resumenes de la materia de investigacion de operaciones...

1. Unidad 2
Programación Lineal Aplicaciones
Modelo de Transporte
El objetivo general es encontrar el mejor plan de distribución, es decir, la cantidad
que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos de suministro hasta
los puntos de demanda.
El “mejor plan” es aquel que minimiza los costos totales de envío, produzca la
mayor ganancia u optimice algún objetivo corporativo.
Se debe contar con:
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de
demanda en cada destino.
Costo de transporte unitario de mercadería
desde cada fuente a cada destino.

2. Esquemáticamente
se podría ver como
se muestra en la
siguiente figura

3. Solución del
Modelo de
Transporte
Descripción de los algoritmos
La regla de la esquina
noroeste, el método de
aproximación de Vogel y el
método del costo mínimo son
alternativas para encontrar
una solución inicial factible.
El método del escalón y el
DIMO son alternativas para
proceder de una solución
inicial factible a la óptima.
Por tanto, el primer paso es
encontrar una solución inicial
factible, que por definición es
cualquier distribución de
ofertas que satisfaga todas
las demandas
Una vez obtenida una
solución básica factible, el
algoritmo procede paso a
paso para encontrar un mejor
valor para la función objetivo.
La solución óptima es una
solución factible de costo
mínimo
Para aplicar los algoritmos,
primero hay que construir una
tabla de transporte.

4. Tabla Inicial Tabla Inicial del
Ejemplo
Regla de la
esquina Noroeste
Primera
asignación

5. Método de aproximación de Vogel
(MAV)
MAV usa
información de
costos mediante el
concepto de costo
de oportunidad para
determinar una
solución inicial
factible.
Seleccionar en una
fila la ruta más
barata y la que le
sigue. Hacer su
diferencia
(penalidad), que es
el costo adicional
por enviar una
unidad desde el
origen actual al
segundo destino y
no al primero.
En nuestro caso,
para el puerto1, C13
y C14; Penalidad = 6
- 4
MAV asigna un
costo de penalidad
por no usar la mejor
ruta en esta fila.
Lo anterior se repite
para cada fila y cada
columna, esto es,
determinar todas las
penalidades
Los pasos iterativos
de MAV son los
siguientes:
1. Identificar la fila o
columna con la
máxima penalidad.
2.Colocar la máxima
asignación posible a
la ruta no usada que
tenga menor costo
en la fila o columna
seleccionada en el
punto 1 (los
empates se
resuelven
arbitrariamente)
3. Reajustar la
oferta y demanda en
vista de esta
asignación.
4. Eliminar la
columna en la que
haya quedado una
demanda 0 (o la fila
con oferta 0), de
consideraciones
posteriores.
5. Calcular los
nuevos costos de
penalidad.
El MAV continúa
aplicando este
proceso en forma
sucesiva hasta que
se haya obtenido
una solución
factible.
Los resultados
obtenidos se
muestran en las
siguientes tablas

6. Método de
aproximación de
Vogel
• Paso 1: Identificar
máxima penalidad (fila o
columna)
Método de
aproximación de
Vogel
• Paso 2: Asignación de unidades
(MIN(oferta,demanda))
• Paso 3:Reajuste de oferta y
demanda
Método de
aproximación de
Vogel
• Paso 4: Eliminar columna (fila) con
demanda (oferta) 0
• Paso 5: Calcular los nuevos costos de
penalidad
• Repitiendo los pasos anteriores, finalmente
se llega a la siguiente solución
• ¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6?
si

7. Método del Costo Mínimo
Fundamento
Asignar la mayor cantidad de
unidades a una ruta disponible de
costo mínimo
Algoritmo
Dada una tabla de transporte
Asignar la mayor cantidad de unidades a la variable (ruta) con el
menor costo unitario de toda la tabla.
Tachar la fila o columna satisfecha.
Ajustar oferta y demanda de todas las filas y columnas
Si hay más de una fila o columna no tachada repetir los puntos
2, 3 y 4
Paso 2
Existen tres rutas costo mínimo. Elijamos la 1_3
Unidades a asignar = MIN(200,400)= 200
Paso 3: Tachar fila o columna (columna 3)
Paso 4
Ajustar ofertas y demandas (fila 1 y columna 3)
Paso 5
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a
paso 2
Conclusión
Los tres métodos entregan soluciones básicas factibles,
pero ninguno asegura que la solución sea óptima.

