Este documento describe cómo calcular la longitud de una curva plana. Explica que una curva plana está determinada por un par de ecuaciones paramétricas x=f(t), y=g(t) donde f y g son continuas. Define la longitud de arco de una curva como el límite de la suma de las longitudes de los segmentos de una partición cuando la partición tiende a cero. Proporciona fórmulas para calcular la longitud cuando la curva está dada en forma paramétrica o como gráfica de una función.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE DISEÑO DE OBRAS CIVILES
Longitud de una curva
Leonard S. Colmenarez G.
C.I: 22.190.454
Diseño de Obras civiles
Sección S2
BARQUISIMETO AGOSTO 2015

2. INTRODUCCION
Si se planea recorrer la ruta de las montañas hacia el mar en Carolina del Norte,
necesitara conocer la longitud de ese camino curvo para saber la cantidad de comida
y el equipo que se debe llevar consigo. En esta investigación se analizara como
determinar la longitud de una trayectoria curva y la idea íntimamente relacionada con
esta de determinar el área de una superficie curva.

3. Longitud de una curva plana
¿Cuál es la longitud de la curva espiral que se muestra en la
figura 1?
Si fuese un pedazo de cuerda, la mayoría de nosotros la
estiraríamos y la mediríamos con una regla. Pero si es la
grafica de una ecuación, resulta más difícil de hacer.
Un poco de reflexión sugiere una pregunta previa. ¿Qué es
una curva plana?
Hasta ahora hemos utilizado el término curva de manera informal, con frecuencia, en
referencia a la grafica de una función. Este es el momento de ser más precisos, aun
para curvas que no son graficas de funciones. Comenzaremos con varios ejemplos.
La grafica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 0 ≤ 𝑋 ≤ 𝜋 es una curva plana (véase la figura 2). También
lo es la grafica de 𝑥 = 𝑦2
, −2 ≤ 𝑦 ≤ 2 (véase la figura3). En ambos casos, la curva
es la grafica de una función, la primera de la forma 𝑦 = 𝑓( 𝑥), la segunda de la forma
𝑥 = 𝑔( 𝑦).
Sin embargo, la curva espiral no se ajusta a ninguno de estos patrones. Tampoco la
circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
, aunque en este caso podríamos considerarla como la
grafica combinada de las dos funciones 𝑦 = 𝑓( 𝑥)0√𝑎2 − 𝑥2 y 𝑦 = 𝑔( 𝑥) =
−√𝑎2 − 𝑥2.

4. La circunferencia sugiere otra manera de pensar con respecto a las curvas. De
trigonometría, recuerde que
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Describen la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
(vease
la figura 4). Considere a 𝑡 como el tiempo y que
𝑥 y 𝑦 dan la posicion de una particula en el
instante 𝑡. La variable 𝑡 se denomina parametro.
Tanto 𝑥 com 𝑦 se expresan en terminos de este
parametro. Decimos que 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡, 𝑦 =
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 , son escuaciones
parametricas que describen a la circunferencia.
Si tuviesemos que graficar las ecuaciones
parametricas 𝑥 = 𝑡 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5𝜋, obtendriamos una curva parecida
a la espiral con la que iniciamos. Incluso, podemos pensar en la curva seno (figura 2) y
la parabola (figura 3) en forma parametrica.

5. Escribimos
𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
Y
𝑥 = 𝑡2
, 𝑦 = 𝑡, − 2 ≤ 𝑡 ≤ 2
Asi, para nosotros una curva plana esta determinada por un par de ecuaciones
parametricas 𝑥 = 𝑓( 𝑡), 𝑦 = 𝑔( 𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, en donde suponemos que 𝑓 y 𝑔 son
continuas en el intervalo dado. Conforme 𝑡 aumenta de 𝑎 a 𝑏, el punto (𝑥, 𝑦) traza una
curva en el plano. He aquí otro ejemplo.
ejemplo 1
Dibuje la curva determinada por las
ecuaciones parametricas 𝑥 = 2𝑡 +
1, 𝑦 = 𝑡2
− 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 3.
SOLUCION Construimos una tabla de
valores, con tres columnas, despues
trazamos las parejas ordenadas (𝑥, 𝑦), y
por ultimo conectamos estos puntos en
el orden creciente de 𝑡, como se
muestra en la figura 5.para producir tal
grafica, puede utilizarse una
calculadora grafica o un CAS (del
ingles computer algebra sistem: sistema de algebra computacional). Por lo regular, tal
software produce una grafica creando una tabla, al igual que una persona que resuelva
el caso, y conecta los puntos.

