Este documento describe los conceptos y métodos para el diseño de estructuras metálicas de acuerdo a los códigos AISC y AISI. Explica los estados límites, tipos de construcción, cargas y combinaciones de carga, áreas de sección, y resistencia de diseño para miembros en tensión. El diseño se basa en asegurar que ningún estado límite aplicable sea excedido bajo todas las combinaciones de cargas factorizadas.

1. ESTRUCTURAS METALICAS
1. DISEÑO POR FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA
1.1. DESCRIPCION GENERAL.
Ningún estado limite aplicable es excedido cuando la estructura está sujeta a
todas las combinaciones de carga factorizadas.
1.1.1. Estado límite:
Es una condición para la cual la estructura, o parte de ella deja de cumplir su
función.
a) Resistencia:
Definen la seguridad de la estructura, o parte de ella frente a las cargas
extremas que se pueden presentar en la vida útil:
Fluencia.
Rótula plástica.
Formación de mecanismos.
Inestabilidad: - Pandeo primario (Compresión, tensión).
- Pandeo lateral (Flexión).
- Pandeo local (Cuando la sección cambia de forma por
fractura o tensión, como ocurre en las conexiones).
- Agrietamiento por fatiga.
b) Servicio:
Definen el funcionamiento de la estructura bajo cargas de servicio.
Pretenden preservar la utilidad de la estructura, y confortabilidad de sus
usuarios.
La preselección de las secciones se las realiza primero por Servicio !!
1.1.2. LRFD.
Proporcionar la estructura para que se cumpla la ecuación:
nå
U= gi
£f*Rn
*Qi
i=1
Donde:
nå
gi
*Qi
i=1
= Resistencia requerida equivalente a los efectos de las
cargas factorizadas de la estructura (Se obtienen del análisis
estructural).
f*Rn= Resistencia de diseño o de las secciones.
gi
= Factores de carga del i-ésimo elemento.
Qi = Efecto i-ésimo de carga (sismo, viento, etc.).
f= Factor de resistencia (factor de reducción, siempre <= 1).
Rn = Resistencia o capacidad nominal (teórica).
1

2. 1.2. AISC, A2: TIPOS DE CONSTRUCCION.
Depende de los tipos de conexión en la estructura:
a) Construcción totalmente restringida (F.R.):
Es aquella donde las conexiones son de tipo rígido (transmisión total de
momentos).
b) Construcción parcialmente restringida (P.R.):
La conexión no transmite momentos (apoyos simples).
En la realidad, no existe absolutamente F.R. o P.R, sino un estado intermedio.
Si: Mn ³ Mp viga, se considera resistencia total de la conexión.
Mn < Mp viga, se considera resistencia parcial de la conexión.
Mn < 0.2 Mp viga, se considera conexión simple.
Donde:
Mn = Resistencia de la conexión si qn = 0.02 rad.
Mp = Momento plástico en el extremo o en la conexión.
.8*Mn = Capacidad de rotación de la conexión.
Si qu ³ .3 rad: Se considera que no existe pérdida de resistencia, además la
ductilidad disponible es adecuada de acuerdo a las provisiones sísmicas del
AISC (Marcos especiales de momento).
a=Ks*L
E*I
Si a > 20 : Conexión de restricción total.
2

3. Si 2 < a < 20 : Conexión parcialmente restringida.
Si a < 2 : Conexión de apoyo simple.
1.3. AISC, A2: TIPOS DE CONSTRUCCION.
Para la determinación de las fuerzas en miembros y conexiones, de los
desplazamientos, y de efectos en la estabilidad de la estructura se pueden
utilizar los procedimientos apropiados de análisis elásticos de análisis estructural,
o bajo las restricciones establecidas los procedimientos apropiados del método
plástico.
- Método elástico.
- Método plástico.- Si las conexiones son suficientemente robustas o compactas.
Conexiones parcialmente restringidas.- Se requiere el conocimiento de las
características momento rotación. Con este fin se pueden usar curvas
establecidas para las conexiones más comunes.
Cuidado con la extrapolación de resultados experimentales !!
Requiere análisis bajo cargas de servicio utilizando resortes con rigidez secante.
Análisis de segundo orden bajo cargas factorizadas que incluya momento
rotación.
1.4. CARGAS Y COMBINACIONES DE CARGA (AISC).
CARGAS NOMINALES.- Aparecen en las combinaciones de carga, son cargas
mínimas de diseño, especificadas en cada localidad (CEC), o cargas impuestas
apropiadamente.
Aplican apropiadamente las normas ANSI o ASCE.
En ausencia de un código aplicable, las cargas (Fuerzas y Momentos internos
correspondientes) y las combinaciones de carga factorizadas incluyendo las
cargas de impacto y grúas serán las estipuladas en ASCE 7-2000, las cuales se
indican a continuación:
D: Carga muerta L: Carga viva
Lr: Carga viva de techo E: Carga de sismo
W: Carga de viento
F: Carga de peso y presión de fluidos con densidad y alturas máximas
conocidas.
H: Carga de peso y presión de suelos, agua en suelos y similares.
R: Carga de lluvia o hielo (granizo).
S: Nieve.
T: Efectos de temperatura, flujo plástico, asentamientos diferenciales.
U1 = 1.4 (D + F)
U2 = 1.2 (D + F + T) + 1.6 (L + H) + 0.5 (Lr ó S ó R)
3