8. Método de
Pasos
Secuenciales
Fundamento
Este método comienza
con una solución inicial
factible.
En cada paso se intenta
enviar artículos por una
ruta que no se haya
usado en la solución
factible actual, en tanto
se elimina una ruta
usada actualmente.
En cada cambio de ruta
debe cumplirse que:
1. La solución siga
siendo factible y
2. Que mejore el valor
de la función objetivo
El procedimiento termina
cuando no hay cambio
de rutas que mejoren el
valor de la función.
Algoritmo
1. Usar la solución actual
(MEN, MAV o MCM) para
crear una trayectoria
única del paso
secuencial. Usar estas
trayectorias para calcular
el costo marginal de
introducir a la solución
cada ruta no usada.
2. Si todos los costos
marginales son iguales o
mayores que cero,
terminar; se tendrá la
solución óptima. Si no,
elegir la celda que tenga
el costo marginal más
negativo (empates se
resuelven
arbitrariamente)
3. Usando la trayectoria
del paso secuencial,
determine el máximo
número de artículos que
se pueden asignar a la
ruta elegida en el punto 2
y ajustar la distribución
adecuadamente.
4. Regrese al paso 1
Métodos de
pasos
Secuenciales

9. Método de Distribución Modificada
Algoritmo
1. Usar la solución actual (NE, MAV o
MCM) y las siguientes operaciones
(a) y (b) para determinar el costo
marginal de enviar material para
cada una de las rutas no usadas.
Asociar a cada fila un índice ui y a
cada columna un índice vj
a) Hacer u1 = 0. Encuéntrese los
índices de las filas u2, ..., um y los
índices de las columnas v1, ...., vn
tales que cij = ui + vj para cada celda
usada.
b) Sea eij = cij - (ui+vj) para cada
celda no usada; eij será el costo
marginal de introducir la celda (ruta)
i, j a la solución.
Los pasos 2 a 4 son los mismos que
en el método secuencial.
Paso 0: Asociar índices
Paso1.a) Solucionar la ecuación
Existen 6 ecuaciones y siete variables
entonces se hace u1 = 0 (puede ser
cualquiera) y se determina el resto
de los índices
v1 = 12 v2 = 13 u2 = - 9 u3 =
-4 v3 = 16 v4 = 8
Paso 1.b) Calcular los costos
marginales para cada celda no
usada.
eij = cij - (ui + vj)
Paso 2: Prueba de Optimalidad.
Hay costos negativos por lo
tanto no es óptima
La ruta de reasignación es:
+C13 -C33 +C32 -C12 (más
negativo, -12)
Paso 3: Asignación de unidades
a la ruta elegida.
Unidades disponibles a mover:
Disminuir 1 unidad C12
100
Disminuir 1 unidad C33 200
Vuelta
al Paso
1
(DIMO)

10. Modelo de Transporte:
Situaciones Especiales
1. Solución en
problemas de
maximización de
transporte
2. El caso en
que la oferta excede
a la demanda.
3. Eliminación
de rutas
inaceptables.
4. Degeneración
en problemas de
transporte.
5. Propiedades
especiales del
modelo de transporte
2. El caso en
que la oferta
excede a la
demanda.
Se utiliza un
destino ficticio en
la tabla de
transporte. Se
considera como
nulo el costo de
enviar una unidad
a dicho destino
desde cada una
de las fuentes
(orígenes).
3. Eliminación de
rutas inaceptables.
Se asocia a una ruta no
aceptable un costo lo
suficientemente alto
para que no sea
atrayente la ruta en
cuestión. El costo M
Por ejemplo: producir en
abril para vender en
febrero del mismo año.
4. Degeneración en
problemas de
transporte.
Se dice que un problema
se degenera cuando hay
menos de m + n - 1
rutas ocupadas. Esto
puede ocurrir cuando
simultáneamente se
satisface una demanda y
se agota una oferta.
1. Solución en
problemas de
maximización de
transporte.
Se utilizan los beneficios
marginales en lugar de los
costos. Se asignará
unidades a la celda que
tenga el mayor valor
marginal y el
procedimiento concluirá
cuando todas las rutas
tengan valores marginales
negativos.
b) Convertir la tabla de
beneficios en una tabla de
costo: Se busca el
beneficio mayor, en cada
celda se le resta al mayor
el beneficio de la celda.
5. Propiedades
especiales del
modelo de transporte
Todo problema de
transporte es posible
resolverlo mediante
algoritmos que usan
sólo la adición y la
sustracción.
Si todas las ofertas y
demandas tienen
valores enteros en un
problema de
transporte, los
valores óptimos de
las variables de
decisión serán
también enteros.

