1. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
1) Identificar los coeficientes a, b, y c.
8p 2
a) y2 + 7y – 3 = 0 b) 6x2 = 0 c) x =0
q
2) Reduce y ordena cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 6x2 +4 = 16 + 4x2 b) ( y – 1)2 – ( y – 2)2 = y2
3 1 9
c) x( x − 4 ) − ( x − 3) = 2 d) ( x − 3) = 4( x − 2 )
2
5 2 8
3) Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:
a) 8x2 – 7x = 0 b) 16y2 – 361 = 0
c) y2 + y = 0 d) (y-2)(y-3) = 9y + 6
e) 4 (x - 2)2 = (x – 8)2 f) (x – 13)2=(x – 12)2 + ( x – 5)2
4) Resuelve las siguientes ecuaciones en R:
[ ]
i) ( x − 1) 2 + ( x + 1) 2 ( x + 3) = ( 2 x + 9)( x + 1)( x − 1)
ii) ( 2 x − 3)( x − 1) − (1 − x )(1 + x ) = −4( x + 1)(1 − x )
iii) ( x + 1) 2 ( x − 2 ) + ( x + 2 )( x − 1)( x + 1) = ( 2 x + 13)( x − 1)( x − 2 )
1 2 3
iv) x +x+ =0
8 4
2x − 3 4x + 4
v) −1 = +x
1− x 1− x
x −2 3− x
vi) − =1
x +1 x −1
1− x 1
=
vii) 1 3x
x+
3
x 21 47
viii) + =
7 x+5 7
1
ix) x + =5
x−3
9 x
x) − 2 =
x 3
5) Resuelve las siguientes ecuaciones literales:
a) x 2 − ( 2 p − 1) x + p 2 − p − 6 = 0 b) x 2 − 2 px + p 2 − q 2 = 0
c) x 2 − ( 2 p − 3) x + p 2 − 3 p + 2 = 0 d) 2 x 2 + ( q − 4 p ) x − 2 px = 0
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2. x 2x − m 2x
e) = −
x+m m 4m
f) ( m 2 − n 2 ) x 2 − 2( m 2 + n 2 ) x + m 2 − n 2
6) Sin resolverlas, indique la naturaleza de las raíces de cada una de las ecuaciones cuadráticas
siguientes:
a) 5 x 2 − 10 x = 0 b) 3 x 2 + 6 x + 12 = 0
c) 18 x 2 + 24 x + 8 = 0 d) 7 x 2 + 14 x − 7 = 0
7) Determine, en cada caso, una ecuación cuadrática cuyas soluciones son:
1
a) –7 y 3 b) 2 y c) a+b y a-b
3
1 a+b a-b
d) m+n y e) y f) 2 + 3 y 2 - 3
m+n 2 2
8) Determine el valor de k en la ecuación 9x2 + k = 0 para que las soluciones sean números reales.
9) Determine el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga:
a) Dos soluciones reales y distintas.
b) Dos soluciones reales e iguales.
c) Dos soluciones que no sean números reales
10) Una solución de la ecuación kx 2 + 3 x − k = 0 es (-2). Determine la otra.
11) Determine el valor que debe tener k en la ecuación x 2 − 2kx + 3k − 2 = 0 para que:
a) Las dos soluciones de esta ecuación sean reales e iguales.
b) Una solución de esta ecuación sea el doble de la otra.
12) Si x1 y x 2 son las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0. Encuentre el valor de:
1 1 1 1
a) + b) 2 + 2 c) x1 2 + x 2 2
2 x1 2 x 2 x1 x2
 1  2
d) x1 2 − x 2 2 e) ( x1 − x 2 ) 2 f)  x1 +  x 2 + 

 x 2 
 x1 

13) Encuentre 2 números tales que:
i) Su suma sea 18 y su producto sea 45
j) Su suma sea 4 y su producto sea –21
14) Determine el valor de k en la ecuación x2- 4x + k-2 = 0 para que las raíces cumplan la siguiente
condición:
1 1 1 5
a) x1 = x 2 b) x1 = c) x1 = 5 d) + =
x2 x1 x 2 12
15) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 1 − x + 2 = 2 x + 5 b) 6 x − 29 − x = x − 5
c) 2x + 4x − 3 = 3 d) 2 x − 5 + 2 x 2 − 5 x = 25
4 x + 20 4 − x 21
e) = f) 2x + 1 + 2 x =
4+ x x 2x + 1
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3. a 2 2
g) x −1 = a2 − x2 h) + =x
x x + 2 − x2 x − 2 − x2
16) resuelve las siguientes ecuaciones reductibles a ecuaciones cuadráticas:
4x + 8 4 6
i) = ii) x + 2 − =3
3 x x+2
2 4 1 1 x2 − b
iii) 3 x =  x +  + 2x
2 2
iv) + =
5 5 x − a x − b ( x − a )( x − b )
17) Resuelve las siguientes ecuaciones:
i) x 2 + x 2 + 9 = 21 ii) x 4 − 2 x 2 − 3 = 0
x2 1
iii) = 1+ iv) 2 x 2 − 54 x 3 = 250
x +52
x +5
2
20 6
v) 4 x − 3 = 11 x+ =5
3
vi)
x x
2
a−x a−x
viii) ( p 2 x −3 ) : p 3 = ( p x − 2 )
x x+2
vii)   = 8  − 15
 x−b  x−b
18) Resuelve los siguientes problemas:
a) Encuentre 2 números pares consecutivos cuyo producto sea 4224.
b) El número de diagonales de un polígono es 54. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
c) La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48 cm2. ¿Cuáles son las medidas de
los lados del rectángulo?
d) Se tienen 3 segmentos de medidas: 8, 15 y 16 cm respectivamente. Si se quita a cada
Segmento un trazo de igual medida, de tal forma que los segmentos resultantes formen un triángulo
rectángulo. ¿Cuál es la medida de cada trazo suprimido?
e) Cierto objeto se vende $ 5600 con un tanto por ciento de ganancia sobre el costo,
numéricamente igual al número de pesos que costó. Calcule el costo del objeto.
f) En un círculo, la distancia entre 2 cuerdas paralelas congruentes es de 12 cm. Si cada
cuerda mide 6 cm más que el radio, calcule la medida del radio.
f) Con un cartón cuadrado se quiere construir una caja sin tapa. Al cartón se le corta un cuadrado de 3
cm de lado en cada uno de sus vértices. Calcule la medida del lado del cartón, sabiendo que el
volumen de la caja debe ser 192 cm3.
g) Un rectángulo equivale a un cuadrado de 96 cm de lado. Determine las dimensiones del
9
rectángulo, sabiendo que una de ellas es de la otra.
16
h) La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6 años.
Determine la edad actual.
i) Determine las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 80 cm y la suma de
sus catetos es 46 cm.
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