precalculo

1. Matemática I
Semana 1

2. Conjuntos
Relaciones y Operaciones con Conjuntos
Sistema de los Números Reales
Ecuaciones Lineales con una Variable
Aplicaciones
Matemática I

3. ¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es una idea primitiva de la matemática.
Los conjuntos son agrupaciones de objetos matemáticos,
llamados elementos, los que permiten modelar diferentes
situaciones.
2
CONJUNTO
ELEMENTO

4. Notación y Determinación de un Conjunto
En general :
los conjuntos se denotan con letras mayúsculas (A, B, C, …)
los elementos se denotan con letras minúsculas ( a, b, c, …)
Determinación por extensión:
Se denotan todos sus elementos.
Ejemplo: A = {a, b, c, d, e}
Determinación por comprensión
Se define una propiedad común a todos sus elementos.
Ejemplo: B = {x / x es un número natural menor que 5}

5. Relación de pertenencia
• Para expresar la pertenencia denotamos: x ∈ A
se lee: “ x pertenece al conjunto A”
• Para expresar la no pertenencia denotamos: x ∉ B
se lee: “ x no pertenece al conjunto B”
La relación de pertenencia vincula:
Elemento con Conjunto

6. Conjuntos Numéricos
Naturales: N = { 1; 2; 3; … }
Enteros: Z = { …;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … }
Racionales: Q = { / a  b  Z, b  0 }
Irracionales: I = { x / x ≠ ; a  b  Z, b  0 }
Reales: R = { x / x Q x I}
b
a
b
a
  

7. Diagrama de los Conjuntos Numéricos
IQ
N
Z
R

8. Conjuntos Característicos
Conjunto Vacío o Nulo: Es el conjunto que no tiene elementos.
Se le representa por los símbolos
Se define como:
Conjunto Unitario: es un conjunto que tiene un solo elemento.
Por ejemplo: A = {0}, B = {w}
Conjunto Universal: Contiene todos los elementos en un
contexto particular. En general, se le representa por la letra U.

9. Conjunto Finito: Es un conjunto en el que se pueden listar todos
sus elementos.
Por ejemplo:
C = {x / x es un mes del año}
e
f m
CONJUNTO FINITO
a
y
jl
g
s
o
n
d
Conjunto Infinito: Es un conjunto en el que no se pueden listar
todos sus elementos.
Por ejemplo:
L = {x / x es un punto de la recta }
CONJUNTO INFINITO

10. Matemática I
Conjuntos
Relaciones y Operaciones con Conjuntos
Sistema de los Números Reales
Ecuaciones Lineales con una Variable
Aplicaciones

11. Relación de Inclusión:
Un conjunto A está incluido en un conjunto B (A es
subconjunto de B) cuando cada elemento de A es también
elemento de B.
Simbolicamente: A  B  ( x  A  x  B )
Relaciones entre conjuntos
NOTA: En caso de no inclusión, ponemos: E  F
A  Bx
B
A
La relación de inclusión vincula: Conjunto con Conjunto
A  B  B  A
Propiedades:
1) , para todo .
2)
A A
E F F G E G
 
    

12. Relación de igualdad:
Un conjunto A es igual a un conjunto B cuando el
conjunto A tiene los mismos elementos que el conjunto B.
Simbolicamente: A = B  ( A  B  B  A )
A = B NOTA: En caso de desigualdad, ponemos: E ≠ F
Conjuntos disjuntos:
Un conjunto A es disjunto de un conjunto B cuando ningún
elemento de A pertenece al conjunto B.
A y B son conjuntos disjuntos
A B
Relaciones entre conjuntos

13. ACTIVIDAD 1
 
5 2
/ , , 0, 1, 2
5
k
A x x Q x k
 
    
 
2 1
/ , , ,
1 2 10
B x x Q x t N x
t
 
     
 
1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
1.1
1.2
2. Sean los conjuntos:    0, 1, 3, 7, 8 , 0, 1, 5A B 
Determinar:
a) ¿Qué subconjuntos no vacíos de A no están incluidos en B ?
b) ¿Qué subconjuntos no vacíos de B no están incluidos en A ?
3. Sean los conjuntos:
   
   
/ , es impar , / , es múltiplo de 5 ,
/ , es par , / , es múltiplo de 4
A x x Z x B x x Z x
C x x Z x D x x Z x
   
   
Establecer todas las relaciones de inclusión que puede haber entre
dichos conjuntos.