11. Modelo de
Asignación
Situación:
Asignar m trabajos (o trabajadores)
a n máquinas.
Un trabajo i (=1, 2, 3 ,...,m)
cuando se asigna a la máquina j
(=1,2,....,n) incurre en un costo cij.
El objetivo es asignar los trabajos a
las máquinas uno a uno al menor
costo.
La formulación de este problema
puede considerarse como un caso
especial del modelo de transporte.
Métodos de
Solución
Existen varias formas
de obtener la solución:
a) Listar todas las
alternativas posibles
con sus costos y
seleccionar la de
menor costo (algoritmo
exhaustivo)
b) Método Húngaro:
método iterativo
DESCRIPCIÓN
En el caso que un trabajo no
deba ser asignado (porque no
cumple con los requisitos) a una
máquina (actividad) en
particular, este costo debe tener
un valor alto (M)
En el caso de existir
desequilibrio, esto es, más
trabajos que máquinas o más
máquinas que trabajos, hay que
equilibrar con máquinas o
trabajos figurados (ficticios),
logrando de esta forma que m
= n

12. Método
Húngaro
• Paso 0: Construir la matriz de asignación
• Paso 1: a) Reducción de filas: Restar el costo
menor de cada fila a la fila correspondiente y/o
• b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de
cada columna a la columna correspondiente
Método
Húngaro
•Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de
Optimalidad).
•Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnas
para cubrir todos los ceros.
•Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se
dice que esta matriz es reducida.
•Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4
Método
Húngaro
• Paso 3: Movimiento
• De todas las celdas no cruzadas identifique una con el
menor valor y haga lo siguiente:
• a) Restar el valor a cada celda no cruzada
• b) Sumar el valor a cada celda de intersección de rectas
• Volver al paso 2
Método
Húngaro
• Paso 4: Solución óptima (Asignación)
• Primero se asigna a las que tengan sólo una
alternativa, se van marcando y así
sucesivamente

13. Modelo de Asignación: Otras
consideraciones
El modelo de
asignación de RPG
es un modelo de
minimización en el
cual el número de
vicepresidentes es
igual al número de
plantas, y todas las
asignaciones
posibles son
aceptables.
1. Ofertas y
demandas
desiguales
Solución: Se
elimina la restricción
que requería un
vicepresidente para
Tilburgo. El
resultado de este
cambio es que la
holgura para uno de
los cuatro
vicepresidentes será
1 en la nueva
solución óptima
2. Hay un modelo de
maximización
La respuesta de
asignación es un
beneficio y no un costo
Ejemplo: Suponga que
RPG tiene que asignar
vendedores a sus
territorios de venta.
Existen cuatro personas
bien capacitadas listas
para ser asignadas y
tres territorios
requieren un nuevo
vendedor. Uno de los
vendedores no será
asignado.
Consideremos ahora
modelos tipo asignación
donde no todas las
condiciones anteriores se
cumplen. En particular se
considerarán situaciones
en las que:
1. Hay una desigualdad
entre el número de
“personas” por asignar y
el número de “destinos”
que requieren personas
asignadas.
2. Hay un modelo de
maximización
3. Existen asignaciones
inaceptables
3. Situaciones con
asignaciones
inaceptables
Solución: Asignar
un costo
arbitrariamente alto
a esta “ruta”, de tal
modo que al restar
de él cualquier
número finito se
obtiene siempre un
valor mayor que
otros números
relevantes

14. Modelo de Transbordo:
Algoritmo
1 Inicialización:
Encuentre un plan de
embarque factible que
satisfaga todas las
restricciones de
suministro y demanda, al
mismo tiempo que
mantiene un equilibrio en
todos los nodos de
transbordo.
2
Prueba de
Optimalidad: Pruebe
el plan de embarque
actual para ver si es
óptimo, es decir, si es el
plan que incurre en los
costos totales mínimos.
Si es así, deténgase con
la solución óptima, sino
vaya al paso 3.
3
Movimientos: Use el
hecho de que el plan de
embarque actual no es
óptimo para crear un
nuevo plan de
embarque factible con
menos costo total que
el actual. Vaya al paso
2.

