El documento describe el teorema del valor medio, formulado por el matemático Joseph-Louis Lagrange. El teorema establece que si una función es continua en un intervalo cerrado y derivable en el interior del intervalo, existe al menos un punto donde la pendiente de la función es igual a la pendiente promedio en el intervalo. El documento también presenta ejemplos de aplicación del teorema y referencias bibliográficas.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
CÁLCULO DIFERENCIAL
“TEOREMA DE LAGRANGE”
Instituto de Ciencias Matemáticas
Ejercicios y descargas ICM

2. Joseph-Louis de Lagrange
Joseph Louis Lagrange (25 de enero de 1736 - 10 de abril de 1813) fue un
matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia.
Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años.
Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica
Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.
Este teorema lo formuló Lagrange. También se conoce como teorema de los
incrementos finitos o teorema de Bonnet-Lagrange. Algunos matemáticos
consideran que este teorema es el teorema más importante de cálculo. El
teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa
normalmente para probar otros teoremas. El teorema de valor medio puede
usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

3. Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [ a , b ] y
diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) entonces existe al menos algún punto
c en el intervalo ( a , b ) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente
media de la curva en el intervalo cerrado [ a , b ].
Es una generalización del teorema de Rolle que dice que una función definida y
continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y que toma valores
iguales en los extremos del intervalo, es decir que f ( a ) = f ( b ), entonces existe
al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c
es horizontal es decir f '( c)=0.
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del
intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c en (a,b) donde:
ab
afbf
Xf
−
−
=
)()(
)(' 0
H) f(x) es continua en [a,b]
f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)
Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la
ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la
recta tangente en un punto es:
y = {[f(b) − f(a)] / [b − a]}(x − a) + f(a).

4. Donde los los pares de puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) son una pareja cualquiera de
puntos de la curva y (x, f(x) ) representa la pendiente en un punto genérico x.
Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva
continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la
pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b,
f(b)).
Sea S (x)= f (x)-g(x) donde g es la recta entre los puntos (a, f (a)) y (b, f(b)),
y-yo=m(x-xo)
entonces podemos obtener su ecuación:
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afy −
−
−
=− , es decir
y= g(x)= )(
)()(
)( ax
ab
afbf
af −
−
−
+
Reemplazando, resulta S(x)= f(x)- 





−
−
−
+ )(
)()(
)( ax
ab
afbf
af
Obtengamos S(a)= f(a)- 0)(
)()(
)( =





−
−
−
+ aa
ab
afbf
af y
S(b)= f(b)- 0)(
)()(
)( =





−
−
−
+ ab
ab
afbf
af
Por tanto, ∃ xo ε (a,b) tal que S’(xo)
Para lo cual S’ (x)= f’(x)- 





−
−
ab
afbf )()(
y S’ (x) = f’ (xo)- 





−
−
ab
afbf )()(
=0
Por lo último f’ (xo)-
ab
afbf
−
− )()(
Ejemplos:
Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones
del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado
"c" que satisfaga la conclusión de este teorema:
1. f (x) = x3
+ x2
– x; [-2 , 1]

5. 2. f (x) = (100 - x2
) ½
= 2
100 x−
3. Encuentre el número “x0” garantizado por el teorema del valor medio para
derivadas si f(x) = 2 x en [1 , 4]
Solución:
1. Por ser f una función polinomial, es derivable para toda x ∈ R por lo que
debe existir por lo menos un número c∈ [-2 , 1] tal que:
Además ƒ’ (x) = 3x2
+ 2x - 1 por lo que ƒ’ (c) = 3c2
+ 2c - 1
Como ƒ’ (c) = 1 entonces 3c2
+ 2c – 1 por lo que
Luego en y en la recta
tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (-2 , -2) y
(1 , 1).
2. Como ƒ es continua en el intervalo [-10 , 10]y derivable en el intervalo [-10 ,
10] cumplirá ambas condiciones en el intervalo [-6 , 8] = [a , b]
Luego debe existir por lo menos un número c∈ [-6 , 8] tal que
Como ,
entonces por lo que
Resolviendo la ecuación se obtiene que o
Aunque ambos valores de pertenecen al intervalo [-6 , 8],se tiene que
únicamente cuando
Luego en la recta tangente es paralela a la recta secante
que pasa por los puntos (-6 , 8) y (8 , 6). Gráficamente se tiene:

6. 3. Observe que f es continua en [ 1 , 4] y como f’(x) =
x
1
por tanto es
diferenciable en (1 , 4) se cumplen las hipótesis del teorema del valor
medio, por tanto la existencia de x0 en (1 , 4) tal que,
14
)1()4(
)(' 0
−
−
=
ff
xf
está garantizado y lo podemos encontrar. Para lo cual
0
0
1
)('
x
xf = y
14
)1()4(
−
− ff
=
3
24 −
=
3
2
Igualando y despejando, resulta:
0
1
x
=
3
2
x0 =
5
9
= 2.25
BIBLIOGRAFÍA
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio"
http://ballz.ababa.net/silvana/index.html
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-
elsie/derivadafuncion/html/node21.html

7. 3. Observe que f es continua en [ 1 , 4] y como f’(x) =
x
1
por tanto es
diferenciable en (1 , 4) se cumplen las hipótesis del teorema del valor
medio, por tanto la existencia de x0 en (1 , 4) tal que,
14
)1()4(
)(' 0
−
−
=
ff
xf
está garantizado y lo podemos encontrar. Para lo cual
0
0
1
)('
x
xf = y
14
)1()4(
−
− ff
=
3
24 −
=
3
2
Igualando y despejando, resulta:
0
1
x
=
3
2
x0 =
5
9
= 2.25
BIBLIOGRAFÍA
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio"
http://ballz.ababa.net/silvana/index.html
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-
elsie/derivadafuncion/html/node21.html