2. TABLAS DE PERTENENCIA Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado Una técnica para probar igualdades entre conjuntos es la tabla de pertenencia. Se observa que para los conjuntos A y B ⊆ U , un elemento x ∈ U cumple exactamente una de la cuatro situaciones siguientes: a) x ∉ A, x ∉ B; b) x ∉ A, x ∈ B; c) x ∈ A, x ∉ B; d) x ∈ A, x ∈ B. Asignando el valor de verdad 1 (verdadero) si x ∈ A y 0 (falso) si x ∉ A quedan determinadas cuatro regiones en el Universal de acuerdo con la siguiente tabla:
3. REGIONES DEL UNIVERSAL U Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado x A x B Región 0 0 (1) 0 1 (2) 1 0 (3) 1 1 (4) A B (1) (3) (4) (2)
4. Como son dos conjuntos tenemos 4 entradas posibles por lo que la cantidad de operaciones que se pueden definir son: 2 4 = 16 La tabla siguiente nos muestra las 16 operaciones posibles Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado
5. Operaciones entre dos conjuntos: Conjunto vacío Intersección A B: Región (4) Identidad Conjunto A: Regiones (3) (4) Unión A B : Regiones (2) (3) (4) Complemento de la Unión Región (1) Complemento de la Intersección Regiones (1) (2) (3) Universal Regiones (1) (2) (3) (4) U Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado (3) (4) (2) (1) Diferencia Simétrica Regiones (2) (3) Diferencia A-B Región (3) Diferencia B-A Región (2) Identidad Conjunto B: Regiones (2) (4) A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A B Complemento : Regiones (1) (2) A B A B A B A B A B Complemento de la Diferencia Simétrica Regiones (1) (4) Complemento de la Diferencia: : Regiones (1) (2) (4) Complemento : Regiones (1) (3) Complemento de la Diferencia: : Regiones (1) (3) (4) REG I O N 1 2 3 4
6. Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado A B A B A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 A A 0 1 1 0
7. Por ejemplo: A (B C) = (A B) (A C) (Propiedad Distributiva de la intersección respecto de la unión) Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado
8.
9. Aplicación: Representación de conjuntos en un computador Existen varias formas de representar conjuntos en una computadora. Una forma sería almacenar los elementos del conjunto de manera desordenada. Sin embargo si se hace de esta manera las operaciones para calcular la unión, intersección o diferencia serían demasiado costos en tiempo y recursos. Un método que simplificaría el cálculo es el siguiente: Consideremos un conjunto (arbitrariamente ordenado) U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el conjunto A={ 1,3,5,6,7,9} incluido en él. Utilizando el concepto de pertenencia se podría sustituir el conjunto A por una cadena de bits de longitud igual al cardinal del Universal, de tal manera que si el elemento pertenece al conjunto A lo indicamos con 1 y si no pertenece con 0. Así el conjunto A quedaría representado mediante la cadena de bits con respecto al Universal: 10 1011 1010 al universal le correspondería 11 1111 1111 y al conjunto vacío la cadena 00 0000 0000. Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado
10. En un computador, las operaciones con bits se corresponden con los conectivos lógicos. Por ejemplo, los conectivos lógicos , , son las operaciones AND, OR, XOR. Las operaciones están bien definidas para cadenas de bits de la misma longitud, que usualmente, se separan de a cuatro para “leerlas” mejor. Sean las cadenas de bits 0100 1010 1110 y 1101 1010 0010 aplicando las operaciones con bits AND, OR y XOR nos resulta: 0100 1010 1110 0100 1010 1110 0100 1010 1110 AND 1101 1010 0010 OR 1101 1010 0010 XOR 1101 1010 0010 0100 1010 0010 1101 1010 1110 1001 0000 1100 Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado
11. Volviendo al ejemplo anterior sean los conjuntos: U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , A={ 1,3,5,6,7,9} y B{1,2,5,6,8,10} Hallar mediante cadenas de bits: A B , A B, A, B, A-B y B A Las cadenas que representan cada conjunto son: U : 11 1111 1111 A : 10 1011 1010 B : 11 0011 0101 A B = ( 10 1011 1010 11 0011 0101) = 10 0011 0000 10 1011 1010 AND 11 0011 0101 O sea que A B ={1,5,6} como era de esperarse. 10 0011 0000 A B= ( 10 1011 1010 11 0011 0101)= 11 1011 1111 10 1011 1010 OR 11 0011 0101 O sea que A B ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 11 1011 1111
12. U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , A={ 1,3,5,6,7,9} y B{1,2,5,6,8,10} Los complementos los obtenemos negando las cadenas de bits respectivas: A = ( 10 1011 1010 ) = 01 0100 0101 O sea A ={2,4,8,10} B =not ( 11 0011 0101) = 00 1100 1010 O sea B ={3,4,7,9} A-B = ( 10 1011 1010 - 11 0011 0101) = 00 1000 1010 10 1011 1010 - 11 0011 0101 O sea que A-B ={3,7,9} 00 1000 1010 A B= ( 10 1011 1010 ∨ 11 0011 0101) = 01 1000 1111 10 1011 1010 XOR 11 0011 0101 O sea que A B ={2,3,7,8,9,10} 01 1000 1111 Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado
13. Prof .Juan Cabral - UTU Maldonado T/D: Realizar los ejercicios 1, 2 y 4 del Práctico 2 de Introducción a la Computación utilizando cadenas de bits.