4. U3 = 1.2D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (1.0L ó 0.8W)
U4 = 1.2D + 1.6W + 1.0L + 0.5 (Lr ó S ó R)
U5 = 1.2D + 1.0E + 1.0L + 0.2S
U6 = 0.9D + 1.6W + 1.6H
U7 = 0.9D – (1.0 ó 1.4)E + 1.6H
Modificaciones:
a) En U3, U4, U5: El valor de L puede reducirse a 0.5, excepto para
estacionamientos, áreas de reunión pública, o cuando L ³ 500 Kg/m2.
b) Si W no es reducida por factores de direccionalidad se permite el uso de
1.3W en lugar de 1.6W en U4, U6.
c) Si E está basada en cargas sísmicas de nivel de servicio, debe usarse 1.4E
en lugar de 1.0E en U5, U7 (En el código Ecuatoriano de la Construcción, E se
expresa a nivel de servicio, ya que se encuentra dividida para factores f).
d) En U6, U7, el valor 1.6H debe ser cero si la acción estructural debida a H se
contrapone con la debida a W (U6). Cuando la presión lateral de suelo
provee resistencia estructural a otros, la fuerza no debe incluirse en H.
e) Si se consideran en el diseño efectos de impacto, estos deben incluirse en la
carga viva.
1.5. AISI, A5.1.4. (CARGAS Y COMBINACIONES DE CARGA).
Debido a que las secciones son menos robustas, la carga muerta es menor, y
por tanto los factores de combinación de carga son menores.
U1 = 1.4D + L
U2 = 1.2D + 1.6 L + 0.5 (Lr ó S ó Rr)
U3 = 1.2D + (1.4Lr ó 1.0S ó 1.6Rr) + (0.5L ó 0.8W)
U4 = 1.2D + 1.3W + 0.5L + 0.5 (Lr ó S ó Rr)
U5 = 1.2D + 1.5E + (0.8L ó 0.2S)
U6 = 0.9D – (1.3W ó 1.5E)
Donde: Rr = Carga de lluvia sobre techo.
Modificaciones:
a) El factor de carga de L en U3, U4, U5 para estacionamientos, areas públicas o
L ³ 500 Kg/m2 puede reducirse a 0.5.
b) Cuando son significativos los efectos de F, H, P, T debe considerarse en el
diseño los siguientes valores: 1.3F, 1.6H, 1.2P, 1.2T.
Donde: P= Carga de acumulación de agua (ponding).
En los códigos ASCE, ANSI, se permite la siguiente reducción de L:
L=L0*0.25+50
Ai
æ
çç
è
ö
ø
÷÷ £L0
Donde: L= Carga viva nominal.
4

5. L0 = Carga viva básica.
Ai = Area de influencia en m2, que es igual al area tributaria para sistemas
de piso en dos direcciones.
Ai = 2 veces el área para diseño de vigas.
Ai = 4 veces el área para diseño de columnas.
1.5.1. FACTORES DE REDUCCION DE RESISTENCIA (f).
Sirven para asegurar la confiabilidad de 2.5 en miembros estructurales, y 3.5
para conexiones. Las normas aplicables a éstos factores son:
- AISC, LRFD, 1999, Adendum 2001.
- AISI, 1996.
1.6. CARGAS Y COMBINACIONES DE CARGA (AISI, A5.1.4).
ASTM A36:
Fy = 36 Ksi » 2540 Kg/cm2.
Fu = 58 Ksi » 4200 Kg/cm2.
Alargamiento: du= 20%.
INEN 136: Acero para construcción estructural (A37E, A37ES):
Fy = 24 Kg/mm2.
Fu = 37 Kg/mm2.
Alargamiento: du = 24% en una probeta de L = 50mm.
INEN 114: Lámina delgada doblada en frío (A42E, A42ES):
Fy = 24 Kg/mm2.
Fu = 42 Kg/mm2.
Alargamiento: 13% £ du £ 24% en una probeta de L = 50mm.
Acero A588 (Fy = 50 Ksi) es usado para puentes debido a su resistencia a la
corrosión.
AISC:
E = 29000 Ksi » 2’043,000.00 Kg/cm2.
G = 11200 Ksi » 789,100.00 Kg/cm2.
AISI:
E = 29500 Ksi » 2’078,000.00 Kg/cm2.
G = 11300 Ksi » 796,100.00 Kg/cm2.
1.7. TERMINOS ESTRUCTURALES.
1.7.1. MIEMBRO ESTRUCTURAL.
Es una barra de acero con cierta longitud y sección transversal dada.
5

6. 1.7.2. ELEMENTO.
Es la parte rectangular de una sección transversal que es la sección de una
placa de acero que al unirse a otras placas constituye un miembro estructural.
En éste miembro existen cinco elementos.
Donde:
a
b = Relación de aspecto; si
a
b
³ 3 el análisis se lo realiza por medio
de la teoría de placas largas. Por lo tanto únicamente interesa el
análisis de la sección transversal del miembro, y el valor de a es
irrelevante.
6

7. 2. TENSION.
2.1. RESISTENCIA DE DISEÑO.
2.1.1. AISC, D1.
La resistencia de diseño es el menor valor de ft*Pn correspondientes a los
estados límites que se indican a continuación:
a) Para fluencia en la sección bruta: ft = 0.90
Pn = Fy * Ag [D1-1]
En éste caso se analiza la sección en el interior de la barra, lejos de los
extremos.
b) Fractura en la sección neta: ft = 0.75
Pn = Fu * Ae [D1-2]
En éste caso se analiza los extremos, los cuales dependen del tipo de
conexión (soldada, empernada, remachada, etc.), por ésta razón para el
análisis se usa el área efectiva de la sección, y no el área total.
Donde:
Fy = Esfuerzo a la fluencia.
Fu = Esfuerzo último.
Ag = Area bruta de la sección.
Ae = Area neta de la sección.
7

8. Las conexiones se analizan por resistencia, por lo tanto se utiliza la máxima
capacidad de ésta (Fu). En cambio en el análisis por esfuerzos admisibles
(ASD) ésta resistencia ya se encuentra dividida para un factor de seguridad.
2.1.2. AISI, C2.
La resistencia de diseño de los miembros en tensión es: ft*Tn.
Donde:
ft = 0.95 (Factor de reducción de esfuerzos).
Tn = Capacidad nominal en tensión:
=An
Tn
*Fy.
An = Area neta de la sección transversal.
Para los miembros en tensión que utilizan conexiones empernadas la
resistencia de diseño está limitada por la sección AISI, E3.2 (aplicada a
secciones de hasta 2 plg).
2.2. AREAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES.
2.2.1. AISC, B1. (AREA BRUTA)
El área bruta de un miembro en un punto es la suma del producto del espesor
por el ancho de cada elemento medidos en el plano paralelo al eje del
miembro.
=å(b*t)
Ag
En ángulos o secciones L:
bL=be
+bs+t
2.2.2. AISC, B2. (AREA NETA)
El área neta es la suma del producto del espesor por el ancho neto de cada
elemento.
= bnå( *t)
An
Si existen agujeros, el ancho de uno de ellos para pernos debe tomarse 2 mm
mayor que el ancho del agujero.
qp
=fn
+2mm
Para una cadena de agujeros a través de una parte de la sección que se
extiende en diagonal o zig-zag, el ancho neto de esa parte debe obtenerse
restando del ancho total la suma de los diámetros o dimensiones de todos los
agujeros de la cadena, y sumando para cada espacio entre agujeros la
cantidad s2/4g.
i=bi
bn
- qp
å+ås2(4*g)
8

