Clasesprobabilidades

Astrometr´ I:
ıa
Probabilidad y Estad´
ıstica
Parte I
28 de abril de 2011

1

´
Indice

´
Indice
1. Probabilidad: Nociones B´sicas
a
1.1. Fen´menos y modelos . . . .
o
1.1.1. Modelos determin´
ısticos
1.1.2. Modelos aleatorios . . .
1.2. Conceptos utiles . . . . . . . .
´
1.2.1. Experimento aleatorio .
1.2.2. Espacio muestral . . . .
1.2.3. Evento o Suceso . . . .
1.3. La Probabilidad . . . . . . . .
1.3.1. Axiomas . . . . . . . . .
1.3.2. Reglas para el c´lculo .
a
1.3.3. C´lculo . . . . . . . . .
a
1.4. Probabilidad Condicional . .
1.5. Eventos Independientes . . .
1.6. Teorema de Bayes . . . . . . .

5
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2. Variables Aleatorias
2.1. Definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2. Discretas y Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Funciń de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.3.1. Funciń de probabilidad de una variable aleatoria discreta .
o
2.3.2. Funciń de probabilidad de una variable aleatoria continua
o
2.4. Funciń de Distribuciń Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
2.4.1. Funciń acumulada para variables discretas . . . . . . . . .
o
2.4.2. Funciń acumulada para variables continuas . . . . . . . . .
o

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3. Distribuciones de Probabilidad
3.1. Modelos probabil´
ısticos discretos . . . . . . .
3.1.1. Modelo de Bernoulli . . . . . . . . . . .
3.1.2. Modelo Binomial . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Modelo de Poisson . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Otros modelos discretos . . . . . . . . .
3.2. Modelos probabil´
ısticos continuos . . . . . .
3.2.1. Modelo Normal . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Modelo Exponencial . . . . . . . . . . .
3.2.3. Otros modelos continuos . . . . . . . . .
3.3. Generadores de n´meros (pseudo) aleatorios
u
3.3.1. N´meros aleatorios uniformes . . . . . .
u
3.3.2. Variables aleatorias discretas . . . . . .
3.3.3. M´todo de Inversiń . . . . . . . . . . .
e
o
3.3.4. M´todo de Rechazo . . . . . . . . . . .
e

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Indice
3.3.5. M´todo de Box-M¨ ller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
u
3.4. Caracterizaciń completa de las distribuciones de probabilidades .
o
3.4.1. Momentos de una distribuciń . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.4.2. Funciń generatriz de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.4.3. Cumulantes de una distribuciń . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4. Inferencia Estad´
ıstica
4.1. Conceptos importantes . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Universos, poblaciń y muestra . . . .
o
4.1.2. Par´metros y estad´
a
ısticos . . . . . . .
4.2. Muestra y Muestreo . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Muestra representativa . . . . . . . . .
4.2.2. Muestreo aleatorio . . . . . . . . . . .
4.3. Distribuciones Muestrales . . . . . . . . . .
4.3.1. Distribuciń de la media muestral . .
o
4.3.2. Distribuciń de la diferencia de medias
o
4.4. M´todos Inferenciales . . . . . . . . . . . . .
e
5. Inf. Est.: Estimaciń (I)
o
5.1. Estimaciń puntual . . . . . . . . . . . .
o
5.1.1. Estimador insesgado . . . . . . . .
5.1.2. Estimador consistente . . . . . . .
5.1.3. Estimador eficiente . . . . . . . . .
5.2. Intervalos de confianza (IC) . . . . . . .
5.2.1. IC para una media poblacional . .
5.2.2. IC para la diferencia de dos medias

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muestrales
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6. Inf. Est.: Estimaciń (II)
o
6.1. Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
6.1.2. Intervalo de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3. Histogramas para variables continuas . . . . . . . . . . . . .
6.1.4. Funciones ”kernel”para histogramas de variables continuas
6.2. Tćnicas de Remuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
6.2.1. M´todo Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
6.2.2. M´todo Jackknife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

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7. Inf. Est.: Prueba de Hip´tesis (I)
o
7.1. PH: un procedimiento de decisiń
o
7.2. Procedimiento general para la PH
7.2.1. Hip´tesis . . . . . . . . . . .
o
7.2.2. Nivel de significaciń . . . . .
o
7.2.3. Estad´
ıstico de prueba . . . .
7.2.4. Zona de aceptaciń . . . . . .
o

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poblacionales

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Indice
7.2.5. C´mputos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
7.2.6. Decisiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
7.2.7. Conclusiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
7.3. PH para una media poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaciń distribuida normalmente y con varianza conocida . . . .
o
7.3.2. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaciń distribuida normalmente con varianza desconocida y tamaõ
o
n
de muestra grande (n ≥ 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaciń distribuida normalmente con varianza desconocida y tamaõ
o
n
de muestra pequeõ (n < 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
7.3.4. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaciń con distribuciń no normal y tamaõ de muestra grande
o
o
n
(n ≥ 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. PH para dos medias poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. PH para dos medias pobl. cuando las muestras provienen de poblaciones distribuidas normalmente y con varianza conocidas . .
7.4.2. PH para dos medias pobl. cuando las muestras provienen de poblaciones distribuidas normalmente, con varianza desconocidas y
tamaõ de muestras grandes (n1 , n2 ≥ 30) . . . . . . . . . . . . .
n
7.4.3. PH para dos medias pobl. cuando las muestras provienen de poblaciones distribuidas normalmente, con varianza desconocidas y
tamaõ de muestras pequeãs (n1 , n2 < 30) . . . . . . . . . . . .
n
n
7.4.4. PH para dos medias pobl. cuando las muestras provienen de poblaciones con distribuciń no normal y tamaõ de muestras grandes
o
n
(n1 , n2 ≥ 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. PH para dos varianzas poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Inf.
8.1.
8.2.
8.3.

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. 98

. 99

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. 101
. 101

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. 103

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. 106

Est.: Prueba de Hip´tesis (II)
o
M´todo Chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
M´todo de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Independencia estad´
ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

.
.
.
2 ... el regreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1. El m´todo χ
e
8.3.2. Coeficiente de correlaciń lineal de Pearson . . . . . . . . . . . . .
o
8.3.3. Funciń de correlaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o

9. Estimadores Generales
9.1. M´xima Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
9.2. Ajuste de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1. Cuadrados m´
ınimos como estimador de m´xima probabilidad
a
9.2.2. Ajuste por chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3. Ajustando datos con una recta usando chi-cuadrado . . . . .

4

96
96
96
97

109
112
115
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123
123
125
127

1 Probabilidad: Nociones B´sicas
a

1.

Probabilidad: Nociones B´sicas
a

Para emprender el estudio de la estad´
ıstica y su alcance a la hora de analizar un
conjunto de datos es necesario tener a mano las nociones b´sicas de probabilidad. La
a
probabilidad y la estad´
ıstica son dos disciplinas ´
ıntimamente conectadas. Inicialmente el
unico punto de uniń que se puede establecer es que ambas disciplinas tienen en comń
´
o
u
el estudio de los fen´menos aleatorios. La teor´ de probabilidades tiene como probleo
ıa
ma general describir mediante un modelo matem´tico cada tipo de fen´meno aleatorio,
a
o
mientras que la inferencia estad´
ıstica tiene planteado el problema inverso, es decir, a
partir del conocimiento de una parte del fen´meno pretende establecer sus propiedao
des, para lo cual forzosamente debe utilizar algń modelo probabil´
u
ıstico que describa
el fen´meno. Es ´sta dependencia de la estad´
o
e
ıstica con la teor´ de probabilidad lo que
ıa
justifica profundizar el estudio de esta ultima.
´

1.1.

Fen´menos y modelos
o

Un fen´meno natural es toda manifestaciń natural que puede ser percibida mediante
o
o
los sentidos o instrumentos. Los fen´menos naturales se pueden clasificar en determin´
o
ısticos y aleatorios. Los determin´
ısticos se pueden definir como toda manifestaciń natual
o
que observada repetidamente bajo las mismas condiciones, produce siempre resultados
idńticos. Por ejemplo, el tiempo que tarda un objeto en llegar al suelo invariablemente
e
ser´ el mismo, si las condiciones son iguales en cada repeticiń de la experiencia. Los
a
o
aleatorios, en cambio, son todo proceso que al observarlo repetidamente bajo el mismo
conjunto de condiciones, producen resultados diferentes. Tirar un dado es un ejemplo
de este fen´meno, ya que aunque se conozcan todos los resultados posibles, no se puede
o
predecir con completa certeza uno en particular.
Una manera de estudiar estos fen´menos es mediante la construcciń de modelos mao
o
tem´ticos, los cuales intentan (simplificando u omitiendo algunos detalles) representar,
a
mediante expresiones cuantitativas, las caracter´
ısticas, propiedades y/o funcionamiento
de los procesos naturales. De acuerdo con los fen´menos ya mencionados los modelos
o
existentes pueden ser determin´
ısticos o aleatorios.
1.1.1.

Modelos determin´
ısticos

Estos modelos establecen que las condiciones en las cuales se realiza un experimento
determinan la ocurrencia de un resultado particular. Por ej., si observamos el desplazamiento de un m´vil cierta distancia (d), podemos utilizar como modelo matem´tico para
o
a
describir la velocidad media desarrollada (v) la ecuaciń v = d/t (con t el tiempo transo
´
currido). Este es un modelo determin´
ıstico, porque cada vez que se repita la experiencia
y se obtengan los mismos valores d y t, se producir´ el mismo valor de v. Obviamente,
a
este es un modelo simplificado en el que muchos factores no han sido tenidos en cuenta
(temperatura del aire, presiń atmosf´rica, etc.), sin embargo, las pequeãs desviaciones
o
e
n
que se podr´ llegar a obtener no invalidan el modelo.
ıan

5

a
1.1.2.

Modelos aleatorios

En estos modelos las condiciones de un experimento no determinan un resultado particular, sino su probabilidad de ocurrencia dentro de un conjunto de resultados posibles.
Es decir, que estos modelos son f´rmulas que permiten obtener la distribuciń de proo
o
babilidad de los resultados posibles del experimento. Por ej., cuńtas veces saldr´ el
a
a
n´mero 6 al lanzar un dado 5 veces? En ´ste caso se debe utilizar un modelo prou
e
babil´
ıstico, que permite conocer cual es la probabilidad de obtener cualquiera de los
n
resultados posibles. El modelo que buscamos es el siguiente: p(x) = Cx px q n−x con x el
num. de veces o ensayos donde ocurre el resultado esperado, n el num. total de ensayos,
n
p la probabilidad de ´xito, q = (1 − p) la probabilidad de fracaso y Cx = n!/x!(n − x)!.
e
Por ej., la probabilidad de obtener 3 veces el num. 6 en 5 lanzamientos de un dado es
5
p(3) = C3 (1/6)3 (5/6)2 = 0,0312.

Conceptos utiles
´

1.2.

A continuaciń detallaremos ciertos conceptos y nomenclaturas que nos serń utiles
o
a ´
cada vez que enfrentemos un problema probabil´
ıstico.
1.2.1.

Experimento aleatorio

Un experimento, desde el punto de vista estad´
ıstico, est´ constituido por uno o m´s
a
a
ensayos, t´rmino que identifica cualquier acto repetible que produce un resultado unico
e
´
cada vez que se ejecuta. Cualquier experimento que puede tener m´s de un resultado se
a
califica como aleatorio y es posible encontrar un modelo que permita determinar la probabilidad de ocurrencia de cada resultado. Las caracter´
ısticas comunes de experimento
aleatorio son:
Pueden repetirse indefinidamente manteniendo las condiciones en las que se realiza
Previo a cualquier ensayo no es posible predecir un resultado particular
Previo al experimento es posible predecir el conjunto de posibles resultados
La frecuencia de apariciń de los diferentes resultados tiende a regularizarse al
o
aumentar el n´mero de repeticiones.
u
Ejemplos de experimentos aleatorios: lanzar una o m´s monedas, tirar un dado, detera
minar el n´mero de individuos en varias unidades de muestreo, etc.
u
1.2.2.

