Baroody arthur matematica informal

EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO

ody, Arthur J. (1997) “Matemá
r
),
ática inform
mal: el pas intermedio esencial”,
so
Baroo
“Técn
nicas para contar” y “D
c
Desarrollo del número” en El pensamiento m
”,
matemático de
los niñ
ños. Un ma
arco evoluti para ma
ivo
aestros de preescolar, ciclo inicia y educac
al
ción
espec
cial, Genís Sánchez B
Barberán (t
trad.), 3ª.ed Madrid, Visor (Apr
d.,
rendizaje, 4
42),
pp. 33
3-47, 87-10 y 107-14
06
48.

1

Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza


Matemá
ática info
ormal:
El pa inte
aso ermedio esencia
al

¿Llegan los niños a la escue
ela con u
unos cono
ocimientos matemátic
cos
icativos? ¿Q papel ha desemp
Qué
peñado la e
experiencia concreta, e
especialmente
signifi
el con
ntar, en el desarrollo histórico del conocimiento ma
o
atemático? ¿ Cuál es la
s
natura
aleza y el alcance d la mate
de
emática na
atural de lo niños? ¿Por qué es
os
impor
rtante que lo niños do
os
ominen la m
matemática formal y cu es la me manera de
uál
ejor
a
abord la instru
dar
ucción inicia ¿Cuále son las c
al?
es
consecuenc
cias de pas por alto la
sar
o
matem
mática de lo niños?
os
A) EL CONOCI
IMIENTO M
MATEMATICO DE LO
OS
PREESCOL
LARES
Toda compre
ensión teórica de un materia debe basarse en la realidad y
na
a
d
verific
carse en la práctica. P
Para que teo y práct
oría
tica estén s
sólidamente enlazadas a
e
s,
lo larg de este libro se pres
go
sentarán diversos estu
udios de casos concre
etos. Por tan
nto,
el exa
amen de los conocimientos de lo preescol
os
lares se inicia con una mirada a un
a
caso real.
El caso de Alison
Alis
son, que co
ontaba con tres años y medio de edad, se h
hallaba cele
ebrando el
segun anivers
ndo
sario de su hermana.

PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A

Alison, ¿cuántos años hace hoy Ariann
e
ne?
[Levan dos ded
nta
dos.]
¿Cuán
ntos años ti
iene Alison?
[Levan tres ded
nta
dos.]
¿Cuán
ntos años ti
iene papá?
?
[Tras u
unos instan
ntes, levant cuatro de
ta
edos.]

2



Varias semanas más tarde se produjo la siguient conversa
s
o
te
ación
[Levan
ntando tres dedos.] ¿C
Cuántos de
edos hay?
[Va se
eñalando co un dedo mientras c
on
cuenta.] 1, 2 3.
2,
[Levan
ntando dos dedos.] ¿C
Cuántos dedos hay?
Es com Eanne [ edad de Arianne ]
mo
[la
e
¿ Cuá
ántos dedos son?
s
2.
[Saca tres moned
das.] ¿Me p
puedes decir con los de
edos cuánt
tas
moned tengo a
das
aquí?

ALISON:
A
[Levan tres ded y se po a contar.] 1, 2, 3, 4
nta
dos
one
4.
Au
unque sin perfeccionar, las aptitu
p
udes matem
máticas de esta niña preescolar ya
tienen cierta imp
n
portancia. A
Alisan es mu experta e contar co
uy
en
olecciones de uno, dos y,
s
con fr
recuencia, hasta tres o
h
objetos.
Lo cie es que hasta pued reconoc automát
erto
de
cer
ticamente c
colecciones de uno o d
s
dos
objeto como «uno» y «d
os
«
dos», respe
ectivamente. Si se le presenta un peque
e
a
eño
conjunto de obje
etos como, por ejemplo tres mon
o,
nedas, es ca
apaz de cre un mod
ear
delo
con s
sus dedos. En realidad, para A
Alison los d
dedos son un medio natural para
o
expre
esar ideas matemática (los usa
as
aba, por ej
jemplo, pa represe
ara
entar edade
es).
Adem
más, parecía escoger deliberadam
a
mente cuat dedos p
tro
para repres
sentar la ed
dad
de su padre, en una repre
u
n
esentación distinta de la emplea
e
ada para la edad de su
a
herma
ana y la suya propia Aunque de manera inexacta, pudo haber elegido un
a.
a
núme mayor para indica una com
ero
p
ar
mparación e
entre edade papá es mayor. ¿
es:
¿Es
Alison una niña preescolar típica? ¿Ll
n
legan a la e
escuela la m
mayoría de los niños c
con
técnic
cas matem
máticas bás
sicas como contar, r
o
reconocer, emparejar y compa
r
arar
conjuntos?
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P

La matemátic de Aliso se basa en exper
ca
on
a
riencias co
oncretas, co
omo contar y
emple los ded
ear
dos. ¿Qué importancia tienen es
a
stas experie
encias conc
cretas para el
a
desar
rrollo mate
emático de los niños? La ma
e
atemática de Alison tiene claras
limitac
ciones. Po ejemplo, contaba con exactitud y rec
or
conocía co
onjuntos m
muy
peque
eños, pero no conju
o
untos may
yores. ¿Cu
uáles son las limitac
ciones de la
matem
mática conc
creta de los niños? La matemát
tica de Alison es muy práctica. P
y
Por
ejemp conecta las repre
plo,
a
esentacione con los dedos con acontecim
es
mientos imp
portantes en su vida (usaba do dedos p
s
a
os
para representar la edad de su hermana) y los
emple para co
ea
omunicar s
sus ideas y necesid
dades. ¿Qu importa
ué
ancia tiene la
neces
sidad prácti para el desarrollo m
ica
matemático
o?

3



Do puntos de vista so
os
d
obre el niño preescol
o
lar
La teoría de la absorción parte del supuesto d que los n
n
de
niños llegan a la escuela
n
como pizarras en blanco sobre la que pueden escr
o
as
ribirse dire
ectamente las
matem
máticas esc
colares. Ap
parte, quizá, de alguna técnicas de contar a
as
aprendidas de
memo
oria, se con
nsidera que los preescolares car
e
recen de té
écnicas mat
temáticas. De
hecho el famos teórico a
o,
so
asociacionis E. L. T
sta
Thorndike (1
1922) cons
sideraba a los
niños pequeños tan inepto matemá
os,
áticamente hablando, que afirmaba: «Pare
ece
poco probable qu los niños aprendan aritmética antes de se
ue
s
n
egundo cur por muc
rso
cho
tiempo que se de
edique a el aunque hay mucho datos ar
llo,
os
ritméticos que se pued
den
apren
nder durante el primer curso» (p. 198). Adem
e
más, la teor de la absorción ind
ría
dica
que la técnica pa contar q tienen los niños cu
a
ara
que
uando se in
ncorporan a la escuela es
a
esenc
cialmente ir
rrelevante o constituy un obstá
ye
áculo para llegar al d
dominio de la
e
matem
mática form
mal. Con l instrucción formal, la adquis
la
sición del conocimiento
matem
mático real vuelve a partir básica
amente desde cero.
La teoría cogn
nitiva sostie que los niños no llegan a la e
ene
s
escuela com pizarras en
mo
blanco La recie
o.
ente investi
igación cog
gnitiva dem
muestra que, antes de empezar la
r
escola
arización formal, la mayoría d los niñ
f
de
ños adquie
ere unos c
conocimientos
consid
derables so
obre contar el númer y la aritm
r,
ro
mética. Ade
emás, este conocimiento
adquirido de manera inform actúa co
mal
omo fundam
mento para la compre
a
ensión y el d
dominio de las mat
temáticas im
mpartidas e la escuel En poca palabras, las raíces de
en
la.
as
las aptitudes matemáticas llegan hasta la ép
m
s
poca prees
scolar y el éxito de la
enseñ
ñanza esco se fund en este conocimiento aprend
olar
da
dido de man
nera inform
mal.
Para a
apreciar me la impo
ejor
ortancia de este eleme
ento básico, examinare
emos cómo ha
evoluc
cionado el conocimien matemá
nto
ático en el t
transcurso de la histor humana.
ria
B) BREVE HI
ISTORIA D LA MAT
DE
TEMÁTICA
Inicios concr
retos
Se
entido numé
érico básico El ser hu
o.
umano, com algunas otras esp
mo
s
pecies, pare
ece
estar dotado de un sentid numéric primitivo Podemo percibir fácilmente la
e
do
co
o.
os
e
difere
encia entre un conjunto de un elem
u
o
mento y una colección de muchos elementos o
a
s
s,
inclus entre una colección pequeña y otra gran
so
n
nde. Podem ver si s añade o se
mos
se
quita algo de una colecc
u
ción. Esta percepción directa puede ser muy útil en
n
r
determ
minadas circunstancia pero no en otras, como en e caso de distinguir u
as
el
una
banda de ocho aves de o de nue
ada
otra
eve.
Mé
étodos con
ncretos de contar. P
Para llevar la cuenta del tiempo y de s
a
sus
perten
nencias, nu
uestros ant
tepasados prehistórico idearon métodos b
os
basados en la
n

4



equiva
alencia y la correspo
ondencia b
biunívoca. La equival
lencia podía ofrecer un
registro de los días transcu
urridos, por ejemplo, d
desde el último plenilunio: añadir un
guijar cada noc hasta q la luna l
rro
che
que
llena volviera a aparec De la m
cer.
misma mane
era,
para l
llevar la cu
uenta de un colección de pieles animales, un cazado podía ta
na
s
,
or
allar
una m
muesca en un palo o un hueso por cada piel a
u
n
r
añadida al montón. Es proceso de
ste
o
equiva
alencia crea una corre
espondencia biunívoca ni más ni menos que un elemento
a:
e
del co
onjunto de muescas p cada ele
por
emento del conjunto d pieles. M adelan
de
Más
nte,
para comprobar si todaví estaban todas las pieles (s seguía h
r
ía
s
si
habiendo u
una
corres
spondencia biunívoca), éstas pod
a
dían empar
rejarse una a una con ·las muesc
a
cas
del pa para con
alo
ntar.
Re
estos del pasado. Nu
p
uestras len
nguas toda
avía tienen restos de las époc
n
e
cas
prenu
uméricas. Por ejemplo, en castella hay varias formas de expresar «dos»: p
P
ano
s
par,
pareja dúo, dob día da, etc. En ép
a,
ble,
pocas más primitivas, estos térm
s
minos pued
den
haber
rse usado para desig
gnar una pluralidad de objetos o categoría de obje
as
etos
espec
cíficos: un par de ojos, una pareja de personas, un dúo musical, un bifurcación.
p
a
na
De la misma ma
anera, los d
diversos tér
rminos para expresar «muchos» (por ejemp
a
plo,
multitud, masa, banda, ma
anada) des
scribían en su día colecciones e
específicas de
más d dos o tre elemento (por ejem
de
es
os
mplo, un ca
ardumen de peces, una bandada de
e
aves). Inicialmen el número no era más que u cualidad o una car
nte,
una
d
racterística de
un ob
bjeto determ
minado (Chu
urchill, 1961).
Má allá de lo puramen concret
ás
o
nte
to
Am
medida que las sociedades cazad
e
doras-recolectoras dab paso a comunidad
ban
des
seden
ntarias basa
adas en la agricultura y el comer
rcio, llevar l cuenta del tiempo (por
la
ejemp las esta
plo,
aciones) y las posesio
ones fue hac
ciéndose cada vez má importan
ás
nte.
En co
onsecuencia también fue en aum
a,
mento la ne
ecesidad de métodos más precis
e
sos
de numeración y medición b
basados en contar. Co
n
ontar es la b
base sobre la que hem
mos
edifica
ado los sis
stemas num
mérico y a
aritmético, de papel t
tan esencia en nues
al
stra
civiliza
ación avan
nzada. A su vez, el de
u
esarrollo de contar es íntimam
e
stá
mente ligado a
o
nuestros diez de
edos. Dantz (1954, p 7) afirma:
zig
p.
A s diez ded articulad debe e! h
sus
dos
dos
hombre su é
éxito en e! c
cálculo. Esto dedos le h
os
han
enseñ
ñado a conta y, en cons
ar
secuencia, a extender infinitamente e! alcance d número. Sin
de!
este in
nstrumento, la aptitud n
numérica del hombre no podría hab ido much más allá del
l
o
ber
ho
sentido rudimenta
ario del núm
mero. y es razonable a
aventurar qu sin nues
ue,
stros dedos, el
rollo del núm
mero y, en c
consecuencia, el de las ciencias ex
s
xactas a las que debem
s
mos
desarr
nuestr progreso material e in
ro
ntelectual, se hubiera vis irremedia
e
sto
ablemente m
menguado.

