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Tema 5
Características generales de las ondas
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Cuerda con cuentas
Cuerda elástica de masa despreciable sometida a una tens...
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Fuerza paralela que actúa sobre la partícula i
T0 cos αi − T0 cos αi−1
T0
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Determinación de los modos normales
yi(t) = Ai cos ωt con A0 = AN+1 = 0.
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ωn y −ωn son físicamente equivalentes: n ≥ 0.
n = 0 es un modo de traslació...
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Límite contínuo
N → ∞, l → 0, m → 0 con L ≡ (N + 1)l = cte y M ≡ mN = cte.
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Ondas en una cuerda vibrante
|T1| |T2| T0
Segunda ley de Newton
µ∆x
∂2
ψ
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Modos normales.
Condiciones de contorno ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0. Onda estacio...
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Posición de los nodos y vientres:
Nodos: x = nL
= 1, . . . , n − 1 (n > 1)
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Solución general de la ecuación de ondas
Las soluciones son ondas viajera...
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Para demostralo definimos la variable u ≡ x − vt y aplicamos la regla de
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Si una onda viajera es periódica en el espacio, también lo es en el tiemp...
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Ondas monocromáticas
Es un caso particular de onda viajera
ψ(x, t) = ψ0 s...
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Velocidad de fase
Se define la fase de la onda sinusoidal como
ϕ(x, t) = κ...
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Superposición de ondas monocromáticas
Misma frecuencia y amplitud pero di...
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En el instante t = 0 tendremos
ψ(x, t = 0) = ψ0 sen 2π
x
λ−
cos 2π
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λ+
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Reflexión y transmisión en cuerdas
Para generar una onda monocromática en
...
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La tensión que la cuerda ejerce sobre el punto de sujección es T0
∂ψ
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La alternativa es admitir que existe
una onda reflejada, de manera que
pue...
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Empleando la continuidad de la función de onda
(Z1 − Z2)
∂ψi
∂t x=0
= (Z1...
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Como ψt(0, t) = ψi(0, t) + ψr(0, t) y ψr(0, t) = Rψi(0, t) resulta que
ψt...
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Energía propagada en la cuerda
ds−dx = dx2
+ dψ2 1/2
−dx =

 1 +
∂ψ
∂x
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La energía cinética es
dEc =
1
2
µ
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2
dx
por lo que la densidad de e...
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Potencia propagada en la cuerda
La energía almacenada entre x − dx y x en...
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Para una onda monocromática ψ(x, t) = ψ0 sen(κx − ωt) se obtiene
P(x, t) ...
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Atenuación
Cuando sumergimos la cuerda en un fluido aparece una fuerza de ...
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Débil: Γ/ω 1.
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ω = κv γ =
Γ
2v
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Impedancia característica en presencia de atenuación
La fuerza transversa...
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Discontinuidad
Consideremos una onda sobre una cuerda que pasa de una reg...
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Velocidad de grupo
ψ1(x, t) =
ψ0
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sen[(κ − dκ)x − (ω − dω)t]
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La velocidad de la onda moduladora recibe el nombre de velocidad de
grupo...
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Paquetes de onda gaussianos
ψ(x, t) =
∞
−∞
C(κ)ei(κx−ωt)
dκ C(κ) = Ae−σ2(...
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ω(κ) = ω(κ0) +
dω
dκ κ0
(κ − κ0) +
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En los medios dispersivos β(κ) = 0, por lo que
ψ(x, t) =
∞
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C(κ)e−iβ(κ0...