Espacio muestral

Asociado a cualquier experimento aleatorio (E) existe un espacio muestral (S) que se
define como el conjunto de todos los posibles resultados de E.
Ejemplo: Si el experimento fuese determinar el n´mero de hijas mujeres en familias con 4
u
hijos, se puede identificar el resultado de cada ensayo con las letras V=varń y M=mujer.
o
El espacio muestral estar´ integrado por todas las posibles formas de ocurrencia del
ıa

6

a
experimento:






S=






VVVV
V V V M, VVMV, V M V V, MVVV
VVMM; V M V M, VMMV, M V M V, MMVV, M V V M
V M M M, MVMM, M M V M, MMMV
MMMM













Si las posibles ocurrencias son numerosas se pueden representar los resultados con un
n´mero. En nuestro ejemplo, si cada resultado es el n´mero de mujeres entonces tenu
u
dremos que V V V V le corresponde el 0, a la segunda linea le corresponder´ el 1 y
a
as´ sucesivamente de modo que el espacio muestral se puede representar como
ı
S = {0, 1, 2, 3, 4}
Cuando se describe el espacio muestral de esta manera se dice que se lo ha hecho por
extensiń o descripciń. Otra manera de hacerlo es por comprensiń como
o
o
o
S = {x

N / 0 ≤ x ≤ 4}

.
De acuerdo a la naturaleza de la variable que se est´ utilizando los espacios muestrales
e
pueden ser discretos o continuos. Es discreto si est´ formado por elementos numerables,
a
es decir que son consecuencia de contar los resultados individuales de un experimento. A
su vez el n´mero de elementos contables puede ser finito o infinito. Ejemplo de espacio
u
discreto y finito es el que usamos con anterioriodad, es decir, el n´mero de mujeres en
u
familias de 4 hijos, mientras que si el experimento es el n´mero de veces que hay que
u
lanzar una moneda hasta obtener cara por primera vez, entonces se genera un espacio
discreto e infinito. Por otro lado, el espacio muestral es continuo si esta formado por
elementos no numerables. Entonces, por naturaleza, todo espacio continuo es infinito.
Ejemplos de este tipo de espacio resultan con las variables de un proceso de mediciń
o
(tiempo, altura, peso, densidad, temperatura, etc.)
1.2.3.

Evento o Suceso

Cualquier conjunto de resultados dentro de un espacio muestral se denomina evento
o suceso. En la terminolog´ de conjuntos se puede decir que un evento (A) es un subıa
conjunto del espacio muestral (S). El evento integrado por todos los resultados es igual
al espacio muestral. A continuaciń especificamos terminolog´
o
ıa:
Evento elemental: es cada resultado que conforma un espacio muestral
Evento complemento: Dado un evento A en el espacio muestral S, el evento complemento de A (A), est´ constituido por todos los elementos que pertenecen a S y
a
que no estń en A.
a
Evento vacio: es el evento que no tiene elementos y que por lo tanto no puede
ocurrir (∅).

7

a
Con los eventos de un mismo espacio muestral se pueden realizar operacines que resultan en la formaciń de nuevos eventos,
o
los cuales siguen siendo subconjuntos del espacio muestral. Existen dos operaciones b´sicas: la uniń y la intersecciń de eventos,
a
o
o
que en cierto modo son paralelas a las operaciones de suma y
multiplicaciń respectivamente. La uniń de dos eventos A y B,
o
o
se representa A B, y da como resultado otro evento, el cual
est´ formado por todos los elementos que pertenecen al evento
a
A, al evento B o a ambos a la vez (fig. (a)). Cuando la uniń
o
de dos eventos equivale a todo el espacio muestral, se dice que
los dos eventos son mutuamente exhaustivos. La intersecciń de
o
dos eventos A y B se representa A B, y da como resultado otro
evento, el cual est´ formado por los elementos que pertenecen
a
a ambos eventos a la vez (fig. (b)). Cuando la intersecciń de
o
dos eventos es vac´ se dice que los dos eventos son mutuamente
ıa,
excluyentes. Por ultimo, los elementos de un evento A que no se
´
encuentran en el evento B, forman otro evento llamado diferencia
de A y B, representado por A − B (fig. (c)).

1.3.

(a) A

S

B

(b) A

T

B

(c) A − B

La Probabilidad

La teor´ del azar consiste en reducir todos los acontecimientos del mismo tipo a un cierto
ıa
n´mero de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igual de indecisos respecto a su
u
existencia, y en determinar el n´mero de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad
u
se busca. La proporciń entre este n´mero y el de todos los casos posibles es la medida de esta
o
u
probabilidad, que no es, pues, m´s que una fracciń cuyo numerador es el n´mero de casos
a
o
u
favorables y cuyo denominador el de todos los posibles.
Pierr´ Simon Laplace (1749-1827)
e

Ha llegado el momento de establecer que entendemos como probabilidad. La nociń de
o
probabilidad es algo con lo que convivimos diariamente haciendo conjeturas acerca de que
esperamos que pase y consecuentemente, tomando decisiones. Por lo que nuestra primera
definiciń de probabilidad ser´ ¸ualquier probabilidad establecida es una afirmaciń que
o
ıa c
o
indica cuń posible se cree que es que un evento ocurra”. Pero, m´s alla de establecer
a
a
una definiciń intuitiva necesitamos convertir la intuiciń al lenguaje matem´tico. Por
o
o
a
lo tanto empezaremos reescribiendo la definiciń y diremos que ”la probabilidad es un
o
valor num´rico que cuantifica la posibilidad o factibilidad de ocurrencia de un resultado
e
determinado dentro de un conjunto de resultados posibles”. A un resultado imposible de
ocurrir se le asigna una probabilidad de 0, si por el contrario es segura su ocurrencia, se
le asigna una probabilidad de 1. A las probabilidades intermedias se les asocian valores
entre 0 y 1.

8

a
Hay dos enfoques diferentes sobre c´mo asignar la probabilidad a un evento: la asigo
naciń objetiva o frecuentista y la asignaciń subjetiva o bayesiana.
o
o
Asignaciń Objetiva: Se basa en el conocimiento fćtico del espacio muestral y de
o
a
la frecuencia relativa de ocurrencia de sus eventos elementales. El conocimiento de
estas dos caracter´
ısticas puede ser de dos maneras:
• Probabilidad a priori: Este enfoque supone que la probabilidad de ocurrencia
de un resultado particular se conoce antes de producirse el mismo. Para esto
esto es necesario asumir que todos los resultados elementeales son igualmente
probables y excluyentes.
Si el espacio muestral S tiene n elementos ei equiprobables, es decir con
probabilidad 1/n, y adem´s se define un suceso A formado por r eventos
a
elementos, la probabilidad de ocurrencia de A ser´ :
a
n

n

P (A) =

P (ei ) =
i=1

1/n = r/n
i=1

es decir, en esta concepciń (usualmente llamada cl´sica), la probabilidad de
o
a
un evento es igual al n´mero de resultados en que el evento ocurre dividido
u
por el n´mero de resultados posibles. A modo de ayuda, tambien puede ser
u
util pensar la probabilidad de un conjunto como el tamaõ relativo del mismo
´
n
con respecto al evento seguro.
Ejemplo: Si de un mazo de cartas de poker se extrae aleatoriamente una
carta, se quiere saber la probabilidad con la cual pueden ocurrir los siguientes
eventos: a) sale un As, b) sale una espada negra o c) sale una J o una Q. El
espacio muestral est´ formado por 52 eventos elementales equiprobables:
a


 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K (♦ rojo) 




1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K (♥ rojo)
S=
 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K (♣ negro) 




1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K (♠ negra)
Entonces: a) A={ 1 ♦, 1 ♥, 1 ♣, 1 ♠ } −→ P(A)=4/52=0.077
b) B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (♠ negra) } −→ P(B)=13/52=0.25
c) C={ J ♦ , J ♥ , J ♣ , J ♠ , Q ♦ , Q ♥ , Q ♣ , Q ♠ } −→ P(C)=8/52=0.154
• Probabilidad a posteriori: Cuando no se tiene un experimento con un n´mero
u
finito de resultados equiprobables el concepto anterior no sirve, por lo que se
requiere una definiciń m´s general de probabilidad. La concepciń de probao
a
o
bilidad a posteriori surgi´ de la comprobaciń emp´
o
o
ırica. Es una observaciń
o
comń que en los experimentos aleatorios repetidos muchas veces la frecuenu
cia relativa con la cual se produce un resultado se estabiliza alrededor de un
cierto valor. Por lo tanto, si un experimento aleatorio se repite indefinidamente, la frecuencia relativa (f r) con las cuales aparecen los resultados se pueden

9

a
hacer equivalentes a su probabilidad de ocurrencia, ya que
l´ f r(A) = P (A)
ım

n→∞

Esta forma de proceder permite acercarnos al verdadero valor de la probabilidad de un evento, pero obviamente, en t´rminos prćticos, este valor es
e
a
imposible de obtener. Ań as´ se puede asumir que es una buena aproximau
ı,
ciń, que mejorar´ mientras m´s repeticiones del experimento existan.
o
a
a
Ejemplo: Se quiere conocer la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda cargada. El espacio muestral est´ dado por las dos posibilidades cara
a
o seca, S = {c, s}, pero no es equiprobable. Para poder conocer la probabilidad de ocurrencia de los eventos, es necesario lanzar la moneda una gran
cantidad de veces, anotar el resultado y calcular la frecuencia relativa. Si se
lanz´ 200 veces la moneda, de las cuales el evento cara ocurrio 75 veces, eno
tonces f r(c) = 75/200 = 0,375 y f r(s) = 125/200 = 0,625. Por lo tanto,
estas frecuencias se asignan como probabilidades de ocurrencia de los eventos
considerados.
Asignaciń Subjetiva: Muchos fen´menos puede que nunca hayan ocurrido o que se
o
o
hayan producido muy pocas veces. Por ejemplo, una carrera de caballos es un hecho
unico, que nunca puede repetirse bajo las mismas condiciones o el descubrimiento
´
de una droga nueva para curar una enfermedad. En estos casos, la asignaciń de
o
la probabilidad no puede estar basada ni en el conocimiento previo del espacio
muestral, ni en la frecuencia de ocurrencia de los hechos, de modo que el enfoque
objetivo es obsoleto. Por lo tanto, aqu´ es cuando entra en acciń el m´todo de
ı
o
e
asignaciń subjetiva. De acuerdo a esta visiń, el valor de probabilidad es asignado
o
o
por una persona de acuerdo al grado de confianza que ella tenga en la ocurrencia
del hecho. Bajo este punto de vista, diferentes individuos disponiendo de la misma
informaciń pueden tener distintos grados de confianza acerca de la ocurrencia de
o
un evento (un ejemplo de esto son las apuestas deportivas). Ań cuando parezca
u
que este m´todo de asignaciń esta fuera del ´mbito cient´
e
o
a
ıfico, no hay otra cosa
m´s alejada de la realidad, ya que actualmente el enfoque subjetivo tiene gran utilia
dad en la Teor´ Bayesiana de la desiciń, ´rea de la estad´
ıa
o a
ıstica en pleno desarrollo.

1.3.1.

Axiomas

Los axiomas o postulados que debe cumplir la probabilidad son los siguientes:
De positividad: la probabilidad de un evento nunca es un n´mero negativo, es cero
u
(evento imposible de ocurrir) o un real positivo. Este axioma puede denotarse
como: P (A) ≥ 0.
De certidumbre: la probabilidad de todo el espacio muestral es uno, P (S) = 1, es
decir, la probabilidad de todo evento con un certidumbre total de ocurrencia es
uno. Estos dos axiomas en conjunto establecen que 0 ≤ P (A) ≤ 1.

10

a
De la adiciń: la probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilio
dades de los eventos elementales que lo conforman.
Ejemplo: En familias de 4 hijos, cu´l es la probabilidad de encontrar una que tenga
a
menos de 3 hijos varones ? Del espacio muestral que ya hab´
ıamos especificado en la
p´gina 7, sabemos que posee 16 elementos equiprobables y que el evento que buscamos
a
posee 11 elementos:


 VVMM; V M V M, VMMV, M V M V, MMVV, M V V M 
A=


MMMM
por lo que la probabilidad del evento A ser´ igual a la suma de las probabilidades de los
a
11 elementos, P (A) = 11/16 = 0,6875
1.3.2.

Reglas para el c´lculo
a

A partir de los axiomas anteriores se pueden deducir algunas reglas b´sicas para
a
calcular las probabilidades de diferentes tipos de eventos:
Del conjunto vac´ Si ∅ es el conjunto vac´ entonces P (∅) = 0, es decir representa
ıo:
ıo,
un evento que no puede ocurrir.
De adiciń para eventos mutuamente excluyentes: Si A y B son dos eventos muo
tuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de A o de B es la suma de
sus probabilidades separadas, es decir, P (A B) = P (A) + P (B).
De adiciń para eventos solapados: Si A y B son dos eventos cualesquiera que
o
pueden ocurrir juntos, significa que algunos de los eventos elementales que los
conforman pertenecen tanto a A como a B, es decir forman parte de la intersecciń
o
de los dos eventos. Por el 3er axioma sabemos que la probabildad de ocurrencia de
la uniń de dos eventos es la suma de las probabilidades de los eventos elementales
o
que los forman. Ahora, si solo se suman las probabilidades de los eventos A y B
para el c´lculo de la probabilidad de la uniń, estaremos contando dos veces las
a
o
probabilidades de los eventos elementales que pertenecen a la intersecciń, por lo
o
tanto es necesario sustraer sus probabilidades una vez, es decir,
P (A

B) = P (A) + P (B) − P (A

B)

De la complementaciń: Sean A y A dos eventos complementarios en un espacio
o
muestral S. Ya que los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, se
deduce de los axiomas 2do y 3ro que la probabilidad de la union de A con A es
P (A

A) = P (A) + P (A) = P (S) = 1

por lo tanto, P (A) = 1 − P (A).

