soolucionario de calculo de varias variables capitulo 10

1. CAPÍTULO 10
10.4 Ecuaciones paramétricas y cálculo
 Comprender el sistema de coordenadas polares.
 Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.
 Trazar la gráfica de una ecuación dada en forma polar.
 Hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar.
 Identificar diversos tipos de gráficas polares especiales.
Coordenadas polares
Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el
sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han
estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de
coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u
origen), y a partir de O se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura
10.36. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (𝑟, 𝜃), como
sigue.
𝑟 = Distancia dirigida de O a P
𝜃 = Ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje polar hasta el
segmento 𝑂𝑃
̅̅̅̅.
La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este
sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias
concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo.

2. En coordenadas rectangulares, cada punto (𝑥, 𝑦) tiene una representación única. Esto no sucede
con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (𝑟, 𝜃) y (𝑟, 2𝜋 + 𝜃) representan el mismo
punto [ver los incisos b) y c) de la figura 10.37]. También, como r es una distancia dirigida, las
coordenadas (𝑟, 𝜃) y (−𝑟, 𝜃 + 𝜋) representan el mismo punto. En general, el punto (𝑟, 𝜃) puede
expresarse como
(𝑟, 𝜃) = (𝑟, 𝜃 + 2𝑛𝜋)
O
(𝑟, 𝜃) = (−𝑟, 𝜃 + (2𝑛 + 1)𝜋)
Donde 𝑛 es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0, 𝜃) donde 𝜃 es cualquier
ángulo.
COORDENADAS POLARES
El matemático al que se le atribuye haber usado por primera vez las coordenadas polares es
James Bernoulli, quien las introdujo en 1691. Sin embargo, ciertas evidencias señalan la
posibilidad de que fuera Isaac Newton el primero en usarlas.
Transformación (o cambio) de coordenadas
Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje
polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38. Puesto que (𝑥, 𝑦)
se encuentra en un círculo de radio r se sigue que 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
. Para 𝑟 > 0, la definición de las
funciones trigonométricas implica que
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥
, 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
𝑟
𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
𝑟
,
Si 𝑟 < 0 estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.
TEOREMA 10.10 TRANSFORMACIÓN (O CAMBIO) DE COORDENADAS
Las coordenadas polares (𝑟, 𝜃) de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares
(𝑥, 𝑦) de ese punto como sigue.
1. 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 2. 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
EJEMPLO 1 Transformación (o cambio) de coordenadas polares a rectangulares

3. a) Dado el punto (𝑟, 𝜃) = (2, 𝜋),
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜋 = −2 y 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0.
Por tanto, las coordenadas rectangulares son (𝑥, 𝑦) = (−2, 0)
b) Dado el punto (𝑟, 𝜃) = (√3, 𝜋/6)
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = √3𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
=
3
2
y 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = √3𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
=
√3
2
.
Por tanto, las coordenadas rectangulares son (𝑥, 𝑦) = (3/2, √3/2)
Ver la figura 10.39.
EJEMPLO 2 Transformación (o cambio) de coordenadas rectangulares a polares
a) Dado el punto del segundo cuadrante (𝑥, 𝑦) = (−1, 1),
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥
= −1 ⇒ 𝜃 =
3𝜋
4
Como 𝜃 se eligió en el mismo cuadrante que (𝑥, 𝑦) se debe usar un valor positivo para 𝑟.
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (1)2 = √2
Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es (𝑟, 𝜃) = (√2, 3𝜋/4)
b) Dado que el punto (𝑥, 𝑦) = (0, 2) se encuentra en el eje y positivo, se elige 𝜃 = 𝜋/2 y 𝑟 = 2, y un
conjunto de coordenadas polares es (𝑟, 𝜃) = (2,
𝜋
2
).
Ver la figura 10.40.

4. Gráficas polares
Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas
rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular.
EJEMPLO 3 Trazado de ecuaciones polares
Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la ecuación a
ecuación rectangular.
𝑎) 𝑟 = 2 𝑏) 𝜃 =
𝜋
3
𝑐) 𝑟 = 𝑠𝑒𝑐𝜃
Solución
a) La gráfica de la ecuación polar 𝑟 = 2 consta de todos los puntos que se encuentran a dos
unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es la circunferencia que tiene su centro en el
origen y radio 2. (Ver la figura 10.41a.) Esto se puede confirmar utilizando la relación 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
para obtener la ecuación rectangular
𝑥2
+ 𝑦2
= 22
Ecuación rectangular.