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  1. 1. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 1/351/35 Tema 5 Características generales de las ondas
  2. 2. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 2/352/35 Cuerda con cuentas Cuerda elástica de masa despreciable sometida a una tensión T0 en el equi- librio con N masas m separadas por una distancia l. l = l cos αi−1 l 1 + O(α2 i−1) Empleando la ley de Hooke T T0
  3. 3. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 3/353/35 Fuerza paralela que actúa sobre la partícula i T0 cos αi − T0 cos αi−1 T0 2 α2 i−1 − α2 i → 0 mientras que la componente perpendicular es m¨yi = T0 sen αi − T0 sen αi−1 T0 tan αi − T0 tan αi−1 Definiendo ω2 0 ≡ T0/ml obtenemos ¨yi + ω2 0 (2yi − yi+1 − yi−1) = 0 y0 = yN+1 = 0
  4. 4. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 4/354/35 Determinación de los modos normales yi(t) = Ai cos ωt con A0 = AN+1 = 0. 2ω2 0 − ω2 Ai − ω2 0 (Ai+1 + Ai−1) = 0 i = 1, 2, . . . N Usando como solución Ai = B sen(iθ) cos θ = 2ω2 0 − ω2 2ω2 0 Las condiciones de contorno se cumplen si sen [(N + 1)θ] = 0 =⇒ ωn = 2ω0 sen nπ 2(N + 1) n = entero
  5. 5. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 5/355/35 ωn y −ωn son físicamente equivalentes: n ≥ 0. n = 0 es un modo de traslación: n > 0. n = N + 1 implica θ = π y Ai = 0. ωN+2 = ωN ωN+3 = ωN−1 . . . ω2N+1 = ω1. Por tanto, los modos normales son yin(t) = B sen inπ N + 1 cos ωnt i, n = 1, 2, . . . , N
  6. 6. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 6/356/35 Límite contínuo N → ∞, l → 0, m → 0 con L ≡ (N + 1)l = cte y M ≡ mN = cte. Las frecuencias más bajas verifican que ωn ω0 nπ N + 1 = nπ L T0 µ = nω1 ω1 = π L T0 µ yn(x, t) = B sen nπx L cos(nω1t) n = 1, 2, . . . Solución general ψ(x, t) = ∞ n=1 Bn sen(κnx) cos(ωnt + δn)
  7. 7. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 7/357/35 Ondas en una cuerda vibrante |T1| |T2| T0 Segunda ley de Newton µ∆x ∂2 ψ ∂t2 T0 ∂ψ ∂x x+∆x − T0 ∂ψ ∂x x T0∆x ∂2 ψ ∂x2 Definiendo v ≡ T0/µ obtenemos la ecuación de ondas 1 v2 ∂2 ψ ∂t2 = ∂2 ψ ∂x2
  8. 8. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 8/358/35 Modos normales. Condiciones de contorno ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0. Onda estacionaria. ψ(x, t) = A(x) cos(ωt + δ) =⇒ A (x) + κ2 A(x) = 0 donde se cumple la relación de dispersión para la cuerda ω = κv La solución buscada es A(x) = α sen κx + β cos κx. A(0) = 0 =⇒ β = 0 y A(L) = 0 =⇒ κL = nπ. Los modos normales son ψn(x, t) = α sen nπx L cos nπvt L + δ n = 1, 2, . . .
  9. 9. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 9/359/35 Posición de los nodos y vientres: Nodos: x = nL = 1, . . . , n − 1 (n > 1) Vientres: x = + 1/2 n L = 0, . . . , n − 1
  10. 10. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 10/3510/35 Solución general de la ecuación de ondas Las soluciones son ondas viajeras (so- lución de d’Alembert) ψ(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt) El signo − indica propagación en la direc- ción positiva del eje X y el signo + en la negativa. La forma de la onda NO cambia en el tiempo.
  11. 11. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 11/3511/35 Para demostralo definimos la variable u ≡ x − vt y aplicamos la regla de la cadena: ∂ψ ∂x = ∂u ∂x df du = df du ∂2 ψ ∂x2 = ∂ ∂x df du = ∂u ∂x d2 f du2 = d2 f du2 ∂ψ ∂t = −v ∂u ∂u df du = −v df du ∂2 ψ ∂t2 = −v ∂ ∂t df du = −v ∂u ∂t d2 f du2 = v2 d2 f du2 = v2 ∂2 ψ ∂x2 De la misma manera se puede mostrar que g(x + vt) también es solución de la ecuación de ondas.