14. Operaciones entre conjuntos
1. Unión: A  B = { x / x  A  x  B }
Propiedades:
i)  A: A   = A
ii) A: A  U = U
A
B
A B
C D
C D
E
F
E F

15. 2. Intersección: A  B = { x / x  A  x  B }
A
B
A B
E
F
E F
i)  A: A   = 
ii)  A: A  U = A
iii) Distributiva: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Operaciones entre conjuntos
Propiedades:
C D
C D

16. C
A
A
U
3. Diferencia: A  B = { x / x  A  x  B }
A
B
A B
E
F
E F
C D
C D
4. Complemento de un conjunto
Dado A  U,
Ac = { x  U / x  A } = U  A
Operaciones entre conjuntos

17. 1. (Ac)c = A
2. A  Ac = U
3. A  Ac = 
4. A -  =A
5. A - A = 
6.  - A = 
7. (U)c = 
8. ()c = U
9. Leyes de De Morgan:
(A  B)c = Ac Bc
(A  B)c = Ac  Bc
10. A  B = A  Bc
Propiedades de la diferencia y el complemento:

18. ACTIVIDAD 2
1. Para los conjuntos A y B, determine
1.1) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7}
1.2)
2. Para los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {3, 5, 7, 9}
B = {3, 4, 9}, C = {3, 6, 7, 9}, determine:
3. Se tienen los conjuntos P = {x / x es un polígono regular} , C = {x / x es
un cuadrilátero} , T = {x / x es un triángulo equilátero}
P C
T
1 2 3
4
5
6
7
 2
A / , , , , 101x x y y y a a a     
, , yA B A B A B B A   
¿Cuáles de las regiones enumeradas
en el diagrama son vacías?
 B /y y y 
 a) A B C   b)
C
A B C   c) A B C 

19. CARDINAL DE UN CONJUNTO  NÚMERO DE ELEMENTOS
Notación:
Propiedad:        n A B n A n B n A B    
Ejemplo:  Si A , , , , entonces (A) = 5a b c d e n
Ejemplo de la propiedad:
     A , , , , , B , , , , A B ,a b c d e d e f g d e   
  5 4 2 7n A B    
( )n A
Cardinal de un conjunto

20. Problemas para resolver
1) Determinar por comprensión los siguientes
conjuntos:
 
 
1, 4, 7, 10, 13, 16
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56
A
B


2) Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo U.
   Si A B B A A B    
determinar cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:
A A B  B B A  A B  
C
B A  
C
A B A B  

21. }10/{  xNxxU
}9;3{ BA }10;9{ CA }2;1{)(  C
CB
  
C
CBA
3) Se define:
en donde se cumple que:
Determine el conjunto A
4)
A
B
C
Expresar mediante operaciones
la parte sombreada de la figura
adjunta.

22. 5) Expresar mediante operaciones la parte sombreada
de cada figura:
A
B
C
a)
b)
E F
G

23. 7) En un salón de clase hay 15 extranjeros, de los cuales 10 son
hombres. Si se sabe que 15 hombres no son extranjeros y que en
total hay 30 mujeres, ¿cuántos estudiantes hay en clase?
6) De un grupo de 70 estudiantes, 32 hablan inglés, 26 español, 37
francés, 6 inglés y español, 9 español y francés y 12 inglés y
francés. ¿Cuántos estudiantes hablan los tres idiomas?
8) Un investigador de mercados realiza una encuesta sobre hábitos
de lectura de revistas en Lima, resultando que: 9.8% leen Oiga,
22.9% Selecciones, 12.1% Caretas, 5.1% Oiga y Selecciones,
3.7% Oiga y Caretas, 6% Selecciones y Caretas y 32.4% leen al
menos una de las revistas mencionadas. Determine el porcentaje
de personas que:
a) no leen ninguna de las revistas citadas
b) leen exactamente dos de las revistas.