5. b) La gráfica de la ecuación polar 𝜃 =
𝜋
3
consta de todos los puntos sobre la semirrecta que forma un
ángulo de 𝜋/3 con el semieje x positivo. (Ver la figura 10.41b.) Para confirmar esto, se puede utilizar
la relación para obtener la ecuación rectangular
𝑦 = √3𝑥 Ecuación rectangular.
c) La gráfica de la ecuación polar 𝑟 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 no resulta evidente por inspección simple, por lo que hay
que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥.
𝑟 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 Ecuación polar.
𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1
𝑥 = 1 Ecuación rectangular.
Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical. (Ver la figura 10.41c.)
TECNOLOGÍA Dibujar a mano las gráficas de ecuaciones polares complicadas puede ser tedioso.
Sin embargo, con el empleo de la tecnología, la tarea no es difícil. Si la herramienta de graficación
que se emplea cuenta con modo polar, usarlo para trazar la gráfica de las ecuaciones de la serie de
ejercicios. Si la herramienta de graficación no cuenta con modo polar, pero sí con modo paramétrico,
se puede trazar la gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) expresando la ecuación como
𝑥 = 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃

6. Por ejemplo, la gráfica de 𝑟 =
1
2
𝜃 que se muestra en la figura 10.42 se generó con una herramienta
de graficación en modo paramétrico. La gráfica de la ecuación se obtuvo usando las ecuaciones
paramétricas
𝑥 =
1
2
𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 =
1
2
𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
con valores de 𝜃 que van desde −4𝜋 hasta 4𝜋. Esta curva es de la forma 𝑟 = 𝑎𝜃 y se denomina
espiral de Arquímedes.
EJEMPLO 4 Trazado de una gráfica polar
Dibujar la gráfica de 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃
Solución Para empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica.
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
Tras experimentar un poco, se encuentra que la curva completa, la cual se llama curva rosa, puede
dibujarse haciendo variar a 𝜃 desde 0 hasta 𝜋 como se muestra en la figura 10.43. Si se traza la
gráfica con una herramienta de graficación, se verá que haciendo variar a 𝜃 desde 0 hasta 2𝜋 se
traza la curva entera dos veces.

7. Nota:
Una forma de bosquejar la gráfica de 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃 a mano, es elaborar una tabla de valores.
Si se amplía la tabla y se representan los puntos gráficamente se obtiene la curva mostrada en el
ejemplo 4
Usar una herramienta de graficación para experimentar con otras curvas rosa (estas curvas son de la
forma 𝑟 = acos(𝑛𝜃) o 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃). Por ejemplo, las curvas que se muestran en la figura 10.44 son
otros dos tipos de curvas rosa.

8. Pendiente y rectas tangentes
Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función
diferenciable (o derivable) 𝑟 = 𝑓(𝜃). Para encontrar la pendiente en forma polar, se usan las
ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
Mediante el uso de la forma paramétrica de 𝑑𝑦/𝑑𝑥 dada en el teorema 10.7, se obtiene
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦/𝑑𝜃
𝑑𝑦/𝑑𝜃
=
𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓´(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑓´(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃
con lo cual se establece el teorema siguiente.
TEOREMA 10.11 PENDIENTE EN FORMA POLAR
Si es una función diferenciable (o derivable) de 𝜃 entonces la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) en el punto (𝑟, 𝜃) es
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦/𝑑𝜃
𝑑𝑦/𝑑𝜃
=
𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓´(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑓´(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃
siempre que 𝑑𝑥/𝑑𝜃 ≠ 0 en (𝑟, 𝜃) (Ver la figura 10.45.)
En el teorema 10.11 se pueden hacer las observaciones siguientes.
1. Las soluciones
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 0 dan una tangente horizontal, siempre que 𝑑𝑥/𝑑𝜃 ≠ 0.
2. Las soluciones
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 0 dan una tangente vertical, siempre que 𝑑𝑦/𝑑𝜃 ≠ 0
Si
𝑑𝑦
𝑑𝜃
y
𝑑𝑥
𝑑𝜃
simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecto a las rectas
tangentes.
EJEMPLO 5 Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋.