11

a
1.3.3.

C´lculo
a

A continuaciń se detalla un procedimiento general que puede facilitar el c´lculo de la
o
a
probabilidad.
Paso 1: En primer
t´rmino se debe definir
e
correctamente el espacio muestral. En la figura de la derecha se
muestra un esquema
de los distintos tipos
de espacios muestrales
que puede generar un
experimento aleatorio.
Paso 2: Se asigna un
valor de probabilidad
a cada evento elemental de modo que cumpla que
S p(ei ) =
1,0.
Paso 3: Se define el o
los eventos de inter´s
e
en funciń de los eveno
tos elementales que los
componen.
Paso 4: Se calcula la
probabilidad del evento o los eventos de nuestro inter´s de acuerdo a las formulaciones
e
dadas en la figura.
Ejemplo 1: Cu´l es la probabilidad de obtener dos n´meros pares cuando se lanzan dos
a
u
dados?
Paso 1: Se tiene un espacio muestral discreto, finito y con 36 resultados equiprobables:


 (1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6) 



 (2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6) 







(3, 1)(3, 2)(3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)
S=
 (4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)(4, 5)(4, 6) 



 (5, 1)(5, 2)(5, 3)(5, 4)(5, 5)(5, 6) 







(6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, 5)(6, 6)
Paso 2: Cada evento elemental tiene la misma probabilidad de ocurrencia, P (ei ) = 1/36
de modo que se cumpla que S p(ei ) = 1,0.
Paso 3: El evento definido es: A = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
Paso 4: La probabilidad de A es el n´mero de veces que ocurre A sobre el total de pou
sibles resultados: P (A) = 9/36 = 1/4.

12

a
Ejemplo 2: En el transcurso de una investigaciń efectuada para evaluar el efecto de
o
una droga sobre cierta enfermedad parasitaria, se seleccionaron 200 grupos de cinco ratas, que despu´s de dos d´ de haber sido inoculadas con el par´sito se les aplic´ una
e
ıas
a
o
dosis de la droga y al cabo de dos semanas se registr´ el n´mero de animales muertos.
o
u
Se quiere conocer cu´l es la probabia
lidad de que muera alguna rata si se
repite la experiencia.
Num. de ratas Frecuencia Probabilidad
Paso 1: El espacio muestral es discremuertas x
fr
f r/200
to, finito y con 6 resultados no equi0
120
0.60
probables.
1
40
0.20
Paso 2: En ´ste caso es necesario recue
2
20
0.10
rrir al concepto de frecuencia relativa
3
10
0.05
(num. de grupos con x ratas muertas),
4
6
0.03
para asignar un valor de probabilidad
5
4
0.02
a cada evento elemental. En la 3era columna de la tabla pueden verse dichas
probabilidades que cumplen que S p(ei ) = 1,0
Paso 3: El evento definido es A = {una o m´s ratas muertas} = {1, 2, 3, 4, 5}
a
Paso 4: Para calcular la probabilidad del evento A se puede recurrir a la regla de la
complementaciń, sabiendo que A = {ninguna rata muerta} = {0}. Entonces tendremos
o
que P (A) = 1 − P (A) = 1 − P (0) = 1 − 0,60 = 0,40. Observar que la regla de la adiciń
o
arroja el mismo resultado.

1.4.

Probabilidad Condicional

En muchas ocasiones la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia o no de otro suceso. Supongamos que de grupo de 100 ratones 80 hembras y 20
machos; se eligen aleatoriamente dos individuos y se verifica su sexo. Cu´l es la proa
babilidad de que el segundo ratń sea hembra? Definamos los eventos A = {1er ratń
o
o
hembra} y B = {2do ratń hembra}. Si elegimos aleatoriamente un ejemplar y despu´s
o
e
de verificar su sexo se regresa al lote, la probabilidad de obtener una hembra siempre
ser´ P (A) = P (B) = 80/100 = 0,8. Pero supongamos que se decide que si en la primera
a
extracciń el ratń es macho debe regresar al lote, entonces la probabilidad del 2do reo
o
sultado depender´ del 1ero. As´ seguir´ siendo P (A) = 0,8 pero P (B) vendr´ dada por
a
ı,
a
a
las siguientes opciones: a) P (B) = 80/100 si A no ocurri´, es decir si el 1er individuo
o
fue macho; b) P (B) = 79/99 si A ocurri´, es decir si el 1er individuo fue hembra.
o
En otras palabras, para poder calcular la P (B) debemos saber si A ocurri´ o
o
no. Este tipo de probabilidad se llama condicional, se indica P (B/A) y se lee
la probabilidad de B dado que ocurri´ A. Lo m´s importante de notar es que
o
a
se est´ calculando la probabilidad de B sobre un nuevo espacio muestral, el
a
cual es mas reducido.

13

a
Veamos otro ejemplo: En familias de 4 hijos, cu´l es la probabilidad de que 2 y solo 2
a
sean mujeres si se sabe que la familia tiene 2 o m´s mujeres?
a
Recordemos que el espacio muestral para este ejemplo ya fu´ detallado por extensiń en
e
o
la p´gina 7. El evento del cual se quiere conocer la probabilidad es:
a
A = {2 y solo 2 mujeres} = {VVMM; V M V M, VMMV, M V M V, MMVV, M V V M }
La probabilidad de A sin ninguna condiciń es P (A) = 6/16 = 0,375. Sin embargo como
o
ya se conoce que la familia seleccionada tiene 2 o m´s hijas, la informaciń es mayor. El
a
o
evento que ya ocurri´ lo designamos como B y sus 11 resultados que lo integran son:
o


 VVMM; V M V M, VMMV, M V M V, MMVV, M V V M 
B=


MMMM
De modo que la probabilidad de obtener 2 y s´lo 2 mujeres dado que se sabe que hay 2 o
o
m´s mujeres, se obtiene dividiendo el n´mero de elementos de A entre el nuevo n´mero
a
u
u
de resultados posibles, es decir, P (A/B) = 6/11 = 0,545.
Si observamos detenidamente los dos eventos involucrados, nos podremos dar
cuenta que los elementos de A estń incluidos en B, y esto no es otra cosa
a
que el conjunto A B. De modo que la probabilidad condicionada se puede
expresar en forma general como:
P (A/B) =

1.5.

P (A B)
P (B)

Eventos Independientes

Se dice que una serie de eventos que ocurren unidos o en secuencia son independientes si
el resultado de uno no afecta al otro. Hay casos en los cuales se puede precisar fćilmente
a
que dos eventos son independientes. Por ejemplo, si le preguntamos a unas cuantas
personas en la calle si sufren de miop´ y si comen ravioles a la bolognesa, podr´
ıa
ıamos
asegurar que los resultados a las preguntas son eventos independientes ya que dichas
acciones no estń relacionadas. Pero si les preguntamos a dichas personas si les gusta el
a
futbol y si han visto TyC Sports alguna vez, no es posible responder con certeza si los
dos eventos son independientes, porque es muy posible que la frecuencia de personas que
miran partidos de f´tbol por dicho canal sea alta. Una manera objetiva de decidir si dos
u
eventos son independientes es comparar las probabilidades de ocurrencia de uno de los
eventos antes y despu´s que el otro evento ocurra. En t´rminos formales, dos eventos A
e
e
y B, se dice que son independientes si se cumple:
P (A/B) = P (A)
es decir, la probabilidad del evento A no cambia cuando haya ocurrido el evento B.

14

a
Observar que dicha relaciń tambiń puede expresarse como P (A B)/P (B) = P (A)
o
e
por lo tanto se deduce que la ocurrencia conjunta de dos eventos independientes es igual
a P (A B) = P (A)P (B), lo que constituye otra manera de definir la independencia de
dos eventos (siempre que las probabilidades sean mayores que cero).
Ejemplo: En un estudio sobre la calidad del agua de los r´ que conforman cierta cuenca
ıos
hidrogr´fica, se encontr´ que el 28 % de los r´ tienen una altitud superior a los 2500
a
o
ıos
m; un 20 % tienen temperatura del agua menor a 12◦ C y un 10 % tienen ambas caracter´
ısticas.
Son independientes los eventos altitud ≥ 2500 m (A) y temperatura ≤ 12◦ C (B)?
Los valores de probabilidad se asignan a partir de las frecuencias relativas:
P (A) = 0,28

P (B) = 0,20

P (A

B) = 0,10

La comprobaciń de la independencia o dependencia de los eventos A y B, se puede
o
hacer a partir de la igualdad que establece que la probabilidad de ocurrencia conjunta
de dos eventos independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.
Tenemos entonces que
P (A

B) = 0,10

P (A)P (B) = 0,20 × 0,28 = 0,06

Al ser P (A B) = P (A)P (B) se concluye que los eventos A y B no son independientes. Es decir, el hecho de que un r´ tenga una altitud superior a 2500 m aumenta la
ıo
probabilidad de que tenga una temperatura menor a 12◦ C.

1.6.

Teorema de Bayes

En el aõ 1763, dos aõs despu´s de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se
n
n
e
public´ una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinaciń de la probao
o
bilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El c´lculo de
a
dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. Este teorema proporciona
la probabilidad condicional de un evento A dado otro evento B (probabilidad posteriori), en funciń de la probabilidad condicional del evento B dado A y de la probabilidad
o
marginal del evento A (probabilidad apriori).
Recordemos que la probabilidad condicional de 2 eventos A y B est´ definida como
a
P (A/B) = P (A B)/P (B), por lo que P (A/B)P (B) = P (A B). An´logamente por
a
simetr´ tambiń podemos escribir P (B/A)P (A) = P (A B). Combinando ambas ecuaıa
e
ciones obtenemos lo que se conoce como el teorema de Bayes:
P (A/B) =

P (B/A)P (A)
P (B)

Notar que el denominador P (B) puede ser reescrito de la siguiente manera:
P (B) = P (B

(A

A)) = P ((B

A)

15

(B

A)) = P (B

A) + P (B

A)

a
usando las formulas para la probabilidad condicional e introduciendo el resultado para
P (B) en la ecuaciń del teorema nos queda
o
P (A/B) =

P (B/A)P (A)
P (B/A)P (A) + P (B/A)P (A)

Observar que el denominador es una sumatoria sobre los eventos A y A que conforman
todo el espacio muestral. Una manera general de escribir el Teorema de Bayes es la
siguiente: Sea A1 , A2 , ...,An un sistema completo de sucesos (es decir que abarca todo el
espacio muestral S), tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y
sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P (B/Ai ).
entonces la probabilidad P (Ai /B) viene dada por la expresiń:
o
P (Ai /B) =

P (B/Ai )P (Ai )
n
i=1 P (B/Ai )P (Ai )

En resumen, este teorema nos permite, si conocemos la probabilidad de que ocurra un
suceso, modificar su valor cuando disponemos de nueva informaciń.
o
Ejemplo: Un ejemplo cl´sico del uso del teorema de Bayes es el problema de oro y plata.
a
Hay tres bolsas que tienen, cada una 2 monedas. Las de la primera son de oro, las de la
segunda son de plata y las de la tercera son una de plata y otra de oro. Se escoje una
bolsa al azar y de ella una moneda tambiń al azar. Si la moneda es de oro, cu´l es la
e
a
probabilidad de que la otra moneda en la bolsa sea de oro tambiń?
e
Primero, notemos que la segunda bolsa no pudo haber sido elegida (porque no tiene
monedas de oro), s´lo pudo haber sido seleccionada la primera o la tercera. Si la bolsa
o
elegida hubiese sido la tercera, el evento cuya probabilidad nos interesa no se realiza.
De modo que el evento que nos interesa es equivalente a que se haya elegido la primera
bolsa. Una vez establecido lo anterior, apliquemos el teorema de Bayes para calcular:
P (1◦ |Au) =

P (1◦ )P (Au|1◦ )
P (1◦ )P (Au|1◦ ) + P (2◦ )P (Au|2◦ ) + P (3◦ )P (Au|3◦ )

Las probabilidades que entran al lado derecho de la igualdad las sacamos, inmediatamente, de las condiciones del problema y despu´s de hacer cuentas tenemos que
e
P (1◦ |Au) = 2/3
Este problema es cl´sico porque existe una soluciń a la que muchas personas llegan y
a
o
es falsa. El argumento es el siguiente. Como todas las bolsas son igualmente posibles, y
el hecho de que la primer moneda extra´ sea de oro, nos indica que no se trata de la
ıda
segunda bolsa. Conclu´
ımos que las dos bolsas restantes tienen igual probabilidad y, por
tanto, la probabilidad de que la otra moneda sea de oro es 1/2. Si Ud. piensa de acuerdo
a este razonamiento (errńeo!), es muy dif´ que encuentre en qu´ se equivoca. Lo que
o
ıcil
e
est´ mal es que lo que averiguamos, al saber que la moneda extra´ es de oro, es algo
a
ıda
m´s que el rechazo de la segunda bolsa. Si s´lo nos dijeran que la bolsa escogida al azar
a
o

