Reforzamiento pre-matemática-2017-i

Reforzamiento – Pre – Matemática – 2017
Lic. Luis Cañedo Cortez Página 1
TRIGONOMÉTRIA
Sistema de medición angular
Ángulo trigonométrico
Es la figura que se
genera por la
rotación de un rayo
alrededor de un
punto fijo llamado
vértice desde una
posición inicial (lado
inicial) hasta una
posición final (lado
final).
Elementos.
 O → vértice
 OA → lado inicial
 OB ∧ OC → lado final
 α ángulo trigonométrico positivo (rotación
antihoraria).
 θ ángulo trigonométrico negativo (rotación
horaria).
Sistema sexagesimal (Inglés)
NOTACIÓN EQUIVALENCIA
Un grado sexagesimal: 1°
Un minuto sexagesimal: 1’
Un segundo sexagesimal: 1’’
1° = 60’
1’ = 60’’
m 1v = 360°
Sistema centesimal (francés)
NOTACIÓN EQUIVALENCIA
Un grado centesimal: 1
g
Un minuto centesimal: 1
m
Un segundo centesimal: 1
s
1
g
= 100
m
1
m
= 100
s
m 1v = 400g
Sistema radial (circular)
En este sistema la unidad se denomina RADIÁN que se
define como la medida del ángulo central que subtiende
un arco en una circunferencia con longitud igual al radio.
Equivalencias de conversión
m
1
2
V = 180° = 200
g
=  rad
9° = 10
g
RELACIÓN DE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS
ANGULARES
Sean S, C y R los números que representan la medida de
un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y
radial respectivamente. Se tiene:
𝑆
180
=
𝐶
200
=
𝑅
𝜋
S 180k
S C R
k C 200k
180 200
R k


    
   
S 9k
S C R
k C 10k
9 10
20 R k
20

 

      
 

Actividad.
1. Del gráfico, hallar: "x".
a) 24° b) 27° c) 30° d) 32° e) 36°
2. Del gráfico, hallar: xº
a) 9
b) 12
c) 15
d) 16
e) 20
3. Del gráfico, calcular "x".
A. 3
B. 7
C. 5
D. 9
4. Del gráfico, hallar "x", si: L1//L2.
a) α - β d) α - β +180º
b) α+β +180º e) α+β +360º
c) α - β +360º
5. Sabiendo que: rad a0 3b'1c"
17

  ; calcular:
a c 1
K
b
 

A. 5/2 B. 3/4 C. 5/3 D. 2

6. Del gráfico, calcular "x".
A. 3
B. 7
C. 5
D. 9
7. Señale el valor de: θ =
𝜋
9
rad + 60g en el sistema
sexagesimal.
A. 64° B. 76° C. 69° D. 74°
8. Calcular:
g25 50 rad
3E
g64 40 rad
6

 


 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. Hallar: "x" si se cumple:
a) 12 b) 17 c) 24 d) 20 e) 10
10. Sabiendo que: rad a 5b'5c''
37

  ; calcular:
a c
b

. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
11. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores
miden 7
rad
108
 y 144
g
. ¿Cuál es la medida
sexagesimal del tercer ángulo?
a) 28°32' b) 38°34' c) 48°22' d) 28°42' e) 38°44'
12. Calcular:
g m
3
40 1
K
1' 10"
 
a) 1,24 b) 2,16 c) 2,24 d) 2,4
13. Al reducir la expresión se obtiene:
  2
2
2C S 2C S
P
400R
  

a) 319 b) 309 c) 303 d) 296 e) 285
14. Siendo S, C y R lo convencional, simplificar:
a) 11,5 b) 13,5 c) 15,5 d) 27,5 e) 20
15. Calcular:
s m
3
40 1
K
1' 10"
 
A. 1,24 C. 2,16 B. 2,24 D. 2,4
16. Siendo S y C lo convencional, hallar un ángulo en
radianes, si:
S = n + 1
C = n + 2
a) /5 b) /10 c) /15 d) /20 e) /25
GEOMETRÍA
SEGMENTO DE RECTA
Porción determinada de recta.
Notación: Segmento “AB” : AB
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es el punto que pertenece al segmento y equidista de los
extremos.
Postulado: La menor distancia entre dos puntos es la
longitud del segmento de recta que los une.
OPERACIONES CON SEGMENTOS
Adición
Sustracción
Actividad.
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S". Calcule "QR", si: PS=30, PR=20
y QS=22.
"A", "B", "C" y "D", tal que:
Calcule la longitud del segmento que une los puntos
medios de los segmentos AB y CD