15. Modelos de Redes Introducción a la
Teoría de Grafos
Grafo no dirigido:
Un grafo no dirigido G
consiste en un
conjunto V de vértices
(o nodos) y un
conjunto E de lados
(ramas o enlaces)
tales que cada lado e
ε E está asociado a un
par no ordenado de
vértices v y w. Si un
lado e está asociado
a un único par de
vértices v y w,
entonces e= (v,w) o
e=(w,v).
Nodo de demanda:
Nodo que va a recibir
los productos para
cumplir con una
demanda conocida.
Nodo de transbordo:
Nodo que recibe
productos desde otros
nodos para su
distribución.
Arco (enlace):
Línea de una red que
conecta un par de
nodos. Se le utiliza
para representar una
ruta válida desde el
nodo origen al nodo
de distribución.
Arco dirigido:
Indica el sentido de
movimiento de los
productos.
Camino:
Una secuencia de
nodos en una red
unidos por arcos
(dirigidos o no
dirigidos)
Trayectoria (lazo):
Es un camino
cerrado (ciclo)
donde el primer
nodo es a su vez el
último.
Grafo dirigido:
Un grafo dirigido (o
digrafo) G consiste en
un conjunto V de
vértices (o nodos) y
un conjunto E de
lados (o ramas) tales
que cada lado e ε E
está asociado a un par
ordenado de vértices.
Si un lado e está
asociado a un par
ordenado único de
vértices v y w, se
escribe e = (v,w).
Representación de un
grafo:
Un grafo se puede
representar
matemáticamente
como:
a) Una matriz
b) Una lista enlazada
c) Árbol
Representación
Matricial
i) Matriz de
Adyacencia
ii) Matriz de costo
(beneficio)

16. Modelos de
Redes
Introducción
a la Teoría
de Grafos
Matriz de
Adyacencia:
Para un grafo G, es
una matriz A de
dimensión NxN,
donde A[i,j] es
verdadero (1) si, y
sólo si, existe un
arco que vaya del
vértice i al vértice j.
En ausencia de arco
directo se
representa
generalmente por
0.
Matriz de Costo:
Para un grafo G etiquetado,
es una matriz C de dimensión
NxN, donde A[i,j] es el costo
(valor de la etiqueta) si, y
sólo si, existe un arco que
vaya del vértice i al vértice j.
En ausencia de arco directo
se representa generalmente
por infinito (costo
extremadamente alto, para la
simulación se hace uso de un
valor fuera de contexto).

17. Modelo de la Ruta más corta
Situaciones:
Se pueden dar dos
casos para
representar la red:
a. Como grafo no
dirigido
b. Como grafo
dirigido
Cualquiera que sea el
caso corresponde a
grafos ponderados
(con peso)
Algoritmo:
3. Todo nodo que no tenga etiqueta
permanente, tendrá etiqueta
temporal o estará sin etiqueta. Sea
L el último nodo con etiqueta
permanente. Considerénse todas
las etiquetas de los vecinos de L
(directamente conectados a L
mediante un arco). Para cada uno
de estos nodos calcúlese la suma
de su distancia a L. Si el nodo en
cuestión no está etiquetado,
asígnese una etiqueta temporal que
conste de esta distancia y de L
como predecesor. Si el nodo en
cuestión ya tiene etiqueta temporal,
cámbiese sólo si la distancia recién
calculada es menor que la
componente de distancia de la
etiqueta actual. En este caso, la
etiqueta contendrá esta distancia y
a L como predecesor. Regresar al
paso 2
a) Algoritmo: Grafo no
dirigido
1. Considerénse todos
los nodos que estén
directamente
conectados con el
origen. Etiquetarlos
con la distancia al
origen y su nodo
predecesor. Etiquetas
temporales,
[distancia, nodo].
2. De entre todos los
nodos con etiquetas
temporales, escoger el
que tenga la distancia
menor y se marca
como permanente. Si
todos están con
etiquetas permanentes
se va al paso cuatro.
Algoritmo:
4. Las etiquetas permanentes
indican la distancia más corta
entre el nodo origen a cada
nodo de la red. También indican
el nodo predecesor en la ruta
más corta hacia cada nodo. Para
encontrar el camino más corto
de un nodo dado, comiéncese
en él y retroceda al nodo
anterior. Continuar con el
recorrido hasta llegar al origen.

