2. VECTORES
Es un elemento matemático el cual representa a toda magnitud física vectorial (como
por ejemplo) Velocidad, Aceleración, Fuerza, Campo Eléctrico etc.
ELEMENTOS DEL VECTOR:
0 Origen
Línea de Acción
α Dirección
A
A
Línea de Referencia
Modulo del vector: esta representada por la longitud del vector
Vector A
Extremo

3. REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR
Según los puntos: M (X1, Y1) y N (X2; Y2)
X1 X2
Y1
Y2
X2 – X1
Y2 – Y1M
N
Ө
Extremo del Vector
Origen del Vector
MN = Extremo - Origen
MN = (X2 ; Y2) – (X1 ; Y1) M - N
El Modulo del Vector lo hallamos por el teorema de Pitágoras:
MN = (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2

4. Ejemplo: dado el diagrama y los punto M (2;5) y N(6;8) hallar el modulo del vector
2 6
5
8
M
N MN = (X2 – X1) – (Y2 – Y1)
MN = (6 – 2) – (8 – 5)
MN = (6 - 2 ; 8 - 5)
MN = ( 4 ; 3)
MN = (X2 – X1) + (Y2 – Y1)
MN = (4)2 + (3)2
MN = 16 + 9
MN = 25
MN = 5

5. CLASIFICACION DE LOS VECTORES
1) VECTORES COLINEALES:
Son aquellos vectores que se encuentran en una misma línea de acción.
Como por ejemplo:
A B
Los vectores y son ColinealesA B
2) VECTORES PARALELOS:
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción son paralelas.
como por ejemplo
A
B
C
Los vectores y son ParalelasA B C

6. 3) VECTORES CONCURRENTES:
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un punto.
como por ejemplo
A
B
CD
E
F
O
Los vectores A, B, C, D, E y F son vectores Concurrente.
4) VECTORES OPUESTOS:
Son aquellos vectores que presentan igual modulo pero direcciones contrarias.
como por ejemplo
A
- A

7. 5) VECTORES COPLANARES:
Son aquellos vectores que se encuentran contenidos en el mismo plano.
como por ejemplo
P
A
B
C
Los vectores A, B y C son Coplanares
OPERACIÓN CON VECTORES
Tenemos las operaciones de Suma, Resta y Multiplicación

8. SUMA VECTORIAL
Consiste en representar un conjunto de vectores por un
único vector llamado vector suma o vector Resultante.
Ejemplo.
A
B A
B
EJEMPLO: el siguiente conjunto de vectores determinar el vector
resultante
A
B
C
D A
B
C
D
R = A + B + C + D

9. METODO DEL TRIANGULO:
Consiste en operar con 2 vectores.
como por ejemplo
A
B
B
A
R = A + B
METODO DEL POLIGONO:
Consiste en operar con mas de 2 vectores colocándolos
uno a continuación del otro.
como por ejemplo
A
B
C
D
A
B
C
D

10. CASO ESPECIAL: cuando el POLIGONO presenta los vectores sucesivos, es decir no
observamos intersección de cabezas de flechas, no existe resultante ( R = 0 )
A B C
D
E
F
A + B + C + D + E + F = 0 R = 0
METODO DEL PARALELOGRAMO: Sirve para 2 vectores, para hallar su vector
resultante es unir sus orígenes y luego es trazar sus paralelas a dichos vectores,
la resultante será la unión del origen y la intersección de las paralelas de los
vectores.
A
B
A
B
El modulo del vector suma
lo calculamos así:
R = 𝐴2 + 𝐵2 +2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃Ө

11. B
A
AHORA CALCULAMOS EL MODULO DEL VECTOR
DIFERENCIA
R = 𝐴2 + 𝐵2 −2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜
𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠
CONCLUSIÓN:
Vector Suma o Resultante
R = T + S
D
Vector Diferencia
R = T - S
Ө
Ө
S
T
Nota: para el vector diferencia : la flecha del vector
diferencia que coincide con la flecha de uno de los
vectores ese será el vector positivo y el otro será su
vector opuesto

