geometria

1. Universidad de Los Lagos
Sede Tecnológica
Puerto Montt
“Aplicaciones de la Derivada”
Asignatura Calculo
Profesor Rodrigo Solís
Fecha 25/11/2010
Carrera C. Civil Vesp.
Alumnos Karen Adio
Pablo Mariman
Mauricio Castro
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2. ITEM PAGINA
Definición 3
Función creciente y decreciente 4
Determinación de los intervalos de monotonía 6
Máximos y mínimos relativos 9
Concavidad puntos de inflexión 11
Interpretación geométrica de la derivada 13
Interpretación física de la derivada 16
Epilogo 19
bibliografía 20
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3. Definición Derivada
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una
función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su
entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco
rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el
valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de
variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con
respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo
está viajando.
Desde lo más básico entiendo lo siguiente (tomando la siguiente
directriz, también tomada de Internet)
1. Funciones crecientes y decrecientes
2. Determinación de los intervalos de monotonía
3. Máximos y mínimos relativos
4. Determinación de máximos y mínimos
5. Funciones cóncavas
6. Determinación de los intervalos de concavidad
7. Puntos de inflexión
3

4. Función creciente y Decreciente
Una función es creciente cuando al aumentar los valores de x aumentan
los valores de y, o al disminuir los valores de x disminuyen los valores
de y. La diferencia entre los valores de x se llama tasa de variación.
Ejemplo:
Para conocer el Crecimiento de una especie nativa de árbol en base a
una cantidad de tiempo determinada
Y=√x
X Representa Numero de años transcurridos en su vida e y la altura en
metros en función de x.
Como se ve en el grafico x puede tomar cualquier valor menos 0.
A esta función se le conoce como función de Crecimiento, por lo visto es
bien practica, se le pueden dar varios usos.
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Y 0 1 1,4 1,7 2,2 2,4 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,3
A medida que x toma valores determinados, en este caso años y adopta
valores en función de x.
Cuando f(x) Y=√0 ; Y=O / Cuando f(x) Y=√3 ; Y=1.73 y así….
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5. FUNCION DE CRECIMIENTO
3,5
3
2,5
2
Y VARIABLE EN MT
Y
1,5
1
0,5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X VARIABLE EN AÑOS
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6. Determinación de los intervalos de monotonía
Una función entre 2 conjuntos= conjunto A / conjunto b
F = a--b
Donde cada función tiene un orden parcial, o sea una relación
matemática entre 2 conjuntos (conjunto A, conjunto B) pertenece a A x
B a esto se le conoce como par ordenado que no es mas que:
Ej.: Si tengo (A, B) A es el primer componente del primer conjunto y b
como el segundo componente del segundo conjunto
Se expresa AxB = (x,y) donde x pertenece a A e Y pertenece a B
Par ordenado (1,3)
1 prueba 3 trabajos
3,5
3 1; 3
2,5
trabajos
2
1,5
1
0,5
0 0; 0
0 2 4 6 8
pruebas
6

7. A continuación se muestran tres gráficas de funciones cualesquiera. La
primera de ellas es una función estrictamente creciente, ya que
conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de la función. La
segunda de ellas es estrictamente decreciente, puesto que conserva el
orden descendente durante todo el recorrido de la función. La última de
ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es
creciente y partes donde es decreciente (presenta máximos y mínimos
relativos).
Función monótona Función monótona
Función no monótona.
creciente. decreciente.
Propiedades:
• f es monótona.
• f tiene un límite por la izquierda y por la derecha en cualquier
punto de su dominio de definición
• f sólo puede tener discontinuidades de salto.
• f sólo puede tener una cantidad numerable de discontinuidades
El Campo de aplicación de la función monótona más importante es para
deducir probabilidades.
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8. Ejemplo: Experimento aleatorio “cara y sello”
Si se lanzan dos monedas al aire donde c representa cara y s sello
Probabilidades cc/ cs / sc/ ss en tres lanzamientos
cc=2 sc=1
Cs=1 ss=0
Recorrido de esta función sería:
Rx = (0,1,2)
Hay 3 tipos de variables (de las cuales por esta vez no profundizare)
• Variable aleatoria discreta
• Variable aleatoria continúa
• Variable aleatoria independiente
Evidentemente el que domine este tipo de funciones al 100% puede
calcular el premio mayor de cualquier juego de azar.
Máximos y mínimos relativos
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9. En el punto en que la derivada se anule…
O sea, no es cóncava ni convexa o al revés creciente decreciente.
En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de
tangente de Inflexión.
9