6. En realidad, la definicion que se ha dado es demasiado amplia para los propositos que
se tienen en mente , asi que de inmediato se restringira a lo que se denomina curva
suave. El abjetivo suave se eligio para indicar eso como un objeto que se mueve a lo
largo de la curva, de modo que su posicion en el instante 𝑡, que es (𝑥, 𝑦), no sufrira
cambios repentinos de direccion (la continuidad de 𝑓´ y de 𝑔´, aseguran esto) y no se
detiene ni regresa por la misma curva (esto se asegura si 𝑓´(𝑡) y 𝑔´(𝑡) no son cero de
manera simultanea).
DEFINICION
Una curva plana es suave si esta determinada por un par de ecuaciones parametricas
𝑥 = 𝑓( 𝑡), 𝑦 = 𝑔( 𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, en donde 𝑓´ y 𝑔´ existen y son continuas en [𝑎, 𝑏], y
𝑓´(𝑡) y 𝑔´( 𝑡) no son cero de manera simultanea en (𝑎, 𝑏).
La forma en que una curva se parametriza, esto es, la forma en que se eligen las
funciones 𝑓( 𝑡) y 𝑔(𝑡) y el dominio para 𝑡, determina una direccion positiva. Por
ejemplo cuando 𝑡 = 0, en el ejemplo 1 (figura 5)., la curva esta en el punto (1, -1), y
cuando 𝑡 = 1, la curva esta en (3,0). Cuando t aumenta desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 3, la
curva sigue una trayectoria de (1, -1) a (7,8). Esta direccion, que a menudo se indica
por medio de una flecha en la curva, como se muestra en la figura 5, se denomina la
orientacion de la curva. La orientacion de una curva es irrelevante para la determinacion de su
longitud, pero en problemas que se encontraran mas adelante, la orientacion es importante.

7. Ejemplo 2
Dibuje la curva determinada por medio de
las ecuaciones parametricas 𝑥 = 𝑡 −
𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 4𝜋. Indique la
orientacion. ¿la curva es suave?
SOLUCION
La tabla que muestra los valores de 𝑥
Y 𝑦 para varios valores de 𝑡, desde 0 hasta
4𝜋, guía a la grafica de la figura 6. Esta
curva no es suave aunque 𝑥 y 𝑦 son
funciones diferenciales de 𝑡. El problema es
que
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1 − cos 𝑡 y
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑠𝑒𝑛 𝑡 son 0 de
forma simultánea cuando 𝑡 = 2𝜋. El objeto baja lentamente hasta detenerse en el
instante 𝑡 = 2𝜋, luego empieza a subir en una nueva dirección.
La curva descrita en el ejemplo 2 se denomina cicloide. Describe la trayectoria de un
punto fijo en el borde de una rueda de radio 1, cuando la rueda se hace rodar a lo largo
del eje x.
Longitud de arco Por último, se está ya preparado para la pregunta principal.
¿Qué significa la longitud de la curva suave dada de forma parametrica por 𝑥 = 𝑓( 𝑡),
𝑦 = 𝑔( 𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 ?
Figura 6