5



Co
ontar con lo dedos e el tramp
os
es
polín que p
permite sup
perar las lim
mitaciones de
nuest sentido numérico natural. D
tro
Donde los antropólog
gos no han encontra
ado
señales del emp
pleo de los dedos pa contar, la percepc
s
ara
ción del nú
úmero es m
muy
da
g,
estudios realizados co aborígen
on
nes
limitad (Dantzig 1954). Por ejemplo, en unos e
de Au
ustralia que no había alcanzad la etapa de contar con los d
e
an
do
a
r
dedos sólo se
encon
ntraron uno pocos que pudieran identificar e 4 y ningu que pud
os
el
uno
diera disting
guir
el 7. E este est
En
tado natura los aborí
al,
ígenes no d
desarrollan conceptos básicos de la
e
cantid y la me
dad
edida (Dase 1972; De Lemos, 1
en,
1969).
Nú
úmero abstr
racto. Es p
probable qu contar f
ue
fuera el medio por el que nues
stra
civilización desa
arrolló un c
concepto a
abstracto de número: un concepto que ha
el
ace
posible la matem
mática (Dan
ntzig, 1954). El matemá
ático Bertra Russell afirmaba q
and
l
que
do
e
nociera que las distintas
e
pudieron haber transcurrid eras antes de que se recon
dades (por ejemplo, un par de oj
jos, una pa
areja de pe
ersonas, un bifurcació
na
ón)
dualid
eran c
casos del número 2. N
n
Nuestros de
edos constituyen la ba común para designar
ase
distint dualida
tas
ades concre
etas como casos del n
número 2. Los dedos proporcion
nan
mode
elos fácilme
ente asequ
uibles de c
colecciones de uno a diez objetos. Pued
s
den
levant
tarse dos dedos, por ejemplo, para indica un par d ojos o una yunta de
d
r
ar
de
caballos. Con el tiempo, el nombre de esta colección modelo (<
e
e
<<dos») pu
udo
aplica
arse a cualq
quier colecc
ción concre que se c
eta
correspondiera con do dedos.
os
Du
urante un largo perío
l
odo de la historia, lo términos para «do
os
s
os», «tres» y
»
«muc
chos» sirvie
eron adecua
adamente (
(Smith, 192 A medi
23).
ida' que fue creciendo la
e
o
neces
sidad de un precisión mayor, co
na
n
ontar se co
onvirtió en un instrume
ento esenc
cial.
Conta coloca lo nombres de las co
ar
os
s
olecciones modelo en un orden y ofrece u
n
una
altern
nativa conve
eniente a la equivalencia para a
asignar nom
mbres num
méricos. Podía
hacer una pet
rse
tición direct
tamente co la palabr siete y c
on
ra
cumplirse p
posteriormente
contando siete objetos.
o
Con
nectar los dos aspecto del núme El núm
d
os
ero.
mero tiene d funciones: nombra y
dos
ar
orden
nar. El aspe
ecto nomin
nal, o cardi
inal, trata d los elem
de
mentos que contiene un
e
conjunto dado. Nombrar u conjunto no requie contar necesariamente. Como
un
o
ere
amos de ve un conju
er,
unto puede clasificarse como «cin
e
nco», por e
ejemplo, si s
sus
acaba
eleme
entos se corresponde exactam
c
en
mente (es decir, pueden formar una corr
responde
encia biunív
voca) con los element de una colección m
tos
modelo (po ejemplo, los
or
dedos de una mano) den
s
nominada «cinco». P tanto, nombrar conjuntos s
Por
sólo
requie coleccio
era
ones modelo como los ojos para representa dos, una hoja de tré
s
ar
ébol
para r
representar tres, las p
r
patas de un caballo pa el cuatro etc.
ara
o,
El aspecto de orden, u ordinal, de número, está relac
e
el
cionado con contar y se
refiere a colocar coleccione en sucesión por orde de magn
e
es
en
nitud. Conta proporcio
ar
ona

6



una s
secuencia ordenada d palabras (la serie numérica) que puede asignarse a
o
de
s
e
e
colecc
ciones cad vez may
da
yores. Para contar una colecció una pe
a
ón,
ersona asig
gna
suces
sivamente términos de la serie nu
t
e
umérica a c
cada elemento de la co
olección ha
asta
que h asignado un nombr a cada uno de los e
ha
o
re
elementos. El número asignado a la
colecc
ción especifica la mag
gnitud relativa del conjunto. Por e
ejemplo, si s ha conta
se
ado
una c
colección y se le ha asignado la palabra «cinco», será may que ot
a
a
yor
tras
designadas con uno, dos, tres o cuatro y menos q las des
o
que
signadas co seis o más.
on
ontar con lo dedos pu
os
uede enlazar los aspe
ectos cardin y ordina del núme
nal
al
ero.
Co
Para representa una cole
ar
ección com por eje
mo,
emplo, el n
número ca
ardinal 4, u
una
ona sólo tie
ene que le
evantar cua
atro dedos simultáne
eamente. P
Para contar la
r
perso
misma colección la person levanta cuatro ded en suce
n,
na
dos
esión. Los resultados de
conta son idé
ar
énticos a los de le
evantar sim
multáneame
ente cuatr dedos (la
ro
repres
sentación cardinal). P tanto, n
c
Por
nuestros de
edos son u medio p
un
para pasar sin
esfue
erzo de un aspecto del número al otro (Dantzig, 1930-1954).
a
l
El de
esarrollo de un sistem de num
e
ma
meración co órdenes de unida
on
s
ades de bas
se
diez
A medida qu las soc
ue
ciedades y las econ
nomías se fueron h
e
haciendo m
más
.comp
plejas, aumentó la pres
sión encam
minada a con
ncebir siste
emas de rep
presentació y
ón
de cá
álculo que pudieran aplicarse con efica
e
acia a gra
andes cant
tidades. Pa
ara
repres
sentar un rebaño de 124 ove
ejas, el empleo de un sistem de con
ma
ntar
estableciendo corresponde
c
encias es muy incóm
modo. Las tareas co cantidad
on
des
grand inspiraro la idea d hacer ag
des
on
de
grupamiento y nuestr diez ded ofrecieron
os,
ros
dos
una b
base natura para ello (
al
(Churchill, 1961). Por ejemplo, cuando una oveja pasa
aba
junto al pastor, éste la co
ontaba con los dedo Cuando llegaba a diez, podía
n
os.
o
sentar esta cantidad con un gu
a
uijarro. Con las mano libres ot vez, podía
n
os
tra
repres
prose
eguir el recu
uento. A me
edida que s iban acu
se
umulando lo guijarros podía haber
os
s,
simpli
ificado aún más el proceso sus
n
stituyendo diez guijarros por un piedra. P
na
Por
tanto, la piedra pasaría a represen
a
ntar 10 de
ecenas, o sea 100. Como es
stos
agrup
pamientos se basan en el 10 y en múltiplos de 10, el s
s
s
sistema em
mpleado por el
pastor se denom
mina sistem de base diez. Si tu
ma
uviéramos d
doce dedos es proba
s,
able
hubiéramos hechos es
stas agrupa
aciones de doce en do y hoy tendríamos un
oce
que h
sistem de base doce. Nues sistema de base d
ma
stro
diez es, sim
mplemente, un «accidente
fisioló
ógico» (Dan
ntzig, 1930-1954).
El primer sist
tema numé
érico conoc
cido apareció hacia e año 350 a. de C e
el
00
C.
incorp
poraba un concepto d base die (Bunt, J
de
ez
Jones y Bedient, 1976 El sistema
6).
cuneif
forme de lo sumerios y el siste
os
s
ema jeroglíf
fico de los e
egipcios em
mpleaban u
una
colecc
ción de traz para re
zos
epresentar los números del 1 al 9 (véase la fig. 2.1.A). Un

7



agrup
pamiento de decenas s representaba con u símbolo especial. M adelan
e
se
un
o
Más
nte,
los gr
riegos y los romanos d
s
desarrollaro sistemas diferentes Sin embargo, ningu
on
s.
uno
de est sistema numérico antiguos se prestab con facilidad al cálculo aritmético,
tos
as
os
s
ba
como demostrar rápidame
rá
ente el inten de realizar la suma de la figura 2.1.B.
nto
a
Aunque los símbolos es
s
scritos se han usado para repr
o
resentar nú
úmeros des
sde
tiempos prehistó
óricos, el de
esarrollo de unos procedimientos de cálculo eficaces tu
e
s
o
uvo
que esperar hast la invenc
ta
ción de un s
sistema de n
numeración posicional. En un sistema
n
posici
ional o de órdenes d unidades, el lugar de una ci
de
ifra define su valor. P
Por
ejemp en el nú
plo,
úmero 37 el 3 ocupa e lugar de la decenas y de ahí que represente
el
as
s
tres d
decenas, y no tres unid
n
dades. Esto elimina la necesidad de símbol especia
o
a
d
los
ales
para r
representar 10 y múltiplos de 10, como ocu
r
urre con los jeroglíficos egipcios. En
s
s
un sis
stema con órdenes de unidades pueden u
e
s,
usarse diez cifras (de 0 al 9) pa
z
el
ara
repres
sentar cualquier núme aun los números g
ero,
s
grandes, de una mane compac
e
era
cta.
¡Piéns
sese, por ejemplo, e lo que haría falta para rep
en
a
presentar 9
9.999.999 c
con
jeroglíficos!
Fig
gura 2.1 Co
omparación de distinto sistemas numéricos
os
s
s

* El siste
ema babilonio se adoptó a pa
artir del anterior sistema sum
merio. Obsérve
ese que la num
meración babilo
onia
empezó
ó como un sistema de base d
diez pero juego
o cambió a agru
upamientos ba
asados en 60 y múltiplos de 6
60.
Nótese que los símbo
olos para 1 y 60
0 son idénticos
s (Bunt et al., 1
1976). La posici
ión se usaba pa
ara indicar el

8



valor (p
por ejemplo, 63
3 se escribía Ῡ Ῡ Ῡ Ῡ). Al igual que el sistem
ma babilonio, l
la numeración romana no era
un siste
ema puro de ba
ase diez.

Con t
todo, la numeración p
posicional es una ide relativam
ea
mente abstracta y no se
impro
ovisó con ra
apidez. Es p
probable qu el impuls para un sistema po
ue
so
osicional fuera
produ
ucido por la necesidad de anotar por escrito las operac
d
o
ciones realizadas con un
ábaco El ábaco ilustrado e la figura 2.2 utiliza u modelo d base die la colum
o.
en
un
de
ez:
mna
de la derecha re
epresenta la unidade la siguie
as
es,
ente representa grupo de diez y la
os
siguie
ente grupos de cien. D acuerdo con esto, la figura 2.2 represe
s
De
a
2.A
enta el número
cuatro
ocientos tre
einta y dos (432) Y la f
figura 2.2.B el cuatroc
B
cientos dos (402).
Los usuarios de ábacos no debiero tener dif
s
s
on
ficultades c las colu
con
umnas vac
cías
hasta que tuviero que hac un regis perman
on
cer
stro
nente de su cuentas. El registro de
us
la figu 2.2.C, por ejemplo ¿represe
ura
p
o,
enta 42,402 ó 4.002? Parece se que el 0 se
2
er
invent para sim
tó
mbolizar un columna vacía y e
na
a
evitar esta confusión (por ejemp
plo,
Engle
ehardt, Ashl
lock y Webe 1984). Parece que, al principio el O significaba algo v
e,
o,
vacío o en blanco, no la nad (ningún objeto). Co la inven
da
on
nción del O fue posible la
e
conce
epción de un sistema n
numérico po
osicional (c órdenes de unidad
con
s
des). Esto h
hizo
posible la elabor
ración de algoritmos a
aritméticos q podían ser aprend
que
n
didos por c
casi
todo el mundo. La invenc
ción del O e uno de los mayor
es
res logros de la histo
oria
huma
ana, y fue un hito cruc que hiz posible la ciencia y el comer
u
cial
zo
rcio modern
nos
(Dantzig, 1954).
En realidad, los procedimientos de cálculo e
escrito sólo se han ve
o
enido usan
ndo
duran los últim trescien
nte
mos
ntos años d la historia de la hum
de
a
manidad. Ha sólo un
ace
nos
centenares de añ
ños, lo norm en Euro Occiden era con con los dedos. En los
mal
opa
ntal
ntar
libros y las unive
ersidades s enseñab a hacer cálculos ar
se
ba
ritméticos c los dedos.
con
plear los de
edos para contar y re
ealizar las operacione aritmétic
es
cas
«El arte de emp
llas era, en aquellos tiempos, uno de los logros de la persona cultivad
s
e
da»
sencil
(Dantzig, 1954, p. 11). .
p

9



Fig
gura 2.2 Re
epresentaciones concr
retas y escr
ritas de núm
meros en un ábaco.

o
ormalizada
El desarrollo de la matemática fo
omo la histo del número, la historia de la matemáti en gene (véase la
oria
a
ica
eral
e
Co
tabla 2.1) indica que los m
a
métodos y las formula
aciones de cariz inform o intuit
mal
tivo
eden a la matemática e
m
exacta y fo
ormalizada y actúan co
omo base p
para la misma
prece
(Kline 1974). Lo normal e que las pruebas d
e,
o
es
deductivas rigurosas ( empleo de
(el
principios generales para d
demostrar p
proposicion de una manera ló
nes
a
ógica) sigan a
n
ideas inductivas (descubrimiento de relaciones mediante el exame de caso
s
s
e
en
os).
Básicamente, los matemátic utilizan pruebas pa compro
s
cos
ara
obar sus ide intuitiva o
eas
as
inform
males. Las pruebas pu
p
ueden deter
rminar si un idea es lógicament coherente o
na
te
no. También pueden demo
ostrar si un idea se aplica a u caso ais
na
un
slado o a u
una
amplia gama de casos.
a
La perspectiv histórica indica que la matem
va
e
mática se en
ncuentra en permanente
n
evoluc
ción. Nues
stros siste
emas numérico y aritmético s
son la culminación de

10



literalmente mile de año de inve
es
os
entiva y pe
erfeccionam
miento. El conocimiento
mático se ha construido lentamente, idea tras idea. El conocim
miento que el
e
matem
adulto medio de nuestra cul
o
ltura da por sentado no estaba dis
r
o
sponible ha unos mi
ace
iles
de añ y ni siquiera ciento de años atrás. Con frecuenci se inven
ños
os
s
ia
ntaban nuev
vos
métod a partir de necesid
dos
dades prácticas y se ad
doptaban a causa de s utilidad. P
su
Por
ejemp
plo, los egipcios se v
vieron forza
ados a inv
ventar la ar
ritmética y la geomet
tría
eleme
entales par poder vo
ra
olver a colo
ocar las hita que mar
as
rcaban los límites de los
campos que el Nilo inundab cada pri
N
ba
imavera (Bunt et al., 1
1976). La verdad es que,
como se muestra en la ta
abla 2.1, no era frecu
o
uente que los nuevos métodos se
s
adopt
taran de in
nmediato ya que no «
a
«caían bien es dec no enca
n»,
cir,
ajaban en las
pauta de pensa
as
amiento pro
opias de la é
época.

Ta
abla 2.1 Bre historia del desarr
eve
a
rollo de la m
matemática
0-300 a. de C.
3.000

Egipcios y bab
bilonios con
nciben los p
principios e
esenciales d
de
la m
matemática rudiment
a:
tos de ARITMETICA (NUMERO
OS
ENT
TEROS PO
OSITIVOS Y FRACC
CIONES), A
ALGEBRA Y
GEOMETRIA. Los resultados se ac
ceptan pura
amente sob
bre
una BASE EM
a
MPIRICA. Lo números negativos y el 0 no se
os
s
s
con
nocen.