3. Se tienen los puntos colineales “A”, “B”, “C” y “D”
de tal manera que: AB = 3BC y AD + 3CD = 12,
hallar “BD”.
A. 1,5 B. 3 C. 4 D. 6
4. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y
“D” de tal manera que: AC + 2DC + BD = 40 y AB =
DC, calcular “AD”.
A. 10 B. 15 C. 18 D. 20
5. Los puntos consecutivos "A", "M", "B" y "C"
pertenecen a la misma recta. "M" es el punto medio
de AC. Hallar MB, si: AB - BC = 32 cm.
A. 8 cm B. 32 C. 18 D. 16
6. Se tiene los puntos consecutivos A, B y C. Si:
2AB = 3BC ; AC = 20. Hallar “AB”
a) 4 b) 8 c) 12 d) 15 e) 16
7. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D. Si:
AC = 12 ; BD = 18 ; AD = 23. Hallar BC.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
8. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si:
PR = 19cm ; QS = 24cm ; PS = 30cm. Hallar “QR”.
a) 7cm b) 16cm c) 15cm d) 11cm e) 13cm
9. Se tiene los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si:
PQ = 2QR ; RS = 4.QR ; PS = 28. Hallar QR
a) 5 b) 3 c) 6 d) 2 e) 4
10. Se tiene los puntos consecutivos P, Q y R. Si:
PQ QR
2 3
 ; PR = 25. Hallar PQ
a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 15
11. Se ubican en una recta las puntos consecutivos A,
B, C y D, de modo que:
AB =
2
x
5
 , BC=
x
5
– 3, CD =
7
5
, AD = 24cm.
Calcular el valor de x.
a) 6cm b) 12cm c) 21cm d) 15cm e) 14cm
12. Sean los puntos colineales: "O", "A", "B" y "C" tal
que: 3AB=BC. Hallar:
3OA OC
4OB

a) 0,5 b) 1,5 c) 2 d) 3 e) 1
"A", "B", "C" y "D". Si se cumple:
AB BC CD
2 3 5
  . Calcular "CD", si: AD = 20
a) 6 b) 9 c) 12 d) 8 e) 10
ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS
Noción de conjunto
Es una colección o agrupación de objetos bien definidos,
llamados elementos, los cuales pueden ser concretos o
abstractos.
Ejemplo:
Vocal de la palabra “murciélago”.
Número primo menor que 10.
País sudamericano que ha ganado un campeonato
mundial de fútbol.
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C,
..., etc. Y para denotar a sus elementos se usan las letras
minúsculas, a menos que dichos elementos sean, a su
vez, conjuntos. Dichos elementos van separados con
comas (,) o punto y coma (;) o bien indicando una
propiedad común de ellos.
Notación:
A = { a; e; i; o; u]
B = { 2; 3; 5; 7}
La notación gráfica consiste en representar los elementos
dentro de una figura cerrada (diagrama de Venn-Euler).
Conjuntos numéricos.
 Números naturales ( )
 0;1;2;3;....
 Números enteros ( )
 ...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...   
 Números racionales ( )
Son aquellos números que resultan de dividir dos
números enteros, excepto de dividirlos por cero.
1 1 1 1 2
...; 1; ; ;0; ; ; ;1;...
2 3 5 4 3
 
    
 
 Números irracionales(I )
Son aquellos números no racionales cuya cantidad
de cifras decimales es indeterminada.
 ...; 5; 2; ; ;...I e  
 Números reales ( )
Son aquellos números que provienen de la reunión
de los números racionales e irracionales.
Relación de pertenencia
Si x es un elemento del conjunto A, se dice que "x
pertenece al conjunto A" y se denota: x ϵ A
En el caso de no pertenecer x al conjunto A se denota: x
 A.
Ejercicio.
Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
A
.a
.e
.i
.o
.u