16

a
no fu´ la segunda, sin informarnos del metal de la moneda sacada, todav´ tendr´
e
ıa
ıamos
incertidumbre respecto a la primera moneda; todav´ podr´
ıa
ıamos apostar a si ´sta es de
e
oro o de plata. Al decirnos que la moneda fu´ de oro, estamos aprendiendo algo m´s,
e
a
y eso echa por tierra el argumento de igual probabilidad para las dos bolsas restantes.
La informaciń con la que contamos nos indica que nos hallamos frente a un caso en
o
el que la bolsa era la primera y sacamos, la primera de las monedas que contenia, o la
segunda, (ya llevamos 2 posibilidades), o bien la bolsa era la tercera y en ese caso tan
solo podr´ ser que sac´ramos en primer lugar la moneda de oro, luego la que queda
ıa
a
dentro es de plata (una unica posibilidad). Tenemos 3 posibles sucesos en los que en 2
´
de ellos sacar´
ıamos a continuaciń una moneda de oro (2/3 de probabilidad), y tan s´lo
o
o
una de las veces la nueva moneda ser´ de plata (1/3 de probabilidad). Lo interesante del
ıa
problema es que, si nos hubieran dicho que la moneda sacada fu´ de plata, aplicando la
e
f´rmula de Bayes, llegamos a la conclusiń de que la probabilidad de que la otra moneda
o
o
sea tambiń de plata es 2/3!. Es decir, si vamos a apostar al metal de la otra moneda, nos
e
conviene apostar por el metal de la primera. Este ejemplo nos lleva a reflexionar sobre
el uso adecuado de la informaciń contenida en ”lo dado.en el c´lculo de la probabilidad
o
a
condicional.
Otro ejemplo:
En este ejemplo veremos una herramienta util a la hora de estimar las
´
probabilidades usando el Teorema de
Bayes. Esta herramienta es la construcciń del ´rbol de probabilidades.
o
a
Veamos: En un aula el 70 % de los
alumnos son mujeres. De ellas, el 10 %
son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20 %. En la figura de la derecha puede verse la construcciń de
o
dicho ´rbol con la informaciń brina
o
dada por el problema. Por lo tanto,
formulemos el evento que nos interesa
resolver: Si se elije a un individuo al
azar y es fumador, que probabilidad
hay de que sea un hombre?
Segń el Teorema de Bayes la probau
bilidad de que siendo fumador F sea
hombre H es P (H/F ) = P (H)P (F/H) .
P (F )
El numerador de esta fracciń se pueo
de calcular siguiendo la linea de flechas
gruesas rojas y multiplicando sus probabilidades, ya que P (H) = 0,3 y P (F/H) = 0,2.
Por ultimo, la probabilidad de ser fumador es P (F ) = P (M )P (F/M ) + P (H)P (F/H) =
´
0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13, en consecuencia la respuesta a nuestro problema es
P (H/F ) = (0,3 × 0,2)/0,13 = 0,46.

17

a
Curiosidad Bayesiana
Aunque probablemente todos razonamos de una forma m´s parecida a la metodolog´
a
ıa
bayesiana que a la frecuentista, resulta dif´ traducirlo en t´rminos matem´ticos y dif´
ıcil
e
a
ıcil
de evaluar y de transmitir, por lo que para finalizar voy a citar un art´
ıculo escrito por
el matem´tico John Allen Paulos sobre la utilizaciń de las estad´
a
o
ısticas que efectu´ el
o
abogado defensor en el famoso juicio del jugador y actor norteamericano O.J. Simpson,
acusado del asesinato de su mujer, donde vemos que la comprensiń del concepto de
o
probabilidad condicional, y al menos una idea intuitiva del teorema de Bayes, es de
utilidad y aplicaciń en la vida diaria:
o
El abogado defensor Alan Dershowitz afirmaba que, puesto que menos del uno por
mil de las mujeres maltratadas por sus compa˜eros mueren a manos de ´stos (c´lculo
n
e
a
frecuentista), los malos tratos producidos en el matrimonio Simpson no ten´ que ver
ıan
con el caso. Aunque las cifras son correctas, las palabras del seõr Dershowitz son de
n
una incongruencia apabullante; no tienen en cuenta un hecho ineludible: Nicole Simpson
muri´ de muerte violenta. Dadas ciertas suposiciones fćticas razonables de homicidio y
o
a
malos tratos conyugales, se puede ver fćilmente, empleando el teorema de Bayes, que si
a
un hombre maltrata a su mujer o novia, y ´sta muere asesinada despu´s, el vapuleador
e
e
es el homicida m´s del 80 % de las veces. As´ pues estaba matem´ticamente justificado,
a
ı
a
a falta de otros indicios, que la polic´ sospechara inmediatamente del seõr Simpson.
ıa
n
No estoy defendiendo en modo alguno la derogaciń de los derechos de nuestra cuarta
o
enmienda; me limito a puntualizar que seãlar con el dedo al seõr Simpson no era, tal
n
n
como estaban las cosas, il´gico, ni fue como sosten´ el defensor una muestra de racismo.
o
ıa
Me pregunto, ser´ frecuentistas o bayesianos los miembros del jurado?
ıan

18

2 Variables Aleatorias

2.

Variables Aleatorias

La identificaciń de cada resultado, en algunos experimentos aleatorios, obedece a
o
un reconocimiento de las propiedades que lo caracterizan. Por ejemplo, la condiciń
o
de ser hembra en un reciń nacido es un resultado cuya calificaciń depende de una
e
o
serie de caracter´
ısticas cualitativas espec´
ıficas, al igual que con la raza o la salud. En
otros tipos de experimentos aleatorios no basta con calificar los resultados, sino que es
necesario caracterizarlos cuantitativamente. En algunos casos esta cuantificaciń resulta
o
de un proceso de conteo, as´ se habla del n´mero de hijos, de dientes, de cromosomas,
ı
u
de electrones, de emisiones radiactivas, etc. En otros casos, al determinar caracter´
ısticas
como el peso, la talla, la temperatura o la concentraciń de alguna sustancia en ciertos
o
objetos o elementos, se asigna a cada resultado un valor dentro de una escala de mediciń
o
espec´
ıfica. Cada una de esas caracter´
ısticas cuantificables por conteo o por mediciń
o
recibe el nombre gen´rico de variables aleatorias; son variables porque su valor cambia
e
de un elemento a otro; y son aleatorias porque su comportamiento es impredecible. Las
variables aleatorias son importantes porque ellas caracterizan los fen´menos o procesos
o
naturales, por lo que resulta muy valioso comprender en la forma m´s completa posible
a
sus propiedades y comportamiento. Una primera aproximaciń a este conocimiento se
o
logra estableciendo el conjunto de posibles valores que puede asumir la variable y su
respectiva probabilidad de ocurrencia.

2.1.

Definiciń
o

Hasta el momento a los resultados de un experimento aleatorio los hemos calificado
como caras de una moneda, lados del dado, colores de ojos, etc. En matem´ticas, es
a
frecuentemente m´s fćil manejar n´meros que objetos arbitrarios. Por eso, la idea es
a a
u
representar los resultados de un experimento random por n´meros que pueden ser asigu
nados mediante funciones especiales. Veamos como funciona.
Supongamos el espacio muestral de lanzar 3 monedas. Los 8 resultados posibles son:
S = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}
Este mismo espacio muestral se puede expresar
en n´meros. Para esto, es necesario definir una
u
regla o norma que al aplicarla le adjudique a
cada resultado un valor. Por ejemplo, se puede
establecer la siguiente regla: contar el n´meu
ro de secas que aparecen en cada resultado del
espacio muestral. La asociaciń de n´meros a
o
u
cada resultado puede verse en el caso (a) de
la siguiente tabla. Si seguimos viendo la tabla,
cu´les serń las reglas definidas para los casos
a
a
(b) y (c)? Los 3 espacios num´ricos mostrados
e

19

(a)
ccc −→ 0
ccs −→ 1
csc −→ 1
scc −→ 1
css −→ 2
scs −→ 2
ssc −→ 2
sss −→ 3

(b)
ccc −→ 1
ccs −→ 2
csc −→ 2
scc −→ 2
css −→ 3
scs −→ 3
ssc −→ 3
sss −→ 4

(c)
ccc −→ 0
ccs −→ 1
csc −→ 1
scc −→ 1
css −→ 4
scs −→ 4
ssc −→ 4
sss −→ 9

en la tabla pueden ser expresados como
S1 = {0, 1, 2, 3}

S2 = {1, 2, 3, 4}

S3 = {0, 1, 4, 9}

Si adoptamos como x la letra que significa cantidad de n´mero de sellos entonces las
u
funciones matem´ticas que generan dichos espacios son:
a
f1 (x) = x

f3 (x) = x2

f2 (x) = x + 1

Si cada una de estas reglas se define en forma gen´rica como una variable aleatoria, y
e
a su vez sabemos que cada regla es una funciń matem´tica, la definiciń de variable
o
a
o
aleatoria se puede enunciar como:
Sea E un experimento aleatorio y S su espacio muestral, toda funciń que asigne a cada
o
uno de los elementos de S un n´mero real X(s), se llama variable aleatoria.
u
Las variables aleatorias se identifican con letras mayusculas, por lo que nuestros ejemplos
podr´ ser identificados de la siguiente manera:
ıan
X = n◦ de sellos

Y = n◦ de sellos + 1

Z = cuadrado del n◦ de sellos

El resultado de definir una variable aleatoria es que genera un nuevo espacio muestral
num´rico que se denomina recorrido o rango espacial y se identifica con la letra R. En
e
nuestro ejemplo tendr´
ıamos:
Rx = {0, 1, 2, 3}

Ry = {1, 2, 3, 4}

Rz = {0, 1, 4, 9}

Es importante puntualizar algunas cosas con relaciń al concepto de variable aleatoria:
o
1. Para un mismo experimento es posible definir diferentes variables aleatorias. En
nuestro ejemplo se pudieron especificar otras variables aleatorias como el n´mero
u
de lanzamientos o la distancia entre las monedas.
2. En muchos casos el resultado de un experimento es directamente un n´mero. Por
u
ej., si se mide la altura de un individuo se obtiene directamente un valor.
3. En t´rminos prćticos, en el estudio de una variable aleatoria es m´s importante
e
a
a
conocer los valores que ella asume que saber cu´les son los elementos que conforman
a
su espacio muestral.
4. Los valores que asumen las variables aleatorias se identifican con letras min´sculas
u
por ej. x, y, z. Si se define como variable aleatoria X =tamaõ de una persona,
n
y se quiere indicar la probabilidad de que esa persona supere determinada altura,
este evento se puede expresar como P (X > x), donde x asume el valor que se
especifique.

20


2.2.

Discretas y Continuas

De acuerdo con las caracter´
ısticas del rango espacial, las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.
Discretas: Se denomina discreta si el rango espacial esta constituido por un n´mero
u
finito o infinito contable de valores:
Rx = {x1 , x2 , x3 , ..., xr , ..., xn , ....}
´
Estas se generan a partir del recuento de elementos: n´mero de hijos, de part´
u
ıculas,
de ´tomos, etc.
a
Ejemplo: Se registra el n´mero de varones nacidos en los primeros 4 partos ocurriu
dos el primer d´ del aõ. El espacio muestral S estar´ formado por 16 resultados
ıa
n
a
equiprobables. La variable aleatoria n´mero de varones origina un espacio Rx foru
mado por 5 resulados numerables.


 
 MMMM

 0 


 


 
 VMMM, MVMM, MMVM, MMMV

 1 


 
VVMM; VMVM, VMMV, MVMV, MMVV, MVVM
2
S=
=⇒ RX =


 
 VVVM, VVMV, VMVV, MVVV

 3 


 


 


 
VVVV
4
Continuas: Se denomina continua si el rango espacial est´ constituido por un n´mea
u
ro infinito de valores en un intervalo dado:
Rx = {X(S) = x / x1 ≤ X ≤ x2 }
Estas se generan por la mediciń de magnitudes como la longitud, el peso, el voo
lumen, la densidad, la temperatura, etc.
Ejemplo: Se atrap´ una trucha en un r´ y se le determin´ el tamaõ. En ´ste
o
ıo
o
n
e
experimento el espacio muestral RX se origina inmediatamente como resultado de
determinar la longitud del cuerpo del pez, que es una caracter´
ıstica propia de cada
individuo. El rango espacial RX est´ formado por infinitos resultados dentro de un
a
determinado intervalo.
S = { tamaõ de las truchas } =⇒ RX = {xi = tamaõ / 10 cm ≤ xi ≤ 15 cm}
n
n

2.3.

Funciń de Probabilidad
o

Recordemos que dijimos que para tener un buen conocimiento de una variable aleatoria
no basta con saber cu´les son los valores que puede asumir sino tambiń es necesario
a
e
describir su comportamiento en t´rmino de probabilidades. Para ello se requiere una
e
nueva funciń, conocida como funciń de probabilidad con la cual es posible asignar un
o
o
valor de probabilidad a cada resultado de un rango espacial.