600-3 a. de C.
300

La G
Grecia clás
sica es la pr
rimera civilización en la que florece
la m
matemática Los grieg
a.
gos clásico son los primeros e
os
en
con
ncebir la M
MATEMATIC DEDUC
CA
CTIVA. Los Element
tos
(pru
uebas geométricas) d Euclide son el producto d
de
es
de
tres
scientos años de ensa intuitivo y error.
ayo
o
Los griegos de Alejandría, los hindúes y los árabes
s
con
nciben y e
emplean N
NUMEROS IRRACIONALES (p
por
ejem
mplo, √2 ) q son ac
que
ceptados gr
radualmente a causa d
de
su u
utilidad (por ejemplo, √ = la diag
r
√2
gonal de un cuadrado d
de
lado = 1).
os

600 d. de C.

Los hindúes in
s
ntroducen los NUMER
ROS NEGA
ATIVOS, qu
ue
no son acepta
ados durant mil años a causa d su falta d
te
s
de
de
sop
porte intuitivo. Por ejemplo, los grandes matemáticos
s
Des
scartes y Fermat re
echazaron trabajar c
con númer
ros
neg
gativos.

11



700 d. de C. aprox.

Los hindúes in
s
nventan, o adoptan, u símbolo para el «0
un
o
0»
para indicar u
una column vacía o en blanco. Los árabes
na
optan la num
meración h
hindú y, des
spués de ce
entenares d
de
ado
año las cifras arábigas llegan a se de uso co
os,
s
er
omún.

1540 d. de C. ap
prox.

Apa
arecen los NUMEROS COMPLE
S
EJOS (por e
ejemplo, √-1)
pero no son ac
o
ceptados ha
asta cerca d doscient años más
de
tos
tard
de.

1650-1725 d. de C.
e

New
wton y Leib
bniz crean e CALCULO Cada un de las tr
el
O.
na
res
edic
ciones de The Mat
thematical Principies of Natur
s
ral
Phil
ilosophy de Newton o
e
ofrece una explicación distinta d
n
del
con
ncepto bás
sico (las d
derivadas). El primer artículo d
r
de
Leib
bniz recibió el nom
mbre de «
«enigma» en vez d
de
«ex
xplicación». A pesar de sus funda
.
e
amentos vagos e incluso
inco
orrectos, e cálculo encontró m
el
muchas ap
plicaciones a
trav de enfo
vés
oques intuiti
ivos.

Finale del s. XIX
es
X

Se establecen los funda
n
amentos ló
ógicos del sistema n
numér
rico, el á
álgebra y el análisis (el cál
lculo y sus
amp
pliaciones).

Véase en Burn et al (1976, pp 22
l
26-230) una e
explicación más detallada.

C) DE
ESARROLL MATEM
LO
MÁTICO DE LOS NIÑO
E
OS
En muchos aspectos, e desarrollo matemát
a
el
tico de los niños cor paralelo al
s
rre
o
desar
rrollo histór
rico de la matemátic el cono
ca:
ocimiento m
matemático impreciso y
o
o
concr
reto de los niños se va haciendo cada vez m preciso y abstract Parece ser
n
a
más
o
to.
que, a igual que los seres humanos primitivos, los niños p
al
e
poseen algú sentido del
ún
núme
ero. Con el tiempo, los preescola
s
ares elabor una am
ran
mplia gama de técnicas a
partir de su mate
emática intu
uitiva. Reca
apitulando la historia, l matemát
la
tica no esco
olar
o mat
temática inf
formal de lo niños se desarrolla a partir de necesidades práctica y
os
e
as
exper
riencias con
ncretas. Co
omo ocurrió en el desa
ó
arrollo histó
órico, conta desempe
ar
eña
un pa
apel esenc
cial en el d
desarrollo d este co
de
onocimiento informal. A su vez, el
o
,
conoc
cimiento inf
formal de lo niños pre
os
epara el ter
rreno para la matemáti formal q
ica
que
se imparte en la escuela. A
Además, y re
eproducien la histor cultural, el dominio de
ndo
ria
la num
meración posicional y de los algoritmos de cálculo ba
p
asados en e
este concepto
constituye un pa gigante
aso
esco para lo niños. E realidad, los niños no aceptan y
os
En

12



apren
nden de inm
mediato la m
matemática formal que se imparte en la escuela ya que, en
e
gener choca con sus pau
ral,
c
utas actuale de pensa
es
amiento.
Cono
ocimiento intuitivo
Se
entido natur del núm
ral
mero. Duran mucho tiempo se ha creído que los niñ
nte
ños
peque
eños carec
cen esencia
almente de pensamie
e
ento matem
mático. En una ocasión,
Willia J ames caracterizó el mundo infantil com una confusión resp
am
c
mo
plandecient y
te
rumorosa. Sin embargo, in
e
nvestigacion recientes (por eje
nes
emplo, Stark y Coop
key
per,
1980; Starkey, Spelke y G
S
Gelman, en prensa) ind
dican que i
incluso los niños de s
seis
es
tre
os
s
s,
mese de edad pueden distinguir ent conjunto de uno, dos y tres elementos y
entre conjuntos de tres y cu
uatro eleme
entos.
¿C
Cómo pueden determi
inar los psicólogos qu los niños pequeños poseen e
ue
s
s
este
sentid numéric básico? Para ver si un niño pequeño puede disc
do
co
criminar en
ntre
conju
untos de can
ntidades dis
stintas, el p
psicólogo le presenta, por ejemplo una imag
e
o,
gen
con tr objetos (por ejemp Starkey y Cooper 1980). Interesado por este nue
res
s
plo,
r,
evo
estím
mulo, e beb fija su mirada en la image Sin em
bé
n
en.
mbargo, tra varias p
as
presenta
aciones seg
guidas de tr
res, la nove
edad desap
parece y la atención d
a
disminuye. En
este momento, el psicólogo introduce un conjun de cuat (o dos) objetos. Si el
e
nto
tro
niño n se percata de la d
no
diferencia, s
seguirá sin prestar ate
ención. Sin embargo, los
niños tienden a prestar a
s
atención otra vez, ind
dicando qu se dan cuenta de la
ue
e
difere
encia.
¿R
Realmente presta aten
nción el niñ a los ca
ño
ambios de c
cantidad? E el ejemplo
En
anterior, los niño se van a
os
aburriendo paulatinam
mente con e «tres» aun cuando se
el
introd
duzcan obje
etos distint
tos o se m
modifique la posición de los tre objetos. La
a
es
distrib
bución de los objetos no influye en la aten
nción. En re
ealidad, y tras ver var
rios
ejemp
plos de tres objetos, lo niños se interesan m
s
os
menos en o una secu
oír
uencia de t
tres
sonid que una secuencia de dos o c
dos
a
a
cuatro. Pare que es la cualidad de tres lo q
ece
d
que
dejan de encont
n
trar interesa
ante. Al parecer, los n
niños peque
eños posee un proce
en
eso
de enumeración o corres
n
spondencia que les permite dis
stinguir entre pequeñ
ños
conju
untos de obj
jetos.
El alcance y la precisión del sentido numérico de un niño pequeño son limitados.
l
n
o
o
Los n
niños peque
eños no pu
ueden distin
nguir entre conjuntos mayores c
como cuatro y
o
cinco. Además, el hecho de que pa
arezcan ca
apaces de tratar, por ejemplo, los
r
untos de tres y cua
t
atro elementos de u
una maner distinta, no signif
ra
fica
conju
neces
sariamente que sepa que 4 e más qu 3. Es d
e
an
es
ue
decir, aunq
que los niñ
ños
peque
eños disting
guen entre números p
pequeños, q
quizá no pu
uedan orde
enarlos por orden d magnitud
de
d.

13



No
ociones intu
uitivas de magnitud y equivalen
ncia. A pesar de tod el sentido
do,
numé
érico básico de los niños constit
o
tuye la bas del des
se
sarrollo mat
temático. L
Los
prees
scolares pa
arten de e
este sentido del núm
mero y desarrollan c
conocimient
tos
intuitiv más so
vos
ofisticados. Es a partir de la exp
periencia co
oncreta de la percepción
directa que los niños empie
n
ezan a com
mprender nociones co
omo la mag
gnitud relativ
va.
Concr
retamente, se da una diferencia evidente e
entre el uno y coleccio
o
ones mayor
res
(Von Glasersfeld 1982). U niño, po ejemplo, puede tom un blo
d,
Un
or
,
mar
oque con u
una
mano Tomar do bloques requiere la dos man o dos in
o.
os
as
nos
ntentos suc
cesivos con la
n
misma mano. Tres bloque no se p
a
T
es
pueden tom simultá
mar
áneamente con las d
dos
mano Aunque estas difer
os.
rencias pue
eden parec triviales para un a
cer
s
adulto, son de
impor
rtancia fund
damental p
para el niñ pequeño que juega, y ofrece otra ba
ño
ase
concr
reta para distinguir y o
ordenar el 1, el 2 y muc
chos.
Cu
uando emp
piezan a an
ndar, los n
niños no só distingu
ólo
uen entre conjuntos de
tamañ diferente sino que p
ño
e
pueden hac compar
cer
raciones gru
uesas entre magnitudes.
e
A los dos años de edad aproximad
s
s
damente, lo niños a
os
aprenden p
palabras pa
ara
expre
esar relacion matemáticas (Wagner y Walt
nes
ters, 1982) que puede asociarse a
en
e
sus ex
xperiencias concretas Pueden c
s
s.
comprender «igual», «
r
«diferente» y «más». P
Por
ejemp
plo, Alfred Binet (196
69), el padr de las m
re
modernas p
pruebas de inteligenc
e
cia,
pregu
untó a su hij de cuatro años de e
ja
edad, Made
eleine, que comparara los tamañ
e
a
ños
de co
onjuntos pa
arecidos a los dos q
que se mu
uestran en la figura 2.3. Aunq
n
que
Made
eleine sólo podía con
ntar hasta tres, pudo señalar co mucha exactitud los
on
conjuntos que te
enían más e
elementos.
Po
osteriores pr
ruebas dem
mostraron que los juicio intuitivo s de Madeleine sobre los
os
conjuntos que te
enían más elementos se basaba en indic
s
an
cios percep
ptivos como la
o
zona abarcada por cada co
p
onjunto (Gin
nsburg, 198 De manera intuitiv Madeleine
82).
va,
escog como «más» el conjunto q
gía
«
que abarca
aba más ex
xtensión. O
Otros indic
cios
perce
eptivos, como la lon
ngitud, tam
mbién pued
den ofrece una ba
er
ase para las
evaluaciones int
tuitivas. En muchos ca
asos, la má larga de dos hilera suele ten
ás
e
as
ner
objetos.
más o
Inv
vestigacione reciente confirman los result
es
es
tados de Binet. Cuand se les pide
do
que d
determinen cuál de dos conjuntos tiene «má
s
s
ás», los niño de tres a
os
años de edad,
los preescolares atrasado y los niños peque
s
os
eños de cu
ulturas no alfabetizad
das
en
ody
burg, 1982b Casi tod
b).
dos
puede hacerlo rápidamente y sin contar (Baroo y Ginsb
los ni
iños que se incorpor
s
ran a la es
scuela deb
berían ser capaces de distinguir y
nomb
brar como «más» el m
«
mayor de do conjunto manifies
os
os
stamente di
istintos. (Usar
correc
ctamente «menos» es mucho má difícil y pu
s
ás
uede que n se aprend antes de la
no
da
e
escue
ela). El niño que no pue usar «m
o
eda
más» de es manera intuitiva puede presen
sta
ntar
consid
derables pr
roblemas educativos.

14



Fig
gura 2.3 Ele
ementos de una prueb para la n
e
ba
noción «má
ás»

n
o,
os
s
en
ariencias, las
Sin embargo como lo niños basan sus juicios e las apa
comparaciones que hacen entre mag
n
gnitudes pueden ser incorrectas Aunque es
s.
frecue
ente que el aspecto re
efleje fielme
ente la cant
tidad, los in
ndicios perc
ceptivos como
el área y la longit no siem
tud
mpre son ind
dicadores p
precisos de la cantidad. Por ejemp
plo,
dos b
bandejas de caramelos pueden ocupar l misma superficie pero pued
d
n
la
den
contener cantida
ades difere
entes porqu los cara
ue
amelos está agrupad más de
án
dos
ena
tra. Por otr parte, po
ra
odemos ten dos bandejas con el
ner
n
samente en una que en ot
elos pero que ocupan una superficie distinta porque los
mismo número de carame
caram
melos están más juntos en una qu en otra.
n
ue
La tarea de co
onservación de la cant
n
tidad (por ej
jemplo, Pia
aget, 1965) demuestra de
a
nte
aciones del conocimie
l
ento intuitivo de los niñ
o
ños. En prim
mer
forma concluyen las limita
lugar, se estable la igua
ece
aldad de do conjunto por equivalencia. E examinad
os
os
El
dor
forma una hilera de, digam
a
a
mos, siete b
bloques bla
ancos y pide al niño que coloque la
e
e
misma cantidad de bloque azules. S insta al niño a que haga cor
es
Se
e
rresponder un
bloque azul a cada bloqu blanco. Una vez establecida esta cor
c
ue
a
rresponden
ncia
biunív
voca (véase la fig. 2.4.A) se pide al niño que confirme s las dos hileras tienen el
e
e
si
n

