1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define:
P(x ;y )
CEPUNS
o o
yo y x
Sen   o Cot  o
r yo
r x
Cos  o r
Ciclo 2013-II
Sec 
 r xo
' y
Tan   o r
xo x Csc 
TRIGONOMETRÍA xo yo
“F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04
Definiciones Previas: y Se defin
P(x ;y )
o o
yo Sen  
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o estándar. r
Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide Cos 
con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial 
coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, '
está en posición normal, el lado final puede estar en xo x Tan  
uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste
pertenece a tal cuadrante.
y Se define:
P(x ;y )
Del gráfico: o o
yo y x
y Sen   o Cot  o
r yo
r xo
Cos  r
Sec 
 r xo
Lado Fina l ' yo
Tan   r
x
(+ )
x Csc 
 o xo yo
x
Vértice
Lado Inicial r  x2  y2
* o o
*  : es un ángulo en posición normal
* α´: se denomina ángulo de referencia
*   IIC ;   0 Signos de las R.T. en los cuiadrantes
y Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un
ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser
positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro
adjunto
Vértice Lado Inicial
x
 (-)
Lado Final
* β : Es un ángulo en posición normal
*   IIIC ;   0
Definición de las Razones
Trigonométricas:
Propiedad:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en Si  es un ángulo en posición normal positivo y
posición normal, tomaremos un punto perteneciente menor que una vuelta entonces se cumple:
a su lado final. Si   I  0 <  < 90º
Si   II  90º<  <180º
1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
Si   III  180º <  < 270º
i) ii)
Si   IV  270º <  < 360º Lado
inicial
Ángulos Cuadrantales
Lado
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final final
coincide con cualquiera de los semiejes del 
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no Vértice
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son 
P(x ;x
o
ángulos frontera. y
i) ii)
Lado
inicial
Lado

final  x
Vértice
Forma General 
P(x ;x )
o o
< Cuadrantal = 90º.k ; k  Z Se tiene que:
También * α y  : son coterminales
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
<Cuadrantal = k ;k Z
2 Propiedades:
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó  rad . según Si α y  son coterminales se cumple que:
2 I. II.
corresponda; si el resultado de la división es un
 -  = 360º n ; n Z
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
I. II.
Razones Trigonométricas de Ángulos
 -  = 360º n ; n Z R.T. () = R.T.()
Cuadrantales
0º 90º 180º 270º 360º
Observacion: en forma practica para determinar
SEN 0 1 0 -1 0
si dos angulos son coterminales:
COS 1 0 -1 0 1 Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
TAN 0 ND 0 ND 0 2rad. y si el resultado es un numero entero ,
entonces los angulos son coterminales.
COT ND 0 ND 0 ND
SEC 1 ND -1 ND 1
R.T. de Ángulos Negativos:
CSC ND 1 ND -1 ND
Nota: N.D. no definido Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos  
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
Ángulos Coterminales:
Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
¡Muy importante! 4 4  1 
Y  4 1  
1 15  5
Q (–b;a ) M M M4
1  1 
1
P (a ;b) 15 1  
 5
RPTA.: E
X
3) Halle: ctg 
R(–a ; –b)
M(b;–a )
37º
PROBLEMA RESUELTOS
1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y
24 , Halle:
cosb 
25 
V  5senb  6 tgb  12 secb
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIÓN
24 b  4to C. A) 5 B)  5 C) 3 D)  7 E) 1
cosb  ; 4 4 4 4
25 4
7 25 RESOLUCIÓN
senb   7 y
25
7 b x y
tgb   (-7;4) 4
24 24
Se pide:
37º
 7   7   25 
V  5  6  12 
25  24   4
     24  4
V  9,35 RPTA.: D

4 3 x
2) Si: cos   1 ,   IV C
2
16
x
Calcule: M  sec   csc  Ctg    
1  ctg  y
7 RPTA.: D
A) 15 B)
1 C)  15 D)
1 E) 4
Ctg   
 4
4 4 4 4
RESOLUCIÓN
1 4 15 4) Las medidas de dos ángulos coterminales son
cos     IV C
4 proporcionales a los número 5 y 2. Además la
 medida del mayor ellos está comprendida entre
+ - 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de
1
sec   csc  sec   csc  dichos ángulos.
M M A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º
1  ctg 1  ctg 