9. Donde:
s = Distancia longitudinal medida centro a centro entre dos agujeros
consecutivos de la cadena analizada.
g = Distancia transversal centro a centro de dos agujeros
consecutivos de la cadena.
Cadena de agujeros.- Se define como las formas probables de fractura.
Entre más agujeros atravieza la cadena, existe más probabilidad que ocurra
la fractura !!
Para secciones ángulos, la distancia transversal centro a centro entre dos
agujeros ubicados en las alas adyacentes es la suma de 2 distancias de las
alas menos el espesor.
2.2.3. AREA NETA CRITICA.
Para el diseño, se considera la menor área neta de todas las posibles lineas
diagonales de fractura en toda la conexión.
Anc=Anmín
2.2.4. AISC, B3. (AREA EFECTIVA)
El área efectiva de los miembros en tensión debe determinarse como se
indica a continuación:
1) Cuando la carga se transmite a todos y cada uno de los elementos de
la sección transversal mediante pasadores o soldadura, el área efectiva
se calcula como se indicó en la sección 2.2.3.
Ae
=An
9

10. 2) Cuando la carga se transmite mediante algunos, pero no todos los
elementos de la sección transversal mediante pasadores o soldadura:
a) Si la carga se transmite solamente con pasadores (Remaches, pines,
pernos):
=An
Ae
*U [B3-1]
Donde:
An = Area neta de la sección transversal.
U = Factor de reducción:
U=1-x
l
£0.9
x = Excentricidad de la conexión.
l = Longitud de la conexión en la dirección de la carga.
b) Cuando la carga se transmite solamente con soldadura longitudinal en
un miembro que no sea una placa, o con soldadura longitudinal y
transversal combinadas para cualquiera de los dos casos:
=Ag
Ae
*U [B3-2]
=A*U [B3-3]
U=1-x
l
£0.9
c) Si se transmite con soldadura transversal.
Ae
Donde:
U = 1.0
A = Area de los elementos directamente conectados.
d) Si se transmite a una placa con soldadura longitudinal a lo largo de los
dos bordes en el extremo.
Ae=Ag
*U [B3-2]
Si:
l ³ 2*w: U = 1.0
1.5*w£ l £ 2*w: U = 0.87
w£ l £ 1.5*w: U = 0.75
Donde: w = Ancho de la placa o distancia entre soldaduras.
10

11. 2.3. AISC, B7. (ESBELTEZ MAXIMA)
La esbeltez máxima es un parámetro que se usa para evitar deflexiones.
Para los miembros en los que el diseño se basa en tensión, preferiblemente:
l
r
£300
Esta restricción no se aplica a barras redondas. Para éste tipo de barras se usa
la siguiente recomendación:
f³ l
500
¾¾ ® l
r
£2000
Los miembros que se diseñan por tensión pero que pueden estar sujetos por
compresión bajo otras condiciones de carga no necesitan satisfacer los límites
de esbeltez en compresión.
2.4. MIEMBROS ARMADOS.
Se consiguen uniendo dos o más perfiles o placas.
2.5. AISC, D2.
1) Para las limitaciones de la separación longitudinal de los conectores entre los
elementos en contacto contínuo que consisten en una placa y un perfil, o en
11

12. dos placas ver la sección AISC, J3.5.
2) La separación longitudinal de los conectores entre los componentes,
preferiblemente debería limitar la relación de esbeltez medida entre los
conectores en cualquier componente A300.
3) Se permite el uso de cubreplacas o placas de unión sin celosía en los lados
abiertos. Las placas de unión deben tener una longitud no menor que 2/3
entre la distancia entre las líneas de soldadura o los pasadores que las
conectan a los componentes del miembro.
El espesor de las placas de unión no debe ser menor que 1/50 de la distancia
entre esas líneas. La separación longitudinal de las soldaduras intermitentes
o de los pasadores en las placas de unión no debe exceder de 150 mm.
12

13. 3. COMPRESION AXIAL.
La teoría y procedimientos descritos en éste capítulo constituyen la base indispensable
para el diseño de miembros en flexocompresión.
3.1. RESISTENCIA DE DISEÑO.
Se presentan dos estados límite:
1) Pandeo general o pandeo primario de un miembro.
El estudio de éste estado límite se basa en la teoría de estabilidad de barras.
2) Pandeo local de la sección transversal.
Este estado límite pretende evitar el cambio de forma de la sección que se
puede producir cuando las partes rectangulares o elementos son muy
delgados. El estudio de éste estado límite se basa en la teoría de estabilidad
de placas planas.
3.2. PANDEO GENERAL.
Se define como pandeo al fenómeno característico de inestabilidad de un
elemento que e presenta cuando la carga adquiere un valor determinado crítico.
Donde:
Pe = Carga crítica de pandeo elástico (punto de bifurcación del
equilibrio).
13

14. La forma de pandeo depende del tipo de sección transversal.
3.3. SECCION CON SIMETRIA DOBLE.
Donde:
o = Centroide de la sección.
c = Centro de corte.
Formas de pandeo:
Flexión del eje x.
Flexión del eje y.
Torsión.
Pex=p2*E*Ix
(Kx*Lx)2
2 G*J+p2*E*Cw
p2*E*Iy
(Ky*Ly)2
Pey=
Pez= 1
ro
(Kz*Lz)2
é
ê
ë
ù
ú
û
Donde:
E = Módulo de elasticidad de la sección.
Ix, Iy = Momentos de inercia de la sección alrededor de x, y.
K = Coeficiente de apoyo de los extremos de la barra.
L = Distancia entre apoyos.
ro = Radio polar de inercia respecto al centro de cortante (si la sección
tiene doble simetría el centro de cortante coincide con el centroide).
r= I
A
2+ry
ro= rx
2
J = Constante de torsión.
Para secciones de pared delgada abierta:
J=1
å(b*t3)
3
Cw = Constante de alabeo de la sección:
14