15



mismo número de objetos. Puesto que la longitud proporcion una base precisa pa
d
e
d
na
e
ara
ciar las can
ntidades re
elativas, aun los niños de tres a
s
años de ed
dad están de
aprec
acuer en que ambas hile
rdo
eras tienen la misma c
cantidad.
Ac
continuació se modifica el aspecto de uno de los conj
ón
juntos para ver si el niño
a
contin
núa creyendo o no qu los dos conjuntos son coordinables (tienen la misma
ue
cantid
dad). Mient
tras el niño observa, s alarga o se acorta una de la hileras. P
o
se
a
as
Por
ejemp en la fi
plo,
igura 2.4.B se observ que se h alargado la hilera a
va
ha
o
azul. Una v
vez
modif
ficada la lon
ngitud se vu
uelve a preg
guntar al niñ si las do hileras tie
ño
os
enen la misma
cantid
dad. Como la longitud y no refleja fielmente la cantidad los niños que se bas
ya
e
d,
san
en el aspecto pa juzgada se equivoc
ara
a
can. ¡En re
ealidad, los niños pequ
ueños insist
ten
en qu la hilera más larga tiene más Parecen estar conv
ue
a
s!
vencidos de que los d
e
dos
conjuntos de lon
ngitudes dis
stintas no s equivale
son
entes. Piag (1965) d
get
denominó «
«no
conse
ervación» a este fenóm
meno porque el niño no mantiene (conserva) la relación de
o
)
equivalencia ini
icial tras una transf
formación del aspec
cto (irreleva
ante para la
dad). Es ev
vidente que la comp
prensión int
tuitiva que tienen los niños de la
s
e
cantid
magn
nitud y de la equivalenc es Impr
a
cia
recisa.
No
ociones intu
uitivas de la adición y la sustracc
a
ción. El sen
ntido del número tamb
bién
permi a los niños reconoc si una co
ite
cer
olección ha sido altera
a
ada. Los niñ reconoc
ños
cen
muy p
pronto que añadir un objeto a una colección h
a
a
hace que se «más» y que quitar un
ea
r
objeto hace que sea «me
o
e
enos». En un estudio (Brush, 1978) se m
o
mostraban d
dos
recipientes a unos preesco
olares. Se c
colocaban p
pantallas delante de lo recipien
os
ntes
para que el niño examinado no los pudiera ver. Me
ediante un proceso de
corres
spondencia se coloca
a,
aba el mism número de objeto en cada recipiente: al
mo
o
os
tiempo que se colocaba un objeto en uno de los recipiente se coloca otro en el
c
n
s
es
aba
n
otro r
recipiente. Cuando el niño había manifesta que los dos recipientes ocul
C
a
ado
s
ltos
contenían la mis
sma cantida de objetos, se le ha
ad
acía observ cómo se añadía o se
var
ba
to
de
pientes. Lo niños no tenían difi
os
icultades para
quitab un objet de uno d los recip
recon
nocer que la adición o la sustrac
a
cción de ob
bjetos modificaba la ca
antidad de un
recipiente y, com resultad modific
mo
do,
caba la rela
ación de eq
quivalencia entre amb
a
bos
e
ntificaban fá
ácilmente c
como «más el recipiente
s»
recipientes. Por ejemplo, los niños iden
e
a
rece que lo preescola
os
ares ya pos
seen una ba
ase
al que se había añadido un objeto. Par
intuitiv para com
va
mprender la adición y la sustracc
a
ción.
Sin embargo, la aritmét
n
,
tica intuitiva se limita a modifica
a
aciones evid
dentes. Si los
recipientes cont
tienen inicialmente c
cantidades desiguales la aritmética intuit
s,
tiva
sa.
emplo, si al principio se coloc
o
can cinco objetos en uno de los
n
fracas Por eje
recipientes y nueve en el o
otro, los niños identifi
icarán corr
rectamente a este último
como «más». Pe si a con
ero
ntinuación se añaden dos objeto al recipie
os
ente que tie
ene
e
a
e
nsan que ah
hora es ést el que tie
te
ene
nueve y cuatro al que tiene cinco, los niños pien

16



más. Para los ni
iños peque
eños, 5 + 4 es «más q
que» 9 + 2 porque han visto que se
n
ían
bjetos al pri
imer recipie
ente. Evide
entemente, la aritmétic intuitiva es
ca
añadí más ob
impre
ecisa.

Cono
ocimiento informal
na
ación prácti
ica. Los niñ encuen
ños
ntran que e conocimi
el
iento intuitiv
vo,
Un prolonga
simple y llaname
e
ente, no es suficiente p
para aborda tareas cu
ar
uantitativas. Por tanto, se
apoya cada vez más en in
an
z
nstrumentos más prec
s
cisos y fiable numera y contar. En
es:
ar
realidad, poco después de empezar a hablar, los niños empiezan a aprender los
d
e
nomb
bres de los números. Hacia los d años de edad, em
dos
mplean la p
palabra «do
os»
para d
designar to
odas las plu
uralidades: dos o más objetos (W
Wagner y W
Walters, 198
82).
Hacia los dos años y med los niño empieza a utilizar la palabra «tres» pa
a
dio,
os
an
a
ara
designar «mucho (más de dos objet
os»
tos). Al igua que Alliso muchos niños de tr
al
on,
s
res
años usan «uno «dos» y «tres» cor
o»,
rrectamente y emplea un términ mayor q
e
an
no
que
tres (por ejemplo, «cuatro» para ind
»)
dicar «much
hos». Al et
tiquetar col
lecciones c
con

17



núme
eros, los niñ poseen un medio p
ños
preciso par determinar «igual», «diferente» o
ra
»
«más Los pree
s».
escolares i
incluso lleg
gan a descubrir que c
contar pued servir pa
de
ara
determ
minar exact
tamente los efectos de añadir o s
s
e
sustraer can
ntidades, al menos si s
son
peque
eñas, de un colección.
na
Po tanto, con se bas en el con
or
ntar
sa
nocimiento intuitivo y lo complem
menta en gr
ran
parte. Por ejemp contar proporcion una etiqueta común «<tres») a tripletas de
.
plo,
na
objeto distintos y distribuc
os
s
ciones difer
rentes que los niños v como e
ven
equivalentes a
s
una e
edad tan corta como los seis m
meses. Med
diante el empleo de la percepción
direct juntamen con contar, los niños descu
ta
nte
ubren que las etiquetas numéric
cas
como «tres» no están ligada a la apar
o
e
as
riencia de c
conjuntos u objetos y s útiles pa
son
ara
espec
cificar conju
untos equiv
valentes. Co el tiempo, esta com
on
mprensión p
proporciona la
a
base para el em
mpleo de e
etiquetas numéricas c
como «siete o «diec
e»
cinueve» pa
ara
identif
ficar como equivalent conjunt que no pueden ve
tes
tos
erse como tales. Con
ntar
ofrece a los niño el vínculo entre la p
e
os
o
percepción directa con
ncreta, si bi limitada y
ien
a,
las id
deas mate
emáticas abstractas, pero gene
erales. Contar coloca el núme
ero
abstra
acto y la aritmética ele
emental al a
alcance del niño pequeño.
l
Lim
mitaciones. Aunque la matemática infor
rmal representa una elaboración
a
funda
amentalmen
nte importa
ante de l matemá
la
ática intuit
tiva, también presen
nta
limitac
ciones prác
cticas. El contar y la a
aritmética informal se hacen cad vez men
da
nos
útiles a medida que los núm
q
meros se hacen mayo
ores. El tiem y el esfuerzo men
mpo
ntal
reque
eridos par~ contar o ca
alcular de un manera informal se hacen eno
na
e
ormes y lleg
gan
a ser prohibitivos A medida que los números aumentan, los métodos informales se
s.
a
s
van haciendo ca vez más propenso al error. E realidad, los niños pueden lleg
ada
s
os
En
gar
a ser completam
mente incapaces de u
usar proced
dimientos i
informales con númer
ros
grand
des. Más aún: aunqu los mét
a
ue
todos infor
rmales proporcionan una solución
inmed
diata, no pu
ueden propo
orcionar reg
gistros a largo plazo.

Co
onocimient formal
to
La matemátic escrita y simbólica que se im
ca
a
mparte en las escuela supera las
as
limitac
ciones de la matemática informal. La mate
emática for
rmal puede liberar a los
e
niños de los co
onfines de su matem
mática relat
tivamente concreta. L
Los símbo
olos
escritos ofrecen un medio para anota números grandes y trabajar c
ar
s
con ellos. L
Los
proce
edimientos escritos p
proporciona medios eficaces para real
an
s
lizar cálculos
aritmé
éticos con números gr
n
randes. Más aún, los s
símbolos y las expresi
iones escri-

18



tas pu
ueden ofrec registro claros y p
cer
os
permanente que pueden amplia
es
ar
enorm
memente la capacidad de la mem
a
d
moria.
Es esencial que los niños aprendan los conceptos de los órdenes de unidades de
n
e
base diez. Para tratar con c
cantidades mayores es important pensar e términos de
te
en
unidades,' decen
nas, centen
nas, etc. (Payne y Rat
thmell, 1975). Pensar en decena y
as
múltip
plos de diez ofrece a los niños flexibilidad y facilidad p
z
para abordar una amp
plia
gama de tareas matemátic
a
cas, incluye
endo orden (compa
nar
arar) númer grandes y
ros
realizar aritmétic mental c número de varia cifras. Lo órdenes de unidad
ca
con
os
as
os
s
des
propo
orcionan el razonamien subyacente a muc
nto
chas técnica básicas como escr
as
ribir
núme
eros de varias cifras y sumar o restar co acarreo («llevando») (Resni
on
o
ick,
1982-1983). En pocas palabras, la ma
atemática fo
ormal perm a los niñ pensar de
mite
ños
r
una m
manera más abstracta y poderosa y aborda con efica
s
a,
ar
acia los prob
blemas en los
que in
ntervienen números gr
n
randes.
Au
unque la ma
atemática fo
ormal pued potencia mucho la capacidad de los niños,
de
ar
a
d
comporta apren
nder nueva técnicas y concep
as
s
ptos que, a principio les pued
al
o,
den
parec extraños y difícile Los niños llegan a acostum
cer
es.
mbrarse a p
pensar en los
núme
eros y en la aritmétic en térm
l
ca
minos de co
ontar. Un número co
omo el 14 se
contempla como 14 unidad o como 13 unidades y una m
o
des
o
más. Los niñ pequeñ
ños
ños
no ca
aptan de in
nmediato la notación posiciona Como o
n
al.
ocurrió en la historia, la
comprensión de la notació posicion en los n
e
ón
nal
niños es el resultado de una lenta
l
evolución. Así, lo niños pu
os
ueden tarda bastante tiempo en ver, por eje
ar
emplo, que 14
es una decena y cuatro unidades La idea del 0 c
a
o
s.
a
como cifra significat
a
tiva
(repre
esentante de una columna vacía) puede tard mucho tiempo en desarrollar
d
)
dar
rse.
De he
echo, much niños pueden cont
hos
tinuar aferr
rándose a lo métodos informales o
os
s
concr
retos bastante despué de habérseles pres
és
sentado los órdenes d unidades y
s
de
los alg
goritmos pa realizar operacione con acarreo.
ara
r
es
D) IM
MPLICACIO
ONES EDU
UCATIVAS: LOS CON
:
NOCIMIENT
TOS
IN
NFORMALE COMO BASE
ES
La teoría cognitiva indica que los n
a
niños que acaban de in
ncorporarse a la escuela
e
r
e
narse de conocimiento La mayo
os.
oría
no son simples recipientes vacíos que deben llen
de los niños, incl
s
luyendo los procedent de famil
s
tes
lias de bajo nivel económico, llega a
o
la esc
cuela con una gran can
ntidad de co
onocimiento matemá
os
áticos inform
males (Russ
sell
y Gin
nsburg, 198
84). En rea
alidad, muc
chos niños de educa
s
ación espec tienen, al
cial
,
meno algunos conocimie
os,
entos inform
males (Baro
oody, 1983 Baroody y Ginsbu
3a;
y
urg,
1984; Baroody y Snyder, 1983). Los preescola
s
ares apren
nden mucha matemát
a
tica
mal
milia, los co
ompañeros, la TV y los juegos ant de llega a la escue
s
tes
ar
ela.
inform de la fam

19



. La matemátic informa de los niños es el paso intermedio cru
a
ca
al
ucial entre su
conoc
cimiento int
tuitivo, limit
tado e impr
reciso y bas
sado en su percepción directa, y la
u
matem
mática pode
erosa y pre
ecisa basad en símbo
da
olos abstrac
ctos que se imparte en la
e
n
escue Como ocurrió en la historia, la experienc práctica y relativam
ela.
o
a
a
cia
mente concre
eta
de contar ofrece a los niños una base para adquir técnicas numéricas y aritméticas.
s
rir
Puest que el aprendizaje implica una constr
to
e
rucción a partir de c
conocimientos
anteri
iores, el co
onocimiento informal d
o
desempeña un papel c
a
crucial en e aprendizaje
el
signifi
icativo de la matemática formal. Como el aprendizaje es un proc
a
ceso activo de
asimil nueva in
lar
nformación a lo que y se conoc el conoc
ya
ce,
cimiento inf
formal es u
una
base fundamental para com
mprender y aprender la matemáticas que se imparten en
as
cuela. La in
nvestigación cognitiva indica que independ
e,
dientemente de cómo se
e
la esc
introd
duzcan las técnicas, símbolos y co
t
onceptos m
matemáticos en la escu
s
uela, los niñ
ños
tiende a interpr
en
retar y a ab
bordar la ma
atemática f
formal en fu
unción de s matemát
su
tica
inform (Hieber 1984). Por tanto, la matemátic informal es fundam
mal
rt,
a
ca
l
mental para el
a
domin de las técnicas bá
nio
t
ásicas y par enfrenta
ra
arse con éx a la ma
xito
atemática m
más
avanz
zada. A con
ntinuación s describe dos implicaciones e
se
en
educativas de este punto
de vis que tien una imp
sta
nen
portancia clave.
1. La enseñ
ñanza form debe basarse e el con
mal
en
nocimiento matemát
tico
inform de los niños. E esencia que la p
mal
s
Es
al
planificació educati
ón
iva tenga en
cuent el conoc
ta
cimiento m
matemático informal d los niño Los mae
o
de
os.
estros deb
ben
explo
otar las po
otencialida
ades inform
males para que la e
a
enseñanza formal s
a
sea
signif
ficativa e interesante. Además de aum
mentar la p
probabilida de que el
ad
e
apren
ndizaje esc
colar tenga éxito, la e
a
explotación de los pu
n
untos fuerte informales
es
puede tener importantes consecuen
ncias afect
tivas. El pr
rincipio de relacionar la
r
instru
ucción form con el conocimie
mal
ento inform es aplica
ma
able a toda la gama de
a
temas de nivel primario, desde el dominio d las com
s
de
mbinacione numéric
es
cas
básic hasta el aprendiz
cas
e
zaje de con
nceptos y procedimie
entos relac
cionados c
con
los ór
rdenes de unidades como el c
cálculo con acarreo. También v
n
veremos q
que
este p
principio se aplica a niños con una gran v
e
variedad de aptitudes incluyen
s,
ndo
los qu tienen problemas de aprend
ue
p
s
dizaje y los que pres
s
sentan retr
raso menta
al.
2. En gener
ral, las lag
gunas exis
stentes ent
tre el cono
ocimiento informal y la
instru
ucción form pueden explicar las dificult
mal
n
tades de a
aprendizaje Cuando la
e.
enseñ
ñanza form se intr
mal
roduce con demasiada rapidez y no se basa en el
n
z
e
conoc
cimiento inf
formal que ya posee los niño el resul
e
en
os,
ltado es un aprendiz
zaje
memo
orístico y la aparición de pro
oblemas d aprendi
de
izaje y/o de creenc
cias
destru
uctivas. Inc
capaces de conectar la matemá
e
ática forma con algo significati
al
o
ivo,
muchos niños se limitan a m
e
memorizar y utilizar mecánicame
ente las mat
temáticas q
que
se im
mparten en la escuela. Muchos n
niños inclus llegan a no poder memorizar ni
so
r