3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
RESOLUCIÓN II. cos3>cos1
 Sean “” y “  ” ( >  ) las medidas de los 2 III.tg1 – tg3>1
ángulos coterminales, luego: A) VVV B) VFV C) VVF
D) FVV E) FFF
    360º  n ….......(i);
3) Decir cual o cuales de las siguientes
"n" proposiciones son falsas (F) o
verdaderas (V).
 5 I. sen(–3)<sen(–0,15)
     5k … (ii)
II. |cos(–2)|>|cos(–1)|
 2   2k III.tg(–3)>tg(–2)
(ii) en (i):
A) FFF B) VFF C) FVV
5k - 2k = 360º x n  k = 120ºx n D) VVF E) VVV
”k” en (ii):  ...(iii) 4) ¿En qué cuadrantes se cumple la
condición sec csc (tg +ctg)>0?.
  600º  n A) IC y IIC B)IC y IIIC C) IIC y IVC
  240º n D) ningún cuadrante E) en todos los C
3
sen   
* 1000º <  < 1700º  1000º<600º
5) Si: |sec|=sec y 5 , halle el
x n < 1700º  n= 2
E   sen   cos  
2
  1200º valor de: .
”n” en (iii) :
  480º A) -7/5 B) 5/7 C)1 D)7/5 E) 2
 + = 1680º 6) De la figura mostrada, halle:
RPTA.: C
E=|a tg – d ctg|
y
P(a ; -b )
PROBLEMA DE CLASE

1) Si  es un ángulo relativo del cuarto x
cuadrante. Hallar el signo de las
expresiones: 
  Q (c; -d )
sen sec
I. cos(-) II. 2 III. 2
A) (–), (–), (–) B) (–), (–), (+) A) b+c B)b – c C)c – b D) – (b+c) E) 0
C) (–), (+), (–) D)(+), (–), (–)
E) (+), (+), (–) 7) Si: 29 cos(x+y)=2m 2 – 21
 x, y ε R, determine la extensión de
2) Indicar verdadero (V) o falso (F) en m para que la expresión dada sea
cada uno de las proposiciones válida.
siguientes: A) 5  m  2 B) 2  m  5
I. sen1>sen3 C) m  5  m  2 D) m  2  m  5
4
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
E) 5  m  5 11) De la figura halle el valor de:
tg ctg
E
8) De la figura mostrada, calcule 3 sen csc   4 cos  sec 
M=tg+ctg.
y OP  5
(-2; 3 ) y
 (-3; 4 )
 
x
x

(1; a)
 5
A) 5/6 B) 11/6 C) 13/6 D) 2 E) 5/2 P
9) De la figura mostrada, determine el
valor de W en términos de a, si A) -1/7 B)1/7 C) 0 D) –1 E) 1
W=csc +sec.
y 12) En qué cuadrante se encuentra el
cos 
0
ángulo . Si: tg .
A) IC B) I ó IIC C) II ó IIIC
x
D) I ó IIIC E) IVC

y= a.| x|
 13) Calcule el valor de
F  14 17tg  32csc  ,
1  a  . 1 1  a2 sen 1 1 1 1
1  a2     
A) a B) a C) a si 4 15 35 63 99 ,
D) a E) –a y además ctg<0.
A) 16 B)28 C) 34 D) 52 E) 98
10) Dada la figura m= –2n.
y
(m , n) 14) Si: 2  tg  5 , determine los
posibles valores para cos.
 1 1   1 1  1 1 
 ;   ;   3 ; 2   1; 2 
A)  6 3 B)  3 6
C)  
(4, 0)  1 1   1 1  1 1  1 1 
x  ;  ;   2 ; 3    3 ; 2 
 o D)  3 6  6 3
E)    
15) Si: /2<<3 /4 y 0<x< /4 y
Hallar: csc 
5 5
1 + tg(x+)=ctg(x+)
A) 5 B) 2 5 C) 5 D) 2 E) 2 5 1 + tg(x+)=ctg(x+),
hallar: tg(x+).
5
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6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
 5 1 1 5 5 1 1
tg 1  cos 
A) 2 B) 2 C) 2 E) 2
1 5 2 5
PROBLEMA PROPUESTOS
D) 2 E) 2
1) Si el área de la región triangular es 5u2.
16) En la figura AO=BO=10u y la altura Entonces, al calcular k.
relativa a uno de los lados iguales mide
tg 2  tg 2  2tgtg
8u. Determinar: E  ctg  cgt . k
B 4
y
A(1; a )
A O 
 
x

1 3 5 5 3
  
A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) 4
B(5; b)
A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) 5
x  ,   3