21

2.3.1.

Funciń de probabilidad de una variable aleatoria discreta
o

En el caso de variables discretas, la funciń de probabilidad se denota como p(x) y se
o
interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor xi , es decir,
p(x) = P (X = xi ). Obviamente, como la funciń de probabilidad genera un valor de
o
probabilidad, estos n´meros deben satisfacer las siguientes condiciones:
u
x2

0 ≤ p(x) ≤ 1

P (x1 ≤ X ≤ x2 ) =

p(x) = 1

p(x)
x1

Rx

Las dos primeras condiciones son equivalentes a los axiomas probabil´
ısticos de positividad y certidumbre. La tercera propiedad simplemente establece que si se conoce la
funciń de probabilidad de una variable aleatoria discreta, entonces se puede calcular la
o
probabilidad correspondiente a cualquier intervalo abierto o cerrado entre dos puntos x1
y x2 .
Ejemplo: Aqu´ podemos ver
ı
el experimento de lanzar una
moneda hasta obtener cara
por primera vez. En la figura de la derecha pueden observarse los distintos espacios
generados por el experimento
aleatorio: el espacio muestral
S, el rango espacial Rx (generado por la variable aleatoria n´mero de sellos) y el
u
espacio de probabilidad P . El
conjunto de pares ordenados
[xi , p(xi) ] para una variable
discreta se denomina distribuciń de probabilidad. En
o
la parte inferior de la figura tambiń puede observare
se una representaciń gr´fica
o
a
de dicha distribuciń de proo
babilidad. En este momento
es fćil responder a interroa
gantes relativas a la variable
aleatoria. Por ej., cu´l es la
a
probabilidad de obtener menos de 3 sellos?. La respuesta se tiene sumando las probabilidades que hay en el espacio de probabilidad:
P (X < 3) = P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0,50 + 0,25 + 0,125 = 0,875

22

2.3.1.1. Par´metros de la distribuciń de una variable aleatoria discreta .
a
o
La mayor´ de las veces resulta poco prćtico manejar toda la distribuciń de probabiıa
a
o
lidades para determinar el comportamiento de una variable, por lo que es conveniente
conocer algunos par´metros que caracterizan a la variable aleatoria. Esta idea se aprecia
a
claramente cuando se tiene una funciń determin´
o
ıstica como es la ecuaciń de una recta,
o
f(x) = αx + β, caracterizada por la pendiente α y la ordenada al origen β, los cuales
definen completamente el comportamiento funcional. Dos de los par´metros m´s impora
a
tantes para caracterizar las variables aleatorias son el valor promedio y la varianza, los
que proporcionan una r´pida visiń de la naturaleza de la variable.
a
o
Valor promedio: Veamos este concepto a trav´s de un ejemplo. En un estudio de campo
e
se determin´, para cierta regiń, el n´mero de cr´ por madriguera para una determinada
o
o
u
ıas
especie
de
roedor
y
la
probabilidad
con
la
cual
esto
ocurre.
En la tabla de la derecha podemos
ver las probabilidades en funciń del
o
n´mero de cr´ por madriguera. Si
u
ıas
N ◦ cr´
ıas Prob. Frec. f x f x/N
despu´s de un tiempo se revisan N
e
x
p(x)
p(x) N
madrigueras en la misma regiń, es
o
1
0.25
75
75
0.25
posible estimar en forma aproxima2
0.40
120
240 0.80
da el n´mero de individuos por mau
3
0.20
60
180 0.60
driguera que se espera encontrar. Si
4
0.08
24
96
0.32
el n´mero de madrigueras revisado es
u
5
0.05
15
75
0.25
N = 300, el n´mero de madrigueras
u
6
0.02
6
36
0.12
con un cierto n´mero x de cr´ (freu
ıas
Total
1.00
300
702 2.34
cuencia esperada) puede observase en
la 3era columna de la tabla. Ahora, si
se quiere conocer el n´mero promedio de cr´ por madriguera se debe multiplicar la
u
ıas
frecuencia esperada por el n´mero de cr´ y su total se divide por el n´mero total de
u
ıas
u
madrigueras
n
fi xi
702
x = i=1
=
= 2,34
n
300
i=1 fi
Si en la f´rmula del c´lculo de x se sustituye n fi por N y se aplica el concepto de
o
a
i=1
frecuencia relativa a la probabilidad que establece que f r(x) = p(x) , se obtiene una nueva
f´rmula de c´lculo para la media a partir de los valores de probabilidad
o
a
x=

n
i=1 fi xi
n
i=1 fi

=

n
i=1 fi xi

N

n

=
i=1

fi xi
=
N

n

n

f r(xi ) xi =
i=1

p(xi )xi
i=1

La conclusiń es que el valor promedio de la distribuciń de una variable discreta es igual
o
o
a la suma del producto de cada valor de la variable por su probabilidad de ocurrencia.

23

Si a este concepto lo extrapolamos de la muestra a la poblaciń, el valor promedio de la
o
distribuciń de valores de una variable discreta es
o
n

µ=

p(xi )xi
i=1

A este valor promedio tambiń se lo conoce como Esperanza matem´tica o Valor espee
a
rado y se suele denotar como E(x).
o
n
u
Varianza: Si de una poblaciń se extrae un niõ y se le determina el n´mero de caries,
cabr´ las siguientes preguntas: El n´mero de caries ser´ igual al valor promedio de la
ıan
u
a
poblaciń? El valor estar´ cercano o alejado al valor promedio?. Si s´lo conocemos el
o
a
o
valor promedio no podremos responder ninguna de estas preguntas. A lo sumo sabremos
que tendr´ un n´mero de caries mayor o menor al promedio y que sus probabilidades
a
u
de ocurrencia dependen de la forma de la distribuciń de la variable. De modo que no
o
basta conocer el valor medio de una variable aleatoria para poder describir desde un
punto de vista prćtico alguna de sus caracter´
a
ısticas m´s interesantes. Las preguntas
a
hechas anteriormente hacen pensar que se requiere otro tipo de medida que cuantifique
la dispersiń de valores alrededor del valor medio. Lo m´s simple ser´ determinar la
o
a
ıa
desviaciń de cada valor respecto al valor medio, es decir ser´ necesario obtener para
o
ıa
cada xi la desviaciń xi − µ. Como se quiere tener un valor de desviaciń para toda la
o
o
distribuciń, la suma de las mismas podr´ representar una medida general de desviaciń.
o
ıa
o
Sin embargo, como el t´rmino (xi − µ) = 0 , la mejor manera de evadir este problema
e
es elevando al cuadrado cada desviaciń: (xi − µ)2 , de modo que el valor promedio de
o
todas las diferencias cuadr´ticas se podr´ usar como esa medida unica de dispersiń.
a
ıa
´
o
Puesto que (xi − µ)2 es tambiń una variable aleatoria, su valor promedio ser´:
e
a
n

σ2 =

p(xi )(xi − µ)2
i=0

Esta medida de dispersiń se denomina varianza. Una f´rmula m´s simple para el c´lculo
o
o
a
a
2 se obtiene desarrollando el binomio cuadrado presente en la f´rmula anterior,
de σ
o
obtenińdose
e
n

σ2 =

x2 p(xi )
i

− µ2

i=1

Volviendo a nuestro ejemplo, si nos dijeran que la distribuciń de probabilidades en
o
funciń del n´mero de caries por niõ es
o
u
n
N ◦ caries
p(x)

0
0.19

1
0.29

2
0.21

3
0.15

4
0.09

5
0.04

6
0.02

7
0.01

Se quiere conocer la probabilidad de que un niõ tenga m´s de 2 y menos de 6 caries,
n
a
el n´mero promedio de caries por niõ y la varianza de la distribuciń. Puede verse que
u
n
o
P (2 < X < 6) = P (3 ≤ X ≤ 5) = p(3) + p(4) + p(5) = 0,15 + 0,09 + 0,04 = 0,28. Hacer
el c´lculo y probar que µ = 1,91 y σ 2 = 2,48.
a

24

2.3.2.

Funciń de probabilidad de una variable aleatoria continua
o

En el caso de variables aleatorias continuas, la funciń de probabilidad se identifica
o
como f(x) . Para las variables continuas no tiene sentido encontrar la probabilidad exacta
de un valor puntual puesto que su rango espacial est´ formado por infinitos valores, de
a
modo que la expresiń P (X = xi ) carece de sentido.
o
Por ejemplo, supongamos que queremos medir la temperatura en la superficie de un lago.
Un term´metro con una apreciaciń en grados puede determinar que la temperatura del
o
o
◦ C. Sin embargo debido a la apreciaciń tan gruesa, cualquier valor entre
agua es 28
o
27, 5◦ C y 28, 5◦ C el instrumento lo aprecia como 28◦ C. Si se cambia el term´metro por
o
◦ C, el valor de temperatura tendr´ una dćima m´s
otro con una apreciaciń de 0, 1
o
a
e
a
de apreciaciń, digamos que fue de 28, 2◦ C. Pero la incertidumbre se mantiene porque
o
cualquier valor entre 28, 15 y 28, 25 es medido como 28, 2◦ C. Esta falta de seguridad
sobre cu´l es el verdadero valor de temperatura del agua siempre estar´ presente, en
a
a
primer lugar porque te´ricamente la apreciaciń del term´metro puede incrementarse
o
o
o
indefinidamente y en segundo t´rmino porque el rango espacial de la temperatura, igual
e
que el de todas las variables continuas, esta formado por infinitos valores.
Al no poderse definir para una variable aleatoria continua una funciń p(x) que asigne
o
una probabilidad a cada valor xi de su rango espacial, es necesario establecer una nueva
funciń f(x) que fije la probabilidad de todos los valores xi . Esta funciń debe satisfacer
o
o
las siguientes condiciones:
b

0 ≤ f(x) ≤ 1

f(x) dx = 1

P (a ≤ X ≤ b) =

f(x) dx
a

x≤xi

La funciń f(x) representa la distribuciń de probabilidad y el ´rea bajo dicha funciń
o
o
a
o
equivale a su probablidad de ocurrencia.

En la figura superior el caso A ejemplifica la condiciń de que el ´rea sombreada bajo la
o
a
curva debe ser igual a la unidad; el caso B muestra que el ´rea sombreada representa la
a
probabilidad de que la variable se encuentre entre a y b; y el caso C indica que el ´rea
a
sombreada bajo la curva representa la probabilidad de que la variable sea igual o mayor
al valor a. Por ultimo, observar que una consecuencia de la naturaleza de las variables
´
continuas, es que las probabilidades P (a < X < b), P (a < X ≤ b), P (a ≤ X < b) y
P (a ≤ X ≤ b) son todas iguales.

25

Ejemplo:
Encuentre la probabilidad de que una variable aleatoria sea mayor a 2 y menor a 4
si se sabe que su funciń de probabilidad
o
es
x e−x
x> 0
f (x) =
0
x≤ 0
Para encontrar la probabilidad solicitada
es necesario hallar el ´rea bajo la curva
a
localizada entre los valores 2 y 4 (ver figura). Para ello se procede a integrar por
partes la funciń
o
4

P (2 ≤ X ≤ 4) =

xe−x dx = −xe−x − e−x

2

4
2

= −e−x (x + 1)

4
2

= −5e−4 +3e−2

0, 3144

2.3.2.1. Par´metros de la distribuciń de una variable aleatoria continua .
a
o
Los significados de la media y la varianza de la distribuciń de una variable aleatoria
o
continua siguen siendo los mismo que tienen para las variables aleatorias discretas, s´lo
o
que en lugar de sumar un n´mero definido de valores enteros, es necesario sumar infinitos
u
valores, de modo que sus f´rmulas de c´lculo son las siguientes:
o
a
∞

µ=

∞

∞

σ2 =

xf (x) dx
−∞

(x − µ)2 f (x) dx =
−∞

x2 f (x) dx − µ2
−∞

Ejemplo: Siguiendo con la funciń del ejemplo anterior, su media y varianza son:
o
∞

µ=

∞

xf (x) dx =
0

x2 e−x dx = 2

0
∞

σ2 =

x3 e−x dx − µ2 = 6 − 4 = 2

0

2.4.

Funciń de Distribuciń Acumulada
o
o

Probablemente la funciń de distribuciń de probabilidades acumuladas sea una de las
o
o
funciones con m´s aplicaciń en la prćtica estad´
a
o
a
ıstica porque la mayor´ de las tablas
ıa
usadas en esta disciplina se generan a partir de funciones acumuladas.
2.4.1.

Funciń acumulada para variables discretas
o

Al rango espacial de cualquier experimento se le puede asociar otra funciń que cuano
tifica la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma un valor igual o menor a xi .