  12. 12. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 12/3512/35 Si una onda viajera es periódica en el espacio, también lo es en el tiempo, y viceversa. Sea ψ(x, t) = ψ(x, t + T) periódica en el tiempo, con período T. Entonces ψ(x, t) = f(x ± vt) = ψ(x, t + T) = f(x ± vt ± vT) = ψ(x ± vT, t) por lo que es periódica en el espacio, con período vT. Principio de superposición Cuando dos o más ondas se encuentran en el mismo lugar del espacio en el mismo tiempo se dice que interfieren. La función de onda resultante es la suma de todas ellas. Para visualizar una animación pinche sobre la imagen:
  13. 13. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 13/3513/35 Ondas monocromáticas Es un caso particular de onda viajera ψ(x, t) = ψ0 sen[κ(x ± vt) + δ] = ψ0 sen[κx ± ωt + δ] ψ(x, t) = A sen[κx ± ωt] + B cos[κx ± ωt] ψ(x, t) = Re {D exp[i(κx ± ωt)]} Longitud de onda λ = 2π/κ período T = 2π/ω El movimiento que realiza cada punto es armónico simple, cuya fase depende del punto considerado. ψ(x0, t) = ψ0 sen[κx0 ± ωt + δ] = ψ0 sen[ωt + φ(x0)] Para visualizar una animación pinche sobre la imagen:
  14. 14. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 14/3514/35 Velocidad de fase Se define la fase de la onda sinusoidal como ϕ(x, t) = κx − ωt La velocidad vo a la que debe moverse un observador para que la fase sea estacionaria dϕ dt = κ dx dt vo −ω e imponiendo la condición de que dϕ dt = 0 obtenemos que vo = v. Habi- tualmente v recibe el nombre de velocidad de fase
  15. 15. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 15/3515/35 Superposición de ondas monocromáticas Misma frecuencia y amplitud pero direcciones opuestas. ψ1(x, t) = ψ0 2 sen(κx − ωt) ψ2(x, t) = ψ0 2 sen(κx + ωt) ψ(x, t) = ψ1(x, t) + ψ2(x, t) = ψ0 sen κx cos ωt Para visualizar la onda estacionaria, pinche sobre el icono: Pulsaciones. ψ1(x, t) = ψ0 2 sen[κ1(x − vt)] ψ2(x, t) = ψ0 2 sen[κ2(x − vt)] ψ(x, t) = ψ0 sen κ1 + κ2 2 (x − vt) cos κ1 − κ2 2 (x − vt) onda moduladora
  16. 16. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 16/3516/35 En el instante t = 0 tendremos ψ(x, t = 0) = ψ0 sen 2π x λ− cos 2π x λ+ λ± ≡ 4π |κ1 κ2| Para visualizar una animación pinche sobre la imagen:
  17. 17. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 17/3517/35 Reflexión y transmisión en cuerdas Para generar una onda monocromática en una cuerda basta hacer que un extremo se mueva con movimiento armónico simple con la frecuencia y amplitud deseadas.
  18. 18. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 18/3518/35 La tensión que la cuerda ejerce sobre el punto de sujección es T0 ∂ψ ∂x x=0 por lo que la fuerza que debe ejercer el motor es FM→C = −T0 ∂ψ ∂x x=0 = T0 v ∂ψ ∂t x=0 = T0µ ∂ψ ∂t x=0 donde la impedancia característica es Z0 ≡ T0µ Condiciones de contorno en una discontinuidad La fuerza neta sobre el nudo es (Z1 − Z2) ∂ψ ∂t x=0 = 0 si Z1 = Z2. Si la masa del nudo es des- preciable, tendría aceleración infinita.