12. Ejemplo: hallar el modulo del vector resultante de los siguientes vectores
3
5
60°
R = 𝐴2 + 𝐵2 +2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃
R = (3)2+ (5)2 + 2 3 5 𝐶𝑜𝑠60°
R = 9 + 25 + 30(
1
2
)
R = 34 + 15
R = 49
R = 7
R
D
D = 𝐴2 + 𝐵2 −2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃
D = (3)2+ (5)2 − 2 3 5 𝐶𝑜𝑠60°
D = 9 + 25 − 30(
1
2
)
D = 34 − 15
D = 19
D = 4,36

13. CASOS PARTICULARES: Modificando el ángulo “Ө”
a) Ө = 0° ( A B ) : entonces se obtiene el máximo valor del modulo de la
resultante
A
B
R máx. = A + B
Resultante Máxima
b) Ө = 180° ( A B ) : Se obtiene el menor valor posible de la resultante
Ө AB R min = A - B
Resultante Mínima
c) Ө = 80° ( A ⊥ B ) : Se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras
A
B
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2

14. APLICACIÓN DE VECTORES
1) Del siguiente conjunto de vectores, determinar el modulo del vector resultante
A B
C
A = 3
B = 4
D = 6
60 °
D
SOLUCIÓN:
𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2
𝐶 = (3)2+(4)2
𝐶 = 9 + 16
𝐶 = 25
𝐶 = 5R = 𝐶2 + 𝐷2 +2𝐶𝐷𝐶𝑜𝑠𝜃
R = (10)2+ (6)2 + 2 10 6 𝐶𝑜𝑠60°
R = 100 + 36 + 120°(
1
2
)
R = 136 + 60°
R = 196
R = A + B + C + D
R = C + C + D
R = 2C + D
R = 14 u

15. 2) De la siguiente figura hallar el modulo del vector Resultante
a) 6 u
b) 10 u
c) 11 u
d) 14 u
e) 12 u
Si: AB = BC = 2u
A
B
C
SOLUCIÓN:
a
b
c
d
f
g
h
e
f
g
x
R = a + b + c + d + e + f + g + h
a
b
e
x = f + g
x + h = e + a + b
c
d
x + h = c + d
R = a + b + e + d + c + f + g + h
R = x + h + x + h + x + h
R = 3(x + h) R = 3( 2 + 2 )
R = 3( 4 )
R = 12

16. 3) De la siguiente figura hallar el modulo del vector Resultante:
a) Cero
b) a
c) -a
d) b
e) f
a
b
c
d
i
hg
e
f
SOLUCIÓN:
R = a + b + c + d + e + f + g + h + i
R = a + i + d + e + f + h + g + b + c
a
d
ie
f
a + i + d + e + f = 0
a
b
c
hg
a + b + c + h + g = 0
R = 0 + h + g + b + c
b + c + h + g = - a
R = 0 + - a
R = - a

17. 4) Halla en el plano cartesiano, la dirección del vector C = 6i + 8j
SOLUCION:
8
6
α
X
Y
𝑇𝑔𝛼 =
𝐶. 𝑂
𝐶. 𝐴
𝑇𝑔𝛼 =
8
6
𝑇𝑔𝛼 =
4
3
𝛼 = 53°
37
53
3
5
4

18. 5) En el recuadro se muestra las componentes (x;y) de dos
vectores A y B ; halle el modulo del vector resultante
SOLUCION:
A B
X 4 2
Y -11 3
A = 4i – 11j
A = (4; – 11)
B = 2i + 3j
B = (2; 3)
A + B = (4;-11) + (2;3)
A + B = (4 + 2; -11 + 3)
A + B = (6; 8)
R = 6i + 8j
𝑅 = (6)2+(8)2
𝑅 = 36 + 64
𝑅 = 100
𝑅 = 10

19. 6) Usando el esquema determinar el vector m
m
10
3
-3
m = Extremo - Origen
m = (-3;3) – (1;0)
m = (-3-1 ; 3 - 0)
m = ( -4 ; 3 )

20. 7) Calcule el modulo del vector resultante en el diagrama mostrado
4
5
53°
SOLUCIÓN:
53°
B = 5
R
R = 𝐴2 + 𝐵2 +2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃
R = (4)2+ (5)2 + 2 4 5 𝐶𝑜𝑠53°
R = 16 + 25 + 40(
3
5
)
R = 41 + 24)
R = 65