18. Modelo de la Ruta más
corta (GD)
b) Algoritmo de
Dijkstra
Es una técnica
exhaustiva, esto es,
prueba todas las
alternativas posibles.
Opera a partir de un
conjunto S de vértices
cuya distancia más
corta desde el origen
ya es conocida.
Inicialmente S
contiene sólo el nodo
de origen. En cada
paso se agrega algún
vértice restante v a S,
cuya distancia desde
el origen es la más
corta posible.
¿Cuál es el camino?
Para conocer el camino
hay que incluir otra
matriz P de vér tices, tal
que Pv contenga el
vértice inmediato
anterior a v en el camino
más corto.
Se asigna a Pv valor
inicial 1 para todo v  1
La matriz P se actualiza
después de la línea 8.
Si Dw + Cwv < Dv en la
línea 8, después se hace
Pv = w
Al término de la corrida
del algoritmo, el camino
a cada vér tice puede
encontrarse regresando
por los vértices
predecesores de la
matriz P
Algoritmo de Floyd
Se utiliza una matriz
A, donde Aij = Cij
para toda i j, si no
existe camino
directo entre i y j se
supone que Cij = inf.
Cada elemento de la
diagonal se hace
cero.
Inicial
0) V = {1, 2, 3,
4, 5}
1) S = {1}
2)
3) D2 = 10,
D3 = inf, D4=30,
D5 = 100
4) Iterar 4 veces
5) Seleccionar
nodo con distancia
más corta de V-S,
6) Agregar el nodo
2 a S : S = {1,2}
7) Iterar |V-S|,
(V-S = {3,4,5})
Algoritmo de Floyd
0) INICIO
1) Desde i = 1 Hasta N
2) Desde j = 1
Hasta N
3) Aij  Cij
4) Desde i = 1 Has ta N
5) Aii = 0
6) Desde k = 1 Hasta N
7) Desde i = 1
Hasta N
8) Desde j = 1
Hasta N
9) SI
(Aik + Akj < Aij)
10)
Aij = Aik + Akj
11) FIN

19. Modelo de árbol extensión mínima
Modelo de árbol
extensión mínima
Definición 1
Un árbol es un
grafo que tiene sus
n nodos (vértices)
conectados
(conexo) con n-1
arcos (aristas), no
existiendo ciclos
(caminos cerrados)
Definición 2
Un árbol de
expansión de costo
mínimo es aquel en
que todos los
enlaces tienen
longitudes (costos)
mínimas
Paso 0 Se construye la
tabla de costos de
enlaces
paso 1 Se comienza
arbitrariamente con
cualquier nodo. Se
designa a este nodo
como conectado y se
pone una marca al lado
de la fila
correspondiente al
nodo. Se tacha el índice
de la columna que
corresponde a él.
Método
Gráfico
1 Se selecciona
un nodo
cualquiera y se
conecta al
nodo más
cercano a éste.
2 Se identifica
el nodo no
conectado más
cercano a un
nodo
conectado y se
conectan estos
dos nodos
Paso 2 Considerando todas
las filas marcadas, buscar
el mínimo en las columnas
cuyo índice aún no haya
sido tachado encerrándolo
en un círculo.
Designándose de esta
manera el nuevo nodo
conectado. Se tacha el
índice de la columna y
pone una marca en la fila
correspondiente a este
nodo. Se repite este paso
hasta que todos los nodos
estén conectados.
Paso 3 Los nodos
encerrados en círculo
identifican el árbol.

20. Problema del Flujo Máximo
Descripción
En este problema hay un
solo nodo fuente (nodo de
entrada) y un solo nodo
destino (nodo de salida), y
el resto son nodos de
transbordo. El problema
consiste en encontrar la
máxima cantidad de flujo
total (petróleo, gas,
efectivo, mensajes,
tránsito, etc.) en una
unidad de tiempo.
La cantidad de flujo por
unidad de tiempo en cada
arco está limitada por las
restricciones de capacidad.
Se dice que la cantidad
de flujo a lo largo de
dicho recorrido es factible
si:
1. No excede la capacidad de
ningún arco del camino
2. Con excepción de los
nodos 1 y 6, el flujo en cada
nodo debe satisfacer la
condición de conservación
Descripción
Considérese la i-ésima
restricción, para algún
valor fijo de i, La suma
se considera sobre toda j
para la cual el arco (i,j) con
i fijo, pertenezca a la red.
Entonces, será el
flujo total que sale del
nodo i. En forma
semejante, la suma se
considera sobre toda j para
la cual exista el arco (j,i) en
la red, (i fijo). De modo
que es el flujo que entra al
nodo i
La cantidad máxima
que puede fluir desde la
fuente a lo largo de un
camino es igual a la
menor de las
capacidades de los
arcos de dicho camino
Al asignar un flujo a un
arco nos atendremos a las
reglas:
1. Se reduce la capacidad
en la dirección del flujo
(cantidad de flujo)
2. Se aumenta la
capacidad en sentido
opuesto (cantidad de flujo)