26

Esta funciń se simboliza como F (x) y se denomina funciń de distribuciń acumulativa.
o
o
o
Para el caso de variables aleatorias discretas la funciń acumulativa queda definida como
o
F (x) = P (X ≤ xi ) =

p(x)
x≤xi

Ejemplo: Sea la variable aleatoria X = la suma de la cara de 2 dados, determine la
distribuciń de probabilidades acumuladas y calcule las probabilidades siguientes:
o
1)P (X ≤ 6)
2)P (3 ≤ X ≤ 8)
3)P (X > 3)
4)P (2 < X < 8)

5)P (2 ≤ X ≤ 8 y 5 ≤ X ≤ 10)
6)P (X > 8 o X < 4)
.
7)P (5 < X < 10 o X > 7)
8)P (4 ≤ X ≤ 7 / X ≤ 6)

a) El espacio muestral est´ formado por 36 posibles resultados equiprobables
a


 (1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6) 

 (2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6) 









(3, 1)(3, 2)(3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)
S=
 (4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)(4, 5)(4, 6) 



 (5, 1)(5, 2)(5, 3)(5, 4)(5, 5)(5, 6) 







(6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, 5)(6, 6)
b) El rango espacial de la variable aleatoria es el siguente:
Rx = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
c) Las distribuciones de probabilidad y acumulativas son las
que figuran en la tabla de la derecha.
xi
p(xi )
Entonces, las probabilidades solicitadas son:
2 0.02778
[[1]] P (x ≤ 6) = F(6) = 0,41667
3 0.05556
[[2]] P (3 ≤ X ≤ 8) = P (X ≤ 8) − P (X ≤ 2) = F(8) − F(2) =
4 0.08333
0,72222 − 0,02778 = 0,69
5 0.11111
[[3]] P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − 0,08333 = 0,92
6 0.13889
[[4]] P (2 < X < 8) = P (3 ≤ X ≤ 7) = P (X ≤ 7) − P (X ≤
7 0.16667
2) = F(7) − F(2) = 0,58333 − 0,02778 = 0,56
8 0.13889
[[5]] P (2 ≤ X ≤ 8 y 5 ≤ X ≤ 10) = P (5 ≤ X ≤ 8) = P (X ≤
9 0.11111
8) − P (X ≤ 4) = F(8) − F(4) = 0,72222 − 0,16667 = 0,56
10 0.08333
[[6]] P (X > 8 o X < 4) = 1 − P (X ≤ 8) + P (X ≤ 3) = 11 0.05556
1 − F(8) + F(3) = 1 − 0,72222 + 0,08333 = 0,36
12 0.02778
[[7]] P (5 < X < 10 o X > 7) = P (6 ≤ X ≤ 9) + P (X ≥
8) − P (8 ≤ X ≤ 9) = P (X ≤ 9) − P (X ≤ 5) + 1 − P (X ≤
7) − P (X ≤ 9) + P (X ≤ 7) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − F(5) = 1 − 0,28 = 0,72
[[8]] P (4 ≤ X ≤ 7/X ≤ 6) =

P (4≤X≤6)
P (X≤6)

=

P (X≤6)−P (X≤3)
P (X≤6)

27

=

0,41667−0,08333
0,41667

F (xi )
0.02778
0.08333
0.16667
0.27778
0.41667
0.58333
0.72222
0.83333
0.91667
0.97222
1.00000

= 0,80

2.4.2.

Funciń acumulada para variables continuas
o

Cuando se trata de variables continuas la funciń acumulativa se define como:
o
Φ(xi ) = P (X ≤ xi ) =

f (x) dx
x≤xi

En el caso de variables discretas la P (X ≤ xi ) se
obtiene sumando los valores de probabilidad de todos los resultados iguales o
menores a xi . Para las variables continuas esta probabilidad se obtiene calculando el ´rea que se ena
cuentra por debajo de f(x)
y a la izquierda del valor xi (ver figura de la
derecha). Dado que estos
c´mputos pueden llegar a
o
ser bastante complejos dependiendo de la naturaleza de f(x) , se han desarrollado para las funciones
de probabilidad m´s usadas,
a
tablas con las probabilidades acumuladas. Estas facilitan el c´lculo de probabilidaa
des.
Ejemplo: Supongamos que la
variable X = contenido de
plomo en sangre de personas,
tiene la funciń de probabilidades
o
1
√
σ 2π

f (x) =

e

0

(x−µ)2
2σ 2

x> 0
x≤ 0

Usando la tabla de probabilidades acumuladas, calcule la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente a) tenga una concentraciń superior a 0.40 ppm y
o
b) tenga una concentraciń menor a 0.30 ppm si se sabe que forma parte de un grupo
o
de personas cuya concentraciń de plomo en la sangre se encuentra entre 0.25 y 0.45 ppm.
o

28

a) La probabilidad P (X ≥ 0,40) se obtiene calculando el ´rea debajo de f(x) por encima
a
de 0.40. Es decir
P (X ≥ 0,40) = 1 − P (X ≤ 0,40) = 1 − Φ(0,40) = 1 − 0,913659 = 0,08634
En t´rminos prćticos se puede decir que aproximadamente el 8,6 % de los individuos de
e
a
esa poblaciń tienen m´s de 0.40 ppm de plomo en la sangre.
o
a
b) La segunda probabilidad solicitada es condicionada. Interesa obtener dos ´reas, la
a
que se encuentra entre 0.25 y 0.30, que representa la intersecciń de los dos eventos y el
o
a
´rea entre 0.25 y 0.45 que es el nuevo espacio muestral reducido. Es decir
P (X ≤ 0,30 / 0,25 ≤ X ≤ 0,45) =

=

P [(X ≤ 0,30) (0,25 ≤ X ≤ 0,45)]
P (0,25 ≤ X ≤ 0,30)
=
=
P (0,25 ≤ X ≤ 0,45)
P (0,25 ≤ X ≤ 0,45)

P (X ≤ 0,30) − P (X ≤ 0,25)
Φ(0,30) − Φ(0,25)
0,685272 − 0,500
=
=
= 0,3980
P (X ≤ 0,45) − P (X ≤ 0,25)
Φ(0,45) − Φ(0,25)
0,965482 − 0,500

29

3 Distribuciones de Probabilidad

Distribuciones de Probabilidad

3.

La estad´
ıstica inferencial tiene como problema general establecer las propiedades de
un fen´meno aleatorio estudiando una parte del mismo. Para esto es necesario conocer la
o
distribuciń de probabilidad de la variable aleatoria que se est´ estudiando. Esto puede
o
a
ser complicado si no existe otra alternativa que deducir te´ricamente la funciń de proo
o
babilidad. Afortunadamente, existen numerosos modelos de probabilidad, muchos de los
cuales, aunque hayan sido generados con otros fines, pueden ser usados para describir el
comportamiento de la mayor´ de las variables aleatorias que son estudiadas en las cienıa
cias naturales. Los modelos de distribuciones de probabilidad se clasifican de acuerdo con
la naturaleza de la variable aleatoria en modelos probabil´
ısticos discretos y continuos. En
este punto es necesario enfatizar que el esfuerzo que se haga en entender las propiedades
de estos modelos permitir´, por una parte, comprender mejor el funcionamiento de los
a
m´todos de inferencia estad´
e
ıstica y por otro lado, contar con m´s y mejores criterios
a
para elegir el modelo apropiado en la aplicaciń de algń m´todo estad´
o
u
e
ıstico.

3.1.
3.1.1.

Modelos probabil´
ısticos discretos
Modelo de Bernoulli

Una gran cantidad de situaciones que se presentan en distintos campos de acciń
o
tienen en comń algunas cosas. Por ejemplo: lanzar una moneda y determinar si sale
u
cara en cada lanzamiento; lanzar un dado y verificar cada vez si sale un n´mero par;
u
elegir aleatoriamente un individuo y determinar su sexo; determinar si un elemento es
met´lico; etc. Todos estos experimentos y otros similares reciben el nombre gen´rico de
a
e
Ensayos de Bernoulli, y tienen las siguientes caracter´
ısticas:
1. Cada vez que se repite el experimento se producen 2 resultados mutuamente excluyentes. Estos resultados se identifican generalmente como ´xito y fracaso.
e
2. Cada vez que se repite el experimento la probabilidad de ocurrencia del ´xito p o
e
del fracaso q no cambian.
3. Los resultados son independientes. El hecho de que ocurra un fracaso o un ´xie
to, no afecta la probabilidad de ocurrencia de un nuevo resultado al repetir el
experimento.
En consecuencia, el espacio muestral para los distintos ensayos de Bernoulli esta formado
por dos resultados, ´xito (E) y fracaso (F ), es decir S = {E, F }. Si definimos la variable
e
aleatoria X = n´mero de ´xitos en un ensayo entonces tendremos el siguiente rango
u
e
espacial, RX = {0, 1}. Si p es la probabilidad de ´xito y 1 − p la de fracaso, entonces
e
sabemos que la funciń probabilidad debe cumplir que P (X = 0) = p0 (1 − p)1 y P (X =
o
1) = p1 (1−p)0 . Por lo tanto, se deduce que la funciń de probabilidad para la distribuciń
o
o
de Bernoulli es
p(x) = px (1 − p)1−x
El valor esperado y la varianza de esta distribuciń son: µ = p y σ 2 = pq respectivamente.
o

30

3.1.2.

Modelo Binomial

Un experimento binomial consta de ”varios.ensayos de Bernoulli, por ej, lanzar una
moneda n veces y determinar si sale cara en cada lanzamiento. En cada repeticiń del
o
experimento se mantienen las propiedades de los ensayos de Bernoulli y que la variable
aleatoria que los caracteriza es el n´mero de veces que ocurre el ´xito (o el fracaso) en
u
e
n repeticiones del experimento. La funciń de probabilidad para este tipo de variable la
o
vamos a deducir a partir del siguiente ejemplo.
Ejemplo: En una investigaciń de cierta parasitosis, pequeãs dosis de una vacuna experio
n
mental se inyectaron en ratones de laboratorio. Los resultados encontrados demostraron
que 4 de cada 20 ratones mueren a causa de la vacuna. Si la misma dosis de la vacuna
se aplica a 4 ratones, cu´l es la probabilidad de que mueran x ratones?.
a
1. En primer lugar, se verifica que se trata de un ensayo de Bernoulli.
Tiene 2 resultados posibles: ratń muere (´xito); ratń sobrevive (fracaso).
o
e
o
La probabilidad de ´xito es p = 1/5 y del fracaso es q = 4/5 (invariantes).
e
El experimento se repiti´ 5 veces (n = 4).
o
2. El espacio muestral consta de 16 resultados. Si se representa con m el evento morir
y con s el evento sobrevivir, entonces


 ssss





 sssm, ssms, smss, msss



ssmm; smsm, mssm, smms, msms, mmss
S=


 smmm, msmm, mmsm, mmms







mmmm
La variable aleatoria X = n´mero de ratones muertos genera el rango espacial
u
RX = {0, 1, 2, 3, 4}.
3. Si p = probabilidad de morir y q = probabilidad de sobrevivir; la probabilidad con
la cual ocurrirń los resultados del espacio muestral S son:
a
P(X = 0) =p(ssss)
=1
P(X = 1) =p(sssm) + p(ssms) + p(smss) + p(msss)
=4
P(X = 2) =p(ssmm) + p(smsm) + p(mssm) + p(smms) + p(msms) + p(mmss)= 6
P(X = 3) =p(smmm) + p(msmm) + p(mmsm) + p(mmms)
=4
P(X = 4) =p(mmmm)
=1

qqqq = 1
pqqq = 4
ppqq = 6
pppq = 4
pppp= 1

4. Puede observarse que los valores de p estń elevados a una potencia que coincide
a
con el valor de x de la variable aleatoria, mientras que los de q estń elevados a una
a
potencia que es igual a 4 − x. Observar que 4 tambiń es el n´mero de repeticiones
e
u
del experimento, por lo que una expresiń general ser´
o
ıa
px q n−x

31

p0 q 4
p1 q 3
p2 q 2
p3 q 1
p4 q 0

5. Tambiń puede verse que cada t´rmino est´ multiplicado por un coeficiente que
e
e
a
representa el n´mero de secuencias diferentes de c´mo pueden morir x ratones. Este
u
o
n´mero no es otra cosa que el n´mero de permutaciones de n elementos diferentes,
u
u
siendo x elementos de una clase (ratones que mueren) y n−x de otra clase (ratones
que sobreviven). Esto tambiń se conoce como combinatoria n Cx y viene descripto
e
por la siguiente f´rmula
o
n Cx

=

n
x

=

n!
x!(n − x)!