A = {8; 3; {2}; {1, 3}}
 3  A ( )  8  A ( )
 2  A ( )  3  {1, 3} ( )
 {3}  A ( )  4  A ( )
Determinación de un conjunto
Por extensión
Cuando se enuncia uno a uno los elementos de un
conjunto de manera explícita.
Ejemplo: R = {1; 3; 5; 7}
Por comprensión
Cuando se indica una característica particular y común a
todos sus elementos.
Ejemplo:  2 1/ 4R x x x    
Cardinal de un conjunto
Indica la cantidad de elementos diferentes de un
conjunto dado.
Notación:
n(A) se lee: cardinal de A.
Ejemplo: A = {1; 2; 5; 6; 5} → n(A) = 4
Clases de conjuntos
Conjunto finito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de
elementos, por lo tanto el proceso de conteo de sus
elementos termina en algún momento.
Ejemplo: R = {x/x es un número natural menor que 100}
Conjunto infinito
Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de
elementos, por lo tanto el proceso e conteo de sus
elementos no termina.
Ejemplo: R = {x/x es un número natural impar}
Conjunto vacío o nulo
Es aquel que carece de elementos.
Notación:  ; { }
Ejemplo: A = {xϵ / 0 < x < 5  x
2
= 100} = { } = 
Conjunto unitario
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
También llamado singleton.
Ejemplo: P = {x/x ϵ ; x 0  x > 0} = {0}
Conjunto universal
Es el conjunto que contiene a todos los elementos
considerados en un contexto determinado. No existe un
conjunto universal absoluto y se le denota generalmente
por U.
Ejemplo: A = {2x + 3 / x ϵ Z / 0 < x < 4}
Un conjunto universal para A sería:
U = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
Actividad.
1. Sabiendo que el conjunto:
A = {a + b; a + 2b – 2; 10}
es un conjunto unitario. Dar el valor de “a2
+ b2
”.
a) 16 b) 80 c) 68 d) 58 e) 52
2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o
(F), según corresponda:
i) {7}  A ( ) iv) {9}  A ( )
ii) 9  A ( ) v)   A ( )
iii) 7  A ( ) vi) 10  A ( )
a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF d) VVFFFV
3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas
proposiciones son falsas?
i) {b}  M iv) {{b}, p}  M
ii) b  M v) {{b}, {m}}  M
iii) {{m}}  M vi) m  M
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Sabiendo que los conjuntos:
A = {4a + 3b; 23} y B = {3a + 7b; 41} son
unitarios. Hallar: “a + b”
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9
5. Sea:
2
1
/ 7 9
2
x
M x x
 
       
 
Indicar la suma de los elementos de M.
a) 170 b) 85 c) 165 d) 129
6. Se tienen los conjuntos unitarios:
M = {a2
+ 1; 2a} y N = {3x + y; x - y + 12}
Halla: a + x + y
a) 7 b) 9 c) 6 d) 8 e) 10
7. Determine por extensión el siguiente conjunto:
T = {x/x =
x12
x3

; x  N}
a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3} d) {0, 3, 4} e) {0,4}
8. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?
A = {x  N/ x + 1 = 0} ; B = {x  Z/ 3x + 1 = 0}
C = {x  Q/ x2
- 7 = 0} ; D = {x  R/ x4
+ 4 = 0}
a) 1 b) 2 c) 3 d) F.D. e) Todos
9. Calcular la suma de los elementos del conjunto:
A = {x/x  N; 10 < 3x + 2 < 18}
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 23
10. Dado el conjunto: B = {x+3/x  Z, x2
< 9}
Calcule la suma de los elementos del conjunto “B”
a) 12 b) 15 c) 3 d) 9 e) 18
11. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los
siguientes conjuntos?
A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {t, r, i, l, c, e}
a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64
d) 32 y 64 e) 128 y 32

