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Transformada de una Derivada
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Transformada de una Derivada

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Demostración de la Transformada de una derivada, así como un problema para demostrar dicho procedimiento.

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  • 1. UNIDAD IV TRANSFORMADA DE LAPLACE Tablas de Transformadas de Laplace Transformada de una derivada Fracciones Parciales Saúl Olaf Loaiza Meléndez
  • 2. Transformada de una Derivada Recurriendo a la definición de la Transformada de Laplace La Transformada de Laplace ayuda a encontrar la solución de una ecuación Diferencial, vemos la siguiente demostración: Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: Integrando por partes:
  • 3. Transformada de una Derivada La integral anterior nos queda Avanzando los cálculos del primer término: Así:
  • 4. Transformada de una Derivada Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial Además: Por lo tanto la ecuación queda:
  • 5. Transformada de una Derivada Queda demostrado que la transformada de la primera derivada es: Aplicando le Teorema, para encontrar la segunda derivada
  • 6. Transformada de una Derivada Transformada de la tercera derivada Transformadas de las tres primeras derivadas.
  • 7. Problema 1 Use la transformada de Laplace para resolver la EDO Aplicando la Transformada de Laplace en cada término y separando las constantes. Simplificando tenemos
  • 8. Problema 1 Despejando la función Y(s): Realizando la fracción para tener solo un término para aplicar la transformada inversa.
  • 9. Problema 1 Aplicando la Transformada inversa de Laplace en ambos lados, encontramos la solución de la EDO. Aplicando Fracciones Parciales del lado derecho Para reducir el sistema, el único factor que se puede cancelar es s+3 para obtener el valor de C,
  • 10. Problema 1 Al sustituir el valor de C en la ecuación anterior, se procede a encontrar los valores de A y B, desarrollando el sistema de ecuaciones. Se tiene el sistema lineal igualando los coeficientes de ambos lados. Al sustituir los valores de A = -2, B = 6 y C = 8 en las fracciones parciales se puede aplicar las tablas de la transformada inversa de laplace
  • 11. Problema 1 Separando términos y aplicando las tablas de Laplace, tenemos: Por lo tanto la solución de la EDO es