Por lo tanto, la funciń de probabilidad del modelo binomial puede ser expresada
o
de la siguiente manera
p(x) =

n Cx

px q n−x =

n
x

px q n−x

Su aplicaciń permitir´ calcular la probabilidad de que un resultado ocurra x veo
a
ces en n repeticiones. Para finalizar con el ejemplo, podemos utilizar la f´rmula
o
encontrada para calcular las probabilidades:
P (X
P (X
P (X
P (X
P (X

= 0) = p(0)
= 1) = p(1)
= 2) = p(2)
= 3) = p(3)
= 4) = p(4)

=
=
=
=
=

4
0
4
1
4
2
4
3
4
4

(1/5)0 (4/5)4−0
(1/5)1 (4/5)4−1
(1/5)2 (4/5)4−2
(1/5)3 (4/5)4−3
(1/5)4 (4/5)4−4

= (1)(1)(0,4096) = 0,4096
= (4)(0,2)(0,5120) = 0,4096
= (6)(0,04)(0,64) = 0,1536
= (4)(0,008)(0,8) = 0,0256
= (1)(0,0016)(1) = 0,0016

Distribuciń de probabilidades
o
El conjunto de pares ordenados
[xi ; p(xi ) ] genera una distribuciń binomial, nombre que se le
o
da porque los sucesivos t´rminos
e
de la distribuciń de probabilio
dad son semejantes a los obtenidos con la expansiń del binoo
mio de Newton (p + q)n . Cuando una variable aleatoria se distribuye en forma binomial con
par´metros n y p se puede reprea
sentar mediante la siguiente expresiń: X : b(n; p). La forma de
o
la distribuciń binomial cambia
o
para cada combinaciń de valoo
res diferentes de n y/o p. En la

32

figura puede verse un ejemplo de dicha variaciń cuando se toma n = 10 y diferentes
o
valores de p.
Funciń de probabilidad acumulada
o
La funciń de probabilidad acumulada para el modelo binomial puede escribirse como
o
RX

F(x) = P (X ≤ x) =

n Cx

px q n−x

Para facilitar la aplicaciń de la distribuciń binomial, existen tablas con las probabio
o
lidades acumuladas. A continuaciń damos un ejemplo de dichas tablas. La tabla tiene
o
tres entradas, el valor del par´metro p (probabilidad de ´xito), el valor de n (n´mero de
a
e
u
repeticiones) y el valor de x (n´mero de ´xitos).
u
e

La tabla mostrada tiene como par´metro n = 15 y su uso es relativamente sencillo.
a
Si tenemos un experimento con una variable aleatoria que se distribuye binomialmente
con n = 15 y p = 0,5, y quisi´ramos calcular la probabilidad, por ej., P (X > 5),
e
inspeccionando la tabla podr´
ıamos calcular que:
P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − 0,1509 = 0,8491
Valor esperado y Varianza
El valor esperado y la varianza de la distribuciń binomial son los siguientes:
o
σ 2 = npq

µ = np

33

3.1.3.

Modelo de Poisson

Esta distribuciń fue introducida por el matem´tico franc´s S.D. Poisson en 1837. El
o
a
e
modelo de Poisson, a semejanza del binomial, consta de varios ensayos de Bernoulli.
La diferencia estriba en que el modelo binomial sirve para calcular la probabilidad de
ocurrencia de un resultado particular en un n´mero finito de repeticiones, mientras que
u
con el modelo de Poisson se determina la probabilidad de ocurrencia de un determinado
evento en el tiempo o el espacio y no en un n´mero definido de repeticiones del expeu
rimento. En estos eventos que se producen aleatoriamente en el espacio o el tiempo, la
frecuencia de ocurrencia de un evento es tan baja con relaciń a la frecuencia de no
o
ocurrencia que se consideran como sucesos raros. Tratar de describir la distribuciń de
o
una variable aleatoria de este tipo mediante el modelo binomial ser´ imprćtico puesto
ıa
a
que el n´mero de ensayos tendr´ que ser extraordinariamente grande para que ocurriera
u
ıa
el resultado esperado. Analicemos el siguiente caso.
Ejemplo: Un bi´logo est´ colectando individuos de una especie de planta cuyos indio
a
viduos estń distribuidos aleatoriamente e independientemente en una sabana. Es de
a
suma importancia conocer la distribuciń de probabilidades de la variable X = n´meo
u
ro de plantas. Para obtener esta distribuciń se podr´ usar el modelo binomial. S´lo
o
ıa
o
se necesitar´ considerar cada punto muestreado como una repeticiń del proceso, sin
ıa
o
embargo, esto implicar´ trabajar con un n´mero de repeticiones extremadamente granıa
u
de, puesto que la presencia de una planta en un punto del ´rea de b´squeda es un
a
u
hecho muy poco frecuente con relaciń al n´mero de puntos donde no se encuentra.
o
u
Bajo el supuesto de que se pudiera superar la dificultad del
elevado n´mero de repeticiones, se tendr´ otro problema, cou
ıa
mo el de que la funciń binomial est´ caracterizada por un
o
a
valor de n muy grande y un valor de p muy pequeõ, lo que
n
hace sumamente tedioso el c´lculo de probabilidades por tener
a
que usar factoriales de n´meros muy grandes. Afortunadamenu
te, situaciones como la planteada donde n −→ ∞ y p −→ 0,
se pueden resolver usando el modelo probabil´
ıstico de Poisson. Para deducir la funciń de probabilidad de Poisson se
o
har´ uso de dos supuestos: el primero es que en esta sabana
a
se delimit´ una parcela de terreno que tiene un n´mero proo
u
medio de plantas igual a λ; y el segundo es que el ´rea de la
a
parcela se corresponde con una unidad de superficie, de forma
que λ representa el n´mero promedio de plantas por unidad
u
de superficie. El mayor inter´s es el de conocer la probabilidad
e
con la cual la variable aleatoria asume los valores de su rango espacial, el cual es Rx = {0, 1, 2, 3, ........N } . Una manera
util de encontrar las probabilidades para cada resultado en Rx
´
ser´ dividir la parcela en n unidades del mismo tamaõ lo suıa
n
ficientemente pequeãs para que en cada uno de ellas se produzca uno de dos resultados:
n
presencia o ausencia de plantas (ver figura de la derecha). Bajo estas nuevas condiciones

34

el experimento presenta las caracter´
ısticas de un experimento binomial. Por lo tanto es
posible utilizar la funciń de probabilidad del modelo binomial para el c´lculo de proo
a
´
babilidades. Pero para poder hacer esto, hace falta conocer el valor de p. Este se puede
deducir a partir de λ, que es le n´mero promedio de plantas por parcela o por unidad
u
de superficie. Puesto que la parcela se dividi´ en n subparcelas, la probabilidad de que
o
ocurra una planta en cada una de las n subparcelas de tamaõ 1/n ser´ p = λ/n y la
n
a
probabilidad de que no ocurra ser´ q = 1 − (λ/n), de modo que la funciń distribuciń
a
o
o
binomial queda:
p(x) = n Cx (λ/n)x (1 − λ/n)n−x
Sin embargo, esta funciń s´lo es una aproximaciń, pues toma en cuenta n subparcelas.
o o
o
Como la superficie es una variable continua, el ´rea de la parcela se puede dividir en
a
infinitas subparcelas, de modo que cuando n tiende a infinito, la funciń de probabilidad
o
binomial se aproxima a
l´
ım

n→∞

n Cx (λ/n)

x

(1 − λ/n)n−x =

e−λ λx
x!

donde λ es el n´mero de ocurrencia del evento de inter´s en una unidad de espacio (o
u
e
tiempo). Para cualquier otro valor de espacio (o tiempo) la funciń de probabilidad ser´:
o
a
p(x) =

e−λa (λa)x
x!

donde a es un factor de proporcionalidad que permite calcular el n´mero de ocurrencias
u
del ´xito en un tiempo o espacio dado diferente a la unidad. Si se hace λa = µ la funciń
e
o
de probabildades para el modelo de Poisson queda
p(x) =

e−µ µx
x!

con µ el n´mero promedio de ocurrencias en un espacio o tiempo dado y x el n´mero de
u
u
veces que ocurre el ´xito en ese mismo espacio o tiempo.
e
Distribuciń de probabilidades
o
La distribuciń de probabilidades de Poisson
o
est´ formada por los pares ordenados de valoa
res [xi ; p(xi )] y la misma est´ caracterizada por
a
un s´lo par´metro: el promedio µ. En forma sio
a
milar a la distribuciń binomial, la distribuciń
o
o
Poisson es una familia de curvas, cuya forma
depende de µ (ver figura).
Su aplicaciń puede verse a trav´s del siguiente
o
e
ejemplo. Supńgase que el n´mero de part´
o
u
ıculas
radiactivas emitidas por cierto material durante una hora tiene una distribuciń Poisson cuyo promedio es de 0.8 part´
o
ıculas por hora.

35

Cu´l es la probabilidad de que en 5 horas se emitan m´s de 3 y menos de 7 part´
a
a
ıculas?
Para encontrar la probabilidad solicitada se deber´ calcular
a
P (3 < X < 7) = P (4 ≤ X ≤ 6) = p(4) + p(5) + p(6)
Ahora, si λ = emisiones/hora, el n´mero promedio esperado para 5 horas ser´ µ = λt =
u
a
0,8 × 5 = 4 emisiones. Entonces, las probabilidades requeridas son
p(4) = e−4 44 /4! = 0,1954
p(5) = e−4 45 /5! = 0,1562
p(6) = e−4 46 /6! = 0,1041
por lo que, la probabilidad total buscada es P (3 < X < 7) = 0,4557.
Funciń de probabilidad acumulada
o
Las probabilidades acumuladas de la funciń de probabilidad de Poisson tambiń pueden
o
e
venir tabuladas, donde las entradas usuales son el par´metro µ y el n´mero de ´xitos x.
a
u
e

Su utilizaciń es la misma que la realizada con las tablas binomiales, pero veamos un
o
ejemplo para clarificar. Supńgase que el n´mero de impulsos que recibe una central
o
u
telefńica es una variable que se distribuye como Poisson. El promedio es de 120 impulsos
o
recibidos por hora. La central tiene una capacidad m´xima de 4 impulsos por minuto.
a
Cu´l es la probabilidad de que en un minuto determinado la central se congestione?. La
a
central comenzar´ a fallar cuando el n´mero de impulsos sea superior a 4 por minuto,
a
u
de modo que la probabilidad solicitada es P (X > 4). Si λ = 120 impulsos/hora =
120 impulsos/ 60 minutos = 2 impulsos/minuto, entonces se tiene que µ = λt =
(2 impulsos/minuto)(1 minuto) = 2 impulsos. Entonces entramos en la tabla con los
valores x = 4 y µ = 2 y tenemos que la probabilidad buscada es
P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − F (4) = 1 − 0,9473 = 0,0527

36

Valor esperado y Varianza
El valor esperado y la varianza de la distribuciń Poisson son iguales: µ = σ 2 .
o
Apliquemos esto en el siguiente ejemplo. Sea X
una variable que se distribuye segń el modeu
lo de Poisson, sabiendo que µ = 9 calcule la
probabilidad que tiene la variable aleatoria de
ser mayor o menor a la media en m´s de una
a
desviaciń estandar (σ, es decir, la ra´ de la
o
ız
varianza). La probabilidad solicitada es
P [X < (µ − σ) o X > (µ + σ)]
Como se sabe que en el modelo Poisson µ = σ 2 ,
se deduce que σ 2 = 9. Por lo tanto, la desvia√
ciń estńdar es σ = 9 = 3, de modo que la probabilidad que buscamos es:
o
a
P [X < (9 − 3) o X > (9 + 3)] = P [X < 6 o X > 12] = P (X < 6) + P (X > 12) =
= P (X ≤ 5) + 1 − P (X ≤ 12) = 0,1157 + 1 − 0,8758 = 0,2399
Relaciń entre los modelos Binomial y Poisson
o
Observar que la deducciń de la funciń de probabilidad del modelo de Poisson se hizo
o
o
a partir de la funciń de probabilidad del modelo binomial. Con este prop´sito, en
o
o
un experimento binomial se aument´ infinitamente el n´mero de repeticiones n, y la
o
u
probabilidad de ocurrencia del ´xito se disminuy´ proporcionalmente a este aumento,
e
o
p = λ/n. Si sigui´semos dentro del marco binomial, el c´lculo mediante la funciń de
e
a
o
probabilidad se dificulta porque hay que trabajar con factoriales muy grandes. De modo
que en cualquier ensayo de Bernoulli donde n sea muy grande y p muy pequeõ, se puede
n
utilizar la funciń de Poisson para calcular las probabilidades de ocurrencia del ´xito,
o
e
sabiendo que µ = np.
3.1.4.

Otros modelos discretos

A continuaciń se mencionan las caracter´
o
ısticas principales de 3 modelos discretos
usados comńmente.
u
Modelo geom´trico
e
Supongamos que ensayos independientes, cada uno teniendo probabilidades p, son realizados hasta que un evento dado ocurre por primera vez, sin l´
ımite en el n´mero de
u
ensayos realizados. Si un evento es observado por primera vez despu´s de x ensayos,
e
significa que fall´ x − 1 veces, es decir, esto pasa con probabilidad (1 − p)x−1 . Cuando
o
el evento finalmente ocurre, lo hace con probabilidad p. Entonces puede verse que la

37

funciń probabilidad vendr´ dada por
o
a
P (x) = (1 − p)x−1 p

x = 1, 2, ...