24. 9) Se realiza una encuesta a una muestra de postulantes a la
universidad sobre su preferencia respecto a las carreras
profesionales de Administración, Derecho y Economía,
obteniéndose los siguientes resultados:
60% prefieren Administración, 59% Derecho, 50% Economía,
38% Administración y Derecho, 22% Administración y Economía,
y el número estudiantes que no prefieren ninguna de las tres
profesiones es igual a los que solo prefieren Derecho. Si los que
prefieren las tres profesiones son el 40% de los que prefieren
Derecho y Economía, determine:
(a) El porcentaje de estudiantes que prefieren solo Derecho.
(b) El porcentaje de estudiantes que prefieren Administración y
Economía.

25. 10) (PC1, 2012.0)
Si , simplifique:
10) (PC1, 2012.0)
Si , simplifique: AB

26. Solución:
Considerando
q; r
 AB
Sean p, q, r, s, t y u las
cantidades de elementos de
cada conjunto en el diagrama.
Luego:
r; s; t; u s; u
p; s; t; u p; q q; r; s; t; u
s; t; u
s; t; u
Rpta: C
A Bp
q r
s
t
u

27. 11) La oficina de servicios académicos de la universidad, publicó el
siguiente reporte respecto del total de alumnos matriculados en
Matemática I:
•El 55% aprobó la primera práctica ;
•El 30% aprobó la segunda práctica ;
•El 50% aprobó la tercera práctica ;
•El 10% aprobó las tres prácticas ;
•El 40% de los que aprobaron la primera no aprobaron ninguna
otra;
•El 20% de los que aprobaron la primera también aprobaron la
segunda pero no la tercera;
•El 14% no aprobó ninguna práctica y 256 aprobaron la segunda
y tercera práctica.
Determine el número total de alumnos.

28. Solución:
Podemos considerar que el total de estudiantes es 100k.
10k
N = 100k
I II
III
22k 11k
14k
256 - 10k
55k 30k
50k
x
y
z

29.  
40
55 22
100
k k  
20
55 11
100
k k
22 11 10 55 12k k k z k z k     
11 256 30 19 256k x k x k     
12 256 50 38 256k y k y k     
55 19 256 256 10 38 256 14 100 16k k k k k k k         
Se tiene según el enunciado:
De las regiones:
Luego:  100 16 1600N  

30. Matemática I
Conjuntos
Relaciones y Operaciones con Conjuntos
Sistema de los Números Reales
Ecuaciones Lineales con una Variable
Aplicaciones

31. Sistema de los Números Reales
En el conjunto R se definen dos operaciones: adición y
multiplicación.
Se cumplen las siguientes propiedades para todo:
a, b, c  R
Asociatividad:
Conmutatividad:
       ya b c a b c a b c a b c         
ya b b a a b b a     

32. Elementos neutros:
Existen en dos elementos únicos 0 y 1 tales que:
0 y 1a a a a

   
Elementos inversos:
Para a, existe un único inverso aditivo , tal que:
  0a a  
Para a, si a es diferente de cero, existe un único
llamado inverso multiplicativo , tal que:
1
1a a
 
Distributividad:  a b c a b a c     
Ra

33. Adición
Conmutativa
Asociativa
Elemento Neutro
Elemento Inverso
Distributiva
Cuadro Resumen de las Propiedades Fundamentales
a + b = b + a a b = b a
(a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c)
 ! 0 / a + 0 = a  ! 1 / a .1 = a
a  R,
 ! –a / a + (-a) = 0
a  R - {0},
 ! a-1 / a.a-1 = 1
a (b + c) = ab + ac
Multiplicación

34. Operaciones inversas
De la adición y la multiplicación, se desprenden las
siguientes operaciones:
 La suma se indica
y se denomina diferencia.
a b a b  
1. Sustracción
1
El producto se indica /
y se denomina cociente.
a b a b

2. División

35. ACTIVIDAD 3
1. Determinar por extensión:
y sitúe los valores de x sobre una línea numérica.
¿Es cierto que M está incluido en Q?
1
/ , , 5
n
M x x n n
n
 
    
 
2. Determinar el inverso aditivo y el inverso multiplicativo (si existe)
de los siguientes números:
3
a)
4
b) , 0, 0
r
r t
t

  c) ,a b a b  d) 0
3. Si u es el inverso aditivo de w y x es el inverso multiplicativo
de y, reducir la expresión:
 
 
32
2x y u w
xyu wyx
wx
 
  
 

36. Matemática I
Conjuntos
Relaciones y Operaciones con Conjuntos
Sistema de los Números Reales
Ecuaciones Lineales con una Variable
Aplicaciones

37. Ecuaciones
Una ecuación es una declaración en donde dos
expresiones son iguales. Las ecuaciones pueden
ser:
• Verdadera:
• Falsa:
• Condicional:
7 3 10 
5 4 2 
5 9x  
Resolver o solucionar una ecuación (condicional) es
determinar el valor de la variable que hace verdadera a
esta ecuación.