15.
Cw=
2
Iy*h1
4
(Constante de torsión no uniforme)
Cw = 0 en las siguientes secciones:
3.3.1. CARGA CRITICA.
Pcr=mínimo(Pex,Pey,pez)
3.4. ESFUERZO CRITICO DE PANDEO ELASTICO.
Fe =Pe
A
Donde: Pe = Menor valor de los siguientes esfuerzos:
Fex = p2*E
æ
è
Kx *lx
rx
ç
2
ö
÷
ø
2 G*J+p2*E*Cw
Fey = p2*E
Ky*ly
ry
æ
çç
è
2
ö
÷÷
ø
Fez= 1
A*ro
(Kz*Lz)2
é
ê
ë
ù
ú
û
=mínimo(Fex,Fey,Fez)
Pe
l = Distancia entre puntos de soporte lateral apropiado, o distancia entre
arriostramientos.
3.5. SECCION CON SIMETRIA SIMPLE.
15

16. Se presentan dos formas de pandeo en el plano y-z (eje de simetría):
1) Flexión alrededor del eje x: pandeo en el plano perpendicular al eje de
simetría.
Pex=p2*E*Ix
(Kx*lx)2
2) Torsión alrededor del eje longitudinal: flexotorsión con flexión alrededor del
eje y-y, y torsión alrededor del eje z.
Carga crítica por flexotorsión:
Pey+Pez
Peyz=
2*H
ê
ê
1-
4*Pey*Pez*H
Pey+Pez ( )2
é
ë
ù
ú
ú
û
2+yo
H=1- xo
2
ro
2
æ
çç
è
ö
÷÷
ø
Donde:
ro
2 = Radio polar de inercia respecto al centro de cortante.
3.6. SECCION QUE NO PRESENTA SIMETRIA.
En éste tipo de secciones únicamente se presenta el fenómeno de flexo-torsión.
La carga crítica Pe, es la menor raíz que se obtiene con la siguiente expresión:
3+1
H*Pe
2*Pey ( )-Pex+Pey+Pez ( )
2 yo
ro
2*Pex+xo
é
ê
ë
ê
ù
ú
û
ú
2
*Pe
+Pex*Pey+Pex*Pez+Pey*Pez ( )*Pe
-Pex*Pey*Pez=0
16

17. De acuerdo a la norma del AISC, en su versión anterior, el esfuerzo por pandeo
elástico se obtiene con la siguiente expresión:
Fe =Pe
A
Donde Pe como se ha explicado, es el menor valor obtenido en cualquiera de los
casos ya estudiados. En general, el análisis para el fenómeno de compresión
axial se lo realizaba de acuerdo a la conocida curva que se indica a continuación:
En éste procedimiento de análisis, si se hubiera presentado el caso en el que la
torsión o flexotorsión hubieran sido el parámetro crítico (menor valor), entonces
se debe buscar un valor de esbeltez (K*l/r) equivalente, como se indica a
continuación:
Fet,ft = p2*E
( K*l
)2
r equivalentet,ft
( K*l
)r equivalentet,ft
=p E
Fet,ft
Pero de acuerdo a las nuevas normativas, se cambia el análisis ajustando las
anteriores ecuaciones, a las nuevas especificadas en las respectivas normas del
AISC o AISI, especialmente en el rango inelástico, como se indica en el siguiente
gráfico:
17

18. 3.7. AISI, E2, E3, A-E3.
La resistencia de diseño de los miembros en compresión cuyos elementos tienen
relaciones ancho-espesor, como el que se indica a continuación, y no están
sujetas a pandeo local:
b
t
Si:
=l<lr
®Resistencia=fc
*Pn
Donde:
fc
= 0.85
Pn = Resistencia nominal en compresión axial que depende de la forma
de pandeo.
3.8. AISI, C4(a).
La resistencia axial de diseño de los miembros de lámina delgada formada en
frío, en los que la resultante de todas las cargas es una carga axial que actúa a
través del centroide de la sección efectiva calculada para el esfuerzo Fn es:
=fc
Fn
*Pn
Donde:
fc
= 0.85
=Ae
Pn
*Fn
[C4-1]
Ae = Area efectiva correspondiente al esfuerzo Fn (Involucra pandeo
local).
Fn = Esfuerzo nominal de pandeo que depende de la forma de pandeo.
3.9. ESFUERZO CRITICO.
Las normas en su anterior edición definían las curvas del esfuerzo crítico con las
siguientes ecuaciones:
18

19.
Si:
k*l
r
£Cc®Fi
ê
ê
ê
=1-
( k*l
)2
r equivalente
2
2*Cc
é
ë
ù
ú
ú
ú
*Fy (Pandeo Inelástico)
û
Si:
k*l
r
>Cc®Fe = p2*E
( k*l
)r equivalente
2 (Pandeo Elástico de Euler)
Donde:
Cc= 2*p2*E
Fy
3.9.1. PARAMETRO DE ESBELTEZ EFECTIVA.
De acuerdo a las disposiciones actuales de la norma, se define éste
parámetro como se indica a continuación:
lc
=
Fy
Fe
®lc
r ( )
p * E
= Fy *
k*l
=k*l
p*r
lc
Fy
E
Es decir que:
k*l
r
= lc
*Cc
2
Actualmente, de acuerdo a esto, las nuevas normas definen el esfuerzo crítico
como se indica en la siguiente función:
Si:
k*l
r
£Cc
: lc
=1-lc
£ 2®Fi
2
4
æ
ç
è
ö
ø
÷ *Fy
(Pandeo Inelástico)
Si:
k*l
r
>Cc : lc
> 2®Fe=
Fy
2 (Pandeo Elástico)
lc
Con ésta forma de expresión, los efectos que considera actualmente la norma
son
los siguientes:
- Efectos de los esfuerzos residuales como los de
soldadura, la cual provoca la disminución de proporcionalidad de los
materiales.
- Considera la imperfección inicial en el eje longitudinal del
miembro de forma senoidal con una amplitud de
l/1500.
- Pretende conseguir una coincidencia entre los resultados
que se obtienen con las normas ASD y LRFD para una amplia relación entre
carga viva y muerta.
3.10. AISI, C4.
El esfuerzo nominal de pandeo se determina de la siguiente manera:
Si: lc
=0.658lc
£1.5®Fn
2 ( )*Fy
[C4-2]
19