12. Hallar la suma de elementos del conjunto:
A = {3a2
+ 5 / a  Z; 1 < a < 6}
a) 172 b) 182 c) 148 d) 156 e) 192
13. Dados:  2
A a 9;b 2   y  B 9;10 
Si se sabe que A = B. Calcular a – b
a) 9 b) 12 c) -10 d) -9 e) -12
14. Si los conjuntos “M” y “N” son iguales, hallar
“m + n”.
 n
M m ;12 ,  N mn;81
a) 5 b) 6 c) 7 e) 8 d) 9
15. Indique cuántos subconjuntos tiene:
 M x / 2x 3 13   
a) 64 b) 32 c) 128 d) 16 e) 120
16. Hallar “a + b + c”, si el conjunto “M” es unitario
 2
M a 3;3b c 4;6a 2;5b 7     
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
17. Determinar por extensión el conjunto “A”:
 2 3
A x / x 12x x   
a) {0} b) {0; 3} c) {0; -3; 4} d) {0; 4}
Nunca consideres el estudio como una obligación, sino
como una oportunidad para penetrar en el bello y
maravilloso mundo del saber.
Albert Einstein (1879-1955)
Razonamiento Matemático
CUATRO OPERACIONES
Método del cangrejo
En este tipo de problemas se comienza a resolver desde
el final, es decir, a partir del último resultado regresando
hasta el inicio del problema, haciendo en cada caso la
operación inversa a las operaciones indicadas.
Ejemplo:
Si a la edad que tiene tu padre lo multiplicas por 6; luego
lo divides entre 10 y el cociente lo multiplicas por 4,
añadiendo enseguida 42, obtendrías 162. ¿Cuál es la
edad de tu padre?
Resolución:
Rpta: La edad de tu padre es 50 años
Nota:
Este procedimiento también se puede realizar en forma
horizontal, colocando arriba las operaciones directas y
abajo las inversas.
Ejercicios:
1. Si al doble de un número entero positivo, lo
disminuimos en 3, lo elevamos al cuadrado, para
luego multiplicarlo por 4; y a este resultado le
quitamos 3; elevando lo que resulta al cuadrado,
obtenemos como respuesta 1. Halla el número.
Rpta.: El número es 2.

2. Un número se multiplica por 3, luego al producto se le
resta 6 y al resultado se le divide entre 2, para luego
sacarle raíz cuadrada. Finalmente el último resultado
es elevado al cubo, y se obtiene 27. ¿Cuál es el
número original?
A) 8 B) 6 C) 10 D) 9 E) 4
3. Un estudiante gastó todas las hojas de su cuaderno en
2 días y lo hizo de la siguiente manera: cada día gastó
la mitad de hojas en blanco que le quedaban, más 6
hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?
Rpta. 36 hojas
4. A un cierto número lo dividimos entre 4, al resultado
hallado le sumamos 8, a este resultado los
multiplicamos por 3, a este nuevo resultado le
restamos 8, a este resultado le extraemos la raíz
cuadrada, obteniendo como resultado final 5. Halla
dicho número.
a) 12 b) 10 c) 14 d) 9
5. En un lejano pueblo todos veneran a un santo
milagroso, pues triplica el dinero de los fieles con la
sola condición de entregarle S/.40 de limosna por
cada milagro. Si después de acudir a él por tres veces
consecutivas, Henry termina con S/.560. ¿Cuánto
tenía al principio?
a) S/. 40 b) S/. 42 c) S/. 45 d) S/. 47
6. Mi propina la multiplico por 3, a este producto le
aumento S/.28, a la suma la dividimos por 2, al
cociente obtenido le agrego 5 y al resultado le
extraigo la raíz cuadrada, obteniendo finalmente 5
como resultado. ¿Cuánto dinero tenía de propina al
inicio?
A) S/.4 B) S/.6 C ) S/.8 D) S/.10 E ) S/.12
7. Si al número total de patas de conejo que hay en un
corral se le multiplica por 3, al producto se le extrae la
raíz cúbica y luego al resultado se le resta 3, a la
diferencia se la eleva al cubo, obteniendo un número
al cual luego de sumarle 3 y dividirlo entre 3, se
obtiene 10 como resultado final. ¿Cuántos conejos
hay?
A) 13 B) 16 C ) 18 D ) 15 E ) 20
Método del rombo
En este método los datos se ubican en los vértices de un
rombo, en donde se indican mediante flechas la forma
cómo operar.
Ejemplo:
Debo pagar S/.490 con 31
billetes de S/.10 y S/.20.
¿Cuántos billetes de S/.10
debo emplear?
Resolución:
Ejercicios:
1. A una función de cine asistieron un total de 350
personas entre niños y niñas. Recaudaron S/.1550
debido a que cada niño pagó S/.5 y cada niña S/.4.
Calcula la diferencia entre el número de niñas y
niños.
Rpta. 50
2. En la factoría “Yayito” hay entre bicicletas y autos
300 vehículos, y el número de llantas es 800.
¿Cuántos autos hay?
Rpta. 100
3. Un entomólogo tiene una colección de 27 insectos,
entre moscas y arañas. En total se cuentan 186
“patitas”. ¿Cuántas moscas hay en la colección?
A) 12 B) 18 C) 15 D) 9 E) 16
4. En una prueba de ingreso un alumno gana 2 puntos
por respuesta correcta pero pierde un punto por
cada equivocación. Si después de haber contestado
50 preguntas obtiene 76 puntos, ¿cuántas contestó
equivocada?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