21. 8) Con los siguientes datos; halle 𝑚 ; 𝑛 = 3; 𝑚 + 𝑛 = 13,
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑚 𝑦 𝑛 120°
Solución:
R = 𝑚2 + 𝑛2 +2𝑚𝑛𝐶𝑜𝑠𝜃
13 = (𝑚)2+ (3)2 + 2 𝑚 3 𝐶𝑜𝑠120°
13 = 𝑚2
+ 9 + 2(𝑚)(3)(−0,5)
13 = 𝑚2
+ 9 − 3m
𝑚2
+ 9 − 3m – 13 = 0
𝑚2 − 3m – 4 = 0
(m - 4)(m + 1) = 0
m = 4 m = -1

22. 9) En la figura 𝐶 = 20 𝑦 𝐷 = 40 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝐶 + 𝐷
D
C
80° 20°
SOLUCIÓN:
D
C
R = 𝐶2 + 𝐷2 +2𝐶𝐷𝐶𝑜𝑠𝜃
R = (20)2+ (40)2 + 2 20 40 𝐶𝑜𝑠60°
R = 400 + 1600 + 1600(
1
2
)
R = 400 + 1600 + 800
R = 2800
R = 400 𝑥 7 R = 400. 7 R = 20 7

23. 10) La figura muestra un cuadrado de lado “a” M y N son los puntos medios de sus
respectivos lados hallar la resultante de los vectores.
SOLUCIÓN:
a
a
N
M
a
a
a 2
=
a 2 𝑎 2
=
2a 2

24. 11) En la figura mostrada hallar el vector resultante
SOLUCION:
A
B
C
D
E
F
G
R = A + B + C + D + E + F + G
R = A + B + C + D + E + F + G
G = A + B + C + D + E + F
R = G + G R = 2 G

25. 12) SI “R” es el vector resultante de los vectores A; B; C; D mostrados en la figura,
determinar el modulo del vector “ R – 2D “
a) 2
b) 3
c) 4
d) 0
e) 5
A B C
D
SOLUCIÓN:
B
C
D
A
D = A + B + C
R = A + B + C + D
R = D + D
R = 2 D
Nos piden R - 2D
R - 2D = 2D - 2D
R - 2D = 0

26. PRACTICA DIRIGIDA DE VECTORES
1) Un automóvil viaja 3 Km hacia el Norte y 2Km hacia el Este,
encuentre la magnitud del vector desplazamiento resultante, en Km
SOLUCIÓN: N E
d
3 Km
2 Km
𝑑 = 22 + 32
𝑑 = 4 + 9
𝑑 = 13

27. 2) En la figura 𝐴 = 3; 𝐵 = 5 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠𝑒 𝐴 − 𝐵
A
B
C
SOLUCION:
C + B = A
𝐶 = 𝐴 − 𝐵
𝐶 = 𝐵 2 − 𝐴2
𝐶 = 5 2 − 32
𝐶 = 25 − 9
𝐶 = 16
𝐶 = 4

28. 3) Tres vectores A, B y C tienen componentes “X” y “Y” como se muestra en la tabla,
halle la dirección del vector resultante.
A B C
X 4 -1 5
Y -2 0 10
SOLUCION:
A + B + C = (4 ; -2) + (-1 ; 0) + (5 ; 10)
A + B + C = (4 -1 + 5) + (-2 + 0 + 10)
A + B + C = 8i + 8j
A + B + C = (8 ; 8)
Tg α =
∆𝑦
∆𝑥
Tg α =
8
8
𝑇𝑔𝛼 = 1
𝛼 = 45°

29. 4) En el triangulo vectorial encuentre el modulo de la suma de
vectores; 𝐴 = 3; 𝐵 = 4; 𝐶 = 6
SOLUCIÓN:
CB
A
R = A + B + C C = A + B
R = C + C
R = 2 C
R = 2 (6)
R = 12

30. 5) Dado un polígono cruzado, calcule el vector resultante
p
q
n
m
SOLUCION:
R = m + n + p + q q = m + n + p
R = q + q
R = 2q

31. 6) Varios vectores se muestran en el plano. Calcule el modulo del
vector resultante.
50
53°
SOLUCION:
50
53°
37°
40
30
A
B
C
D
R = A + B + C + D
A + B = C + D
R = A + B + A + B
R = 2A + 2B
X
X = A + B
R = 2(A + B)
R = 2( X )
R = 2 (40)
R = 80