20.
Si: lc
>1.5®Fn
=0.877
2 *Fy
lc
[C4-3]
Donde:
lc
=
Fy
Fe
Fe = Es el menor entre los esfuerzos críticos de pandeo elástico por
flexión, torsión o flexo-torsión determinados de acuerdo con las
secciones AISI C4.1, C4.2, C4.3.
3.11. PANDEO POR FLEXION.
3.11.1. AISC, E2.
La resistencia nominal para el pandeo por flexión de los miembros en
compresión axial es:
=Ag
Pn
*Fcr [E2-1]
£1.5®Fcr=0.658lc
Si: lc
2 ( )*Fy
[E2-2]
>1.5®Fcr=0.877
Si: lc
2 *Fy
lc
[E2-3]
=k*l
p*r
lc
Fy
E [E2-4]
Para los miembros cuyos elementos no satisfacen los requisitos del AISC,
B5.1, ver el apéndice A-B5.3 (Es decir, si el pandeo local interviene en el
diseño).
3.11.2. AISI, C4.1.
Para secciones doblemente simétricas, secciones cerradas, y otras para las
que se puede demostrar que no estan sujetas a pandeo de torsión o flexo-torsión,
el esfuerzo elástico de pandeo por flexión se determina con la
siguiente ecuación:
Fe = p2*E
æ
è
K*L
r
ç
2 [C4.1-1]
ö
÷
ø
3.12. PANDEO POR TORSION Y FLEXO-TORSION.
3.12.1. AISC, A-E3.
La resistencia nominal en compresión axial determinada para los estados
límite de torsión y flexo-torsión es:
=Ag
Pn
*Fcr [A-E3-1]
En la cual el esfuerzo crítico nominal se determina de la siguiente manera:
*Q£1.5®Fcr=Q*0.658Q*le
Si: le
2 ( )*Fy
[A-E3-2]
* Q>1.5®Fcr=0.877
Si: le
2 *Fy
le
[A-E3-3]
20

21. ( )®(Q=1.0)
(No existe pandeo local)
le
=
Fy
Fe
[A-E3-4]
"Îbt
<lr
r
( $1Îb
)®t >(Q=Q*Q) sa(Existe pandeo local)
El esfuerzo crítico de pandeo elástico (Fe) se calcula de la siguiente manera:
a) Para las secciones doblemente simétricas se presenta lpandeo por
torsión:
Fe
= 1
Ix+Iy
G*J+p2*E*Cw
(kz*l)2
é
ê
ë
ù
û
ú [A-E3-5]
b) Para las secciones con simetría simple en las que el eje de simetría es
y-y (eje de menor inercia) se presente pandeo por flexo-torsión:
Fe
Fey+Fez
=
2*H
ç
ç
1-
4*Fey*Fez*H
Fey+Fez ( )2
æ
è
ö
÷
÷ [A-E3-6]
ø
c) Para las secciones asimétricas el esfuerzo crítico de pandeo elástico
por flexo-torsión es la menor raiz de la siguiente ecuación cúbica:
-Fex)(Fe
(Fe
-Fey)(Fe
2(Fe
-Fez)-Fe
-Fey)xo
2
ro
æ
ç
è
2
ö
÷
ø
2(Fe
-Fe
-Fex) yo
2
ro
æ
ç
è
2
=0 [A-E3-7]
ö
÷
ø
2=xo
ro
2+yo
Ix+Iy
A [A-E3-8]
2+
2+yo
H=1- xo
2
ro
2
æ
çç
è
ö
ø
÷÷ [A-E3-9]
Donde:
rx, ry = Radios de giro alrededor de los ejes principales.
3.12.2. AISC, E3.
Se refiere a la resistencia nominal en compresión axial para pandeo por flexo-torsión
de los miembros de secciones de ángulos dobles y tees cuyos
elementos cumplen con la siguiente condición:
Si:b
t<lr
®Pn
=Ag*Fcrft [E3-1]
Fcry+Fcrz
Fcrft=
2*H
ç
ç
1-
4*Fcry*Fcrz*H
Fcry+Fcrz ( )2
æ
è
ö
÷
÷ [E3-2]
ø
Fcrz=G*J
2 (Supone Cw=0)
A*ro
21

22. El valor de Fcry se determina de acuerdo a la sección E2 de la norma para
pandeo por flexión alrededor del eje de simetría y-y, correspondiente a la
ecuación:
= k*l
p*ry
lc
Fy
E
- Si los elementos de estas secciones no satisfacen los
requisitos de la sección B5.1, ver el apéndice A-B5.3 para el cálculo de
Fcry que se utiliza en la ecuación E3-2.
- Las secciones tee que satisfacen las condiciones de la
siguiente tabla no necesitan revisarse por pandeo por flexo-torsión:
Tee armada con placas soldadas y Tee laminada
Tipo bf/d tf/tw
Tee armada ³ .50 ³ 1.25
Tee laminada ³ .50 ³ 1.10
3.12.3. AISI, C4.2.
Secciones sujetas a pandeo por flexión o flexo-torsión el esfuerzo crítico de
pandeo elástico (Fe) debe tomarse como el menor valor entre Fe calculado
con la sección C4.1 (flexión) y el valor que se obtiene con la siguiente
expresión:
[ ][C4.2-1]
= 1
2*b
Fe
(sex+st
)-(sex+st
)2-4*b*sex*st
Alternativamente, una ecuación aproximada de Fe, es la siguiente:
Fe = sex*st
sex +st
[C4.2-2]
sex = p2*E
Kx *Lx
rx
æ
ç
è
2 [C3.1.2-8]
ö
÷
ø
= 1
A*ro
st
2 G*J+p2*E*Cw
(kt*Lt)2
é
ê
ë
ù
û
ú [C3.1.2-10]
2+ry
ro=rx
2 [C3.1.2-13]
2+xo
æ
è
b=1- xo
ç
ro
2
ö
÷
ø
[C4.2-3]
- Para secciones con simetría simple.
- Para las secciones doblemente simétricas sujetas a
torsión, Fe debe tomarse como el menor valor entre Fe calculado con la
sección C4.1, y Fe= st como se indica en la sección C3.1.2-10.
- De acuerdo con el artículo C4(b), las secciones L
concéntricamente cargadas deben diseñarse para un momento adicional,
como se especifica en las definiciones de Mux y Muy en la sección C5.2.
22