9. Solución Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica.
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
Después, se derivan 𝑥 y 𝑦 con respecto de 𝜃 y se iguala a 0 cada una de las derivadas.
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 0 → 𝜃 =
𝜋
4
,
3𝜋
4
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 0 → 𝜃 = 0,
𝜋
2
Por tanto, la gráfica tiene rectas tangentes verticales en (
√2
2
,
𝜋
4
) y (
√2
2
,
3𝜋
4
), y tiene rectas tangentes
horizontales en (0, 0) y (1,
𝜋
2
) como se muestra en la figura 10.46.
EJEMPLO 6 Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a la gráfica de 𝑟 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
Solución Se usa 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, se deriva y 𝑑𝑦/𝑑𝜃 se iguala a 0.
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 2[(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑠𝑒𝑛𝜃)]
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= −2(2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1)(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1) = 0
Por tanto, 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
1
2
y 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1, y se concluye que
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 0 cuando 𝜃 =
2𝜋
3
, 4𝜋/3 y 0. De manera
semejante, al emplear 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 se tiene
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= −2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃(2𝑐𝑜𝑠 − 1) = 0.

10. Por tanto, 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 o 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
1
2
, y se concluye que
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 0 cuando 𝜃 = 0, 𝜋, 𝜋/3 y 5𝜋/3. A partir de
estos resultados y de la gráfica que se presenta en la figura 10.47, se concluye que la gráfica tiene
tangentes horizontales en (3, 2𝜋/3) y (3, 4𝜋/3), y tangentes verticales en (1, 𝜋/3), (1, 5𝜋/3) 𝑦 (4, 𝜋). A
esta gráfica se le llama cardioide. Obsérvese que cuando 𝜃 = 0 ambas derivadas ( 𝑑𝑦/𝑑𝜃 y 𝑑𝑥/𝑑𝜃)
son cero (es decir, se anulan). Sin embargo, esta única información no permite saber si la gráfica
tiene una recta tangente horizontal o vertical en el polo. Pero a partir de la figura 10.47 se puede
observar que la gráfica tiene una cúspide (o punto anguloso o cuspidal) en el polo.
El teorema 10.11 tiene una consecuencia importante. Supóngase que la gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) pasa por
el polo cuando 𝜃 = 𝛼 y 𝑓´(𝛼) ≠ 0. Entonces la fórmula para 𝑑𝑦/𝑑𝑥 se simplifica como sigue.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑓´(𝛼)𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑓(𝛼)𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑓´(𝛼)𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑓(𝛼)𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝑓´(𝛼)𝑠𝑒𝑛𝛼 + 0
𝑓´(𝛼)𝑐𝑜𝑠𝛼 − 0
=
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
= 𝑡𝑎𝑛𝛼
Por tanto, la recta 𝜃 = 𝛼 es tangente a la gráfica en el polo, (0, 𝛼).
TEOREMA 10.12 RECTAS TANGENTES EN EL POLO
Si 𝑓(𝛼) = 0 y 𝑓´(𝛼) ≠ 0 entonces la recta 𝜃 = 𝛼 es tangente a la gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) en el polo.
El teorema 10.12 es útil porque establece que los ceros de 𝑟 = 𝑓(𝜃) pueden usarse para encontrar
las rectas tangentes en el polo. Obsérvese que, puesto que una curva polar puede cruzar el polo
más de una vez, en el polo puede haber más de una recta tangente. Por ejemplo, la curva rosa
𝑓(𝜃) = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃

11. tiene tres rectas tangentes en el polo, como se ilustra en la figura 10.48. En esta curva, 𝑓(𝜃) =
2𝑐𝑜𝑠3𝜃 es 0 cuando 𝜃 es
𝜋
6
,
𝜋
2
, y
5𝜋
6
. La derivada ƒ´(𝜃) = −6 𝑠𝑒𝑛 𝜃 no es 0 en estos valores de 𝜃.
Gráficas polares especiales
Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar que en
forma rectangular. Por ejemplo, la ecuación polar de un círculo de radio a y centro en el origen es
simplemente 𝑟 = 𝑎. Más adelante se verán las ventajas que esto tiene. Por ahora, se muestran abajo
algunos tipos de gráficas cuyas ecuaciones son más simples en forma polar. (Las cónicas se
abordan en la sección 10.6.)

