Movimiento en dos dimensiones.pptx

Movimientos BIDIMENSIONALES
Tema:
Universidad Nacional de Ingeniería (UNI-Managua)
Facultad de Ciencias y Sistemas (FCYS)
Departamento de Física
Docente: Yasser Alexander García Flores
1
domingo, 27 de agosto de 2023

2
Recordando las clases anteriores
Mencione algunas características del movimiento
de caída libre. Un objeto es lanzado hacia arriba y
luego regresa.

3
Introducción
La mayoría de movimientos reales tienen lugar en dos y tres
dimensiones, como cuando lanzas una pelota, pateas un
balón, entre otros. Debido a estas situaciones es necesario
ampliar el estudio de la cinemática a dos y tres dimensiones.
Para esto se siguen utilizando las magnitudes vectoriales de
posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. En estos
estudios podrás ver que muchos de los movimientos
importantes se dan solo en dos dimensiones, es decir, en un
plano, y pueden describirse con dos componentes de posición,
velocidad y aceleración.
También se necesita considerar la descripción del movimiento
de una partícula desde el punto de vista de diferentes
observadores que se mueve unos con respecto a otros, esto
es el movimiento relativo.

4
Vectores de posición y velocidad
¿Qué se debe conocer primero para describir el
movimiento de una partícula en el espacio?
Su vector de posición en el espacio respecto a sistema de
referencia, en nuestro caso un sistema coordenado,
siendo el cartesiano el común empleado.
Imagen tomada del Sears Zemansky Volumen 1,
décima tercera edición, capítulo 3, página 70.
Figura 1.
Vector de
posición del
origen
coordenado
al punto P.

5
Las componentes para cualquier eje del vector de posición, es igual al
producto escalar del vector de posición por un vector unitario, dirigido
según del eje de coordenadas que se trate.
De la figura, se desprende que las componentes “x”
y “y” del vector de posición, se obtienen:
Cuando una partícula se mueve respecto al punto
de referencia “O”, el vector de posición es una
función del tiempo, es decir, 𝒓 = 𝒓(𝒕), por lo que, las
componentes de 𝒓 son también función del tiempo.
A estas expresiones se les llama, “ecuaciones
paramétricas” o “ecuaciones del movimiento”.

6
Figura 2.
Vector de
desplazami
ento y
velocidad
media entre
dos puntos.
Durante un intervalo de tiempo, la partícula se mueve de la posición 1 a la
posición 2 como se muestra en la figura. El vector desplazamiento indica el
cambio que ha experimentado tanto el módulo del vector de posición y la
dirección del movimiento de la partícula.
Ecuación del
desplazamiento y
velocidad media
en tres
dimensiones.
¿Qué ocurre si el
punto 1 se
aproxima al punto
2? ¿qué
velocidad se
obtiene?

7
La magnitud del vector velocidad instantánea en cualquier instante es
la rapidez de la partícula en ese instante. La dirección de en cualquier
instante es la dirección en que la partícula se mueve en ese instante.
En cualquier punto de la trayectoria, el vector velocidad instantánea es
tangente a la trayectoria en ese punto.
Figura 3.
Vector de
velocidad
instantánea.

8
Considere una partícula que se mueve en el plano en una trayectoria
curvilínea como se muestra en la figura
Figura 4. Componentes de
velocidad para un movimiento en
el plano.

9
El vector aceleración ya se había abordado y solamente se va a
recordar. Recuerda que se estudió la aceleración media e instantánea.
el plano.

10
De las siguientes figuras se observa la aceleración instantánea.
el plano.

11
NOTA: Cualquier partícula que sigue una trayectoria curva está
acelerando. Cuando una partícula sigue una trayectoria curva, su
aceleración siempre es distinta de cero, aun si se mueve con rapidez
constante. Quizás esta conclusión es contraria a la intuición, pero
más bien va contra el uso cotidiano de la palabra “aceleración” para
indicar que la velocidad aumenta. La definición más precisa de la
ecuación (vector aceleración instantánea) indica que la aceleración
es diferente de cero cuando el vector velocidad cambia de cualquier
forma, ya sea en su magnitud, dirección o en ambas.
De las figuras anteriores se puede notar que la aceleración
instantánea solo es tangente a la trayectoria cuando la partícula se
mueve en línea recta, y apunta hacia la parte cóncava de la curva
cuando lo hace en estas trayectorias.