23. 3.12.4. AISI, C4.3.
Para secciones que no tienen simetría tanto respecto a un eje como a un
punto, Fe debe determinarse mediante un análisis racional. Alternativamente
los miembros en compresión que tienen estas secciones pueden ser
probados con el artículo F de la norma.
3.13. ESBELTEZ EFECTIVA MAXIMA.
Compresión axial: AISC, B7: Preferiblemente:
k*l
r
£200
AISI, C4(c):
K*L
r
£200, excepto que sólo durante la
construcción, preferiblemente:
K*L
r
£300
3.14. ESTABILIDAD DE COLUMNAS Y DE LA ESTRUCTURA.
El factor de longitud efectiva (k), se lo toma de los diagramas de Jackson y
Moreland, a partir de la siguiente expresión:
G=
æ
è
E*I
l
ç
ö
ø
÷
columna
å
æ
è
E*I
l
ç
ö
ø
÷
viga
å
[C-C2-2]
Torsión: Se toma k = 1.0, lo cual está por el lado de la seguridad.
Para el caso de columnas no desplazables (sin desplazamiento), se tiene lo
siguiente:
GA *GB
4
æ
è
p
k
ç
2
+ GA +GB
ö
÷
ø
2
æ
ç
è
ö
ø
ê
ê
÷ 1-
p
k
tgp
ú
ú
k ( )
é
ë
ù
+
û
2*k ( )
p
k
2*tgp
=1
Para el caso de columnas con desplazamiento:
23

24.
k ( )2
GA *GB * p
-36
6*(GA +GB)
=
p
k
tgp
k ( ) [C-C2-1]
De cualquier manera, los valores de k calculados de ésta manera son
conservadores.
También se pueden usar los valores de k descritos en el ACI.
Los nomogramas se los puede encontrar en el AISC, tabla C-C2.1.
Se presentan las condiciones ideales en AISC, figura C-C2.2.
3.14.1. AISC, B8.
Para vigas armadas con apoyos simples se considera k = 1.
3.14.2. AISC, C2.1.
Para armaduras y marcos arriostrados, se considera k = 1.00.
3.14.3. AISC, C2.1 a.
En el análisis plástico se tiene la siguiente condición:
3.14.4. AISC, C2.2.
En marcos donde la estabilidad lateral depende de la rigidez a flexión en
vigas y columnas rigidamente conectadas, el factor de longitud efectiva (k) de
los miembros en compresión debe determinarse mediante un análisis
estructural (k³1 en marcos no arriostrados).
3.14.5. AISC, C4.1.
En marcos donde la estabilidad lateral es provisto por arriostramiento
diagonal, muros de cortante, sujeción a una estructura adyacente que tiene
estabilidad lateral adecuada, o losas de piso o techo aseguradas
horizontalmente mediante muros o sistemas de arriostramiento paralelo al
marco del plano, y en armaduras, el factor de longitud efectiva (k) para
miembos en compresión que no dependen de su propia rigidez a flexión para
la estabilidad lateral del marco o armadura debe tomarse k = 1, a menos que
el análisis demuestre que se puede usar un valor menor en un marco que
depende de su propia rigidez a flexión, para su estabilidad lateral la longitud
efectiva k debe determinarse mediante un análisis racional, y no debe ser
menor que la longitud real.
3.15. PANDEO LOCAL EN COMPRESION UNIFORME.
A partir de éste literal se explica el fenómeno de pandeo local de las secciones.
Este fenómeno se relaciona con el espesor de los elementos.
3.15.1. SECCION COMPACTA.
Está asociada con la flexión de vigas.
3.15.2. SECCION NO COMPACTA.
Es capaz de desarrollar el esfuerzo de fluencia en sus elementos sujetos a
24

25. compresión antes de que ocurra el pandeo general.
Las secciones compactas y no compactas, no son afectadas por la posibilidad de
pandeo local.
3.15.3. SECCION DE ELEMENTOS ESBELTOS.
Los elementos sufren pandeo local antes que se alcance el esfuerzo de
fluencia.
En el espesor t se considera esfuerzo
uniforme, por lo tanto ésta suposición
es aplicable al patín comprimido de
una viga a flexión.
b³3®Fcr=p2*E*t
Si:a
æ
è
*
12*(1-u2)
t
b
ç
ö
ø
2
*ka
÷
Donde:
t = 1 (Estabilidad de placas en intervalo elástico o inelástico).
ka = Coeficiente de pandeo de la placa, sujeta a compresión uniforme.
En elementos no rigidizados:
0.425£ka£1.277
En elementos rigidizados:
4.00£ka£6.97
En éstos intervalos, el valor menor significa que la placa es
menos apoyada, caso contrario ocurre con el valor mayor que
significa que la placa es mejor apoyada.
Este valor se lo pude encontrar descrito con mejor detalle en
libros de estabilida estructural como el de Bleich, Oscar de Buen.
Si en elementos esbeltos se presenta falla por pandeo local, quiere decir que
la resistencia es menor que la resistencia de pandeo general, lo cual se
expresa a continuación:
p2*E* t
12*(1-u2)
æ
è
*
t
b
ç
2
*ka <p2*Et
ö
÷
ø
( k*l
)
r2 Haciendo aproximaciones, se puede demostrar que en columnas de esbeltez
igual la relación ancho-espesor límite de secciones no compactas es:
æ
è
ö
ø
lr=b
ç
÷
lím
t
=0.951* ka*
E
Fy
25

26. 3.15.4. AISC, B5.1.
Las secciones de acero se clasifican como: compactas, no compactas, y
secciones de elementos esbeltos.
Sección compacta: Los patines deben ser continuamente conectados al
alma o a las almas, y las relaciones ancho-espesor de sus elementos en
compresión deben cumplir con la condición siguiente:
l£ lp
Sección no compacta: Si la relación ancho-espesor de uno o más de
TODOS sus elementos está comprendida entre los límites siguientes:
<l£lr
Sección de elementos esbeltos: Si la relación ancho-espesor de alguno de
sus elemento s cumple con la siguiente inecuación:
lp
l>lr
3.16. ANCHO EFECTIVO.
A continuación se presentan esquemas representativos de los anchos efectivos
de las secciones comunmente usadas en el diseño de estructuras de acero.
a) ELEMENTOS NO RIGIDIZADOS.
b) ELEMENTOS RIGIDIZADOS.
26