12. TECNOLOGÍA Las curvas rosa descritas arriba son de la forma 𝑟 = acos(𝑛𝜃) o 𝑟 = asen(𝑛𝜃) donde
n es un entero positivo mayor o igual a 2. Usar una herramienta de graficación para trazar las

13. gráficas de 𝑟 = acos(𝑛𝜃) o 𝑟 = asen(𝑛𝜃) con valores no enteros de n. ¿Son estas gráficas también
curvas rosa? Por ejemplo, trazar la gráfica de 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠
2
3
𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 6𝜋.
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre curvas rosa y otras curvas relacionadas
con ellas, ver el artículo “A Rose is a Rose...” de Peter M. Maurer en The American Mathematical
Monthly. La gráfica generada por computadora que se observa al lado izquierdo, es resultado de un
algoritmo que Maurer llama “La rosa”.
10.4 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, representar gráficamente el punto dado en coordenadas polares y
hallar las coordenadas rectangulares correspondientes.
1. (8,
𝜋
2
)
Solución:

14. 2. (−2,
5𝜋
3
)
Solución:
3. (−4, −
3𝜋
4
)
Solución:

15. 4. (0, −
7𝜋
6
)
Solución:
5. (√2, 2.36)

16. Solución:
6. (−3, −1.57)
Solución:
En los ejercicios 7 a 10, emplear la función ángulo de una herramienta de graficación para
encontrar las coordenadas rectangulares del punto dado en coordenadas polares.
Representar gráficamente el punto.
7. (7,
5𝜋
4
)
Solución:

17. 8. (−2,
11𝜋
6
)
Solución:
9. (−4.5, 3.5)
Solución:

18. 10. (9.25, 1.2)
Solución:
En los ejercicios 11 a 16, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Localizar
gráficamente el punto y hallar dos conjuntos de coordenadas polares del punto con 𝟎 ≤ 𝜽 ≤
𝟐𝝅.
11. (2, 2)
Solución:

19. 12. (0, − 6)
Solución:
13. (−3, 4)
Solución:

20. 14. (4, −2)
Solución:
15. (−1, −√3)
Solución:
16. (3, −√3)
Solución:
En los ejercicios 17 a 20, emplear la función ángulo de una herramienta de graficación para
hallar un conjunto de coordenadas polares del punto dado en coordenadas rectangulares.
17. (3, −2)
Solución:
18. (3√2, 3√2)
Solución:

21. 19. (
7
4
,
5
2
)
Solución:
20. (0, −5)
Solución:
21. Represente gráficamente el punto (4, 3.5) si el punto está dado a) en coordenadas rectangulares
y b) en coordenadas polares.
Solución:
22. Razonamiento gráfico
a) En una herramienta de graficación, seleccionar formato de ventana para coordenadas polares y
colocar el cursor en cualquier posición fuera de los ejes. Mover el cursor en sentido horizontal y en
sentido vertical. Describir todo cambio en las coordenadas de los puntos.
b) En una herramienta de graficación, seleccionar el formato de ventana para coordenadas polares y
colocar el cursor en cualquier posición fuera de los ejes. Mover el cursor en sentido horizontal y en
sentido vertical. Describir todo cambio en las coordenadas de los puntos.
c) ¿Por qué difieren los resultados obtenidos en los incisos a) y b)?
Solución:

22. En los ejercicios 23 a 26, hacer que corresponda la gráfica con su ecuación polar. [Las
gráficas están etiquetadas a), b), c) y d).]
Solución:
23. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:
24. 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠2𝜃
Solución:

23. 25. 𝑟 = 3(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
Solución:
26. 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃
Solución:
En los ejercicios 27 a 36, transformar la ecuación rectangular a la forma polar y trazar su
gráfica.
27. 𝑥2
+ 𝑦2
= 9
Solución:
28. 𝑥2
− 𝑦2
= 9
Solución:
29. 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
Solución:
30. 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑎𝑥 = 0
Solución:

24. 31. 𝑦 = 8
Solución:
32. 𝑥 = 10
Solución:
33. 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
Solución:

25. 34. 𝑥𝑦 = 4
Solución:
35. 𝑦2
= 9𝑥
Solución:

26. 36. (𝑥2
+ 𝑦2)2
− 9(𝑥2
− 𝑦2) = 0
Solución:
En los ejercicios 37 a 46, pasar la ecuación polar a la forma rectangular y trazar su gráfica
37. 𝑟 = 4
Solución:

27. 38. 𝑟 = −5
Solución:
39. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:

28. 40. 𝑟 = 5𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución:
41. 𝑟 = 𝜃
Solución:

29. 42. 𝜃 =
5𝜋
6
Solución:
43. 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑐𝜃

30. Solución:
44. 𝑟 = 2𝑐𝑠𝑐𝜃
Solución:
45. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃
Solución:
46. 𝑟 = 𝑐𝑜𝑡𝜃𝑐𝑠𝑐𝜃
Solución:
En los ejercicios 47 a 56, emplear una herramienta de graficación para representar la ecuación
polar. Hallar un intervalo para 𝜽 en el que la gráfica se trace sólo una vez.
47. 𝑟 = 2 − 5𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución:

31. 48. 𝑟 = 3(1 − 4𝑠𝑒𝑛𝜃)
Solución:
49. 𝑟 = 2 + 5𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:
50. 𝑟 = 4 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución:

32. 51. 𝑟 =
2
1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución:
52. 𝑟 =
2
4 − 3𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:
53. 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠 (
3𝜃
2
)
Solución:
54. 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛 (
5𝜃
2
)
Solución:

33. 55. 𝑟2
= 4𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
Solución:
56. 𝑟2
=
1
𝜃
Solución:
57. Pasar la ecuación 𝑟 = 2(ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃) a la forma rectangular y verificar que sea la ecuación de
un círculo. Hallar el radio y las coordenadas rectangulares de su centro.
Solución:

34. 58. Fórmula para la distancia
a) Verificar que la fórmula para la distancia entre dos puntos (𝑟1, 𝜃1) y (𝑟2, 𝜃2) dados en
coordenadas polares es
𝑑 = √𝑟1
2
+ 𝑟2
2
− 2𝑟1𝑟2𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2)
b) Describir las posiciones de los puntos, en relación uno con otro, si 𝜃1 = 𝜃2. Simplificar la fórmula
de la distancia para este caso. ¿Es la simplificación lo que se esperaba? Explicar por qué.
c) Simplificar la fórmula de la distancia si 𝜃1 − 𝜃2 = 90°¿Es la simplificación lo que se esperaba?
Explicar por qué.
d) Elegir dos puntos en el sistema de coordenadas polares y encontrar la distancia entre ellos. Luego
elegir representaciones polares diferentes para los mismos dos puntos y aplicar la fórmula para la
distancia. Analizar el resultado.
Solución:

35. En los ejercicios 59 a 62, usar el resultado del ejercicio 58 para aproximar la distancia entre
los dos puntos descritos en coordenadas polares.
59. (1,
5𝜋
6
), (4,
𝜋
3
)
Solución:
60. (8,
7𝜋
4
), (5, 𝜋)
Solución:
61. (2, 0.5), (7, 1.2)
Solución:
62. (4, 2.5), (12, 1)
Solución:

36. En los ejercicios 63 y 64, hallar 𝒅𝒚/𝒅𝒙 y las pendientes de las rectas tangentes que se
muestran en las gráficas de las ecuaciones polares.
63. 𝑟 = 2 + 3𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:
64. 𝑟 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)

37. Solución:
En los ejercicios 65 a 68, usar una herramienta de graficación y a) trazar la gráfica de la
ecuación polar, b) dibujar la recta tangente en el valor dado de 𝜽 y c) hallar 𝒅𝒚/𝒅𝒙 en el valor
dado de 𝜽 Sugerencia: Tomar incrementos de 𝜽 iguales a
𝝅
𝟐𝟒
.)
65. 𝑟 = 3(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃), 𝜃 =
𝜋
2
Solución:

38. 66. 𝑟 = 3 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜃 = 0
Solución:
67. 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜃 =
𝜋
3
Solución:

39. 68. 𝑟 = 4, 𝜃 =
𝜋
4
Solución:
En los ejercicios 69 y 70, hallar los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) a la
curva polar.
69. 𝑟 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:

40. 70. 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:

41. En los ejercicios 71 y 72, hallar los puntos de tangencia horizontal (si los hay) a la curva polar
71. 𝑟 = 2𝑐𝑠𝑐𝜃 + 3
Solución:
72. 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠2
𝜃
Solución:

42. En los ejercicios 73 a 76, usar una herramienta de graficación para representar la ecuación
polar y hallar todos los puntos de tangencia horizontal.
73. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠2
𝜃
Solución:
74. 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃
Solución:
75. 𝑟 = 2𝑐𝑠𝑐𝜃 + 5
Solución:

43. 76. 𝑟 = 2cos(3𝜃 − 2)
Solución:
En los ejercicios 77 a 84, dibujar la gráfica de la ecuación polar y hallar las tangentes en el
polo
77. 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:

44. 78. 𝑟 = 5𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución:
79. 𝑟 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)
Solución:

45. 80. 𝑟 = 3(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
Solución:
81. 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃
Solución:
82. 𝑟 = −𝑠𝑒𝑛5𝜃
Solución:

46. 83. 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛2𝜃
Solución:
84. 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠2𝜃
Solución:

47. En los ejercicios 85 a 96, trazar la gráfica de la ecuación polar
85. 𝑟 = 8
Solución:
86. 𝑟 = 1
Solución:

48. 87. 𝑟 = 4(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)
Solución:
88. 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:
89. 𝑟 = 3 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución:

49. 90. 𝑟 = 5 − 4𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:
91. 𝑟 = 3𝑐𝑠𝑐𝜃
Solución:

50. 92. 𝑟 =
6
2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución:
93. 𝑟 = 2𝜃
Solución:
94. 𝑟 =
1
𝜃
Solución:

51. 95. 𝑟2
= 4𝑐𝑜𝑠2𝜃
Solución:
96. 𝑟2
= 4𝑠𝑒𝑛𝜃
Solución:

52. En los ejercicios 97 a 100, usar una herramienta de graficación para representar la ecuación y
mostrar que la recta dada es una asíntota de la gráfica.
Nombre de la gráfica Ecuación polar Asíntota
97. 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑥 = −1
Solución:

53. 98. 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑟 = 2 + 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑦 = 1
Solución:

54. 99. 𝐸𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑟 = 2/𝜃 𝑦 = 2
Solución:

55. 100. 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑜𝑓𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑥 = −2
Solución:

56. Desarrollo de conceptos
101. Describir las diferencias entre el sistema de coordenadas rectangulares y el sistema de
coordenadas polares.
Solución:
102. Dar las ecuaciones para pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares y
viceversa.
Solución:

57. 103. ¿Cómo se determinan las pendientes de rectas tangentes en coordenadas polares? ¿Qué son
las rectas tangentes en el polo y cómo se determinan?
Solución:
Para discusión
104. Describir las gráficas de las siguientes ecuaciones polares.
𝑎) 𝑟 = 7
𝑏) 𝑟2
= 7
𝑐) 𝑟 =
7
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑) 𝑟 =
7
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑒) 𝑟 = 7𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑓) 𝑟 = 7𝑠𝑒𝑛𝜃
105. Trazar la gráfica de 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛𝜃 en el intervalo dado.
𝑎) 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
Solución:
𝑏)
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Solución:

58. 𝑐) −
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
Solución:
106. Para pensar Utilizar una herramienta graficadora para representar la ecuación polar 𝑟 =
6[1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑)]para a) 𝜑 = 0, b) 𝜑 = 𝜋/4 y c) 𝜑 = 𝜋/2. Usar las gráficas para describir el efecto
del ángulo 𝜑. Escribir la ecuación como función de 𝑠𝑒𝑛𝜃 para el inciso c).
Solución:

59. 107. Verificar que si la curva correspondiente a la ecuación polar 𝑟 = 𝑓(𝜃) gira un ángulo 𝜑,
alrededor del polo, entonces la ecuación de la curva girada es 𝑟 = 𝑓(𝜃 − 𝜑).
Solución:

60. 108. La forma polar de una ecuación de una curva es 𝑟 = 𝑓(𝑠𝑒𝑛𝜃).
Comprobar que la forma se convierte en
𝑎) 𝑟 = 𝑓(−𝑐𝑜𝑠𝜃) si la curva gira 𝜋/2 radianes alrededor del polo en sentido contrario a las manecillas
del reloj.
𝑏) 𝑟 = 𝑓(−𝑠𝑒𝑛𝜃) si la curva gira 𝜋 radianes alrededor del polo en sentido contrario a las manecillas
del reloj.
𝑐) 𝑟 = 𝑓(𝑐𝑜𝑠𝜃) si la curva gira 3𝜋/2 radianes alrededor del polo en sentido contrario a las manecillas
del reloj.
Solución:
En los ejercicios 109 a 112, usar los resultados de los ejercicios 107 y 108.
109. Dar la ecuación del caracol 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 después de girar la cantidad indicada. Utilizar una
herramienta de graficación para representar el giro del caracol.
𝑎) 𝜋/4 𝑏) 𝜋/2 𝑐) 𝜋 𝑑) 3𝜋/2
Solución:

61. 110. Dar una ecuación para la curva rosa 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 después de girar la cantidad dada. Verificar los
resultados usando una herramienta de graficación para representar el giro de la curva rosa.
𝑎) 𝜋/6 𝑏) 𝜋/2 𝑐) 2𝜋/3 𝑑) 𝜋
Solución:
111. Dibujar la gráfica de cada ecuación.
𝑎) 𝑟 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑏) 𝑟 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 −
𝜋
4
)
Solución:

62. 112. Demostrar que la tangente del ángulo 𝜓 = 0 ≤ 𝜓 ≤ 𝜋/2) entre la recta radial y la recta tangente
en el punto (𝑟, 𝜃) en la gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) (ver la figura) está dada por 𝑡𝑎𝑛𝜓 = |𝑟/(
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)|.
Solución:
En los ejercicios 113 a 118, usar los resultados del ejercicio 112 para hallar el ángulo entre las
rectas radial y tangente a la gráfica en el valor indicado de Usar una herramienta de
graficación para representar la ecuación polar, de la recta radial y la recta tangente en el valor
indicado de Identificar el ángulo 𝝍.

63. Ecuación polar Valor de 𝜽
113. 𝑟 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝜃 = 𝜋
Solución:
114. 𝑟 = 3(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝜃 = 3𝜋/4
Solución:
115. 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃 𝜃 = 𝜋/4
Solución:

64. 116. 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜃 =
𝜋
6
Solución:
117. 𝑟 =
1
1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃 = 2𝜋/3
Solución:

65. 118. 𝑟 = 5 𝜃 = 𝜋/6
Solución:
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 119 a 122, determinar si la afirmación es verdadera o
falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.
119. Si (𝑟1, 𝜃1) y (𝑟2, 𝜃2) representan el mismo punto en el sistema de coordenadas polares,
entonces |𝑟1| = |𝑟2|.
Solución:
120. Si (𝑟1, 𝜃1) y (𝑟2, 𝜃2) representan el mismo punto en el sistema de coordenadas polares,
entonces 𝜃1 = 𝜃2 + 2𝜋𝑛para algún entero 𝑛.
Solución:
121. Si 𝑥 > 0 entonces el punto (𝑥, 𝑦) en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas)
puede representarse mediante (𝑟, 𝜃) en el sistema de coordenadas polares, donde 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 y
𝜃 = arctan(
𝑦
𝑥
)
Solución:

66. 122. Las ecuaciones polares 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃 y 𝑟 = −𝑠𝑒𝑛2𝜃 tienen la misma gráfica.
Solución:
Proyecto de trabajo
Arte anamórfico
El arte anamórfico parece distorsionado, pero cuando se ve desde un particular punto de vista o con
un dispositivo como un espejo parece que está normal. Usar las siguientes transformaciones
anamórficas
𝑟 = 𝑦 + 16 𝑦 𝜃 = −
𝜋
8
𝑥, −
3𝜋
4
≤ 𝜃 ≤
3𝜋
4
para dibujar la imagen polar transformada de la gráfica rectangular. Cuando se observa la reflexión
(en un espejo cilíndrico centrado en el polo) de una imagen polar desde el eje polar, el espectador ve
la imagen rectangular original.
𝑎) 𝑦 = 3 𝑏) 𝑥 = 2 𝑐) 𝑦 = 𝑥 + 5 𝑑) 𝑥2
+ (𝑦 − 5)2
= 52
Este ejemplo de arte anamórfico es de la Colección Millington- Barnard en la Universidad de
Mississippi. Cuando se observa el reflejo de la “pintura polar” transformada en el espejo, el
espectador ve el arte distorsionado en sus proporciones adecuadas.

67. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre arte anamórfico, consultar al artículo
“Anamorphisms” de Philip Hickin en Mathematical Gazette.