  19. 19. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 19/3519/35 La alternativa es admitir que existe una onda reflejada, de manera que pueda cumplirse que la fuerza neta so- bre el nudo sea nula. ψi(0, t) + ψr(0, t) = ψt(0, t) T1 ∂ψi ∂x x=0 + T1 ∂ψr ∂x x=0 − T2 ∂ψt ∂x x=0 = 0 =⇒ Z1 ∂ψi ∂t x=0 − ∂ψr ∂t x=0 = Z2 ∂ψt ∂t x=0
  20. 20. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 20/3520/35 Empleando la continuidad de la función de onda (Z1 − Z2) ∂ψi ∂t x=0 = (Z1 + Z2) ∂ψr ∂t x=0 e integrando respecto al tiempo ψr(0, t) = Rψi(0, t) donde se ha definido el coeficiente de reflexión como R = Z1 − Z2 Z1 + Z2 , −1 ≤ R ≤ +1 Extremo libre: Z2 = 0 =⇒ R = 1. Pinche sobre el icono: Extremo fijo: Z2 → ∞ =⇒ R = −1. Pinche sobre el icono:
  21. 21. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 21/3521/35 Como ψt(0, t) = ψi(0, t) + ψr(0, t) y ψr(0, t) = Rψi(0, t) resulta que ψt(0, t) = Tψi(0, t) donde se ha definido el coeficiente de transmisión como T = 1 + R = 2Z1 Z1 + Z2 , 0 < T < 2 Si ambas tensiones son iguales podemos obtener que R = v2 − v1 v2 + v1 T = 2v2 v2 + v1 Pinche sobre el icono para ver qué ocurre cuando Z1 < Z2: Pinche sobre el icono para ver qué ocurre cuando Z1 > Z2:
  22. 22. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 22/3522/35 Energía propagada en la cuerda ds−dx = dx2 + dψ2 1/2 −dx =   1 + ∂ψ ∂x 2 − 1   dx 1 2 ∂ψ ∂x 2 dx por lo que la variación de energía potencial es dEp = 1 2 T0 ∂ψ ∂x 2 dx
  23. 23. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 23/3523/35 La energía cinética es dEc = 1 2 µ ∂ψ ∂t 2 dx por lo que la densidad de energía es dE dx = 1 2 µ ∂ψ ∂t 2 + 1 2 T0 ∂ψ ∂x 2 Para una onda monocromática ψ(x, t) = ψ0 sen(κx − ωt) se obtiene dE dx = µω2 ψ2 0 cos2 (κx − ωt) y la energía para que vibre un segmento de longitud λ es Eλ = λ 0 dE dx dx = 1 2 µλω2 ψ2 0
  24. 24. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 24/3524/35 Potencia propagada en la cuerda La energía almacenada entre x − dx y x en un instante t pasa a estar entre x y x + dx en el instante t + dt con dt = dx/v. Por tanto P(x, t) = dE dt = v dE dx P(x, t) = v 2 µ ∂ψ ∂t 2 + v 2 T0 ∂ψ ∂x 2
  25. 25. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 25/3525/35 Para una onda monocromática ψ(x, t) = ψ0 sen(κx − ωt) se obtiene P(x, t) = µvω2 ψ2 0 cos2 (κx − ωt) de manera que la potencia promedio en un período es P ≡ 1 T T 0 P(x, t) dt = 1 2 µvω2 ψ2 0 = Eλ T
  26. 26. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 26/3526/35 Atenuación Cuando sumergimos la cuerda en un fluido aparece una fuerza de fricción que es proporcional a la velocidad de cada segmento. µ ∂2 ψ ∂t2 = T0 ∂2 ψ ∂x2 − β ∂ψ ∂t =⇒ ∂2 ψ ∂t2 + Γ ∂ψ ∂t = v2 ∂2 ψ ∂x2 Γ ≡ β µ ψ(x, t) = ψ0 exp[i(Υx − ωt)] Υ ≡ κ + iγ Sustituyendo en la ecuación de ondas ω2 + iΓω = v2 Υ2 ω2 = v2 κ2 − γ2 Γω = 2v2 κγ ψ(x, t) = ψ0e−γx exp[i(κx − ωt)] 1/γ: longitud de atenuación
  27. 27. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 27/3527/35 Débil: Γ/ω 1. v(κ + iγ) = ω 1 + iΓ/ω ω + iΓ/2, ω = κv γ = Γ 2v λ γ−1 Fuerte: Γ/ω 1. v2 (κ + iγ)2 = ω2 + iΓω iΓω, κ γ Γω 2v2 Γω = 2γκv2 λ ∼ γ−1
  28. 28. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 28/3528/35 Impedancia característica en presencia de atenuación La fuerza transversal que debemos realizar sobre la cuerda es −T0 ∂ψ ∂x = −Re iΥT0ψ0ei(Υx−ωt) = Re ΥT0 ω ∂ψ ∂t por lo que podemos definir una impedancia compleja Z0 = T0Υ ω = T0 ω (κ + iγ) Atenuación débil: Z0 T0µ (1 + iΓ/2ω) Atenuación fuerte: Z0 T0µ (1 + i) Γ/2ω.