27. c) ELEMENTOS MIXTOS.
3.17. ESBELTEZ EFECTIVA, AISI.
Se define de la siguiente manera:
l= 12*(1-u2)
p
*
1
k
w
t
*
*
f
E
Donde:
f = Esfuerzo de un elemento en compresión calculado en base del ancho
efectivo.
w = Ancho de la parte plana del elemento.
k = Coeficiente de pandeo de placas.
l = Parám
etro de esbeltez, que se define como:
l=1.052
k
w
t
*
*
f
E
Se puede demostrar que el parámetro de esbeltez límite de los “elementos
totalmente efectivos” en compresión, de lámina delgada doblada en frío es 0.63.
3.17.1. AISI, B2.1 (a) y (b); AISI, B3.1 (a) y (b).
El ancho efectivo para la determinaciónde la capacidad de carga (b), y el
ancho efectivo para la determinación de los desplazamientos (bd) son
respectivamente:
Si:l£0.673®b=w [B2.1-1]
bd=w [B2.1-5]
27

28.
l=1.052
k
w
t
*
*
f
E [B2.1-4]
l=1.052
k
w
t
*
*
fd
E
Donde:
k = 4 (Elementos rigidizados).
k = 0.43 (Elementos no rigidizados).
f, fd = Fn (esfuerzo normal de pandeo general), el cual se determina
como se indica en AISI, C4.
3.18. FACTOR DE REDUCCION DE ESFUERZOS.
Para el diseño de secciones laminadas, y armadas con placas soldadas
constituidas por elementos esbeltos no rigidizados, se utiliza el factor de
reducción de esfuerzos.
3.18.1. ELEMENTOS NO RIGIDIZADOS.
Qs =Fcr
Fy
Donde:
Fcr = Esfuerzo crítico de pandeo local de los elementos.
Se puede demostrar que para pandeo elástico Qs tiene la siguiente
expresión:
Qs =0.90*ka *E
t ( )2
Fy * b
æ
è
=A-B*
Qs
b
t
ç
ö
ø
÷ *
Fy
E
3.18.2. ELEMENTOS RIGIDIZADOS
Se presenta una resistencia posterior al inicio del pandeo de las placas
rigidizadas extremadamente esbeltas. Este fenómeno es explicado a través
de un ancho efectivo equivalente (be) investigado por T. Von Kármán; es
decir que el diagrama real de esfuerzos es transformado a uno rectangular
equivalente, que actúa en el ancho efectivo, como se muestra en el siguiente
28

29. gráfico:
f =P
Ae
= P
be*t
Fcr= p2*E
æ
è
*
12*(1-u2)
t
ç
ö
÷
ø
be
2
*ka=Fy
be=0.95* ka*t* E
Fy
Debido a que las columnas generalmente son más robustas, G. Winter
propone las siguientes expresiones:
be =0.95* ka *t*
E
f
* 1- 0.42
b
t ( )*
E
f
é
ê
ë
ê
ù
ú
û
ú
f = P
be*t
Para calcular be en la primera expresión se debe conocer el valor de f, y a la
vez para conocer f en la segunda expresión se debe conocer be, se debe
realizar un proceso de iteración hasta llegar a la convergencia; es importante
destacar que se llega a la convergencia muy rápidamente.
En el límite, cuando be = b, se tiene la siguiente expresión:
æ
è
b
t
ç
ö
ø
÷
límite
=0.65* ka*
E
f
3.19. AISC, A-B5.3(d).
Para miembros cargados axialmente en compresión, el área bruta de la sección
transversal, y el radio de giro deben calcularse en base de la sección transversal
real. El esfuerzo crítico de pandeo debe determinarse como se indica a
continuación:
29

30.
*Q£1.5®Fcr=Q*0.658Q*lc
Si: lc
2 ( )*Fy
[A-B5-15]
* Q>1.5®Fcr=0.877
Si: lc
2 *Fy
lc
[A-B5-16]
Donde:
Q=Qs
*Qa
[A-B5-17]
Si la sección tiene sólo elementos no rigidizados:
Q=Qs
®Qa
=1.0
Si la sección tiene sólo elementos rigidizados:
Q=Qa
®Qs
=1.0
Si la sección tiene los dos tipos de elementos:
Q=Qs
*Qa
3.20. AISC, B5.3 (a) (ELEMENTOS NO RIGIDIZADOS).
La resistencia de diseño de los elementos no rigidizados en compresión, cuyas
relaciones ancho-espesor exceden los valores aplicables de
lr
estipulados en
la sección AISC, B5.1, deben sujetarse a un factor de reducción Qs. El valor de
Qs debe determinarse mediante las ecuaciones: [A-B5-3] hasta [A-B5-10], la que
sea aplicable.
La resistencia de diseño de los miembros cargados axialmente en compresión
debe modificarse mediante el factor de recucción Q apropiado, como se indica
en la sección AISC, A-B5.3(d).
a) Angulos simples:
Si:0.45*
E
Fy
<b
t
<0.91*
E
Fy
®
æ
è
=1.340-0.76*
Qs
b
t
ç
ö
ø
÷ *
Fy
E [A-B5-3]
Si:
b
t
³0.91*
E
Fy
®
Qs = 0.53*E
t ( )2 [A-B5-4]
Fy * b
b) Patines en ángulos, y placas proyectadas (patines) de vigas o
columnas laminadas en otros miembros en compresión:
Si:0.56*
Fy<b
E
t
<1.03*
E
Fy
®
æ
è
=1.415-0.74*
Qs
b
t
ç
ö
ø
÷ *
Fy
E [A-B5-5]
Si:
b
t
³1.03*
E
Fy
®
Qs = 0.69*E
t ( )2 [A-B5-6]
Fy * b
30

31. c) Patines, ángulos, placas proyectadas (patines) de columnas armadas
en otros miembros en compresión:
Si:0.64*
E
Fy
kc
<b
t
<1.17*
E
Fy
kc
®
æ
è
=1.415-0.65*
Qs
b
t
ç
ö
ø
÷ *
Fy
(kc*E) [A-B5-7]
Si:
b
t
³1.17*
E
Fy
kc
®
Qs =0.90*E*kc
t ( )2 [A-B5-8]
Fy * b
Donde:
Secciones I:
kc = 4
h
tw
; 0.35£kc £0.763
h = Altura de la sección transversal del miembro.
tw = Espesor del alma de la sección transversal.
Otras secciones:
kc=0.763
d) Almas de secciones Tee:
Si:0.75*
E
Fy
<d
t
<1.03*
E
Fy
®
æ
è
=1.908-1.22*
Qs
d
t
ç
ö
ø
÷ *
Fy
E [A-B5-9]
Si:
d
t
³1.03*
E
Fy
®
Qs = 0.69*E
t ( )2 [A-B5-10]
Fy * d
Es importante señalar, que las expresiones y valores de la tabla 5.1 son
aplicables a secciones en las que no se presenta el pandeo local (secciones
compactas), es decir que las relaciones ancho-espesor son menores que los
límites anteriormente anotados.
3.21. ELEMENTOS RIGIDIZADOS.
31