12
Aplicando la teoría abordada.
1) Una estudiante se localiza sentada inicialmente un punto P1, con
coordenadas (18.0 , 4.00) en t1= 2.0 s y después de cierto tiempo, se
localiza en el punto P2 con coordenadas (22.0 , 15.0) en t2=5.0 s, las
que se expresan en metros. Escriba y encuentre:
a) La posición en cada punto.
b) El vector desplazamiento de la estudiante.
c) La velocidad media de la partícula y sus componentes.
d) El módulo de la velocidad media.
2) Una pelota se mueve sobre el plano x,y del piso. La posición para
cualquier tiempo, está descrita por la expresión 𝒓 = 𝟐 + 𝟑𝒕 𝒊 + 𝟒𝒕𝟐 𝒋
donde r, y t se expresan metros y segundos, respectivamente.
encuentre:
a) La velocidad de la partícula (vector) para t= 2 s y t=5 s.
b) La aceleración media de la partícula para t= 2 s y t=5 s.
c) La ecuación de la aceleración instantánea.

13
Principio de independencia de los movimientos
Un movimiento cualquiera se puede descomponer en movimientos
simples y simultáneos. Este procedimiento simplifica el estudio de
los movimientos compuestos. En esta unidad, nos limitaremos al
estudio del movimiento compuesto en el plano. Se debe mencionar
que el principio es válido despreciando las condiciones
aerodinámicas de los cuerpos.
Ya Galileo, en el siglo XVI, utilizaba este recurso cuando enunció el
principio de independencia de los movimientos.
"Cuando un cuerpo sigue un movimiento compuesto por dos
movimientos simples y simultáneos, su posición en un tiempo dado
es independiente de cómo actúen los movimientos simples,
simultánea o sucesivamente".

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Para estudiar estos movimientos compuestos debemos:
 Distinguir claramente la naturaleza de cada uno de los
movimientos simples componentes.
 Aplicar a cada movimiento componente sus propias ecuaciones.
 Obtener las ecuaciones del movimiento compuesto teniendo en
cuenta que: la posición del móvil se obtiene sumando las
componentes de los movimientos componentes al igual que la
velocidad y el tiempo empleado en el movimiento compuesto es
igual al tiempo empleado a cada de los movimientos
componentes.

15
El principio de independencia de movimientos, se aplica a cuerpos que
son animados, simultáneamente, por dos velocidades con respecto a
un observador. Para que se cumpla este principio, es necesario que las
dos velocidades sean perpendiculares entre sí. En consecuencia, la
velocidad observada para el cuerpo, será la resultante de las
velocidades que posee. El tiro parabólico y el lanzamiento horizontal,
hacen parte de este tipo de movimientos.
El lanzamiento horizontal está formado por dos movimientos
simultáneos y perpendiculares. Uno vertical de caída libre producto de
la aceleración de gravedad y uno horizontal, generado por el impulso
que recibe el objeto que es lanzado.

16
Movimiento de proyectiles o tiro parabólico
Un proyectil es un cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue
una trayectoria determinada completamente por los efectos de la
aceleración gravitacional y la resistencia del aire. Una pelota bateada,
un balón de fútbol lanzado, un paquete que se deja caer desde un
avión y una bala disparada por un rifle son proyectiles. El camino que
sigue un proyectil se conoce como su trayectoria. En este tema se
parte inicialmente del modelo ideal que representa al proyectil como
una partícula con aceleración constante (debida a la gravedad) tanto en
magnitud como en dirección, Se ignoran los efectos de la resistencia
del aire, así como la curvatura y rotación de la Tierra.
La curvatura de la Tierra debe ser considerada en el vuelo de misiles
de largo alcance; así mismo la resistencia del aire es de importancia
vital para un paracaídas. El movimiento del proyectil se limitará al plano
vertical, determinado por la dirección de la velocidad inicial. Esto es
debido a que la aceleración gravitacional es vertical.