Cualquier variable aleatoria cuya probabilidad venga dada por esta ecuaciń se dice que
o
es una variable aleatoria geom´trica. El valor esperado para esta distribuciń es µ = 1/p,
e
o
mientras que la varianza es σ 2 = (1 − p)/p2 .
Modelo binomial negativo
Supongamos que ensayos independientes, cada uno teniendo probabilidades p, son realizados hasta que un total de r eventos ´xitosos se han acumulado. Para que el r-´simo
e
e
evento ocurra en el ensayo x, debe haber habido r −1 ´xitos en los primeros x−1 ensayos
e
y el x-´simo ensayo debe ser un ´xito. Por lo que la funciń de probabilidad es
e
e
o
P (x) =

x−1
r−1

pr (1 − p)x−r

x = r, r + 1, ...

o
es una variable aleatoria binomial negativa con par´metro (r, p). Observar que una variaa
ble aleatoria geom´trica es una binomial negativa con par´metro (1, p). El valor esperado
e
a
para esta distribuciń es µ = r/p, mientras que la varianza es σ 2 = r(1 − p)/p2 .
o
Modelo hipergeom´trico
e
Supongamos que una muestra de tamaõ n es elegida aleatoriamente (sin remplazar) de
n
una urna que contiene N pelotas, de las cuales m son blancas y N − m son negras. Si
llamamos X el n´mero de pelotas blancas seleccionadas, entonces
u
P (x) =

m
x

N −m
n−x
N
m

x = 0, 1, ..., n

o
es una variable aleatoria hipergeom´trica. El valor esperado para esta distribuciń es
e
o
2 = N −n np(1 − p) con p = m/N . Observar
µ = nm/N , mientras que la varianza es σ
N −1
que si el n´mero N de pelotas es considerablemente grande comparado con n, entonces el
u
n´mero de pelotas blancas elegidas tiene aproximadamente una funciń de probabilidad
u
o
binomial (el cual es un experimento que se realiza con remplazos).

38


3.2.
3.2.1.

Modelos probabil´
ısticos continuos
Modelo Normal

La distribuciń normal fu´ introducida pro el matem´tico franc´s Abraham De Moio
e
a
e
vre en 1733. De Moivre, quien us´ esta distribuciń para aproximar las probabilidades
o
o
conectadas con lanzar una moneda, la llam´ curva exponencial con forma de campana.
o
Su utilidad, sin embargo, fu´ demostrada en 1809, cuando el famoso matem´tico alemń
e
a
a
Karl Friedrich Gauss la us´ como una parte integral de su aproximaciń para predecir
o
o
la ubicaciń de objetos astron´micos. Como resultado, result´ comń despu´s de esto
o
o
o
u
e
que la denominaran distribuciń Gaussiana. Durante la segunda mitad del siglo XIX, la
o
mayor´ de los estadistas comenzaron a creer que la mayor´ de los conjuntos de datos
ıa
ıa
ten´ histogramas con la forma de campana de una distribuciń gaussiana, por lo que
ıan
o
comenz´ a ser aceptado que es normal para cualquier conjunto de datos con forma de
o
campana estar descripto por esta curva. Como resultado de esto, y siguiendo el camino
del estadista britńico Karl Pearson, la gente comenz´ a referirse a la distribuciń gausa
o
o
siana como la curva normal.
La funciń de probabilidad de la distribuciń normal sirve de modelo para una gran
o
o
cantidad de variables continuas naturales, tales como la temperatura, la humedad, la
precipitaciń, la altura, el peso, la concentraciń, el coeficiente de inteligencia, los erroo
o
res instrumentales, etc. Igualmente, la distribuciń de muchos estad´
o
ısticos tiende hacia
la distribuciń normal, por lo cual esta distribuciń adquiere una gran importancia en
o
o
el an´lisis de datos mediante la inferencia estad´
a
ıstica.
Una variable aleatoria X se encuentra distribuida normalmente si su funciń de probao
bilidad es la siguiente:
(x−µ)2
1
f(x) = √
e 2σ2
σ 2π
Esta funciń esta caracterizada por 2 par´meo
a
tros: la media µ y la desviaciń estńdar σ. El
o
a
valor de µ define la posiciń de la distribuciń
o
o
y el valor de σ define la forma de la distribuciń. La distribuciń normal es sim´trica, con
o
o
e
un valor m´ximo para x = µ y presenta dos
a
puntos de inflexiń para x = ±σ. En la figura
o
de la derecha pueden verse dichos puntos, como
as´ tambiń las ´reas contenidas por los intervaı
e
a
los definidos por 1, 2 y 3 desviaciones estńdar
a
alrededor de µ. La funciń de probabilidad f (x)
o
tiende a cero a medida que x tiende a ±∞, por
lo que las dos colas de la distribuciń se aproo
ximan asint´ticamente a cero. Cuando una vao
riable aleatoria sigue la distribuciń normal se indica X : N (µ; σ). Por tratarse de un
o
modelo para variables continuas, la probabilidad de que la variable se encuentre en un
intervalo se obtiene integrando la funciń f (x) entre los l´
o
ımites del intervalo. Igualmente,

39

se pude calcular la probabilidad utilizando la funciń acumulativa Φ(x) (ver Secciń 2).
o
o
En el caso de distribuciones discretas, los valores de la funciń acumulativa estń tao
a
bulados para diferentes valores de los par´metros que caracterizan estas distribuciones.
a
Esto no es posible en el caso de la distribuciń normal porque al ser aplicable a variables
o
continuas existen infinitos valores de µ y σ.
Afortunadamente, esta situaciń se resolvi´ tao
o
bulando las probabilidades acumuladas para
una unica distribuciń, con valores de µ y σ
´
o
espec´
ıficos, y mediante el procedimiento de tipificaciń se puede transformar cualquier variao
ble normal en esta variable estńdar o patrń.
a
o
La variable que se seleccion´ como estńdar
o
a
es aquella cuya funciń tiene como par´metros
o
a
µ = 0 y σ = 1, por lo cual se le denomin´ variao
ble normal estńdar, unitaria o tipificada, idena
tificńdose con la letra Z para diferenciarla de
a
las otras variables cuyas distribuciones de probabilidad tienen µ = 0 y σ = 1 . La funciń
o
de probabilidad de la variable Z es la siguiente:
z2
1
f(x) = √
e2
2π

La probabilidad de encontrar un valor de Z en un intervalo dado, se obtiene calculando
el ´rea que se encuentra entre la curva y el intervalo definido en el eje de coordenadas.
a
Pero en lugar de integrar f (z) entre los l´
ımites del intervalo, esta ´rea se puede calcular
a
utilizando la tabla de la funciń acumulada Φ(z) , que proporciona los valores de inteo
graciń entre −∞ y un dado valor de Z.
o
Transformaciń de una variable X en la variable Z
o
Al tranformar la funciń f (x) en la funciń f (z), lo que realmente se hizo fue sustituir
o
o
el t´rmino x−µ por la variable z
e
σ
Z=
f (x) =

1
√
σ 2π

e

(x−µ)2
2σ 2

x−µ
σ

−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−
σ=1

f (z) =

√1
2π

e

z2
2

Entonces, cualquier variable X que se distribuye normalmente con µ = 0 y σ = 1, se
puede convertir en la variable Z, restando a todo valor de X su media µ y dividiendo
esta diferencia con su desviaciń estńdar σ. Observar que los valores de Z expresan la
o
a
distancia de X respecto a su media µ en t´rminos de desviaciń estńdar. Por ejemplo
e
o
a
si un valor de una variable X al transformarse produce un valor de z = 1,5 , este ultimo
´
indica que el valor de X est´ a 1,5σ a la derecha de µ .
a

40

Ejemplo: Sea X : N (20; 4) y se quiere conocer la probabilidad de que la variable tenga un valor menor a
16. La probabilidad que nos interesa es P (X ≤ 16).
Para poder determinar el valor de esta ´rea mediante
a
la tabla de probabilidades acumuladas de la distribuciń normal estńdar, se debe convertir el valor de x
o
a
en su respectivo valor z, lo cual se hace mediante la
siguiente operaciń:
o
z=

x−µ
16 − 20
=
= −1
σ
4

Ahora se busca el ´rea que se encuentra a la izquierda
a
de z = −1 en la tabla de probabilidades acumuladas
para la variable Z y se toma dicha ´rea como la proa
babilidad con que la variable aleatoria X asume un
valor igual o menor a 16. En consecuencia se tiene
P (X ≤ 16) = P
3.2.2.

Z≤

16 − 20
4

= P (Z ≤ −1) = Φ(−1) = 0,1587

Modelo Exponencial

Una distribuciń exponencial aparece frecuentemeno
te, en la prćtica, cuando se mide la cantidad de tiempo
a
hasta que un evento espec´
ıfico ocurre. Por ejemplo, la
cantidad de tiempo (comenzando ... ahora!) hasta que
sucede un terremoto, o hasta que estalle una nueva guerra, o hasta que se reciba una llamada telefńica que
o
resulte ser n´mero equivocado. Todos estos casos son
u
variables aleatorias que tienden, en la prćtica, a tener
a
distribuciones exponenciales.
Una variable aleatoria continua cuya funciń de probao
bilidad viene dada, para algń λ > 0, por
u
f (x) =

λe−λx
0

x≥0
x<0

se dice que es una variable aleatoria exponencial con
par´metro λ. La funciń distribuciń acumulada expoa
o
o
nencial viene dada por
xi

F (xi ) = P (X ≤ xi ) =

λe−λx dx = −e−λx

0

xi
0

= 1 − e−λxi

En la figura de la derecha pueden verse ejemplos de las funciones de probabilidad exponencial (panel superior) y sus correpondientes funciones acumuladas (panel inferior).

41

El valor esperado para esta distribuciń es µ = 1/λ, mientras que la varianza es σ 2 =
o
2 . Una caracter´
1/λ
ıstica importante que poseen las variables aleatorias continuas con
una distribuciń exponecial es que no tienen memoria. Que significa esto? Se dice que
o
una variable aleatoria no-negativa X no tiene memoria si
P (X > s + t / X > t) = P (X > s)

∀ s, t ≥ 0

Si pensamos que X es el per´
ıodo de vida de algń instrumento, esta ecuaciń establece
u
o
que la probabilidad de que el instrumento sobreviva por al menos s+t horas, dado que ya
sobrevivi´ t horas, es la misma que la probabilidad inicial de haber sobrevivido al menos
o
s horas. En otras palabras, si el instrumento sobrevivi´ hasta la edad t, la distribuciń
o
o
del tiempo restante de sobrevida es la misma que la distribuciń del per´
o
ıodo original de
vida, es decir, es como si el instrumento no recordara que ya ha sido utilizado por un
tiempo t. Observar que la ecuaciń antes escrita, es equivalente a la siguiente
o
P (X > s + t) (X > t)
P (X > t)

= P (X > s) − − → P (X > s + t) = P (X > s)P (X > t)
−−

con esta ecuaciń, es fćil corroborar que una distribuciń exponencial no tiene memoria,
o
a
o
ya que e−λ(s+t) = e−λs e−λt . Por ultimo, resulta que no s´lo la distribuciń exponencial
´
o
o
no tiene memoria, sino que puede demostrarse que es la unica distribuciń continua que
´
o
tiene esta caracter´
ıstica.
Ejemplo: Consideremos una oficina de correos que es atendida por 2 empleados. Supongamos que cuando el seõr P´rez entra en el sistema, descubre que el seõr Gonz´lez
n
e
n
a
est´ siendo atendido por un empleado y el seõr D´ por otro. Supongamos tambiń
a
n
ıaz
e
que el seõr P´rez sabe que ser´ atendido cuando alguno de los otros clientes se vaya.
n
e
a
Si la cantidad de tiempo que un empleado emplea con un cliente est´ distribuido expoa
nencialmente con par´metro λ, cu´l es la probabilidad de que , de los 3 clientes, el seõr
a
a
n
P´rez sea el ultimo en irse del correo?
e
´
La respuesta se obtiene haciendo el siguiente razonamiento: consideremos el tiempo en
el cual el seõr P´rez encuentra un empleado libre. En este punto, alguno de los otros 2
n
e
clientes se habr´ ido y el otro todav´ estar´ siendo atendido. Sin embargo, debido a la
a
ıa
a
falta de memoria de la distribuciń exponencial, se concluye que la cantidad de tiempo
o
adicional que esta otra persona (ya sea Gonz´lez o D´
a
ıaz) tendr´ que esperar todav´
a
ıa
en el correo tambiń est´ regulada por una distribuciń exponencial con par´metro λ.
e
a
o
a
Esto significa, que es la misma cantidad tiempo que faltar´ si es que el servicio de esta
ıa
persona reciń estuviese empezando. Por lo tanto, por simetr´ la probabilidad de que
e
ıa,
la persona restante termine antes que el seõr P´rez debe ser igual a 1/2.
n
e

42

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