10. Matemáticamente la derivada segunda de la función en el punto de
inflexión es cero, o no existe.
Como decía, En un punto en el que la derivada se anule y antes sea
positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un
máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función,
pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo
relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando
de positiva a negativa cambiando de signo y al revés pase de negativa a
positiva (mínimo relativo)
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11. Concavidad. Puntos Inflexión. Derivada segunda.
(máx.-mín. de la Primera Derivada)
Ya sabemos que para calcular los máximos y mínimos de una función
hay que derivar (pendiente) e igualar a cero. Si quisiéramos estudiar los
máx.-mín. de la derivada tendríamos que derivar la derivada (segunda
derivada) e igualar a cero ésta. Pues eso es lo que hay que hacer, ya
que los puntos de inflexión de la función (donde cambia la concavidad)
son máx. o mín. de la derivada (observe la figura y compruébelo). Es
decir tenemos que repetir los pasos realizados con F'(x) para F''(x). Así
es que:
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12. F''(x) = 6·x = 0 ► x=0 Ahora comprobamos si la segunda derivada
cambia de signo al anularse. Dividimos la recta Real en dos intervalos:
-∞<x<0 Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= -10 ►
F''(x) < 0
0 <x<∞ Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= 10 ►
F''(x) > 0
En el primer intervalo la segunda derivada es negativa ► la primera
derivada es decreciente ► la función es convexa.
En el segundo intervalo la segunda derivada es positiva ► la primera
derivada es creciente ► la función es cóncava.
Convexa significa que las rectas (y), tangentes a la función, están por
encima de ella (el valor de y > F(x)). Cóncava significa lo contrario.
Punto de inflexión es aquel donde cambia de concavidad, es decir, la
recta tangente corta a la curva en un punto de ella, dejando una parte
por encima y otra por debajo. Intente trazar la recta tangente de
nuestra función en el punto (0 , 0).
OBSERVACIÓN:
De la definición anterior se puede concluir que concavidad se refiere a
una propiedad de la gráfica. En el caso de tener una función
estrictamente creciente en el intervalo X= ( a,b ) se puede tener que f
sea cóncava en X o convexa en X o en un sector cóncava y en otro
convexa, lo mismo se puede decir de una función estrictamente
decreciente.
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13. Interpretación geométrica de la derivada
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el punto P,
entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f (x)
en el punto P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β (figura A).
Figura A
La pendiente de la tangente a la curva en un punto cualquiera es igual a
la derivada de la función en ese punto (figura B):
m = f ‘ (a)
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14. Figura B
Ejemplo: dada la función f(x)= x2, calcular los puntos en los que la
recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante:
F ‘ (a) = lim ( a+h)2 – a2 = lim a2 +2ah +h2 -a2 =
h-0 h h-0 h
lim 2ah+h2 = lim ( 2a +h) = 2a
h-0 h h-0
2a = 1 a=1 P(1,1)
2 2 4
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15. La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y=x, por tanto su
pendiente es m=1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f’ (a) =1 . Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la
derivada en el punto x=a (figura C).
Figura C
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16. Interpretación física de la derivada
Velocidad media: es el cociente entre el espacio recorrido (∆e)
y el tiempo transcurrido (∆t)( figura D).
Figura D
Velocidad instantánea: es el límite de la velocidad media
cuando ∆ t tiende a cero, la derivada del espacio respecto al
tiempo (figura E)
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17. Figura E
Ejemplo: la relación entre la distancia recorrida en metros por
un móvil y el tiempo en segundos es f(t) 0 6t 2, calcular:
1. la velocidad media entre t=1 y t=4 (la velocidad media es el
cociente incremental en el intervalo (1,4).
2. la velocidad instantánea es la derivada en t= 1 (la
velocidad instantánea en t=1.
17

18. 18

19. Epilogo
De la manera mas honesta exigida, de un 100% aprendí un 40% pero si
no hubiese investigado me hubiese quedado solamente con las clases.
Esta es una materia complicada en los 10 años que llevo trabajando
como técnico nunca he tenido que aplicar estas materias, eso si
comprendo que sin estas estaríamos en la época de piedra.
Es complicado trabajar, estudiar, cumplir como esposo y padre, pero es
lo que hay. Estoy seguro que de haber tenido la oportunidad de estudiar
como una persona normal 5 años dedicado solamente al estudio, otro
gallo cantaría. Pero las oportunidades no son iguales para todos.
Mauricio castro
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20. Bibliografía
Damaris navarro torres /funciones elementales limites, derivadas,
integrales
Alfred T Lorenzo Ruiz /Calculus on the web site interactivo
La nunca bien ponderada Wikipedia
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