17
El movimiento del proyectil o parabólico puede ser analizado como una
combinación de movimientos: uno vertical que es el de caída libre y uno
horizontal con velocidad constante.
Figura 7. Trayectoria de un proyectil.

18
Figura 8. Trayectoria
de un proyectil,
comportamiento
vectorial.
El ángulo de lanzamiento, se reduce hasta llegar a cero, en la altura
máxima, la velocidad vertical se reduce hasta llegar a cero, al alcanzar su
altura máxima. La velocidad en x es constante y la trayectoria en general es
una parábola con abertura hacia abajo.

21
ALTURA MÁXIMA
Es el punto más alto que alcanza el proyectil en la
dirección vertical. En este punto, la velocidad final “y”, es
igual a cero. En la figura, se puede observar la altura
máxima. La expresión que permite calcular la altura
máxima es:

23
Componentes perpendicular y paralela de la
aceleración
Otra manera útil de visualizar la aceleración es en términos de su
componente paralela a la trayectoria de la partícula, es decir, paralela
a la velocidad, y su componente perpendicular a la trayectoria, y por lo
tanto, perpendicular a la velocidad. Esto es porque la componente
paralela nos habla acerca de los cambios en la rapidez de la partícula;
mientras que la componente perpendicular nos indica los cambios en
la dirección del movimiento de la partícula. Para ver por qué las
componentes paralela y perpendicular de tienen tales propiedades,
consideremos dos casos especiales.
La aceleración puede descomponerse
en una componente paralela a la trayectoria
(es decir, a lo largo de la tangente a la
trayectoria) y una componente perpendicular
a la trayectoria (es decir, a lo
largo de la normal a la trayectoria).

24
décima tercera edición, capítulo 3, página 75 y 76.

25
Movimiento Circular UNIFORME (MCU)
Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva, la dirección de su
velocidad cambia como se abordó anteriormente. Esto significa que la
partícula debe tener una componente de aceleración perpendicular a la
trayectoria, incluso si la rapidez es constante. En esta ocasión se estudia la
aceleración para el importante caso especial de movimiento en círculo.
Cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, el
movimiento se conoce como movimiento circular uniforme. Un automóvil que
da vuelta en una curva de radio constante con rapidez constante, un satélite
en órbita circular y un patinador que describe un círculo con rapidez constante
son ejemplos de este movimiento.
TAREA: Hacer un resumen de lo más importante del movimiento circular
uniforme y no uniforme, sus gráficas, ecuaciones y su relación con la
cinemática traslacional. Luego buscar las ecuaciones de la cinemática
rotacional. Esta tarea es para el día viernes 24 de marzo de 2023.

26
En un movimiento circular uniforme la aceleración solamente tiene componente
centrípeta o radial y está dada por la ecuación:

27
En conclusión, en el movimiento circular uniforme, la
magnitud arad de la aceleración instantánea es igual al
cuadrado de la rapidez v dividido entre el radio R del
círculo; su dirección es perpendicular a y hacia adentro
sobre el radio.

28
décima tercera edición, capítulo 3, página 86..
También podemos expresar la magnitud de la aceleración en el
movimiento circular uniforme en términos del periodo T del
movimiento, es decir, el tiempo que dura una revolución (una
vuelta completa alrededor del círculo). En un tiempo T, la
partícula recorre una distancia igual a la circunferencia 2ПR, así
que su rapidez es

29
Movimiento Circular NO UNIFORME
En el movimiento circular no uniforme también hay una componente de
aceleración paralela a la velocidad instantánea.
La componente tangencial tiene la
misma dirección de la velocidad si la
partícula
está acelerando, y la dirección opuesta
si está frenando (figura). Si la rapidez
de
la partícula es constante, atan = 0.

31
GRACIAS POR SU ATENCIÓN.
DUDAS
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