5. Para recaudar fondos para la promoción de quinto
se llevó a cabo una función de teatro en el colegio
“SLG”. Cada estudiante pagó S/. 25 por el ingreso y
cada adulto S/. 40. Determina la cantidad de
estudiantes asistentes a la función si la recaudación
total asciende a S/. 12 300 y el total de asistentes es
de 420 personas.
A) 300 B) 250 C) 320 D) 280 E) 310
6. Un microbusero recaudó S/. 820, en uno de sus
recorridos; habiéndose gastado 320 boletos entre
pasajes entero y medio pasaje; los primeros cuestan
S/. 3 y los últimos S/. 1,60. Además el número
de universitarios supera al número de niños en 20 y
tanto los niños como los universitarios son los
únicos que pagan medio pasaje.
Son ciertas:
I. Suponiendo que los niños no pagan; el
microbusero estaría perdiendo S/. 56
II. Hay 60 universitarios.
III. Se gastó 240 boletos en pasaje entero.
A) I y II B) II y III C) Todas
D) Solo I E) Solo II
Método del rectángulo
En este tipo de problemas participan dos cantidades
excluyentes, que se comparan en 2 oportunidades
originándose en un caso ganancia y en otro pérdida.
Para poder aplicar este método, el problema debe
presentar las siguientes características:
Deben participar dos cantidades excluyentes, una mayor
que la otra, y deben compararse entre sí las dos
cantidades, originándose en un caso, un sobrante (o
ganancia) y en otro, un faltante (o pérdida).
Ejemplo:
Para ganar S/. 200 en la rifa de una grabadora se
imprimieron 640 boletos, sin embargo solo se vendieron
210, y se originó una pérdida de S/. 15. Determina el valor
de la grabadora.
Resolución:
Usamos el método del rectángulo:
boletos pérdida
640 +200
(–) (–)
210 –15
Precio de cada boleto  200 15 215
0,5
640 210 430
 
  

Precio de la grabadora = 640 x 0,5 – 200 = S/. 120
Ejercicios:
1. Para ganar S/.30 en la rifa de una pelota se hicieron
80 boletos, pero no se vendieron más que 70,
originándose una pérdida de S/.20. ¿Cuánto valía la
pelota?
Rpta. S/.370
2. Los alumnos del profesor “Lucho” deciden
obsequiarle una Laptop. Si cada uno diera S/.100,
faltarían S/.320; pero si cada uno da S/.120,
sobrarían S/.120. ¿Cuánto cuesta la Laptop?
Rpta. La Laptop cuesta S/.2 520
3. Un campesino pensaba así: “Si vendo todos los
sacos de arroz a S/.35 cada uno, perdería S/.120,
pero si los vendo a S/.42 cada uno, ganaría S/.90.
¿Cuál es el costo de todos los sacos de arroz?
A) S/.1 800 B) S/.1 400 C) S/.1 200
D) S/.1 170 E) S/.1 320
4. Pepe tiene tanto dinero como para comprar 24
chocolates y aún le sobra S/.15, pero si quisiera
comprar 36 chocolates, le faltaría S/.9. ¿Cuánto
dinero tiene Pepe?
A) S/.56 B) S/.52 C) S/.48 D) S/.72 E) S/.63
5. Si una señora compra 3 macetas con el dinero que
tiene, le sobraría S/.12. Entonces, decide comprar
una maceta más y le sobra solo S/.4. ¿Cuánto tenía
la señora?
A) S/.32 B) S/.30 C) S/.28 D) S/.36 E) S/.42
6. Un grupo de amigos va al estadio y sucede lo
siguiente: para entrar todos a oriente (40 soles la
entrada) faltaría dinero para 3 de ellos, pero para
entrar todos a popular (30 soles la entrada) tendrían
para una entrada más. ¿Cuántos amigos son?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
Regla de la con junta
Esta regla consiste en formar con los datos una serie de
equivalencias con la salvedad de que en una misma
columna no deben existir dos datos de la misma especie.
Luego se multiplican ordenadamente estas equivalencias
y se halla el valor de la incógnita.
Ejemplo:
Por una sandía me dan 4 manzanas, por 2 manzanas
recibo 3 mangos. ¿Cuántas sandías me darán por 24
mangos?