17) Si: , determinar la
6senx  4 2) En la circunferencia trigonométrica de
H
variación de 3senx  4 . la figura mostrada, sí AM   ;
2, 1 2,1 2, 1 entonces al calcular (en u2) el área
A) B) C) sombreada, se obtiene:
2, 1 2,0
y
D)  E) 
M
18) En la figura mostrada la
circunferencia es trigonométrica, hallar A x
el área de la región sombreada  AP   .
y
Q
A 1  sen  1  cos  1  cos 
A) 2 B) 2 C) 2
1
 sen   cos  
P R
2  sen  cos 
1
D) 2 E)
1
tg 1  sen ctg 1  sen  
A) 2 B) 2
3) En la circunferencia halle OM en
1
tg 1  sen  tg 1  sen términos de.
C) D) 2
6
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7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
y
C
M
B

o 
x
o

A
sen sen 1  cos 
1
1  cos  B) 1  cos  C) sen 
A) A) –1 B)1 C) –25 D) 25 E) 25
1  cos  1  cos 
D) sen E) 1  cos  8) En la circunferencia trigonométrica
mostrada. Halle el área de la región
sombreada.
1  3 sec   2
4) Si: , además
|tg|=–tg, hallar: sen+csc.
9 9 41 52 41 
  
A) 20 B) 20 C) 20 D) 7 E) 20
5) Si: tg= –0,75,  IVC . Calcular el valor
sec   sen 
ctg
de: .
1 39 49 39 49 1  sen   1  1  sen   1 
      
A) B) C) D) E) 2  cos   2  sen  
2 80 80 80 80
A) B)
1  sen   cos   1  sen   cos  
6) Indicar la verdad o falsedad según las   2

sen 

C)
2 cos   D) 
proposiciones:
I. Si: y son coterminales entonces  1  sen   cos  
 
sen =sen. E) ½  1  cos  
II. Si: cos =cos, entonces  y 
son coterminales. 9) En la figura M(x; y) es punto medio del
III. Si:   IIC, entonces tg<0.
IV. Si: tg =1, entonces  =45º. segmento QR ,   mABP .
A) VVVV B) VFVF C) VFFV Halle: x+y
y
D) VVFV E) VVFF
B
P
7) En el plano cartesiano xy, el segmento
AB pasa por el origen de coordenadas; x
A
tal que A(–5; –1), además OC  AB . Si
y  son los ángulos indicados se pide R
M
hallar el valor de: Q
E=tg.tg.
7
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8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
A) (sen+cos)/2 B)2cosC)2sen 15) Si  es la medida de un ángulo en posición normal,
D) – senE) – cos además:
 sen  sen  0 ; tg  tg  0 ; cos  
2
0
3
x 4
10) Si: , entonces al calcular la Calcular: F  5.ctg  Sec 
suma del máximo y mínimo valor de la a) -1 b) -2 c) -½ d) ½ e) 1
 
W  cov  .x  
expresión 8 3
, 16) Del grafico siguiente; hallar tg  + tg 
se obtiene:
A) 1,5 B)2,5 C)3 D)3,5 E)4,5
11) Calcular:
 
E  sen  2k  1   csc  2k  1   cos  2k  1  
2 2
2
Si: k es entero y 1<|k|<3.
A) –2 B)–1 C)0 D) 1 E) 2 a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
EXAMEN PREFERENTE 2012 - I
12) En la circunferencia trigonométrica
determinar MP. 17) Si cos   0, 63 ,   III C .
y
Calcular Sen2
P a) 0,5850 b) 0,5950 c) 0,6061
d) 0,6062 e) 0,6350
x
EXAMEN PREFERENTE 2010
18) Si ctg = -4 ,  IV C. calcular :

cos 
R   13sen 2
M
17
a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2
A) tg+ctgB) tg– ctg
2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III
C) ctg– tgD) –(tg+ctg)
E) – tg– ctg+1
19) Determinar el signo en cada cuadrante de:
1  cos 
13) Sabiendo que cos = 1 , 270º <  < 360º , E   sen
sen . cos 
4 a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++
Entonces el valor de la expresión Sec   Csc , es:
1  Ctg
20) El producto de cinco razones
a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50
trigonométricas de un ángulo que pertenece al
2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III
segundo cuadrante es dos. Calcular la suma de
su seno y coseno.
14) El lado final de un ángulo en posición normal, cuya
a) 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 1 e) 3 5
medida es  pasa por el punto (3,-7).  
Calcular: E  58  cos   sen  5 5 2 2 5
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5
8
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