20



datos ni técnicas Otros pie
s.
erden interé en la materia, desarrollan un s
és
sentimiento de
azo
a
ncluso llega a temerl
an
la.
recha hacia la misma e in
So
obre todo es muy proba
s
able que las lagunas e
s
existentes e
entre la instr
rucción form
mal
y el co
onocimiento informal d los niños provoque dificultad de apre
de
s
en
des
endizaje de las
técnic y los co
cas
onceptos, re
elativament abstracto relacionados con lo órdenes de
te
os,
os
unidades de bas diez. Co
se
omo consec
cuencia, mu
uchos niños tienen pr
roblemas pa
ara
ón
al
mentan dificultades con las técnica de acarr
n
as
reo.
captar la notació posiciona y experim
Otros tienen problemas con la represe
n
entación en base diez y no pueden desarro
n
z
ollar
técnic
cas eficace para ma
es
anejar números grand
des. Sobre todo, son los niños de
educa
ación especial los qu pueden tener gran
ue
ndes dificultades para franquear la
a
r
transición entre la aritmética informal b
l
a
basada en c
contar y la aritmética f
formal basa
ada
osicional.
en la notación po

21



Técnicas para contar
T
s
Co
ontar oralmente, ¿imp
plica aptitud
des numéri
icas? ¿Qué técnicas de contar se
é
suelen desarrolla durante l años preescolares ¿Podemo suponer que los niñ
ar
los
s?
os
r
ños
de ed
ducación especial ad
e
dquirirán té
écnicas bás
sicas para contar de una mane
era
inform
mal? ¿Qué técnicas s
suelen requ
uerir instrucción durante los primeros curs
sos
escola
ares?
A) EL DESARROLLO DE T
L
TECNICAS PARA CO
S
ONTAR
El cas de Alex
so
xi
Ha
acia los vein
ntiséis mes de edad Alexi podía contar de palabra del 1 al 10 y
ses
d,
a
había empezado a experim
a
o
mentar con los númer hasta el 20. Cuando se le pidió
ros
que c
contara los tres puntos de una fo
s
ormación tr
riangular, A
Alexi señaló los puntos y
ó
soltó a toda prisa: «1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9, 10.» C
8,
Cuando se le pidió que contara tres
e
punto en fila, señaló al az y varias veces e c
os
zar
s
conjunto mie
entras decí «8, 9, 10.»
ía:
Aun d
después de poder con con exa
e
ntar
actitud conj
juntos de h
hasta cinco objetos, Al
lexi
se de
esconcertaba cuando se le pr
o
reguntaba cuántos ha
abía conta
ado. Si se le
enseñ
ñaban dos conjuntos (por ejemp una tarjeta con n
plo,
nueve puntos y otra c
con
ocho) también le sorprend que se le pidiera que señal
)
día
lara la tarje que tenía
eta
«más».
e
a
ralmente no garantiza
aba una ca
apacidad pa
ara
La técnica de Alexi para contar or
contar con exac
ctitud conju
untos de o
objetos o p
para el em
mpleo de o
otras técnic
cas
1
éricas. Sin embargo, h
e
hacia los cin años de edad , lo niños no sólo pued
nco
os
o
den
numé
contar de palabr casi hasta 29, sino que inmed
ra
diatamente determinan que ••• y •••
«tres». Además, para un niño típ
pico de cinc años es evidente c
co
cómo se de
ebe
son «
resolv el prob
ver
blema de d
determinar cuál de do conjunto (por ejemplo, uno de
os
os
nueve y otro de ocho) tien más elem
e
ne
mentos: só hay que contar cada conjunto y
ólo
e
o
comparar las can
ntidades resultantes. D
Después de contar cad conjunto de puntos la
e
da
o
s,
soluci del prob
ión
blema tamb
bién es fácilmente visib para los niños de cinco años: «El
ble
conjunto con 9 es más.» P tanto, en cuestión de pocos a
e
Por
años los niños aprend
den
una variedad de técnicas pa contar y muchas m
ara
maneras de aplicarlas (Fuson y H
e
Hall,
1983) Lo complicado que p
).
pueda ser e
este desarro
ollo, o en qué medida llegan a da
arlo
por se
entado los adultos, qu
ueda revela por un examen d
ado
n
detallado de las técnic
e
cas
menc
cionadas en el párrafo anterior.
n
1 Las conductas que se des
s
scriben más adelante se basan en las normas de la prueba E
s
Early
ematical Ability (Ginsburg y Baroody, 1983) y represe
y
entan la capac
cidad -media» de un niño d 4
»
de
Mathe
años y 11 meses de edad.
e

22



Una j
jerarquía de técnicas
d
s
En su mayor parte, la ca
apacidad de contar se desarrolla j
e
jerárquicam
mente (Klah y
hr
ace, 1973). Con la pr
ráctica, las técnicas p
para contar se van h
haciendo m
más
Walla
autom
máticas y su ejecución requiere m
u
n
menos atención. Cuando una técn
nica ya pue
ede
ejecutarse con eficiencia, p
e
puede proce
esarse simu
ultáneamen o integra
nte
arse con otras
cas
m
o)
mar
cnica aun m
más
técnic en la memoria de trabajo (a corto plazo para form una téc
comp
pleja (por ej
jemplo, Sch
haeffer, Eggleston y S
Scott, 1974 Consider
4).
remos qué se
neces para re
sita
ealizar la tarea aparen
ntemente se
encilla de d
determinar s un conjunto
si
de nu
ueve puntos es «más" o «menos" que otro d ocho. Re
s
"
de
ealizar esta comparación
a
entre magnitude numérica requiere la integrac
es
as
ción de cuat técnicas
tro
s.
En primer lugar, la técnic más bás
ca
sica es gen
nerar sistem
máticamente los nombres
e
s
en
do.
dos
de
Alexi ya había
de los números en el orde adecuad A los d años d edad, A
empe
ezado a dom
minar la ser numérica oral y, a v
rie
a
veces, podía contar ha
asta 10 de u
uno
en uno. Sin embargo, cuand se le ped que con
do
día
ntara objeto aún no p
os,
podía decir los
núme
eros en el orden corre
o
ecto de for
rma cohere
ente. Por ej
jemplo, a v
veces no e
empezab a contar desde «uno Hacia lo tres años de edad, lo niños su
ba
o".
os
s
os
uelen empez
zar
a con
ntar un con
njunto a partir de «uno» y al em
mpezar párv
vulos ya pu
ueden usar la
r
secue
encia correcta para co
ontar conju
untos de 10 elemento como mí
0
os
ínimo (Fuson,
Richa
ards y Briars 1982).
s,
En segundo lugar, las palabras (
(etiquetas) de la sec
cuencia num
mérica deb
ben
aplica
arse una po una a cad objeto d un conjunto. La acc
or
da
de
ción de con objetos se
ntar
denom
mina enum
meración. A
Aunque Alex podía ge
xi
enerar la s
serie numé
érica hasta 10
correc
ctamente, no podía en
n
numerar un conjunto de nueve ele
ementos, y ni siquiera de
tres, p
porque toda
avía no hab aprendid que debe aplicarse una, y sólo una, etiqueta
bía
do
e
o
a cada elemento de un conj
o
junto. La en
numeración es una téc
n
cnica comp
plicada porq
que
el niño debe coo
ordinar la ve
erbalización de la serie numérica con el señ
n
a
ñalamiento de
d
cción para crear una c
corresponde
encia biunív
voca entre las
cada elemento de una colec
etas y los ob
bjetos. Com los niños de cinco a
mo
s
años puede generar c
en
correctamente
etique
la ser numéric y señalar una vez c
rie
ca
cada uno d los elem
de
mentos de u colecció
una
ón,
puede coordina con efica
en
ar
acia las dos técnicas p
s
para ejecuta el acto c
ar
complejo de la
e
enumeración (al menos con conjuntos de hasta 1 elementos).
n
s
10
En tercer lug
gar, para h
hacer una comparació un niño necesita una mane
ón,
era
conve
eniente de representa los elem
ar
mentos que contiene cada conju
e
unto. Esto se
consig median la regla del valor c
gue
nte
cardinal: la ú
última etiqu
ueta numéri expresa
ica
ada
duran el proce de enum
nte
eso
meración re
epresenta e número total de ele
el
ementos en el
n
conjunto. En otra palabras un niño de cinco año puede re
as
s,
os
esumir la se «1,2, 3, ...
erie
, 9", c «nueve y la seri «1, 2, 3, ... , 8" con «ocho». Como Alex no podía ni
con
e»
ie
,
xi
a
enumerar conjun
ntos, no ha
abía descubierto que la última e
etiqueta de este proce
eso

23



tiene un significa especia A sus do años de edad, Alex todavía n asociaba la
ado
al.
os
xi
no
a
c
e
nto.
serie numérica con la definición de la cantidad de un conjun
En cuarto lugar, las tres técnicas acabadas de describir son indispe
e
ensables pa
ara
e
n
cuencia def
fine la magnitud. A los dos años de
s
comprender que la posición en la sec
ros
nían tamaño relativos para Alexi Sin emba
os
s
i.
argo, los niñ
ños
edad, los númer no defin
peque
eños llegan a aprende tarde o temprano, que la ser numérica se asocia a
n
er,
rie
a
una m
magnitud relativa. Aun los niños m pequeñ pueden realizar co
muy
ños
n
omparacion
nes
grues entre ma
sas
agnitudes c
como «10 e más gran que 1», quizá porq saben q
es
nde
que
que
el 10 v
viene much más tard en la sec
ho
de
cuencia de enumeració Hacia lo cinco años,
ón.
os
los n
niños pued
den llegar a hacer con rapide compar
ez
raciones precisas en
ntre
magnitudes de números se
n
eguidos com el 8 y el 9, porque e
mo
están muy familiarizad
dos
con la relacione de suce
as
es
esión numé
érica («cuan me pongo a cont
ndo
tar, el 9 vie
ene
despu del 8, así que el 9 es más gra
ués
a
ande»).
Po tanto, con para de
or
ntar
eterminar qu un conju
ue
unto de nueve puntos e más que un
es
e
conjunto de och no es, c
ho
cognoscitiva
amente hablando, un acto trivia Aunque los
al.
adulto pueden dar por sentadas las cuatro técn
os
nicas implic
cadas, ésta constituy
as
yen
un ret intelectua imponente para los niños de dos años de edad. Cua
to
al
e
ando lleguen a
los cinco años, la mayoría de los niño habrán dominado e
l
os
estas técnicas básica y
as
estará listos pa enfrenta
án
ara
arse a nuev desafíos
vos
s.
Alg
gunos de ellos -sobre t
todo los que proceden de entorna con care
e
n
as
encias, los q
que
tienen lesiones cerebrales o los menta
n
c
almente atr
rasados- pu
ueden no ha
aber llegado a
domin estas té
nar
écnicas bás
sicas y nece
esitarán una atención especial. E lo que re
a
En
esta
de ca
apítulo se de
escribirán c mayor d
con
detalle las c
cuatro técn
nicas básica para con
as
ntar
y otra técnicas más elaboradas que se desarrollan durante las prime
as
e
eras etapas de
la esc
colarización
n.
Co
ontar oralm
mente
Se
erie numéri
ica. A una edad tan corta com los diec
mo
ciocho mes
ses, los niñ
ños
empie
ezan a cont oralmen de uno e uno («1, 2, 3 ... »). La mayoría de los niñ
tar
nte
en
a
ños
de do años pue
os
eden contar «1, 2» pero luego em
r
mpiezan a o
omitir términos (Fuson et
n
al., 19
982). Al prin
ncipio, los n
niños puede aprende partes de la serie nu
en
er
e
umérica ha
asta
10 pa unirlas más adelan Por eje
ara
m
nte.
emplo, Alex (hacia los veinte me
xi
s
eses de eda
ad)
empe a usar, de una man
ezó
nera regula la serie « 9, 10». Más adelan añadió «2,
ar,
«8,
nte
3, 4» para hacer «2, 3, 4, 8, 9, la». De
r
espués añad el 5 y el 6 y, finalm
dió
mente, el 1 y el
7 para completar la serie ha
a
asta 10. A l veintiséis meses, A
los
Alexi añadió los números
ó
de do cifras 19 y 20 r' muy poco despu
os
ués, inserta la ristra «11, 12, 13» entre el 10
aba
a
y el 9.