Resolución:
Rpta.: Me darán 4 sandías.
Ejercicios.
1. Sabiendo que 6 kilogramos de sandía cuesta lo
mismo que 4 kilogramos de papaya, 3 kilogramos de
papaya valen lo mismo que 2 kilogramos de
plátanos; 5 kilogramos de plátanos cuestan 18 soles.
¿Cuánto costarán 10 kilogramos de sandía?
A) 24 soles B) 20 soles C) 18 soles
D) 22 soles E) 16 soles
2. En una feria, por 8 melocotones dan 5 peras, por
cada 10 peras dan 3 piñas; por cada 4 piñas dan 1
docena de naranjas; si 5 naranjas cuestan S/.16.
¿Cuánto pagará por 12 melocotones?
Rpta. S/.21,60
3. En la librería “Joselito” 14 lapiceros cuestan lo
mismo que 6 plumones, 8 plumones lo mismo que 5
motas, 3 motas cuestan S/.35. ¿Cuánto tengo que
gastar para adquirir 16 lapiceros?
Rpta. S/.50
4. Un carpintero cobra lo mismo por confeccionar 4
sillas o 3 sillones, también cobra lo mismo por
confeccionar 9 sillones o 2 mesas. Si 3 mesas
cuestan S/.450, ¿cuánto cuestan 6 sillas?
A) S/.100 B) S/.120 C) S/.220
D) S/.150 E) S/.180
Geometría
Ángulo
Bisectriz de un ángulo.
OM : Bisectriz
Clasificación de los ángulos.
Ángulos Convexos Áng. No-Convexo
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS CONVEXOS
a) Según sus Medidas :
a.1 ∢ Agudo a.2 ∢ Recto
a.3 ∢Obtuso a.4 ∢Llano
a.5 ∢ De una Vuelta
b) Según sus lados y la suma de sus medidas.
b.1 ∢ Adyacentes
b.2 ∢ Consecutivos
A
O
B
º
Notación:
∢AOB : Ángulo AOB ó

AOB :
Ángulo AOB
m∢AOB : Medida del ángulo AOB
→ m∢AOB = º
M
A
B
°
°
O
O sea :
m∢AOM = m∢MOB = º
°
°
0º < º < 180º 180º < º < 360º
°
°
0° < ° < 90° ° = 90°
º
º
90° < º < 180° º = 180°
°
º = 360°
º
º
º
º
º º
º

b.3 opuestos por el vértice
b.3 ∢ Complementarios
Cº = 90º - º
b.4 ∢ Suplementarios
Sº = 180º - º
Ejercicios:
1. AOB y BOC son consecutivos;
m AOC = 80° y m AOB = 48°. Si OMes
bisectriz del AOC, calcular: m MOB.
a) 6° b) 8° c) 10° d) 12°
2. EL doble del complemento de un ángulo equivale
al complemento de la mitad del ángulo. Hallar
dicho ángulo.
a) 60° b) 30° c) 40° d) 80°
3. Hallar “α”, si: m POQ – m QOR = 64°.
(OM: Bisectriz del POR)
a) 32° b) 30° c) 36° d) 42°
4. Calcular “x”
a) 40º
b) 70º
c) 100º
d) 110º
e) 150º
5. Se tiene un ángulo en el cual la suma de su
complemento y su suplemento es tres veces el
valor del ángulo, calcular el suplemento del
complemento del ángulo en mención.
a) 120º b) 124º c) 144º d) 126º e) 108º
6. Reducir la siguiente expresión:
E =
º162º36
º54
SSSCCC
SSSSSCCCCC