32. 3.21.1. AISC, A-B5.3 (c).
Para elementos rigidizados de una sección transversal se tiene:
Qa = Ae
A
=(be
å*t)=A-*å[(b-be)*t]
Ae
Estos sumatorios se refieren a todos los elementos rigidizados.
Donde:
Qa = factor de forma de la sección transversal.
A = Area total de la sección transversal.
3.21.2. AISC, A-B5.3 (b).
Cuando la relación ancho-espesor de los elementos rigidizados excede el
límite
lr
(estipulados en la tabla B5.1) en el cálculo de las propiedades de
diseño de la sección que contiene el elemento, se debe usar el ancho efectivo
reducido (be), como se indica a continuación:
a) Para patines de secciones cuadradas y rectangulares de espesor
uniforme:
Si:
b
t
³1.40*
E
f
®
be =1.91*t*
E
f
*1-0.38
b
t ( )*
E
f
é
ê
ê
ë
ù
ú
ú [A-B5-11]
û
Si:
b
t
<1.40*
E
f
®
be=b
b) Para otros elementos uniformemente comprimidos:
Si:
b
t
³1.49*
E
f
®
be =1.91*t*
E
f
*1-0.34
b
t ( )*
E
f
é
ê
ê
ë
ù
ú
ú [A-B5-12]
û
32

33.
Si:
b
t
<1.49*
E
f
®
be=b
Donde:
f = Esfuerzo elástico calculado de compresión en los elementos
rigidizados, basado en las propiedades de diseño como se indica
en AISC, A-B5.3 (c).
Si en la sección transversal total están incluidos elementos no
rigidizados, el esfuerzo elástico (f) para el elemento rigidizado
debe ser tal que el esfuerzo máximo de compresión en el
elemento no rigidizado no exceda de:
fc
*Fcr
como se define en AISC, A-B5.3 (d), con:
Q=Qs
, y
fc
=0.85
c) Para las secciones circulares axialmente cargadas cuya relación diámetro-espesor
está comprendida entre los siguientes límites:
E
Si:0.11*
<D
Fy
t
E
<0.45*
®
Fy
Q=Qa =0.038*E
t ( )+2
Fy* D
3 [A-B5-13]
3.22. ANCHO EFECTIVO, AISI.
En ésta norma, el ancho efectivo se define como:
be
=r*b
r=0.95* ka *
E
f
*1-0.415
b
t ( )*
E
f
é
ê
ê
ë
ù
ú
ú
û
Si:l=1.052
k
w
t
*
*
f
E
®
=b®r=1.0®llímite=0.673
r=1
*1-0.22
l
l
é
êë
ù
úû
Si:be
Donde:
r = Factor de reducción.
3.22.1. AISI, B2.1 (a) y (b); AISI, B3.1 (a) y (b).
El ancho efectivo para la determinación de la capacidad de carga (b), y el
ancho efectivo para la determinación de las deformaciones (bd), son
respectivamente:
Si:l>0.673®
b=r*w [B2.1-2]
bd=r*w [B2.1-6]
33

34.
l=1.052
k
w
t
*
*
f
E [B2.1-4]
Ù l=1.052
k
w
t
*
*
fd
E
r=1-0.22
l
æ
ç
è
ö
ø
1
l [B2.1-3]
÷ *
Donde:
w = Ancho de la parte plana.
b, bd = Anchos efectivos.
k = 4 para elementos rigidizados, k =0.43 para elementos no
rigidizados.
f, fd = Esfuerzo nominal de pandeo (Fn), como se indica en AISI, C4.
Para el cálculo del ancho efectivo de los elementos comprimidos
uniformemente con un rigidizador intermedio, se aplica la sección AISI, B4.1.
Para el cálculo del ancho efectivo de los elementos rigidizados con un
rigidizador de borde, se aplica la sección AISI, B4.2.
3.23. MIEMBROS ARMADOS.
Debido a las grandes inercias que presentan éste tipo de miembros, se usan
para estructuras de grandes luces o aquellas que soportan grandes cargas.
Este tipo de miembros se constituyen armando dos o más perfiles mediante
cubreplacas perforadas, placas y celosía o sólo celosía; una descripción se la
hace en AISC, E4, la cual realiza una explicación para los siguientes temas:
- Conectores en los extremos.
- Separación longitudinal de soldaduras intermitentes.
- Esbeltez efectiva de los componentes.
- Esbeltez efectiva de los miembros armados.
- Placas de unión en los extremos.
- Detalles de los miembros armados en celosía.
3.24. MIEMBROS ARMADOS EN CELOSIA.
Deben colocarse placas de unión en los extremos, las cuales deben tener una
longitud mayor que la distancia entre líneas de soldadura que las conectan a los
componentes del miembro.
34

35. - El espesor de las placas de unión debe ser mayor que
1/50 veces la distancia ente las líneas de soldadura (b) que las conectan a los
segmentos del miembro.
- La esbeltez de las barras de la celosía deben cumplir con
los siguientes requerimientos:
lo
ro
£ k*l
r
æ
ç
è
ö
÷
ø
Para celosía simple:
lo
ro
£140
Si se relaciona con la esbeltez del miembro:
lc
rc
£ k*l
r
æ
ç
è
ö
ø
÷
m
- Debido a las imperfecciones que se presentan al unir las
barras (con soldadura), la celosía debe determinarse para tener una
resistencia al corte nominal al eje del miembro, de por lo menos el siguiente
valor:
=0.02*Pu
Qu
Pu = Resistencia del miembro en compresión.
35

36. - La inclinación de las barras de celosía deben ser
preferiblemente:
Celosía simple:
f³60°
- Cuando la distancia entre las líneas de soldadura (b) en
los componentes es mayor que 38 cm, la celosía debe estar constituída por
ángulos.
- Antes de la revisión de cualquier punto citado
anteriormente, se debe chequear que no exista pandeo entre los miembros
componentes principales.
El valor de Kc se lo puede obtener en libros de estabilidad, o en el libro de
ASD (Ing. Roberto Arellano).
36