24



Co
ontar oralme
ente suele e
equipararse con «contar de mem
e
moria».
Como ilustra el caso de Ale contar de memoria es una b
o
c
exi,
buena desc
cripción de las
prime
eras técnica orales qu emplean los niños para conta Su man
as
ue
n
ar.
nera de con
ntar
era, s
simplemente una cant
e,
tinela verba sin sentid La serie numérica inicial de Al
al
do.
lexi
parec no ser más que u
cía
una cadena de asocia
a
aciones ap
prendidas d memoria y
de
a
enlaza
adas gradu
ualmente en sí. Sin embargo, contar de m
ntre
memoria es una descr
s
ripción menos adecuada de los poste
e
eriores inte
entos de c
contar. Co demasia
on
ada
encia, este término se emplea pa indicar q los niño aprenden toda la se
ara
que
os
n
erie
frecue
numé
érica por memorización. Aunqu la mem
m
ue
morización desempeña un pa
apel
determ
minado, sob todo du
bre
urante las et
tapas inicia
ales, el apre
endizaje reg
gido por reg
glas
tiene una importa
ancia funda
amental para ampliar e
esta serie. Aunque es probable q
s
que
2
los té
érminos has el 15 se aprend
sta
dan de me
emoria, la mayor part de la se
te
erie
numé
érica poste
erior puede generars mediante reglas (Ginsburg, 1982). L
e
se
Los
restan
ntes númer
ros hasta e 20 pued
el
den genera
arse continu
uando con la secuen
ncia
original (6, 7, 8, 9) Y anteponiendo «la y>; (por e
a
ejemplo, «d
dieciséis, di
iecisiete ... »).
Los números de la segunda decena (2
a
21,22, 23, .. , 29) se p
..
pueden generar mediante
la regla de antep
poner «20,> a cada un de las un
>
na
nidades (de 1 al 9) un por una. En
el
na
realidad, para co
ontar de un en uno h
no
hasta 99 el niño sólo tiene que a
l
aprender e
esta
regla y el orden de las dece
enas (10, 20, 30..., 90).
Los e
errores que cometen l niños a contar so una buena señal de que existen
e
los
al
on
reglas que suby
s
yacen a su cuenta oral, sobre tod de 20 pa arriba. Muchos niñ
do
ara
ños
-incluyendo los que presentan ret
s
traso men
ntal- se in
nventan términos como
«diec
cicinco» por 15, «diec
cidiez» por 20, o «veintidiez, ve
eintionce», para 30 y 31
(Baro
oody y Gins
sburg, 1984 Baroody y Snyder, 1
4;
1983; Ginsb
burg, 1982b Estos er
b).
rrores in
ndican clara
amente que los niños no se limit a imitar a los adu
e
tan
ultos, sino q
que
tratan de construir sus propios sistem de reglas (Barood y Ginsbu
n
mas
dy
urg, 1982). Se
trata d errores razonables porque son ampliacio
de
r
n
ones lógicas aunque in
s,
ncorrectas, de
las p
pautas de la serie nu
umérica qu el niño ha abstraído. Así, a
ue
aun los niñ
ños
menta
almente atr
rasados pa
arecen ser capaces d ver, emp
de
plear y, a v
veces, aplicar
malla pautas de la serie numérica.
as
e

2 En el original se hace refencia al núme 13. Debid a las características qu presentan los
ero
do
ue
res de los números 11 a 19 en ing
n
glés, se ha optado por adaptar la traducción a las
nombr
caracte
erísticas de lo nombres de estos núme
os
e
eros en castellano. Véase t
también la not número 12 (N.
ta
del T.).

25



Au
unque la mayoría de l niños q
los
que se acaban de inc
corporar a la escuela ya
hacen progresos con la par de la se numéric regida p reglas, m
n
s
rte
erie
ca
por
muchos no se
dan cuenta de qu las dece
ue
enas (<<10, 20, 30,... , 90») sigue una pauta paralela a la
,
en
a
secue
encia de las unidades (Fuson et al., 1982). Aún no se sabe con certeza cóm
s
mo
llegan los niños a resolver e «problem de las de
n
el
ma
ecenas», es decir, su o
s
orden correcto
para c
contar hast 100 de u en uno. Una hipót
ta
uno
tesis es que los niños aprenden las
e
decen de mem
nas
moria en fo
orma de ex
xtremos fina
ales de cad serie (po ejemplo, el
da
or
,
niño forma la asociación entre «29
a
9-30» o «3
39-40»). H
Hay alguno datos q
os
que
respa
aldan esta conjetura. A
c
Algunos niño no puede contar p decenas pero pued
os
en
por
s
den
contar hasta 30 ó 39 porqu parecen haber apr
ue
n
rendido que 30 va de
espués de 2
29,
ués
g,
Otra
pero no han aprendido qué va despu de 39 (Baroody y Ginsburg 1984). O
esis
aprenden las decenas (
s
(contar de d
diez en diez de memo
z)
oria
hipóte es que los niños a
y emp
plean este conocimien para re
nto
ellenar la se
ecuencia de contar de uno en un
e
e
no.
Otra h
hipótesis, co
ompletame
ente distinta es que los niños apre
a,
s
enden las d
decenas como
una versión mod
dificada de la secuencia del 1 al 9 y emplean esta pauta (repetir la s
a
secuenc de las unidades y añadir -ent para rel
cia
u
ta)
llenar la cu
uenta de un en uno. Un
no
ejemp de esta última hipótesis es el c
plo
caso de Ter una niña levemente atrasada q
ri,
e
que
cuand llegaba al final de u decena (por ejemplo, «..., 58 59») se p
do
a
una
a
8,
ponía a con
ntar
para sí para ave
eriguar la s
siguiente decena (por ejemplo, «
r
«1,2, 3, 4, 5, 6 -ah, . ,
...
sesen
nta») (Baro
oody y Ginsburg, 198
84). Luego iba repitie
endo este p
procedimien
nto
hasta llegar a 10
00.
En realidad, la mayoría de los n
n
a
niños puede aprende de mem
en
er
moria algun
nas
decen (hipótes 1 y 2) Y emplear r
nas
sis
reglas para generar el resto (hipó
ótesis 3). Esto
tiene sentido po
orque la ma
ayoría de las decenas sigue una pauta y sería inefic
s
caz
apren
nderlas todas de mem
moria. Sin embargo, se puede tener que aprender de
memo la prime parte, in
oria
era
ncluyendo q
quizá algun casos regulares co
nos
omo 40, antes
de de
escubrirse la pauta. Por tanto, aprender las decenas (contar de diez en die
s
ez)
puede ser algo parecido a aprender a contar de uno en un al princi
e
p
e
no:
ipio, los niñ
ños
adquieren una parte por memorizació y luego e
p
ón
emplean un pauta pa ampliar la
na
ara
r
secue
encia.
Ela
aboraciones de la ser numéric Con la experiencia los niños aprenden a
s
rie
ca.
a,
s
n
usar su represe
entación m
mental de la serie n
numérica c
con más e
elaboración y
n
flexibi
ilidad (Fuso et al., 19
on
982). A med
dida que se van familiarizando m y más c
e
más
con
la serie numéric correcta los niño pueden citar autom
ca
a,
os
máticament el núme
te
ero
ente a un nú
úmero dado A los vei
o.
intiséis mes
ses, Alison ya podía h
hacerlo si se le
e
siguie
«daba el pie».
a

26



MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:

Alison, ¿qué núme va desp
ero
pués del 9?
?
[No responde.]
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y ...
10.

De no ser así, Alison no lo podía hace sólo lo ha
o
er
acía a vece
es.
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:

¿Qué n
número va d
después de ocho? El ocho.
el
El ocho
o.
¿Y desp
pués del do
os?
El nuev
ve
¿Y desp
pués del se
eis?
[No responde.]
(Un poc más tard ¿Qué v después del ocho?
co
de):
va
Nueve, diez
¿Y desp
pués del do
os?
El cuatr
ro.

Ha
acia los cua o cinco años de ed
atro
dad, los niñ ya no necesitan em
ños
mpezar des
sde
el 1 para respo
onder de m
manera co
oherente y automática pregunta relativas a
a
as
s
núme
eros seguid
dos, al men hasta c
nos
cerca del 2 (Fuson et al., 1982 Ginsburg y
28
2;
g
Baroo
ody, 1983). Uno de los desarrollos que pueden producir un poco más tarde es
s
s
rse
o
e
la cap
pacidad de citar el nú
e
úmero ante
erior. Cuando los niño captan l relacion
os
las
nes
entre un númer dado y el anterior ya está preparado el terreno para con
ro
r,
o
ntar
regres
sivamente. Además, los niños de edad e
escolar aprenden gra
adualmente a
e
conta por grupo Entre la más prec
ar
os.
as
coces de e
estas nueva pautas s encuentr
as
se
ran
conta por pareja de cinco en cinco y de diez en diez.
ar
as,
o
umeración
Nu
Enumeración. Los niños deben apre
.
ender que c
contar objetos implica algo más q
que
r
nto
zado por e
encima de otro mientras
agitar un dedo señalando un conjun o desliz
pronu
uncian con rapidez la s
r
serie numér
rica. Aunque los niños pequeños aprenden c
con
rapide al meno la parte memorístic de la se
ez
os
ca
erie numéri (véase, por ejemp
ica
plo,
Fuson y Hall, 19
n
983) Y no tienen problemas para señalar los objetos d uno en u
a
de
uno
(Beck
kwith y Restle, 1966), coordinar e
estas dos té
écnicas par enumera un conjunto
ra
ar
no es una tarea fácil. En rea
f
alidad, la enumeración -sobre tod de conju
n
do
untos con m
más
uatro eleme
entos- sólo llega a h
o
hacerse au
utomática d una ma
de
anera gradual
de cu
(Beck
kwith y Res
stle, 1966; G
Gelman y G
Gallistel, 19
978, y Schaeffer et al 1974). C
l.,
Con

27



colecc
ciones gran
ndes y, sobre todo, d
desordenad
das, los niñ tienen que aprend
ños
der
estrat
tegias para llevar la c
a
cuenta de lo element que han contado y los que no.
os
tos
Cuand los elem
do
mentos se p
ponen en fila, hace fal poco es
lta
sfuerzo para no perder la
a
r
cuent si se empieza desde uno de lo extremo Si la colección está colocada en
ta
os
os.
á
círculo, el niño sólo necesit recordar el elemento por el que ha empez
ta
o
e
zado a cont
tar.
Con d
distribucion
nes desord
denadas, el niño debe recordar qué elem
r
mentos ha e
etiqueta y cuále quedan p etiquetar. Esto se ve facilita por el e
ado
es
por
e
ado
empleo de un
métod sistemát
do
tico (por eje
emplo, cont de izquierda a dere
tar
echa y de a
arriba abajo o
o)
separ
rando los elementos etiquetados de los n etiquetad
e
no
dos. Fuson (en prens
n
sa)
encon
ntró que muchos de s sujetos de párvul no emp
sus
s
los
pleaban la estrategia de
crear un montón aparte con los eleme
n
n
entos ya con
ntados.
Regla del valor cardinal. A principio, los niños p
a
Al
pueden no darse cue
enta de que la
e
enumeración sirv para numerar. Cua
ve
ando se les pide que c
s
cuenten un conjunto, los
n
niños se limitan a enumera y esperan que es en sí m
arlo
sto,
mismo, satis
sfará al adu
ulto
).
cuántos ob
bjetos acab
ban de cont
tar,
(cosa que ocurre a veces) Si se les pregunta c
vuelve a enume todos los element del conj
en
erar
tos
junto. Por e
ejemplo, Ida una niña de
a,
tres a
años de eda enumer cuatro es
ad,
ró
strellas (« 1 2, 3, 4») sin hacer n
1,
ningún intento
serio de emplear o recordar la informa
r
ación. Cuan se le pr
ndo
reguntó cuá
ántas estrel
llas
había acabado de contar, a
a
d
alzó los hom
mbros y volv a enume
vió
erarlas otra vez. Como la
a
o
enumeración se contempla como un fi en sí mis
in
sma y no co
omo un med para lleg
dio
gar
a un fin, los niñ
ños muy pe
equeños pu
ueden no llegar a co
omprender el sentido de
pregu
untas como « ¿Cuánto hay?» ni preocupar de reco
os
i
rse
ordar los res
sultados de lo
e
que han contado
o.
Cu
uando tiene cerca de dos años, muchos niños des
en
sarrollan un concien
na
ncia
primit
tiva de que contar es un proce
e
s
edimiento e
empleado p
para asigna números a
ar
s
colecc
ciones (para respond a pregu
der
untas del t
tipo « ¿Cuántos hay?
?»). Ahora ya
realizan el intento de recor
rdar lo que han conta
e
ado. Sin em
mbargo, com no se d
mo
dan
cuent de que el proceso d enumera
ta
e
de
ación se pu
uede resum respond a este t
mir,
den
tipo
de pre
eguntas rep
pitiendo la s
serie numé
érica. Despu de «sol
ués
ltar» varios términos («7,
s
8, 9») o de repet el mismo («9, 9, 9» ante un c
)
tir
o
»)
conjunto de tres objeto un niño de
e
os,
dos a
años puede designar e
este conjun volviend a contar (por ejemp «7, 8,9» o
nto
do
plo,
«9, 9, 9») (Wagn y Walte 1982). A despué de habe aprendido .a enume
,
ner
ers,
Aun
és
er
o
erar
correc
ctamente, los niños pu
ueden no darse cuenta de que es innecesario recitar o
s
otra
vez to
oda la sec
cuencia cuando se le pregunta por una cantidad. Por ejemp
es
plo,
despu de enum
ués
merar cuatr estrellas que había en una tarj
ro
jeta, George (sin volve a
er
mirar la tarjeta) respondió a la pregun ¿«Cuántas estrella hay»? co «Pues h
r
nta
as
on:
hay
1, 2, 3 y 4 estrellas.» Sin em
mbargo, a u edad ta corta com los dos años y me
una
an
mo
edio
de edad, algunos niños des
s
scubren el «
«atajo» con
nsistente en recitar la ú
n
última etiqueta
del pr
roceso de enumeració para indicar la cant
e
ón
tidad. En el fondo, la r
l
regla del va
alor