21. UNIDAD
3

22. Administración de Proyectos (PERT
y CPM)
Todo proyecto debe
ser comprobado y
controlado, dado
que éste tiene
involucrado
numerosas tareas
interrelacionadas.
A través de algunas
técnicas se puede
responder a
preguntas como:
1. ¿Cuándo sería lo
más pronto que el
proyecto pudiera
estar terminado?
Método de la
Ruta Crítica
(CPM, Critical
Path Method):
Método utilizado
para administrar
proyectos en que
los tiempos
requeridos para
terminar las
tareas
individuales se
conocen con
relativa certeza
(determinísticos).
Técnica de
Evaluación de
Proyectos
(PERT,
Program
Evaluation and
Review
Technique):
Método utilizado
para administrar
proyectos en que
los tiempos
requeridos para
terminar las
tareas
individuales son
inciertos
(probabilísticos).
2. Para cumplir con
este tiempo de
conclusión, ¿qué tareas
son críticas, en el
sentido de que un
retraso en cualquiera de
esas tareas provoca un
retraso en la conclusión
del proyecto?
3. Es posible
acelerar ciertas tareas
para terminar todo el
proyecto más pronto?. Si
es así, ¿qué tareas serán
éstas y cuál sería el
costo adicional?
Desarrollo de la Red
de Proyectos
Para determinar el tiempo
de conclusión de un
proyecto puede usar los
siguientes pasos:
1. Identifique las tareas
individuales que componen
el proyecto
2. Obtenga una
estimación del tiempo de
conclusión de cada tarea.
3. Identifique las
relaciones entre las tareas.
¿Qué tareas deben
concluirse antes de que
otras puedan iniciarse?
4. Dibuje un
diagrama de red de
proyecto para reflejar la
información de los pasos 1
y 3

23. Cálculo de la ruta crítica: Tiempo de término del
proyecto
Definiciones
Tiempo de inicio
más inmediato: El
tiempo más cercano
en que una tarea
posiblemente pueda
iniciarse (TI)
Tiempo de
término más
breve: El tiempo
más corto en el que
una tarea
posiblemente pueda
concluir (TT)
Paso 0.- Identificar
el nodo de inicio de
la red del proyecto
Calcule y escriba en
cada arco saliente
a) TI más cercano,
esto es, 0
b) El TT más breve
de acuerdo a la
regla 3
TT más breve = (TI
más inmediato) +
(t)
= 0 + t
1. Seleccionar
cualquier nodo
donde todos los
arcos entrantes han
sido etiquetados con
sus TI y TT
2. Para el nodo
seleccionado en el
paso 1 calcule y
registre en cada
arco saliente
Regla
1. Para calcular el TI de una
tarea se debe conocer los TT
de cada tarea predecesora
inmediata
2. Tiempo de término más
breve = (tiempo de inicio más
inmediato) + (tiempo de
tarea(t))
3. El TI más inmediato de
una tarea de la que se
conocen los tiempos de
término más breves de todas
sus tareas predecesoras
inmediatas es el máximo de
todos esos tiempos de
término más
breves.
a) El TI más breve
de acuerdo a la
regla 2
TI más breve =
MAXIMO(TT de los
arcos entrantes)
b) El TT más breve
de acuerdo a la
regla 3
TT más breve = TI
más inmediato + t