38. Ecuaciones lineales con una variable
Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:
0, donde 0ax b a  
Teoremas relativos a la igualdad
• Teorema 1: Monotonía de la adición
Si , entoncesa b a c b c   
Si , entoncesa c b c a b    (cancelación)
• Teorema 2: Monotonía de la multiplicación
Si , entoncesa b a c b c   
Si , 0, entoncesa c b c c a b     (cancelación)

39. Conjunto al que pertenecen todas las soluciones de
dicha ecuación lineal.
Conjunto solución de una ecuación lineal
Por ejemplo:
1. Para la ecuación: 2x – 3 = 7, se tiene: CS. = { 5 }
2. Para la ecuación: 2x – 3 = 2x – 3, se tiene: CS. = R.
3. Para la ecuación: 2x – 3 = 2x + 3, se tiene CS. =

40. 1. Ecuación lineal compatible
Tiene al menos una solución. Puede ser de dos clases.
i) Ecuación compatible determinada: Cuando tiene un número
finito de soluciones.
ii) Ecuación compatible indeterminada: Cuando tiene un
número infinito de soluciones.
Clasificación de las ecuaciones lineales según el
conjunto solución

41. 2. Ecuación lineal incompatible.
No tiene solución. Su conjunto solución es vacío.
Ejercicio:
Resuelva las siguientes ecuaciones y determine, según su
CS, a qué tipo pertenece.
25)5(4)52( 2
 xxx
25)5(4)52( 2
 xxx
xxxx 25)5(4)52( 2


42. 1) Resolver:
   6 2 3 34 2 3 4
5 3 2 4
x xx x x   
  
3) ¿Cuántas avellanas de 6 soles el kilo y cuántas de 5 soles el kilo
deben mezclarse para constituir 120 kilos de avellanas que se
vendan a 5,50 soles el kilo?
4) Una solución líquida contiene 40% de alcohol y 60% de agua.
Una segunda solución contiene 20% de alcohol y 80% de agua.
¿Qué cantidades de cada solución deben tomarse para formar
80 litros de una solución que contenga 35% de alcohol?
Problemas para resolver
2) Resolver:
 2 12 1 3 1 4 6
3 2 5 5 3
xx x x x  
   

43. 5) Una persona tiene un capital de 2 500 dólares y otro 1 000
dólares. El primero ahorra diariamente 3 dólares y el segundo
2,50 dólares, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que el
capital del primero sea el doble que el del segundo?
6) Enrique decide asistir al parque de diversiones en el que juega
el “tiro al blanco” con la condición de que por cada tiro que
acierte recibirá a soles y pagará b soles por cada uno de los que
falle. Después de n tiros ha recibido c soles. ¿Cuántos tiros dio
en el blanco?
Problemas para resolver

44. Problema resuelto
Un automóvil consume un galón de gasolina si recorre 40 km en
ciudad o 50 km en carretera, siendo el precio de un galón de
gasolina de 12 soles. Al recorrer su auto 750 kilómetros, cierta
persona gastó 27 soles menos de lo que hubiera gastado si todo
el recorrido hubiera sido en ciudad ¿Cuánto recorrió en ciudad y
cuánto en carretera?
Resolución:
Definición de variable
x : Recorrido en ciudad
750 - x : Recorrido en carretera

45. Por cada kilómetro recorrido en ciudad gasta 12/40 = 0.30 soles
y por cada kilómetro recorrido en carretera gasta 12/50 = 0.24
soles.
750 0.30 225 soles 
Si todo el recorrido hubiera sido en ciudad, habría gastado:
Pero el gasto real por su recorrido ha sido:
 0.30 0.24 750x x 
Por la condición del enunciado, tenemos:
 0.30 0.24 750 225 27x x   
Resolviendo la ecuación, resulta: x = 300
Luego, recorrió 300 km en ciudad y 450 km en carretera