a)
3
1
b)
2
1
c) 3 d) 2 e) 1
7. Si a un ángulo le restamos su suplemento resulta
ser el triple de su complemento, calcular el
complemento del ángulo.
a) 45º b) 36º c) 54º d) 90º e) 72º
8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD, de manera que:
m AOB m BOC m COD
3 4 5
  y m AOD= 48º
Calcular: mCOD - mAOB
a) 4º b) 8º c) 12º d) 16º e) 18º
9. Calcular : SSSCCCº, si : CCCSSSSCCº = 40º
a) 10º b) 20ºc) 40º d) 140º e) 70º
10. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, se
trazan las bisectrices OM del ∠AOC y ON del
∠BOC. Si el ∠MON mide 20º. Calcule: m ∠AOB
a) 30º b) 32º c) 36º d) 40º e) 45º
Ángulos formados por dos rectas paralelas
y una secante
Si: 21 L//L es intersectada por la transversal L .
Ángulos Alternos (iguales)
a) Internos:  =  ;  = 
b) Externos:  =  ;  = 
Ángulos correspondientes (iguales)
 =  ;  =  ;  =  ;  = 
Ángulos conjugados (suplementarios)
1. Internos:  +  = 180° ;  +  = 180°
2. Externos:  +  = 180° ;  +  = 180°
Propiedades:
1. Si: 21 L//L
Se cumple:
x =  + 
º
º
º + º = 90°
mº
nº
mº + nº = 180°
α θ α = θ
α
M
Q
O
P
R
º
º º
º
X°
40º
 

 





x

En general: ( 21 L//L )
Se cumple:
 +  +  +  =  +  + 
2. Si: 21 L//L
Se cumple
 +  +  = 360°
3. Si: 21 L//L
Se cumple:
 +  +  +  +  = 180°
x =  +  +  + 
Ejercicios:
1. En la figura: L1 // L2. Calcular el valor de:





A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. En la figura: DE//AB ; calcular x.
A) 110°
B) 120°
C) 130°
D) 140°
E) 150°
3. Calcule “x”, 1 2L // L
a) 18º b) 36º c) 12º d) 24º e) 32º
4. Si: 1 2L // L , calcule “x”.
a) 70º b) 48º c) 60º d) 40º e) 72º
5.
6. En la figura 21 L//L , EFCEyBACB  . Hallar
la mDFE.
A) 10° B) 15° C) 20° D) 35° E) N.A.
7. Hallar x, si L1 // L2
A) 38º
B) 43º
C) 50º
D) 53º
E) 57º
8. Hallar , si L1 // L2
A) 100º
B) 110º
C) 120º
D) 130º
E) 140º














x
A B
C
D E
x°20°
50°
L1
L2



80°
C
A
B
D F L2
L1

 
x
20°
E
75°
18°
10°
20°
x
L1
L2
3 

L2L1
100º


C
BA
b
a
c

Razones trigonométricas de un ángulo agudo
de triángulo rectángulo
Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.
Definimos con respecto a :
Seno de  
b
a
H
CO
sen 
Coseno de  
b
c
H
CA
cos 
Tangente de   tan
CO a
CA c
  
Cotangente de   cot
CA c
CO a
  
Secante de  
c
b
CA
H
sec 
Cosecante de  
a
b
CO
H
csc 
Por ejemplo:
3
1
sen   csc = 3
Propiedad:
sen α x csc α = 1
cos α x sec α = 1
tan α x cot α = 1
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo se cumple:
“La suma de los cuadrados de los
catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
a2
+ c2
= b2
Propiedad de la tangente y cotangente
tan α =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
; cot α =
cos 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
Ángulo mitad:
Actividad:
1. Se sabe que tanx = 0,333… Calcular:
R= sen2x – cos2x + cot2x
a) 22/9 b) 8,2 3/8 d) 2,8 e) 1
2. Si: sec θ = 1,25 ; además: Csc β = 4cot θ + csc θ
Calcular: cot β
a) √3 b) 2√3 c) 3√3 d) 4√3 e) 5√3
3. Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Calcular:
b b c
P senA senC tgA
a c a
  
a) a+b+c b) 2a c) b d) 2c e) 3
4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se
cumple que: 3tanA = 2cscC.
Calcular: M = √5 tgA + 6secC
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
5. Sabiendo que: 23+tg
= 43; donde "" es un
ángulo agudo, calcular: C = 2sec2 + 10sen2
a) 17 b) 19 c) 21 d) 25 e) 29
6. En el triángulo ABC, recto en “B”, se sabe que:
5 Cos A = 3; hallar el valor de:
 12 tan A cot A
R
5secA


a) 6 b) 3 c) 5 d) 9 e) 12
7. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verifica
que:
a b 7
a b 5