28



cardin traduce el término aplicado a un elemento determinado de un conjunto (el
nal
último al término cardinal q represe
o)
o
que
enta el conj
junto entero
o.
Re
egla de la cu
uenta cardin La regla inversa a la del valor cardinal es la regla de la
nal.
a
r
s
e
cuent cardinal. Esta regla específic que un término ca
ta
.
ca
ardinal com «5» es la
mo
s
etique asignad al último elemento cuando s enumer un conju
eta
da
o
se
ra
unto de cin
nco
objeto (Fuson y Hall, 198
os
83). Parece que los n
e
niños tiene que apre
en
ender que un
términ como cin es al m
no
nco
mismo tiemp el nombr de un co
po
re
onjunto (núm
mero cardin
nal)
y un n
número par contar. C
ra
Consideremos el caso de un niño al que se d un conjunto
da
de cin canicas junto con la consigna «Aquí ha cinco can
nco
s
a:
ay
nicas; pon c
cinco ca!1ic
cas
en la taza.» El ni que no aprecia la r
iño
regla de la c
cuenta card
dinal tiene q ponerse a
que
conta las canica a medida que las va soltando en la taza. Este niño n puede p
ar
as
a
no
prever qu la etique cinco e
ue
eta
empleada p
para design el conju
nar
unto es la m
misma que se
debe aplicar al resultado de contar el conjunto En cambio, el niño que da por
o.
o
senta la regla de la cuen cardinal se limita a colocar todo el conju
ada
nta
unto en la ta
aza
sin co
ontar.
Se
eparación. Contar (sep
C
parar) un nú
úmero conc
creto de ob
bjetos es un técnica q
na
que
emple
eamos a diario (por e
ejemplo, «D
Dame tres lápices», «
«Me queda con cua
aré
atro
camis
sas», «Tom cinco clavos»). Sin e
ma
embargo, n se trata d una tarea cognoscit
no
de
a
tiva
sencil porque implica: a) o
lla
observar y recordar el número de elementos solicitado (el
e
s
objetivo); b) etiq
quetar cada elemento separado con una etiqueta numérica, y c)
a
o
o
contro
olar y dete
ener el pro
oceso de s
separación. En otras palabras se requie
s,
ere
almac
cenar el ob
bjetivo en la memoria de trabajo, un proces de enum
a
so
meración y, al
mismo tiempo, ir compara
ando los números de proceso de enume
el
eración con el
n
núme almacen
ero
nado y dete
ener este p
proceso cua
ando se llegan a igualar (Resnic y
ck
Ford, 1981). La regla de la cuenta car
rdinal ofrece al niño un razón pa tomar nota
e
na
ara
del ob
bjetivo en la memoria d trabajo y constituye la base pa detener el proceso de
a
de
e
ara
r
o
enum
meración (Ba
aroody y Mason, 1984 Por ejem
4).
mplo, si se p
pide a un niñ que sepa
ño
are
tres lápices tien que dar
ne
rse cuenta de que pa realizar la tarea e importante
ara
r
es
record «tres» y que deb parar de contar lá
dar
be
e
ápices cuan
ndo llegue a la etiqueta
«tres»
».
Comp
paración de magnitu
d
udes
Cu
uando tienen unos tres años de ed
s
dad, los niños descubr que los términos para
ren
contar más altos se asocian a magnitu
s
n
udes superi
iores (Wagner y Walte 1982). A
ers,
Así
se dan cuenta de que «dos» no sólo sigue a «uno sino que también re
e
o»
e
epresenta u
una
cantid mayor. Hacia los 3 años y m
dad
medio, los n
niños suelen apreciar que «tres» es
mayor que «dos» (Shaeffer et al., 1974 Partiend de estos datos, los n
»
r
4).
do
niños de cerca

29



de cu
uatro años de edad pa
d
arecen des
scubrir una regla gene
eral: el térm
mino numér
rico
que v
viene despu en la s
ués
secuencia s
significa «m
más» que e término d un núme
el
de
ero
anteri Aun ant de entra en la escuela, los niñ parece usar su re
ior.
tes
ar
ños
en
epresentac
ción
menta de la ser numérica para hace compara
al
rie
a
er
aciones toscas, pero e
eficaces, en
ntre
magn
nitudes, es decir, para comparar c rapidez y exactitu dos núm
d
con
z
ud
meros bastante
separ
rados entre sí dentro de la secu
e
uencia (por ejemplo, e 3 y el 9, o el 2 y el 8)
el
l
(Resn
nick, 1983) A medid que la relación « siguient de» se va hacien
).
da
«el
te
ndo
autom
mática, los niños pued llegar a ser capac de hac compar
den
ces
cer
raciones en
ntre
magn
nitudes más próximas (
s
(entre núme
eros seguid
dos). En rea
alidad, cuan la mayo
ndo
oría
de los niños em
mpiezan a asistir al parvulario ya pueden realizar con bastante
sión compa
araciones en números adyacen
ntre
ntes hasta e 5 e inclus hasta el 10.
el
so
precis
B) IM
MPLICACIO
ONES EDUCATIVAS: DIFICULT
TADES PAR CONTA Y
RA
AR
SO
OLUCIONE
ES
Conta oralmen
ar
nte
Se
erie numéri
ica. La ma
ayoría de l
los niños, incluyendo los que pertenecen a
o
n
minor
rías y a cla
ases sociales desfavo
orecidas, re
eciben una exposición intensa a la
n
prime parte -la memorísti
era
a
ica- de la serie numér
rica por par de famili
rte
iares, amigos,
perso
onal de guardería, la te
elevisión, et antes de llegar a la escuela. S un niño q
tc.,
a
Si
que
acaba de incorp
a
porarse al ja
ardín de inf
fancia man
nifiesta inca
apacidad pa generar la
ara
r
secue
encia memo
orística has un mín
sta
nimo de 10, puede da señal de un problema
ar
e
grave y de la necesidad de una in
e
ntervención de apoyo inmediata e intens
n
o
a
siva
(Baroody y Gins
sburg, 1982
2b). Aunque se dan g
grandes dif
ferencias in
ndividuales, el
domin de la pa memor
nio
arte
rística de la serie numérica no de
a
ebería darse por senta
ado
en niñ atrasad del ciclo medio (Ba
ños
dos
o
aroody y Gin
nsburg, 198 La may
84).
yoría de los niños de cuatro y medio a sei años de e
m
is
edad puede llegar a c
en
contar hast 29 ó 39. S
ta
Sin
emba
argo, y dado que todav no han resuelto el problema de las dece
o
vía
enas, much
hos
de ello son inca
os
apaces de a
ampliar la p
parte regida por reglas más allá de estas cifr
a
ras.
Muchos niños pe
equeños co retraso m
on
mental nece
esitarán ayu para lle
uda
egar a dominar
inclus la primer parte de l secuencia regida po reglas (de 16 al 19 y del 20 al 2
so
ra
la
or
el
29).
Ap
partir del 15 aproxima
5,
adamente, la enseñan de la se numéric no debe
nza
erie
ca
ería
insisti en la me
ir
emorización En camb se debe
n.
bio,
ería animar a los niño a busca y
os
ar
discut las pauta subyace
tir
as
entes a la s
serie numérica. En alg
gunos caso el maes
os,
stro
puede tener que dar «pistas o ayudar a que las p
e
s»
r
pautas se hagan explíc
citas (véase el
e
ejemp 6.1). Ad
plo
demás, es positivo qu los niños cometan errores al aplicar reglas
ue
s
como sustituir 30 por «veintidiez». Se trata de un señal pro
0
na
ometedora porque indica
to
auta numér
rica y const
tituye un int
tento activo por parte del
o,
el reconocimient de una pa
niño, de tratar co lo desco
on
onocido en f
función de las reglas o de la com
mprensión q
que

30



ya tie
ene. Cuando un niño comete un error al ap
plicar una regla, el m
maestro pue
ede
aprov
vechar el co
onocimiento que ya tiene diciéndo por ejem
o
ole,
mplo: «Otro nombre pa
o
ara
veintid
diez es 30» Se trata d una man
».
de
nera constr
ructiva de c
corregir al n
niño porque el
e
maestro aprecia su capac
a
cidad para pensar sin dejar de ofrecerle el feedba
a
e
e
ack
neces
sario para su desarroll posterior
s
lo
r.
plo
pleo de pau
utas para enseñar las decenas
Ejemp 6.1 Emp
Aun los niños algo retrasados pued benefic
s
den
ciarse de la instrucción que explo
a
ota
las pa
autas subya
acentes a la serie num
a
mérica. Tom
memos el c
caso de Mik un homb
ke,
bre
de veinte años de edad con un el de 40 Mike trat
n
0.
taba de aprender cómo decir la ho
o
ora
ajustá
ándola a los cinco min
s
nutos más próximos, p
pero como no conocía las decen
a
nas
super
riores a 30 no podía pasar de 35. Después de 3 se limita
0,
e
35
aba a repetir
expre
esiones usa
adas previamente (por ejemplo, 5 10, 15, 20, 25, 30, 3 30»). Pa
r
5,
35,
ara
establecer una conexión e
entre la se
ecuencia de las unidades y las decenas, la
s
educa
adora de Mike escribió los núme
M
ó
eros del 1 a 6 en una tarjeta. De
al
ebajo de ca
ada
cifra e
escribió la decena co
orrespondie
ente y le ex
xplicó que podía usar los primeros
r
núme
eros que em
mpleaba pa contar para averiguar las de
ara
ecenas. «¿Ves? El 1 es
como el 10, e! 2 como el 20 e! 3 como el 30, el 4 como el 4 el 5 com el 50 y e 6
0,
40,
mo
el
como el 60». Mik usó la lis numéric de esta ta
ke
sta
ca
arjeta para contar de c
cinco en cin
nco
y al v que con ella podía expresar t
ver
n
a
todas las horas del re se puso tan contento
eloj
o
que p
pidió más copias de la tarjeta para usarlas en clase y en casa. L siguientes
c
a
Los
pasos se encam
s
minaron a h
hacer que M
Mike determ
minara la s
siguiente de
ecena usan
ndo
menta
almente la secuencia p
s
para contar y a que pr
r
racticara co
ontando de diez en die y
ez
de cin en cinc hasta qu estas té
nco
co
ue
écnicas se h
hicieran au
utomáticas. Al final, M
Mike
decía en seguida la hora sin necesitar la tarjeta.
a
r
La edu
ucación de Mike y la recopilación del ca se deben a Cathy A. M
aso
Mason.

Los obstáculo más frecuentes para los niños, sea cual s su capa
s
os
a
,
sea
acidad mental,
son lo nombres irregulares de los núm
os
s
s
meros 14 y 15 Y de las decenas 3 (por ejemp
s
plo,
Baroo y Snyde 1983, y Fuson et al 1982). Co
ody
er,
l.,
omo 14 y 15 son una e
excepción a la
pauta de elabora
a
ación, es fr
recuente qu sean los últimos nú
ue
s
úmeros que se aprend
e
den
hasta 19. Alguno niños sim
os
mplemente se los salta («…,13, 16,...) o los cambian p
an
s
por
3 Se ha hecho una adapta
o
ación al cas
stellano de l
las dificultad
des que, en el original, se
en
e
n
ase
mero 12. (N. del
refiere al nombre de ciertos números en inglés. Véa también la nota núm
T.)

31



otro («…,13, 16, 16, 16,…) Un diagn
,
)
nóstico exp
peditivo, el empleo de modelos y la
r
cia
da
n
ntes de que se
práctica pueden establecer la secuenc adecuad como un hábito an
instau una sec
ure
cuencia inco
ompleta o incorrecta.
Elabo
oraciones de la serie numérica Cuando están en párvulos, los niños no
d
e
a.
deberían tener problemas para citar el número siguiente a otro, y ni siquiera el
r
o
e
a
rior, al men hasta e (Fuson et al., 1982 Ginsburg y Barood 1983). L
nos
ella
n
2;
g
dy,
Los
anter
niños de bajo re
s
endimiento y con retras mental p
so
puede que n sean capaces de c
no
citar
el núm
mero siguie
ente y quizá deban em
á
mpezar a contar desde ello hacer c
conjeturas. Es
proba
able que citar el núm
c
mero anterior sea rela
ativamente difícil porq
que los niñ
ños
deben operar so
obre la serie numérica en dirección opuesta a la seguida durante su
a
a
e
apren
ndizaje. Ad
demás, pu
uede que el concept de ante
to
erior sea m
más difícil de
comp
prender que el de sigu
e
uiente. Por tanto, al pr
rincipio lo m
mejor sería concentrar la
enseñ
ñanza de apoyo en el número sig
a
guiente. Esta enseñan debería empezar c
nza
a
con
la par más fam
rte
miliar de la s
secuencia numérica (d 1 al 4 o al 5). Adem
del
más, si el n
niño
puede leer las cifras se pu
c
uede empez con act
zar
tividades en las que in
n
ntervenga u
una
repre
esentación concreta de la serie n
c
e
numérica (u lista numérica). Un vez el n
una
na
niño
ha co
omprendido la cuestión relativa al número siguiente (anterior) y puede dar
o
a
o
e
respu
uestas con facilidad m
mediante el empleo de una lista n
e
numérica, p
puede pasa a
ar
actividades sin lista numérica que le e
exijan deter
rminar men
ntalmente la respuesta
a
a.
Co
ontar regres
sivamente desde 10 depende d conocim
del
miento de las relacion
nes
existe
entes entre un número y su anter
o
rior, y es un técnica oral relativa
na
amente difí
ícil.
Con todo, suele ser domina por los niños cuan llegan a primer cu
ada
ndo
urso (Fuson et
n
al., 1982; Ginsb
burg y Baro
oody, 1983 Contar regresivam
3).
mente desd 20 es u
de
una
técnic especialm
ca
mente difíc y no suele dominars hasta poc antes de tercer curs
cil
e
se
co
e
so.
Los m
maestros de educación especial d
e
n
deben espe muchas dificultade con las d
erar
s
es
dos
técnic
cas. La enseñanza de apoyo pue empeza haciendo que el niño lea una lis
ede
ar
o
o
sta
numé
érica hacia atrás (de d
derecha a i
izquierda). Con los niños que do
ominan o h
han
domin
nado el núm
mero siguiente, se pue tapar la lista numé
ede
a
érica dejand a la vista el
do
a
núme de parti
ero
ida. Entonc
ces, a med
dida que el niño va contando ha
acia atrás, se
puede ir desta
en
apando suc
cesivamente los núme
e
eros menores. Este p
procedimien
nto
confir
rma las resp
puestas cor
rrectas y of
frece un fee
edback corre
ector para la respuest
as
tas
incorr
rectas.
Para contar a intervalos d cinco co
de
omo mínimo puede an
o,
nimarse a lo niños a q
os
que
een la sec
cuencia fam
miliar de c
contar de u
uno en uno, pero su
usurrando los
emple
núme
eros intermedios y de
estacando los que forman la pa
auta. Por e
ejemplo, pa
ara
apren
nder a conta de dos en dos, pued decirse a niño que cuenta así: «uno [en v
ar
n
de
al
:
voz
baja], dos [en voz alta], tre [en voz baja], cuat [en voz alta]... ». Si hace fal
es
tro
z
lta,
puede empezars con una lista numé
e
se
a
érica para aligerar el esfuerzo de expresar el
r
términ correcto y permitir q el niño se concent en la pauta. En el e
no
o
que
tre
ejemplo 6.2 se

