el proyecto hemos de resolver una serie de subproblemas como
los siguientes. :
a) Estimar el valor medio de la altura y del perímetro de los árboles del
bosque;
b) Realizar una comparación entre las estimaciones realizadas y los valores
medidos en la realidad para ver cuales son los errores cometidos
c) Calcular el valor promedio del volumen del tronco de un árbol( suponiendo
que el árbol es un cilindro)
d) Comprender y aplicar el concepto de «densidad» de madera del bosque .
e) Calcular el área del bosque, a través de una foto aérea;
f) Calcular el volumen total de madera.
3.- Google Earth y las medidas
Google Earth es un programa informático (Software), que permite visualizar
imágenes en 3D del planeta, combinando imágenes de satélite, mapas y el
motor de búsqueda de Google. Permite ver imágenes a escala de un lugar
específico del planeta y muchas cosas más, como
• Observar la Tierra en tres dimensiones y rotar la vista.
• Explorar las Estrellas, otros Planetas
• Visualizar ciudades en diferentes países del mundo, cambiar de un país
a otro o de un continente a otro, y recorrer desiertos o selvas.
• Observar calles, edificios, casas, monumentos, ríos, etc.
• Seleccionar un lugar específico, aproximarse a él desde la atmósfera y
observarlo desde diferentes alturas
• Medir la distancia entre dos sitios por medio de una línea recta o
trazando una trayectoria.
• Observar e identificar tipos o formas de relieve en cualquier lugar del
mundo (volcanes, cordilleras, valles, picos, etc.) y conocer la medida
exacta de su altura sobre el nivel del mar.
• Conocer las coordenadas de cualquier punto de la Tierra con solo ubicar
el ratón sobre el sitio.
El proyecto que te proponemos es calcular distancias y áreas de diversos
elementos: longitud de un río, área de un terreno , pendiente de un terreno,
etc. utilizando el Google Earth.
La solución del túnel Eupalinos
Es evidente que hay que recurrir a una construcción auxiliar como el siguiente.
47

Se traza una línea poligonal AHCFBA, en la que los ángulos AHC, HCF y
CFB son ángulos rectos. Dadas esas condiciones, las longitudes x e y
determinan los puntos E y G y por tanto la dirección AB, que era el objetivo a
resolver del problema.
Bibliografía
1. BISHOP, A. (1999): Enculturacion matemática: la educación matemática
desde una perspectiva cultural, Paidós, Barcelona.
2. CHAMORRO, C. y J.M. BELMONTE (1988): El Problema de la Medida:
didáctica de las magnitudes lineales, Síntesis, Madrid.
3. DE PRADA VICENTE, M.D.(1990). Cómo enseñar las magnitudes, la
medida y la proporcionalidad. Agóra. Málaga
4. DE LORENZO PARDO, J. A.(1998) La revolución del metro. Celeste
5. DEL OLMO, M.A. (1989): Superficie y volumen ¿algo más que el trabajo
con fórmulas?, Síntesis, Madrid.
6. GRUPO CERO (1984): De 12 a 16, Mestral. Valencia.
7. GUEDJ, D.(2003): El metro del mundo. Anagrama.Barcelona
8. LUELMO M. J. Medir en Secundaria: algo más que fórmulas X JAEM.
Ponencia P83, pp. 727-737
9. MEAVILLA, V.(2001). Aspectos históricos de las matemáticas
elementales. Universidad de Zaragoza
10.REAL DECRETO de las enseñanzas mínimas correspondientes a la
Educación Secundaria Obligatoria.(BOE: 5/ Enero /2007)
11. WIKIPEDIA: http://es.wikipedia.org/
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