Hallar: E = SenA + SenB
a)
37
7
b)
5√37
37
c)
7√37
71
d)
7√37
37
e)
5
37
8. Si:  
2sen2
cos cos

   ; hallar:
N=Cosθ+Cotθ
a)
5√3
4
b)
5√15
4
c)
2√3
3
d)
3√3
2
e)
5√3
2
9. Si:  
3cot8
tan tan

   ; hallar:
N= sen2θ + Tan2θ
a) 15 b) 4/15 c) 15/4 d) 3/13 e) 13/3

C
BA
b
a
c

Elementos:
- a: cateto opuesto al
ángulo 
- c: cateto adyacente
al ángulo .
- b: hipotenusa
I
N
V
E
R
S
A
S
inversas
tan
𝜃
2
= csc θ – cot θ
cot
𝜃
2
= csc θ + cot θ

10. Sabiendo que:
2 2
2 2
a b
sen
a b

 

El valor de: T = ab(sec θ – tan θ), es:
a) 0 b) a2 c) b2 d) – a2 e) – b2
11. Si A y B son los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo. Simplíficar:
senA cosA
T cscB cscA
cscB secB
 
  
 
A) 4ab B) 3bc C) 2 D) a E) b
12. Del triángulo rectángulo mostrado, calcular la
tangente del mayor ángulo agudo:
A) 2,4
B) 3,5
C) 5,2
D) 6,5
E) 60
13. Hallar: E = 2 cot
𝜃
2
– 3
a) √3 b) 2 √3 c) √5 d) √7 e) 2 √5
14. A partir del gráfico mostrado, calcular;
N = tg
𝜃
2
+ cot
𝜃
2
A) 4
B) 2,5
C) 8
D) 10
E) 12
Propiedades de las razones trigonométricas.
 Reciprocas.
 Complementario.
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
Ejercicios de aplicación.
1. Si : tan 3x . cot(x + 40°) = 1. Calcular : Cos 3x
a) 1 b) ½ c) 3 d) 3 /2 e) 3/5
2. Hallar “x” si : cos(2x – 10°) sec(x + 30°) = 1
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
3. Si: sen 7x sec 2x = 1.
Calcular:
E = tg2
6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8°)
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4. Determine “x” :
sec(2x - 8) = sen 40° csc 40° +
º75ctg
º15tg
a) 17° b) 20° c) 28° d) 30° e) 34°
5. Calcular:
º50csc
º40sec3
º70ctg
º20tg2
º80cos
º10sen
E 
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
sen . csc = 1
cos . sec = 1
tg . ctg = 1
Siempre y cuando:
 = 
Siempre y cuando:
 +  = 90°
(Complementarios
)

Razones trigonométricas de ángulos notables.
Estas razones se obtienen a partir de triángulos
rectángulos notables donde la proporción entre sus lados
y la medida de sus ángulos interiores es conocida.
Triángulos notables.
Triángulos aproximados.
Ejercicios de aplicación.
1. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º
a) 1 b) 2 c) ¼ d) 3/4 e) 4/3
2. Determine el valor de “m” para que “x” sea
30º.
1m
1m
x2cos



a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Del gráfico hallar: ctg
a) 1,6
b) 1,7
c) 0,4
d) 0,6
e) 1,4
4. Calcular:
E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
5. Calcular: “x”
3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º
a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18
7. Calcular:
º45sen
º30cosº37senº60secº30tg
E
2


a)
5
3
b)
5
311
c)
5
33
d)
3
35
e)
5
32
a
a
45
45
a
2a
60º
30º
a
5a 3a
37º
53º
4a
25a 7a
16º
74º
24a
a
8º
82º
7a
x + 3
2x + 1 5x - 3
45º


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