1. José Alberto Luna de Ávila
En el siguiente contenido podrás observar el
desarrollo de los temas que se están tratando. Y
esto gracias a los ejemplos que se muestran
claramente el proceso que se sigue para cada uno
http://www.aprendizajeestadistico. de estos.
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3. En esta presentación explicaremos temas de probabilidad y
estadística y la manera de como se pueden aplicar además de
saber donde se aplican. Ya sea en la vida o en la industria.
Probabilidad.
La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias
posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La
probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un
resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre
el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las
condiciones de estabilidad que el contexto supone.
Esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en
todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos:
-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas
-Competencias deportivas
-Juegos de azar, etc., etc.
Estadística.
La estadística generalmente es definida como la rama de las
matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos
numéricos y así mismo que ayuda a resolver problemas como el
diseño de experimentos y la toma de decisiones.
4. Para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar el
número de elementos del espacio muestral S y el número de
elementos de evento A. Cuando el conjunto es pequeño no hay
problema, pero cuando los conjuntos contienen muchos elementos
toca acudir a unas técnicas de conteo especiales llamadas métodos
de conteo.
Principio de la multiplicación.
La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la
regla de la multiplicación la cual dice que si una operación se puede
llevar a cabo en n1 formas y si para cada una de estas se puede
realizar una segunda operación en n2 y para cada una de dos
primeras se puede realizar una tercera operación n3 formas, y así
sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede
realizar en n1, n2… nk formas.
Ejemplo: ¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa,
emparedado, postre y una bebida son posibles si podemos
seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4
bebidas?
Procedimiento: n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 y n4 = 4 total.
n1 X n2 X n3 X n4 = 4 X 3 X 5 X 4 = 240 tipos de almuerzos.
5. Como podemos observar con anterioridad se expresa la forma en
que se determinaron los diferentes tipos de almuerzo.
Principio de la suma.
Ahora un proceso, con 1, se puede hacer de n1 formas. Ahora si se
hace un segundo proceso un, con 2, se puede hacer de n2 formas.
además no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos.
Entonces, el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1
+ n2.
Para demostrar lo que queremos explicar esta el siguiente problema
de una manera muy sencilla de entender.
Ejemplo: Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir
entre transportamos por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el
autobús y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes
disponibles para el viaje.
En matemáticas llamamos permutación de un conjunto a cada una
de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho
conjunto.
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS
TOMADOS TODOS A LA VEZ.
Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las
letras de la palabra IMPUREZA?
Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a
ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger
la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos
6. quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez
que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta
agotarlas, en total tenemos:
8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320
Analizando el ejemplo anterior podemos definir las permutaciones u
ordenaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez,
de la siguiente forma:
"Las ordenaciones o permutaciones sin repetición de n elementos
tomados todos a la vez es n!y se denotan con el símbolo:
O
Ejemplo: quieres visitar las casas de tres amigos: Alex ("a"), Betty
("b") y Chyra ("c"), pero no has decidido en qué orden. ¿Qué
opciones tienes?
Respuesta: {a,b,c} {a,c,b} {b,a,c} {b,c,a} {c,a,b} {c,b,a}
Si el orden no importa, es una Combinación.
Lo que se hizo en realidad de una forma mas sencilla fue la de
mezclar todos los elementos con los cuales contamos de forma que
ninguno fuera a repetirse.
Las combinaciones son arreglos de elementos donde no interesa el
orden posición o lugar en que se pusieron cada uno de los
elementos del arreglo.
Lo único que interesa es el formar los grupos y el contenido de
estos Sin importar el orden de estos.
7. Lo que hace en realidad es buscar los totales de los subgrupos que
se pueden obtener en base al n de los objetos o elementos.
El orden de los objetos no es importante, cada uno de estos
resultado se denomina combinación, por ejemplo: si se requiere
formar un equipo de trabajo formado por dos personas
seleccionadas de un grupo de 3 (A,B y C); si en el equipo hay dos
funciones diferentes entonces si importa el orden, los resultados
serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay
funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados
serán combinaciones los resultados en ambos casos son los
siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, CA, BC
Combinaciones, es el numero de formas de seleccionar “r” objetos
de un grupo de “n” objetos sin importar el orden,
La formula de combinaciones es: = r!(n-r)!
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve,
¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
Solución: La cantidad de combinaciones posibles sería:
P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
Para poder obtener el resultado fue necesario multiplicar y después
dividir como se observa en
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que,
8. El diagrama de árbol es una representación gráfica de un
experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los
pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplos: Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres
monedas, salgan: tres caras
Solución:
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más
experimentos aleatorios simples.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos
aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un
9. dado y posteriormente una moneda, estamos realizando
un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el
llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos
ellos.
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en
donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser
llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de
N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas,
entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x...........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos
de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
Ejemplos: Una persona desea construir su casa, para lo cuál
considera que puede construir los cimientos de su casa de
cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento),
mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o
ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y
por último los acabados los puede realizar de una sola manera
¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución: Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la
casa
10. El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo
que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las
maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una
actividad cualquiera.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de esas
alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la
segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas
..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W
maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a
cabo de,
M + N +.........+ W maneras o formas
Ejemplos: Una persona desea comprar una lavadora de ropa,
para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las
marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a
hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se
presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro
colores diferentes y puede ser automática o semiautomática,
mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres
tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática y la
lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga,
que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay
semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de
comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
11. N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la
marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la
marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una
lavadora
Espero que dudas que hayan tenido acerca de los temas que se
explicaron con anterioridad hayan sido aclaradas de forma que
hayan comprendido el procedimiento de cada uno de estos temas
además de a que se refiere en si cada uno.