  29. 29. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 29/3529/35 Discontinuidad Consideremos una onda sobre una cuerda que pasa de una región donde no hay atenuación, con impedancia característica Z1 = √ T0µ, a otro medio donde hay atenuación, con impedancia característica Z2. En los dos casos límites considerados, el coeficiente de reflexión R = (Z1 − Z2)/(Z1 + Z2) es Débil: R −i Γ 4ω |R| 1 Fuerte: R −1 (Pared rigida)
  30. 30. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 30/3530/35 Velocidad de grupo ψ1(x, t) = ψ0 2 sen[(κ − dκ)x − (ω − dω)t] ψ2(x, t) = ψ0 2 sen[(κ + dκ)x − (ω + dω)t] Pulsación: ψ(x, t) = ψ0 cos (dκ x − dω t) Moduladora sen(κx − ωt)
  31. 31. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 31/3531/35 La velocidad de la onda moduladora recibe el nombre de velocidad de grupo. Representa la velocidad a la que se debe mover un observador para que determine que la amplitud de la onda no cambia. vg ≡ dω dκ = v + κ dv dκ En los medios no dispersivos las velocidades de fase y de grupo coinciden (v no depende de κ). En los medios dispersivos cada onda monocromática viaja a una velocidad diferente. La superposición de ellas (típicamente un paquete de ondas) cambia de forma en el transcurso del tiempo. Relación de dispersión: ω = ω(κ) Pinche sobre el icono para ver qué sucede en un medio dispersivo:
  32. 32. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 32/3532/35 Paquetes de onda gaussianos ψ(x, t) = ∞ −∞ C(κ)ei(κx−ωt) dκ C(κ) = Ae−σ2(κ−κ0)2 ψ(x, 0) = A ∞ −∞ eiκx−σ2(κ−κ0)2 dκ = A √ π σ eiκ0x e−x2/4σ2
  33. 33. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 33/3533/35 ω(κ) = ω(κ0) + dω dκ κ0 (κ − κ0) + 1 2 d2 ω dκ2 κ0 (κ − κ0)2 + · · · ≡ ω0 + vg(κ0)(κ − κ0) + β(κ0)(κ − κ0)2 , β(κ) ≡ 1 2 dvg dκ En los medios no dispersivos β(κ) = 0, por lo que ψ(x, t) = ∞ −∞ C(κ)ei[κx−ω0t−vg(κ0)(κ−κ0)t] dκ Teniendo en cuenta que en este caso vg(κ0) = v y que ω0 = vκ0 resulta ψ(x, t) = ∞ −∞ C(κ)eiκ(x−vt) dκ = ψ(x − vt, 0) es decir, el paquete gaussiano se propaga sin distorsión. Debemos notar que no se ha hecho uso de la forma explícita de C(κ), por lo que esta conclusión es válida para la dinámica de cualquier pulso en medios no dispersivos.
  34. 34. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 34/3534/35 En los medios dispersivos β(κ) = 0, por lo que ψ(x, t) = ∞ −∞ C(κ)e−iβ(κ0)(κ−κ0)2t ei[κ(x−vg(κ0)t)+φ(κ0,t)] dκ donde φ(κ0, t) ≡ ω0t[1 − vg(κ0)/v(κ0)], siendo v(κ0) = ω0/κ0 la velocidad de fase. Además de esta fase φ(κ0, t), la presencia de un término cuadrático en la relación de dispersión origina el factor exp{−iβ(κ0)(κ − κ0)2 t} en el integrando. En consecuencia, en el medio dispersivo hemos de reemplazar σ por σ+iβ(κ0)t. Así obtenemos que la envolvente sigue siendo una gaussiana, pero su anchura crece en el tiempo pues σ(t) = σ 1 + β2(κ0)t2
  35. 35. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 35/3535/35 Ondas en medios no homogéneos: Método WBK. v(x) lentamente variable en el espacio. 1 v2(x) ∂2 ψ ∂t2 = ∂2 ψ ∂x2 ψ(x, t) = A(x)ei[f(x)−ωt] donde A(x) y f(x) son funciones reales. Sustituyendo la solución propuesta en la ecuación y despreciando A (x) obtenemos dos ecuaciones f (x) = ω v(x) =⇒ f(x) = ω x x0 dy v(y) 2 A (x)f (x) + Af (x) = 0 =⇒ A(x) A(x0) = f (x0) f (x) = v(x) v(x0) ψ(x, t) = A(x0) v(x) v(x0) exp iω x x0 dy v(y) − t

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