24. Identificación de las tareas críticas:
Para identificar las tareas críticas
hay que realizar un recorrido
hacia atrás hasta el inicio del
proyecto, analizando cada tarea.
1. Último Tiempo de término:
Lo más tarde que puede
concluirse una tarea, en tanto
permita que el proyecto se
complete lo más pronto posible
2. Último tiempo de inicio: Lo
más tarde que pueda iniciarse
una tarea, pero finalizando dentro
de su tiempo de término.
3. Tarea sucesora: Una tarea
para la que la tarea de interés es
una predecesora
Pasos para calcular
los últimos tiempos
de inicio y término
0. Identificar el final
del proyecto.
Calcular y escribir en
cada arco entrante:
a) Último tiempo de
término del proyecto
b) Último tiempo de
inicio (Regla 6):
UTI=UTT-t
Regla 4. Para calcular el
último tiempo de término
(UTT) de una tarea
particular, debe conocer los
últimos tiempos de inicio
(UTI) de cada tarea
sucesora inmediata.
Regla 5. Respecto a una
tarea de la que se conocen
los últimos tiempos de
inicio de todas sus tareas
sucesoras inmediatas, el
último tiempo de término
(UTT) de esa tarea es el
mínimo de los últimos
tiempos de inicio de todas
las tareas sucesoras
inmediatas
Regla 6. UTI = UTT- t
1. Seleccione un
nodo, cuyos arcos
salientes hayan sido
etiquetados todos
con sus UTI y UTT
2. Para el nodo
seleccionado (paso
1) calcule y escriba
lo siguiente
a) UTT= MIN(UTI
arcos salientes),
(regla 5)
b) UTI=UTT - t
(regla 6)
3Repetir pasos 1 y 2
hasta cubrir toda la
red del proyecto

25. Formas de Reducir la duración del proyecto:
1. Análisis Estratégico
Aquí el analista se
pregunta: “¿Este proyecto
tiene que desarrollarse en
la forma programada
actualmente?”. En
concreto, “¿Todas las
actividades de la ruta
crítica tienen que
realizarse en el orden
especificado?”. ¿Podemos
hacer arreglos para
efectuar algunas de estas
actividades en forma
distinta de cómo aparecen
en la ruta crítica?.
Formas de
Reducir la
duración del
proyecto:
Para el ejemplo en
estudio, el
directorio estimó
un tiempo máximo
de 22 semanas
para realizar el
proyecto, y según
el estudio se ha
determinado que se
requieren 23
semanas, ¿Cómo
soluciona Ud. el
problema?. Realice
distintos supuestos
válidos para su
solución. ¿Es
única?.
Alternativa de
solución
Realizados algunos
estudios los
responsables de la
mudanza, se dan
cuenta que la actividad
J (entrenamiento de
los nuevos empleados)
debe realizarse en el
nuevo edificio (después
de completar la
actividad E) y después
de que el personal
clave y de registros se
haya mudado (al
completar la actividad
H). Estos
requerimientos se
podrían cambiar:
Realizar J
independientemente de
H
2. Enfoque Táctico
El analista presupone
que el diagrama en
curso es adecuado y
trabaja para reducir el
tiempo de ciertas
actividades de la ruta
crítica asignando
mayores recursos. Por
ejemplo tiempo,
aumento de mano de
obra, etc.
Con los cambios
anteriores, es
posible que la
red redefinida
tenga una
nueva ruta
crítica con un
tiempo menor,
aunque todavía
insatisfactorio
(mayor a las 22
semanas
establecidas).

26. ´
PERT: Variabilidad en los tiempos de
Actividades
Hasta ahora hemos trabajado
asumiendo que los tiempos de
duración de las actividades
eran determinísticos, en
consecuencia TI, TT, UTI y UTT
también fueron deducidos
como deterministas. Como este
supuesto no siempre es
correcto, PERT emplea una
fórmula especial para estimar
los tiempos de las actividades.
PERT requiere de alguien que
conozca bien una actividad en
cuestión, para producir tres
estimaciones del tiempo de
ésta.
Cálculo del tiempo
esperado de
finalización de
proyectos
Una vez
determinado el
tiempo promedio
de cada actividad,
se puede calcular el
tiempo de
finalización más
temprano esperado
para el proyecto
completo.
1. Tiempo optimista
(denotado por a): el tiempo
mínimo. Todo tiene que
marchar a la perfección.
2. Tiempo más
probable (denotado por
m): el tiempo que se
necesita en circunstancias
ordinarias.
3. Tiempo pesimista
(denotado por b): el tiempo
máximo. Situación que se
da en el peor caso.
Se determinan los
tiempos de inicio y
de término más
cercano, como
también los tiempos
de término y de
inicio más lejano.
Con estos tiempos se
determina la holgura
en cada actividad,
para finalmente
determinar la ruta
crítica, exactamente
igual como se hizo
para tiempo
determinista.