32



mues otro mé
stra
étodo para contar a intervalos a partir de la secuencia familiar pa
a
a
ara
conta de uno en uno.
ar
n

Eje
emplo 6.2 Enseñanza de contar a intervalos
E
s
Se puede ha
acer que contar a i
intervalos tenga sign
nificado pa
ara los niñ
ños
relacionándolo con el proce
c
edimiento fa
amiliar de contar objeto reales de uno en un
os
no.
Josh, un adolesc
cente con r
retraso mod
derado, est
taba aprend
diendo a co
ontar de cin
nco
en cin
nco. Su edu
ucadora le h
había dicho que coloca unos dis
o
ara
scos de plá
ástico de co
olor
que le gustaban mucho en pilas de a c
e
cinco y des
spués le ayu a conta
udó
arlos de cin
nco
en cin
nco. Luego, hizo que J
,
Josh los desparramara y los cont
a
tara de uno en uno. Jo
osh
se qu
uedó muy so
orprendido al ver que obtenía el mismo resultado. Lue compro
ego
obó
la val
lidez gener de este descubrim
ral
e
miento con distintos n
números de pilas. En la
e
sesión siguiente, Josh insis en repe el exper
stía
etir
rimento por su cuenta.
r
Duran la tercera sesión, J
nte
Josh pidió t
tarjetas con números (5, 10, 15,2 25, etc.) y
n
20,
las em
mparejó con sus pilas. A continua
n
ación añadió una nuev etapa a s proceso de
va
su
comprobación: le los núm
eer
meros de las tarjetas a medida que iba contan los disc
s
e
ndo
cos
de uno en uno. Comprobó e resultado de contar la primera p de uno en uno con el
C
el
o
pila
n
ero
ta
sos, el resultado era «5
5».
núme de la primera tarjet y encontró que, en ambos cas
Al continuar con
ntando de uno en uno la segun
o
nda pila, en
ncontró que el resulta
e
ado
coinci
idía con el número de la segund tarjeta (10), y así s
e
da
sucesivame
ente. Mientras
Josh iba contand de uno en uno, la educadora recalcaba el número final de ca
do
ada
grupo (5, 10, 15, etc.) dicién
o
,
ndolo en vo alta con él. Luego, J
oz
Josh se inv
ventó un jue
ego
de ad
divinar en el que se tapaba los ojos, la e
e
educadora t
tomaba un tarjeta (p
na
por
ejemp la del 15) y Josh tenía que adivinar de qué núm
plo,
1
e
mero se trat
taba. Hacia la
a
cuarta sesión ya podía con
a
a
ntar hasta 30 de cinc en cinco y sin ayud El uso de
co
o
da.
objeto reales y la secuen
os
ncia para c
contar de u
uno en uno hicieron que contar a
o
intervalos fuera, para Josh, algo comp
prensible e interesante
e.
La edu
ucación de Josh y la recopilación del ca se deben a Cathy A. M
aso
Mason

Nume
eración
En
numeración. Cuando lo niños lle
os
egan al jard de infan
dín
ncia suelen ser bastante
n
comp
petentes para contar co
onjuntos de uno a cinc objetos, y la mayorí de los niñ
e
co
ía
ños
de cin años en
nco
numera con exactitud h
n
hasta 20 ob
bjetos (Fuso en prensa). Por tan
on,
nto,
si un niño que empieza el c
e
curso de pá
árvulos pre
esenta dificu
ultades con conjuntos de
n
uno a cinco elem
mentos, es q necesit de inmed
que
ta
diato una at
tención individual. El n
niño
que n haga nin
no
ngún intento de etique
etar cada o
objeto de un conjunto, por peque
,
eño

33



que é
éste sea, co una palabra para contar (soltando al az palabra para con
on
zar
as
ntar
mient
tras desliza el dedo p encima de los obj
a
por
jetos) ni de llevar la cuenta de los
e
objeto contados y sin con (etiquet
os
ntar
tando los o
objetos del conjunto de una manera
e
totalm
mente asiste
emática) pr
resenta gra
aves problemas (Baroo y Ginsb
ody
burg, 1982b
b).
Co
omo la en
numeración requiere la coordi
n
inación de dos sub
e
btécnicas, los
errore pueden deberse a tres causa a) gene
es
as:
erar una se numérica incorrecta
erie
(error de secu
res
uencia); b) llevar un c
)
control inex
xacto de los elemento contado y
os
os
no co
ontados (errores de p
partición), y c) no co
oordinar la elaboració de la se
ón
erie
numé
érica y el proceso de control de los ele
ementos co
ontados y no contad
dos
(error
res de co
oordinación (Gelman y Gallis
n)
n
stel, 1978) En la f
).
figura 6.1 se
mues
stran algun ejemplo de cada tipo de error. En oc
nos
os
a
casiones, lo niños pu
os
ueden t
tener un desliz al g
d
generar un serie n
na
numérica, pero si los errores de
secue
encia son sistemático (por eje
os
emplo, etiquetar siste
emáticamen conjuntos
nte
de 13 y 14 elem
3
mentos con «13») es señal de que hace f
n
s
falta una e
enseñanza de
apoyo orientada a reforza la técnic necesar para co
o
a
ar
ca
ria
ontar oralm
mente. El niño
que c
comete con regularida errores de partició como pa
n
ad
ón
asar algún elemento p
por
alto o contarlo más de u
una vez, d
debe apre
ender estra
ategias de control m
más
eficac
ces.
En la figura 6.1 se pued observa que hay tipos de er
n
6
de
ar
rrores muy distintos q
y
que
pueden produc las mis
cir
smas resp
puestas. Por ejemplo el doble etiqueta
o,
ado
(seña
alar un obj
jeto una vez y asign
narle dos e
etiquetas), al igual que contar un
mism objeto más de una vez, aume
mo
m
a
enta en un unidad e número d elementos
na
el
de
de un conjunto. Sin emba
n
.
argo, el dob etiqueta es un error de co
ble
ado
oordinación y
no de partición. En realid
e
dad, se pue
eden comb
binar vario errores p
os
para produ
ucir
una r
respuesta correcta. C
c
Como las re
espuestas incorrectas pueden p
s
producirse de
varias maneras y como, matemát
s
s
,
ticamente, dos error
res no equivalen a un
aciert es impo
to,
ortante que los maes
e
stros observen la act
tividad de enumerac
ción
de los alumnos que tenga alguna d
s
an
dificultad.
Si un niño tie
n
ene proble
emas para ejecutar con efica
a
acia algun de est
na
tas
subté
écnicas, es probable que se de errores de coordin
s
en
nación. Po ejemplo, un
or
niño q tiene que detener y pensa qué viene después del 3 cuan cuenta un
que
rse
ar
ndo
conjunto de cinc element
co
tos, puede olvidar po dónde ib «1 [señ
or
ba:
ñala el prim
mer
eleme
ento], 2 [se
eñala el segundo], 3 [
[señala el tercero], a ver, a ver, 4 [señala el
a
quinto elemento] Igualme
o
]».
ente, si un n
niño tiene que dedicar mucha atención para no
perde
erse, puede equivoc
carse (por ejemplo, saltarse un número). Fuson y
Mierk
kiewicz (198 encontr
80)
raron que lo niños pe
os
equeños tendían a cometer error
res
de coordinación a medio co
ontar.

34



Los errores de coordinación tamb
d
bién puede darse al principio o al final del
en
eso de en
numeración (Gelman y Gallistel, 1978). Algunos niños tien
n
nen
proce
dificultades para empezar las dos sub técnicas a mismo tie
a
b
al
empo. En c
consecuenc
cia,
er
o,
o
an
tar
ado
señalan el prime elemento pero no lo etiquetan o empieza a etiquet demasia
o
mplo, dicen «1» sin se
eñalar el pr
rimer eleme
ento, que a continuación
pronto (por ejem
recibe la etiqueta «2»). A ve
e
a
eces, los niñ tienen d
ños
dificultades para acabar con las d
s
dos
técnic coordin
cas
nadas y señ
ñalan, pero no etiquet
o
tan, el últim elemento o continú
mo
úan
etique
etando después de ha
aber señala el último elemento. Los niños mentalmente
ado
o
s
retras
sados parecen ser pro
opensos a cometer e
errores de c
coordinació (Baroody y
ón
y
Ginsb
burg, 1984)
).
El «frenesí» y «pasar de largo» so dos grav errores de enume
on
ves
s
eración. En el
n
prime
ero, el niño empieza c una cor
con
rresponden
ncia biunívo
oca, pero no la mantie
ene
hasta el final, y en el segundo no inten establec la corres
a
e
nta
cer
spondencia al empeza o
a
ar
acaba el proce de enumeración (
ar
eso
(Fuson y H
Hall, 1983). El frenesí puede darse
como resultado de no contr
o
d
rolar los ele
ementos etiq
quetados y no etiqueta
ados (error de
partic
ción), no coordinar la c
cuenta oral y la acción de señalar (error de c
r
coordinació
ón),
o amb a la vez (véase la fig. 6.1). Pa
bos
z
asar por alt comporta no hacer n
to
a
ningún intento
de co
ontrolar o co
oordinar la serie numé
érica con la acción de señalar cad element
da
to.
Co los niño que «pasan por alto» algún elemento la enseñanza de la·
on
os
n
o,
enum
meración de
ebe destac
car: a) contar despac y con a
cio
atención; b aplicar u
b)
una
etique a cada elemento; c) señalar cada elemento una ve r sólo un y d) con
eta
ez
na,
ntar
organ
nizadament para ahorrar esfuerz en el con
te
zo
ntrol. Con e
elementos f
fijos, el cont
trol
de lo objetos contados y los que quedan p contar se puede facilitar c
os
e
por
e
con
estrat
tegias de aprendizaje como em
a
e
mpezar por un lugar b
bien definido y continu
uar
sistem
máticament en una dirección (por ejemp
te
plo, de izqu
uierda a d
derecha). U
Una
estrat
tegia adecuada para contar ele
ementos m
móviles es separar cl
laramente los
eleme
entos conta
ados de los que queda por conta
an
ar.
Regla del valor cardinal. Cu
a
c
uando llega a párvulo los niño aplican r
an
os,
os
rutinariamente
la regla del valor cardinal a conjuntos a mayore (Fuson, P
r
aún
es
Pergament, Lyons y H
Hall,
).
ño
o
acer es señal de que tiene grav
e
ves
1985) Si un niñ de esta edad no lo puede ha
proble
emas. Aun
nque much
hos niños mentalme
ente retrasados pued
den aprend
der
espon
ntáneamente la regla del valor cardinal, otros necesitan una enseñanza explícita Si un niño simpleme
a.
o
ente adivina el valor ca
a
ardinal de un conjunto que acaba de
conta o vuelve a enumer el conju
ar
rar
unto, se le puede ex
e
xplicar la re
egla del va
alor
cardin de la manera siguiente: «Cua
nal
m
ando cuent
tes, recuerd el último número q
da
o
que
dices porque así sabrás cuántas cosa has conta
í
as
ado.» Si un niño repite toda la se
n
e
erie
érica empleada en el p
proceso de enumeración, se le puede decir que existe un
numé
atajo: «Deja que te enseñe una manera más fáci Después de contar, me vuelve a
e
il.
es

35



decir el último nú
úmero que hayas dich y así sab cuántas cosas has contado.» A
ho
bré
s
»
s
e
ro
re
so
s
en
»:
veces es útil que el maestr demuestr el proces mientras «piensa e voz alta» «
¿Cuán
ntos dedos tengo leva
s
antados? V a conta
Voy
arlos, a ver Uno, dos tres, cuat
r.
s,
tro.
Vaya, el último número q
,
que he dic
cho es cua
atro, así q
que tengo cuatro ded
dos
levantados.»

” Ind
dica la acción de señalar.
• Ind
dica una combinación de e
errores de sec
cuencia y par
rtición.
•• In
ndica una com
mbinación de errores de pa
artición y coor
rdinación.

36



Re
egla de la cuenta card
c
dinal. Los n
niños que e
empiezan la escuela s
a
suelen dar por
sentada esta no
oción más a
avanzada d valor ca
del
ardinal; muc
chos niños de educac
ción
espec no lo hacen así (
cial
h
(Baroody y Mason, 1984). Esta regla pued enseñarse
de
media
ante un pro
ocedimiento de dos e
o
etapas con
ncebido por Secada, Fuson y H
Hall
(1983 (Véase la fig. 6.2). La primera e
3)
a
etapa consiste en pres
sentar un co
onjunto al n
niño
e indi
icar (verbalmente y m
mediante un número e
n
escrito) la d
designación cardinal del
conjunto. El mae
estro pide a niño que cuente el c
al
conjunto y o
observe qu el resulta
ue
ado
cide con la designació cardinal. Para la se
ón
egunda etap el maes
pa,
stro
de contarlo coinc
prese
enta otro conjunto. Se le vuelve a dar al niño la designa
o
ación cardin y se le p
nal
pide
que cuente los elementos d conjunto Sin emba
e
del
o.
argo, antes de que aca de cont
abe
tar,
de
do.
el maestro le pid al niño que prediga el resultad
eparación. Los niños suelen llegar a párvulos pudiendo separar co precisión al
L
s
o
on
n
Se
meno conjuntos de peque tamaño. Si un niño es incapa de separa hasta cin
os
s
eño
o
az
ar
nco
objeto cuando se le pide es que n
os
e,
necesita un enseñan
na
nza de apo
oyo intensi
iva.
Muchos niños co deficienc
on
cias mental tienen d
les
dificultades con esta ta
area (Baroo
ody
y Ginsburg, 198 Baroody y Snyder, 1983; Spr
84;
y
,
radlin, Cott
ter, Stevens y Friedman,
s
1974) Y necesita una ense
)
an
eñanza esp
pecial.

37


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