8. Divida el intervalo [a, b] en 𝑛 subintervalos por medio de los puntos 𝑡𝑖:
Esto corta a la curva en 𝑛 pedazos con correspondientes
puntos extremos 𝑄0 , 𝑄1, 𝑄2, … . 𝑄 𝑛−1, 𝑄 𝑛 , como se muestra
en la figura 7.
La idea es aproximar la curva por medio del segmento de
línea poligonal indicada, calcular su longitud total y
después tomar el límite cuando la norma de la partición
tiene a cero. En particular, aproximamos la longitud
∆𝑠𝑖 del i-esimo segmento (véase la figura 7) por
Del teorema del valor medio para derivadas, se sabe que
existen puntos en (𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖) tales que
En donde ∆𝑡𝑖 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1. Por lo tanto,

9. Y la longitud total del segmento de línea poligonal es
La última expresión es casi una suma de Riemann, la única dificultad es que 𝑡𝑖 𝑦 𝑡𝑖 no
parecen ser el mismo punto. Sin embargo, se demuestra en textos de cálculo avanzado
que el limite (cuando la norma de la partición tiende a 0) esto no importa. Por esto,
podemos definir la longitud de arco L de la curva como el límite de la expresión
anterior cuando la norma de la partición tiende a cero; es decir,
Dos casos especiales son de gran interés, Si la curva está dada por 𝑦 = 𝑓( 𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤
𝑏, tratamos a x como el parámetro y el resultado del recuadro toma la forma
De manera análoga, si la curva está dada por 𝑥 = 𝑔( 𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, consideramos a 𝑦
como el parámetro, obteniendo

10. Estas formulas dan los resultados conocidos para círculos y segmentos de recta, como
lo ilustran los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3 encuentre el perímetro de la
circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
.
SOLUCION Escribimos la ecuación de la
circunferencia en forma parametrica: 𝑥 =
𝑎 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. Entonces
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡,
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑎 cos 𝑡, y por primera de
nuestras formulas,
Ejemplo 4 Encuentre la longitud del
segmento de recta de A (0, 1) a B (5, 13).
SOLUCIÓN El segmento de recta dado se
muestra en la figura 8. Observe que la ecuación
de la recta correspondiente es 𝑦 =
12
5𝑥
+ 1, de
modo que
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
12
5
; y así, por la segunda de las
tres fórmulas para la longitud,

11. Esto coincide con el resultado que se obtiene por medio de la formula de distancia.
Ejemplo 5 Encuentre la longitud del arco de la curva y = x3>2, desde el punto
(1, 1) hasta el punto (4, 8) (véase la figura 9).
SOLUCION Empezamos por estimar esta longitud
encontrando la longitud del segmento que va de (1,
1) a (4, 8):√(4− 1)2 + (8 − 1)2 = √58 ≈ 7.6 La
longitud real debe ser un poco mayor.
Para el cálculo exacto, se observa que
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3
2𝑥
1
2
, de
modo que
Sea 𝑢 = 1 +
9
4𝑥
; entonces 𝑑𝑢 =
9
4
𝑑𝑥. de aquí que,
Por lo tanto,

12. Para la mayor parte de los problemas de longitud de arco es fácil configurar la
integral definida que proporciona la longitud. Sólo es cosa de sustituir las derivadas
necesarias en la fórmula. Sin embargo, con frecuencia es difícil, si no imposible,
evaluar estas integrales por medio del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, a
consecuencia de la dificultad de determinar las anti derivadas. Para muchos
problemas debemos recurrir a una técnica numérica tal como la regla de la parábola,
para obtener un aproximado de la integral definida.
Ejemplo 6 Dibuje la grafica de la curva
dada de forma parametrica por 𝑥 =
2 cos 𝑡, 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. Establezca
una integral definida que proporcione la
longitud del arco y aproxime esta integral
definida por medio de la regla de la parábola
con 𝑛 = 8.
SOLUCION La gráfica (véase la figura 10)
se dibujó, como en los ejemplos anteriores,
construyendo primero una tabla de valores
con tres columnas. La integral definida que
proporciona la longitud del arco es