27. Probabilidad de concluir el proyecto a tiempo
El análisis procede de la
siguiente forma:
1 . Sea T el tiempo total que
durarán las actividades de la ruta
crítica.
2. Encuéntrese la
probabilidad de que el valor de T
resulte menor o igual que
cualquier valor específico de
interés. Para el ejemplo en estudio
buscaríamos T  22 semanas.
Una buena aproximación de esta
probabilidad se encuentra
aceptando dos supuestos:
a) Los tiempos de actividad
son variables aleatorias
independientes.
b) La variable T tiene una
distribución aproximadamente
normal.
Uso de la tabla de
distribución
normal, entonces
debemos calcular Z
para llegar a
determinar la
probabilidad.
Matriz de
Estimación de
terminación del
proyecto
Encadenamiento
Una matriz de
encadenamiento,
es una matriz de
NxN (N es la
cantidad de
actividades) donde
cada celda se
marca con una X si
la actividad de la
fila requiere que
esté terminada la
actividad de la
columna. Esta
matriz ayuda a la
construcción de la
red CPM

28. CPM: TRUEQUE ENTRE TIEMPO Y COSTO
CPM considera que el
tiempo extra (costo)
puede reducir el tiempo
de término de una
actividad, y en
consecuencia reducir el
tiempo total del proyecto
Compra de tiempo:
CPM usa dos
estimaciones: tiempo y
costo normal, a lo que se
agregará tiempo y costo
intensivo
Enfoques para
encontrar red de
tiempo mínimo –
costo mínimo
1. Comenzar con la red
normal e ir reduciendo
los tiempos de término
hasta un mínimo.
2. Comenzar con la red
de todo intensivo y
“desintensificar”
actividades para reducir
el costo sin afectar el
tiempo total.
3. Comenzar con la
ruta crítica de la
red de todo
intensivo con un
tiempo mínimo,
pero con todas la
demás actividades
normales. Después
reducir las otras
trayectorias como
sea necesario.
Red de tiempo
mínimo –
costo mínimo
Debido a las
estimaciones de CPM
se puede obtener dos
redes extremas:
1. Red de costo
normal
2. Red de costo
intensivo
¿Todas las actividades
deben realizarse en
forma intensiva?
3. Red de tiempo
mínimo—costo mínimo
Paso 1: Red del
proyecto
Paso 2: Tiempos de
Inicio y de Término,
holgura y ruta crítica
Paso 2: Tabla de
tiempos próximos y
lejanos
Paso 3: “Intensificar”
actividades ruta
crítica
Paso 4: “Intensificar”
actividades que no
están en la ruta crítica
(“paralelas”)
Paso 4: Resumen de
las reducciones

29. Red óptima
•Solución: Reducir la red en una semana
cada vez e ir comparando si los costos por
intensificar son menores a los costos por
penalización. Se termina cuando los
costos de penalización son mayor a los
costos de intensificar
Modelo de PL
para CPM
(Tiempo mínimo—
costo mínimo)
• a) Identificación de Variables de decisión
• b) Función Objetivo
• c) Identificación de las restricciones
Modelo de PL para
CPM (Tiempo
mínimo—costo
mínimo)
• Nodo 2
• Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 2
 tiempo de terminación de todas las tareas que
entran al nodo 2
• Tiempo de inicio de las tareas B, C y D  (tiempo
de terminación de la tarea A + (tiempo acortado
de la tarea A)
• X2  X1 + (4-YA)
Modelo de PL para
CPM (Tiempo
mínimo—costo
mínimo)
•Nodo 3
•Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 3 
tiempo de terminación de todas las tareas que entran al
nodo 3
•Tiempo de inicio de la tarea Ficticia  (tiempo de
terminación de la tarea B + (tiempo acortado de la tarea
B)
•X3  X2 + (2-YB)

30. Modelo de PL para CPM
(Tiempo mínimo—costo
mínimo)
• Nodo 4
• Restricción de la actividad Ficticia
• Tiempo de inicio de las tareas E y F 
tiempo de terminación de la tarea figurada
• Tiempo de inicio de las tareas E y F 
(tiempo de terminación de la tarea
Figurada + (tiempo acortado de la tarea
Figurada)
• X4  X3 + 0 (tarea Figurada)
Modelo de PL para CPM
(Tiempo mínimo—costo
mínimo)
•Nodo 5
• X5  X4 + (3-YE)
(actividadE)
•Nodo 6
• X6  X4 + (2-YF)
(actividad F)
Modelo de PL para CPM
(Tiempo mínimo—costo
mínimo)
•Nodo 7
• X7  X5 + (2-YG) (actividad G)
• X7  X6 + (2-YH) (actividad H)