Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo cómo calcular el máximo común divisor de números, factorizar polinomios con términos comunes, trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados, y trinomios de la forma x2 + bx + c. El objetivo es proporcionar una guía sobre los procedimientos básicos para descomponer expresiones en factores.

1. Factorizació
n (Versión preliminar)
M. en C. René Benítez López
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

2. Máximo común divisor de dos o
más números
Calcular el máximo común divisor (mcd) de 30 y 45.
30 45 3 Menor divisor primo común de 30 y 45
10 15 5 Menor divisor primo común de 10 y 15
2 3
3 × 5 = 15 Es el máximo común divisor
de 30 y 45
Termina aquí, porque 2 y 3 no tienen un divisor
primo común.

3. Factor común de dos o más
términos
El factor común de dos o más términos es el término formado por el mcd de
los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponen-
te de las literales comunes a todos ellos.
La factorización de un polinomio con términos que tienen un factor común,
es el producto de dicho factor por un polinomio, cuyos términos son los
coicientes que resultan al dividir los términos del polinomio original entre el
factor común.

4. Factorizar el polinomio: 12a3 b 2 + 30a 2 b3
Factor común de los términos
12a3 b 2 + 30a 2 b3 = 6a 2b 2 ( 2a + 5b )
12a3 b 2
2 2
=
6a b
30a 2b 3
2 2
=
6a b

5. Factorización de un trinomio
cuadrado perfecto
Un trinomio es trinomio cuadrado perfecto (TCP), si es de la forma:
ax 2 + bx + c, o bien ax 2 − bx + c;
en donde a, b y c son tales que b 2 − 4ac = 0.
Ejemplo x 2 + 6x + 9 es TCP porque: 62 − 4 ( 1) ( 9 ) = 0

6. Ejemplo m 2 + 6mn + 9n 2 es TCP porque: ( 6n )
2
( )
− 4 ( 1) 9n 2 = 0
Un trinomio cuadrado perfecto de la forma ax 2 + bx + c,
se factoriza así: ax 2 + bx + c = ( ax + c )( ax + c )
( )
2
= ax + c
Un trinomio cuadrado perfecto de la forma ax 2 − bx + c,
se factoriza así: ax 2 − bx + c = ( ax − c )( ax − c )
( )
2
= ax − c

7. Ejemplo Factorizar el trinomio a 2 + 8a + 16.
Solución a 2 + 8a + 16 es un TCP, porque: 82 − 4 ( 1) ( 16 ) = 0
Entonces se factoriza así:
a 2 + 8a + 16 = ( 1a + 16 )( 1a + 16 )
= ( a + 4) ( a + 4)
= ( a + 4)
2

8. Ejemplo Factorizar el trinomio 4m 2n 2 − 4mn + 1.
Solución 4m 2 n 2 − 4mn + 1 es un TCP, porque: ( −4m ) 2 − 4 ( 4m 2 ) ( 1) = 0
Entonces se factoriza así:
4m 2n 2 − 4mn + 1 = ( 4m 2 n − 1 )( 4m 2 n − 1 )
= ( 2mn − 1) ( 2mn − 1)
= ( 2mn − 1)
2

9. Procedimiento para completar a
TCP un binomio de la forma
x 2 + bx
Para completar a trinomio cuadrado perfecto (TCP) un binomio de la forma
x 2 + bx,
se suma al binomio el cuadrado de la mitad del coeficiente del término
de primer grado.
Ejemplo Convertir a TCP el binomio a + 8a.
2
Solución El término de primer grado del binomio es 8a.
Sumando al binomio el cuadrado de la mitad de 8, se tiene el
TCP deseado: 2
a + 8a + 16

10. Factorización de una diferencia de
cuadrados
La factorización de una diferencia de cuadrados es un producto de
binomios conjugados, en los cuales el término común es la raíz cuadrada del
minuendo y los términos simétricos se obtienen mediante la raíz cuadrada del
sustraendo.
x2 1
Ejemplo Factorizar la diferencia − .
4 9
2
x 1 x2 1
Solución En − el minuendo es , y el sustraendo es .
4 9 4 9
Extrayendo raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, se
obtiene la factorización deseada. Observe:
x 2 1  x 1  x 1 
− =  +  − 
4 9  2 3  2 3 

11. Factorización de trinomios de la forma
x 2 + bx + c
Un trinomio de la forma x 2 + bx + c se fatoriza
así:
x 2 + bx + c = ( x + m ) ( x + n ) siempre que mn = c
m+n =b
Ejemplo La factorización del trinomio x 2 + 2 x − 3, es así:
x 2 + 2 x − 3 = ( x + 3 ) ( x − 1) porque:
( 3 ) ( −1) = −3
3 + ( −1) = 2

12. Fin