13. Esta integral definida no puede evaluarse por medio del Segundo Teorema
Fundamental del Cálculo. Sea 𝑓( 𝑡) = √1 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝑡. La aproximación por medio de
la regla de parábola con 𝑛 = 8 es
Diferencial de la longitud
de arco
Sea 𝑓 continuamente diferente en (a,
b). Para cada x en (a, b), defínase 𝑠( 𝑥)
como

14. Entonces, s(x) de la longitud del arco de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑢) desde el punto
(𝑎, 𝑓(𝑎)) hasta (𝑥, 𝑓( 𝑥)) (véase la figura 11). Por medio del primer teorema
fundamental del calculo
Por lo que 𝑑𝑠, la diferencial de la longitud del arco, puede escribirse como
En efecto, dependiendo de cómo se parametrica una
gráfica, llegamos a tres fórmulas para 𝑑𝑠:
Algunas personas prefieren recordar estas fórmulas
escribiendo (véase l figura 12)
Las tres formas surgen de dividir y multiplicar el
lado derecho por ,(𝑑𝑥)2
,(𝑑𝑦)2
, (𝑑𝑡)2
,
respectivamente. Por ejemplo

15. Que da la primera de las tres formulas.
Área de una superficie de
revolución
Si se hace girar una curva plana suave
alrededor de un eje en su plano, genera una
superficie de revolución, como se ilustra en la
figura 13. La meta es determinar el área de la
superficie.
Para empezar se introduce la fórmula para el
área de un tronco o cono truncado.
Un tronco o cono truncado es la parte de la
superficie de un cono comprendida entre dos
planos perpendiculares al eje del cono
(sombreado en la figura 14). Si un cono
truncado tiene radios de sus bases r1 y r2, y
altura oblicua l, entonces su área A está dada
por
La deducción de este resultado sólo depende de
la fórmula para el área de un círculo.

16. Supóngase que 𝑦 = 𝑓( 𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏determina una curva suave en la mitad superior
del plano xy, como se muestra en la figura 15.
Divídase el intervalo [a, b] en n pedazos por medio de los puntos 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 <
⋯ < 𝑥 𝑛)𝑏, y por ello también se divide a la curva en n partes. Denótese con ∆𝑠𝑖si a la
longitud del i-ésimo pedazo y sea y, la ordenada de un punto de ese pedazo. Cuando
la curva se hace girar alrededor del eje x, genera una superficie y el pedazo
representativo genera una banda angosta. El “área” de esta banda podría aproximarse
a la de un cono truncado, esto es, aproximadamente 2𝜋𝑦𝑖∆𝑠𝑖 . Cuando sumamos las
contribuciones de todos los pedazos y tomamos el límite cuando la norma de la
partición tiende a cero, obtenemos lo que definimos como el área de la superficie de
revolución. Todo esto está indicado en la figura 16. Así, el área de la superficie es
Ejemplo 7 Encuentre el área de la
superficie de revolución generada al hacer girar
la curva 𝑦 = √ 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, en torno al eje x
(véase la figura 17).

17. SOLUCION
Si la curva se da en forma parametrica por 𝑥 = 𝑓( 𝑡), 𝑦 = 𝑔( 𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, entonces
la formula parra el área de la superficie se transforma en

18. Conclusión
Hemos llegado al final de la investigación, y ahora solo no queda retomar las
ideas fundamentales desarrolladas a través de este trabajo. Considerando que el
estudio de las aplicaciones de la integral constituye uno de los ámbitos más
importantes en el estudio de las matemáticas, se ha intentado presentar una visión lo
más clara posible del mismo.
En tal sentido, el propósito fundamental no fue otro que ofrecer algunas de las
técnicas para el cálculo de la longitud de una curva que le ayude a abordar de manera
más eficaz los estudios referentes al tema y que, al mismo tiempo, constituirán las
herramientas de trabajo intelectual en un nivel inicial de las carreras de ingeniería.

19. Bibliografía
Cálculo Diferencial e Integral – Edwards & Penney – 4ta Edición
Cálculo Diferencial e Integral –Purcell Varberg Rigdon– 9na Edición